ONDES & ELECTROMAGNETISME M. NICOLAS ondes mécaniques 10h ME, MT, GC H. TORTEL ondes électromagnétiques 10h ME, MT 2009 / 2010
Plan du cours 1. Domaines d application 2. Définitions et rappels 3. L oscillateur harmonique 4. L équation d onde simples 5. Vibrations et ondes mécaniques : Corde Membrane Poutre Acoustique 6. ( Introduction aux systèmes non linéaires )
1. Domaines d application
Bibliographie Disponible à la BU
Weblinks Cours en ligne du MIT (open course ware) http://ocw.mit.edu/ocwweb/physics/8-03fall-2004/coursehome/index.htm http://ocw.mit.edu/ocwweb/physics/8-03fall- 2004/VideoLectures/index.htm Prof W. Lewin
Ondes mécaniques solide liquide gaz
Cordes de piano Musique
Bâtiment en vibration
Effets de vibrations sur la santé Symptômes après une exposition courte à des vibrations entre 2 et 20 Hz avec une accélération de 1 m/s 2 : douleurs abdominales et thoraciques Maux de tête Nausée Perte d équilibre A long terme, des symptômes plus graves peuvent apparaître : Désordre gastro-intestinal Hernie discale Scoliose lombaire
Limitation des vibrations Amortisseur à gel Amortisseurs à ressort Amortisseurs pour véhicule
Oscillateurs électroniques Générer un signal périodique Horloge, compteur, synchronisation, Diapason à quartz
Electromagnétisme Ondes radio, domaine visible, UV, X, gamma Communication : radio, TV, wifi, téléphonie, satellite, détection Usages civils et militaires
Electronique et musique
2. Définitions et rappels
Définitions ONDE : propagation d une vibration, d une oscillation. VIBRATION : Mouvement autour d'une position d'équilibre des particules d'un milieu élastique ou d un système matériel élastique OSCILLATION : Mouvement d'un corps qui se déplace alternativement, et plus ou moins régulièrement, de part et d'autre d'une position d'équilibre
Notion d équilibre Équilibre stable : Équilibre instable :
Fonctions t-périodiques Période! (s) F(t+!)=F(t) Fréquence (Hertz, Hz) f=1/! Pulsation (s -1 ) "=2#f
Exemples de fonctions t-périodiques :
Exemples de fréquences
Fonctions x-périodiques Longueur d onde $ (m) F(x)=F(x+$) Nombre d onde (m -1 ) k = 2#/$
Exemples de périodicité spatiale
Exemples de longueurs d onde
Rappels mathématiques cosinus sinus
3. L oscillateur harmonique
Exemple 1 : une masse et un ressort Loi de Newton :
Exemple 2 : un pendule
Equation de l oscillateur harmonique Masse-ressort pendule Équation linéaire en x Equation non linéaire en %!
Linéariser une équation Développement en série de Taylor d une fonction f au voisinage D un point x 0 : Application à la fonction sinus : Terme linéaire Termes non linéaires
Equation de l oscillateur harmonique Masse-ressort pendule Équation linéaire en x Equation linéaire en %
Solution de l oscillateur harmonique Équation différentielle du 2nd ordre en temps Calcul au tableau
Solution de l oscillateur harmonique Solution générale : Avec les conditions initiales :
Portrait de phase
Effet de la linéarisation Pendule noir : solution de l éq. linéarisée Pendule rouge : solution de l éq. non linéaire
Énergie de l oscillateur Petit calcul au tableau
Énergie de l oscillateur énergie cinétique énergie potentielle
Amortissement Un système sans amortissement n est pas réaliste Choix d un amortissement linéaire (de type visqueux) : terme d amortissement
Solution de l équation amortie Calcul au tableau
Solution de l équation amortie Équation caractéristique :!! Le nombre & peut être réel, nul ou imaginaire!!
Solution faiblement amortie
Dissipation d énergie
Illustration de l amortissement
Forçage de l oscillateur Forçage = apport d énergie Choix d un forçage périodique : Forçage
Oscillateur amorti et forçé Choix d une solution générale : Reste à déterminer l amplitude et le déphasage
Oscillateur amorti et forçé Solution générale :
Oscillateur amorti et forçé
Portrait de phase
Facteur de qualité Définition : Signification : Q/# est le nombre d oscillations pour que l amplitude soit divisée par e. Applications : Oscillateur à quartz : Q=10 6 Amortisseur de voiture : Q=1
Pont de Tacoma
Pont de Tacoma
Millenium bridge (Londres) 9 mai 2000, inauguration 10 Juin, oscillations anormales fermeture du pont 22 février 2002, réouverture au public Le coût des travaux d amortissement évalué à 5 millions de livres, est venu s'ajouter aux 18,2 millions de livres déjà déboursés pour le pont.