LES NOMBRES RELATIFS

LES NOMBRES RELATIFS OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS : MULTIPLICATION ET DIVISION Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Dossier n 3 Juin 2005 Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE

C.D.R. AGRIMEDIA LES NOMBRES RELATIFS : - Multiplication - Division Apprentissage Objectif : - Savoir effectuer des multiplications et des divisions sur des nombres relatifs Contenu : - Savoir calculer le produit de deux nombres relatifs - Savoir calculer le produit de plusieurs nombres relatifs - Savoir diviser des nombres relatifs - Exercices de synthèse Pré-requis : ( voir dossier n 1 ) - Les nombres relatifs LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 1

MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS Chapitre 1 RAPPEL On appelle produit, le résultat d'une multiplication. 1 er exemple : 6 est le produit de 2 et 3 car 2 x 3 = 6 2 et 3 sont appelés facteurs du produit 2 ème exemple : 5 x 4 x 10 = 200 200 est le produit de 5, 4 et 10 5, 4 et 10 sont les facteurs du produit I - PRODUIT DE DEUX NOMBRES RELATIFS Multiplier deux nombres relatifs POSITIFS ne pose guère de problème... Ainsi, pour multiplier par exemple ( + 7,2 ) par ( + 11 ) il faut multiplier les valeurs absolues entre elles : 7,2 x 11 = 79,2 et donner le signe + au résultat car les 2 nombres sont positifs ; d'où : ( + 7,2 ) x ( + 11 ) = ( + 79,2 ) La valeur absolue du produit de deux nombres relatifs est le produit des deux valeurs absolues. Ainsi, la valeur absolue du produit de : ( + 4 ) et ( - 3,5 ) est 14 car 4 x 3,5 = 14 ( - 10 ) et ( - 5 ) est 50 car 10 x 5 = 50 ( - 8 ) et ( + 7 ) est 56 car 8 x 7 = 56 Mais quel signe devons-nous donner au résultat? LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 2

Appliquons la règle des signes qui se résume par le tableau suivant : Signe du 1 er nombre relatif Signe du 2 ème nombre relatif Signe du produit Règle + + + - - + + - - - + - Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre positif Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif Reprenons les exemples précédents : ( + 4 ) x ( - 3,5 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 4 x 3,5 = 14 d'après la règle des signes : les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif ( + 4 ) x ( - 3,5 ) = - 14 ( - 10 ) x ( - 5 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 10 x 5 = 50 d'après la règle des signes : les nombres relatifs sont de même signe, le résultat est donc un nombre positif ( - 10 ) x ( - 5 ) = + 50 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 3

( - 8 ) x ( + 7 ) =? le produit des valeurs absolues est : 8 x 7 = 56 d'après la règle des signes : les nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc un nombre négatif ( - 8 ) x ( + 7 ) = - 56 On retiendra : Pour obtenir le résultat du produit de 2 nombres relatifs, on commence par multiplier les 2 valeurs absolues, puis pour trouver le signe du résultat, on applique la règle suivante : Le produit de 2 nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif Exemples : - 5 x - 2 = + 10 + 5 x + 2 = + 10 Le produit de 2 nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif Exemples : - 5 x + 2 = - 10 + 5 x - 2 = - 10 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 4

Maintenant à vous! Calculez : ( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) = ( - 7 ) x ( - 4,3 ) = ( + 1 ) x ( - 4,2 ) = ( + 4 ) x ( + 3,42 ) = ( - 7 ) x ( + 8,4 ) = ( - 1 ) x ( - 5,1 ) = ( - 5,2 ) x 0 = ( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) = ( - 13 ) x ( - 12 ) = Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 5

RÉPONSES ( - 3,1 ) x ( + 7,2 ) = - 22,32 ( - 7 ) x ( - 4,3 ) = + 30,1 ( + 1 ) x ( - 4,2 ) = - 4,2 ( + 4 ) x ( + 3,42 ) = + 13,68 ( - 7 ) x ( + 8,4 ) = - 58,8 ( - 1 ) x ( - 5,1 ) = + 5,1 ( - 5,2 ) x 0 = 0 ( + 3,5 ) x ( - 2,9 ) = - 10,15 ( - 13 ) x ( - 12 ) = + 156 Très bien! Passons à la suite!! LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 6

II - PRODUIT DE PLUSIEURS NOMBRES RELATIFS Exemples ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 5 x 2 x 4 = 40 puis indiquons le signe du résultat. Nous avons vu précédemment la règle des signes à appliquer pour le produit de deux nombres relatifs : ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) puis - x - ( - 5 ) x ( + 2 ) x ( - 4 ) = + 40 + ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) =? Effectuons le produit des valeurs absolues : 2,5 x 3 x 5,3 x 8,1 = 321,975 puis indiquons le signe du résultat : ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) puis : + x - puis : - + - ( - 2,5 ) x ( - 3 ) x ( - 5,3 ) x ( + 8,1 ) = - 321,975 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 7

Remarque : Autre méthode : pour connaître le signe d'un produit de plusieurs facteurs, on peut compter le nombre de signes - Si nous en trouvons un nombre pair ( 0 ; 2 ; 4... ) le produit est positif. Si nous en trouvons un nombre impair ( 1 ; 3 ; 5... ) le produit est négatif. Exemple 1 : ( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) =? Il y a deux signes -, le produit est donc positif. Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues. ( - 2,6 ) x ( + 3,2 ) x ( - 6,8 ) = + 56,576 Exemple 2 : ( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) =? Il y a trois signes -, le produit est donc négatif. Il ne reste plus qu'à calculer le produit des valeurs absolues. ( - 3,7 ) x ( - 4,5 ) x ( - 7,8 ) = - 129,87 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 8

Maintenant à vous! Exercice 1 Sans calculer les produits suivants, indiquez le signe de chacun d'eux après avoir compté le nombre de signes - PRODUITS Nombre de signes - Ce nombre est-il pair ou impair? Signe du produit + ou - Exemple : ( + 2,5 ) x ( - 5 ) x ( + 3,2 ) x ( - 12,6 ) 2 pair + ( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 ) ( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 ) ( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 ) ( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 ) ( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 ) Exercice 2 Trouvez sans opération, le signe qui manque dans les égalités suivantes : ÉGALITÉS Entourez le signe manquant Exemple : ( - 2,3 ) x (? 2,7 ) x ( + 56 ) = + 347,76? = + ou - ( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x (? 2 ) = + 1 920? = + ou - ( + 125 ) x ( - 5 ) x (? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050? = + ou - ( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x (? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28? = + ou - ( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x (? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702? = + ou - ( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x (? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46? = + ou - NB Dans l exemple la bonne réponse est «-» car le produit est positif, il faut donc un nombre pair de signes «-». Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 9

RÉPONSES Exercice 1 PRODUITS Nombre de signes - Ce nombre est-il pair ou impair? Signe du produit + ou - ( - 3 ) x ( + 7,4 ) x ( + 4,3 ) x ( - 7 ) x ( + 4 ) x ( - 2,5 ) 3 impair - ( + 7,8 ) x ( + 19 ) x ( - 7,3 ) x ( - 7,2 ) x ( - 5,3 ) x ( - 17,3 ) 4 pair + ( + 5,2 ) x ( - 6,2 ) x ( + 72 ) x ( + 3,1 ) x ( - 32 ) x ( + 23 ) x ( + 5,1 ) 2 pair + ( + 5 ) x ( + 2,4 ) x ( - 3,3 ) x ( - 53 ) x ( - 3 ) x ( - 12 ) x ( - 0,8 ) 5 impair - ( + 3 ) x ( + 5 ) x ( + 7 ) x ( - 8 ) x ( + 10 ) x (+ 5 ) 1 impair - Exercice 2 ÉGALITÉS Entourez le signe manquant ( + 32 ) x ( - 3 ) x ( - 10 ) x (? 2 ) = + 1 920? = + ou - ( + 125 ) x ( - 5 ) x (? 3,22 ) x ( + 4 ) = + 8 050? = + ou - ( - 8 ) x ( - 3,5 ) x ( + 0,7 ) x (? 1,7 ) x ( - 4 ) = - 133,28? = + ou - ( - 5,5 ) x ( - 2,1 ) x (? 0,12 ) x ( - 7 ) = + 9,702? = + ou - ( + 9,2 ) x ( - 1,2 ) x (? 8,6 ) x ( - 81 ) = - 7 690,46? = + ou - LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 10

Maintenant à vous! Calculez les produits suivants : ( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) = ( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) = ( + 3,1) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) = ( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) = ( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) = ( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) = ( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 = ( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) = ( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) = ( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) = ( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) = ( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) = ( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) = ( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) = ( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) = Conseil : vous pouvez relire la page 8 Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 11

RÉPONSES ( - 3 ) x ( - 2 ) x ( + 10 ) = + 60 ( + 8 ) x ( - 5 ) x ( + 2,4 ) = - 96 ( + 3,1 ) x ( - 5,2 ) x ( - 10 ) = + 161,2 ( - 4 ) x ( - 2,1 ) x ( - 3,5 ) = - 29,4 ( + 2 ) x ( + 3,2 ) x ( - 4 ) = - 25,6 ( + 7 ) x ( - 5 ) x ( - 11 ) = + 385 ( - 7 ) x ( + 0,2 ) x 0 = 0 ( - 7,2 ) x ( + 4,9 ) x ( - 3,2 ) = + 112,896 ( + 14,3 ) x ( - 15 ) x ( + 3 ) = - 643,5 ( + 3,5 ) x ( - 1,2 ) x ( + 5,2 ) = - 21,84 ( - 2,9 ) x ( + 5 ) x ( - 3,1 ) x ( + 5 ) = + 224,75 ( + 10,4 ) x ( + 3 ) x ( - 7 ) x ( - 3 ) = + 655,2 ( - 7,6 ) x ( - 4 ) x ( - 3 ) = - 91,2 ( + 2,25 ) x ( + 13 ) x ( + 7,5 ) x ( - 13 ) = - 2 851,875 ( + 4 ) x ( - 3 ) x ( - 11,5 ) x 0 x ( - 5,8 ) = 0 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 12

DIVISION DE NOMBRES RELATIFS Chapitre 2 Maintenant, qu en est-il de la division de deux nombres relatifs? DIVISION DE DEUX NOMBRES RELATIFS Exemple : ( - 5,4 ) ( - 4 ) =? on peut aussi écrire : - 5,4-4 =? Pour diviser deux nombres relatifs, nous devons diviser les valeurs absolues. 5,4 4 = 1,35 puis appliquer la même règle des signes que pour la multiplication. Ici le résultat de la division est positif car les signes sont les mêmes. ( - 5,4 ) ( - 4 ) = + 1,35 ou : - 5,4-4 = + 1,35 Autre exemple : - 14 + 5 =? Divisons les valeurs absolues 14 5 = 2,8 Appliquons la règle des signes : les deux nombres relatifs sont de signes contraires, le résultat est donc négatif. - 14 + 5 = - 2,8 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 13

Maintenant à vous! Calculez les quotients suivants : RAPPEL : le résultat d une division s appelle le QUOTIENT ( - 7 ) ( + 8 ) = ( + 14 ) ( - 3,5 ) = ( - 14 ) ( - 5 ) = ( + 7 ) ( + 4 ) = ( + 13,188 ) ( - 2,8 ) ( - 31,6 ) ( - 0,4 ) = = ( + 1 472 ) ( - 0,4 ) = ( + 48,96 ) ( - 0,9 ) = ( - 3 ) ( + 8 ) = ( - 75 ) ( + 5 ) = ( + 36 ) ( - 9 ) = - + ( + 1 ) ( + 0,5 ) = Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 14

RÉPONSES ( - 7 ) ( + 8 ) = - 0,875 ( + 14 ) ( - 3,5 ) = - 4 ( - 14 ) ( - 5 ) = + 2,8 ( + 7 ) ( + 4 ) = + 1,75 ( + 13,188 ) ( - 2,8 ) ( - 31,6 ) ( - 0,4 ) = - 4,71 = + 79 ( + 1 472 ) ( - 0,4 ) = - 3 680 ( + 48,96 ) ( - 0,9 ) = - 54,4 ( - 3 ) ( + 8 ) = - 0,375 ( - 75 ) ( + 5 ) = - 15 ( + 36 ) ( - 9 ) = - 4 - + ( + 1 ) ( + 0,5 ) = + 2 LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 15

EXERCICES DE SYNTHÈSE Chapitre 3 Calculez : a ) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) =? b ) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ( - 2,5 ) =? c ) ( - 15,4 ) x ( - 2 ) ( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) =? d ) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ( + 9,36 ) =? e ) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) =? f ) ( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) ( - 5 ) x ( + 3,01 ) =? Voir réponses page suivante LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 16

RÉPONSES a) ( - 4,7 ) x ( + 12,8 ) x ( - 0,75 ) = + 45,12 b) ( + 1,6 ) x ( - 3,2 ) ( - 2,5 ) = + 2,048 c) ( - 15,4 ) x ( - 2 ) + 30,8 = ( + 0,8 ) x ( + 2,5 ) + 2 = + 15,4 d) ( + 7,5 ) x ( + 1,5 ) x ( - 5,2 ) ( + 9,36 ) = - 6,25 e) ( - 3 ) x ( + 8 ) x ( - 2 ) x ( - 7 ) x ( + 1,05 ) = - 352,8 f) ( + 30,1 ) x ( + 1,5 ) + 45,15 = ( - 5 ) x ( + 3,01 ) - 15,05 = - 3 Fin LES NOMBRES RELATIFS - Multiplication et division - Dossier n 3 17