Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO Philippe Ciblat École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France
Plan 1 Canal de Rayleigh Modèle Diversité Système MIMO 2 Théorie de l information Canal déterministe (SISO et MIMO) Canal aléatoire (capacité ergodique, probabilité de coupure) Compromis «gain de multiplexage - gain de diversité» 3 Construction de codes Code d Alamouti Code V-BLAST Code d Or Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 2 / 34
Modèle de canal radio-mobile Débit < Bande de cohérence Temps symbole Temps de cohérence Canal de Rayleigh y(n) = h(n)x(n) + b(n) avec y(n) : signal reçu x(n) : signal émis h(n) : canal aléatoire de Rayleigh b(n) : bruit additif gaussien Modèle valide aussi pour l OFDM Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 3 / 34
Performances Probabilité d erreur P e = E[P e (h)] 1 E s /N 0 1 Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No BBGA BBGA asymptotique Rayleigh Rayleigh asymptotique 0.1 Taux Erreur Symbole 0.01 0.001 0.0001 1e-05 0 5 10 15 20 Eb/No (en db) Canal gaussien P e e Es/N 0 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 4 / 34
Notion de diversité Problème : lorsque l évanouissement h(n) est faible, la qualité de la transmission est catastrophique. Remarque Si le même signal est reçu par plusieurs canaux indépendants, alors la probabilité d erreur va diminuer. Le nombre de versions reçues sera appelé ordre de diversité ou diversité. 3 Canal 1 Canal 2 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 20 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 5 / 34
Performances (I) y l (n) = h l (n)x(n) + b l (n), l = 1,, L Récepteur optimal : détecteur à seuil sur la variable ( L L ) L z(n) = h l (n)y l (n) = h l (n) 2 x(n) + h l (n)b l (n) l=1 l=1 } {{ } G(n) G(n) suit une loi du χ 2 à 2L degrés de liberté. l=1 0.5 L=1 L=5 L=10 L=20 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 80 100 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 6 / 34
Performances (II) Probabilité d erreur à fort Rapport Signal-à-Bruit. P e 1 (E s /N 0 ) L L = ordre de diversité 10 0 Taux Erreur Symbole en fonction du Eb/No 10 1 10 2 Taux Erreur Symbole 10 3 10 4 BBGA BBGA asymp. 10 5 Rayleigh 1 Rayleigh 1 asymp Rayleigh 2 10 6 Rayleigh 2 asymp Rayleigh 4 Rayleigh 4 asymp 10 7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Eb/No (en db) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 7 / 34
Types de diversité Type 1 : ne nécessite pas de répétition de l information Diversité d espace en réception (longueur de cohérence : λ/2) Diversité de trajets Type 2 : nécessite la répétition (ou codage) Diversité de fréquence (bande de cohérence) Diversité de temps (temps de cohérence) Diversité d espace en émission Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 8 / 34
Exemples de diversité temporelle La répétition revient à utiliser un code à répétition de rendement 1/n. Cela induit une faible efficacité spectrale. Il convient d employer un code de rendement k/n et de distance minimale d min. On aura P e 1 (E s /N 0 ) d min Observons y(1) = h(1)x(1) + b(1) et y(2) = h(2)x(2) + b(2), avec x(1) et x(2) des données indépendantes appartenant à une MDP-2. On a y = Hx + b avec y = [y(1), y(2)] T, H = diag(h(1), h(2)). Système à diversité de 1. En lieu et place de x, transmettons Wx avec W une rotation. Système à diversité de 2 et pourtant code de rendement 1. Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 9 / 34
Système MIMO. TX RX TX TX H RX RX TX RX Mot de code X Mot de code Y (nt antennes) (nr antennes). Signal reçu Y nr T = H nr n t X nt T + B nr T avec H parfaitement connu au récepteur. le canal à évanouissement par bloc T la longueur temporelle du bloc (T > 1 nécessaire en MIMO!) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 10 / 34
Performances (I) Probabilité d erreur par paire A fort Rapport Signal-à-Bruit, le maximum de vraisemblance donne P(X X ) ( r k=1 ) nr ( ) rnr 1 λ k E s /N 0 avec λ k les v.a.p. et r le rang de la matrice (X X ).(X X ) H. Pseudo-distance : Gaussien : distance euclidienne Canal binaire symétrique : distance de Hamming Canal de Rayleigh : distance produit Diversité et gain de codage ( r ) nr d = rn r γ = λ k k=1 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 11 / 34
Performances (II) Construction de codes : La diversité à la réception est acquise (n r ) La diversité à l émission (n t ) est à récupérer Critère du rang Afin d atteindre la diversité maximale n t n r, la matrice (X X ).(X X ) H doit être de rang plein ( T > 1 si n t > 1). Critère du déterminant Afin de maximiser le gain de codage, le déterminant minimal de la matrice (X X ).(X X ) H doit être maximiser. Débit : Rendement du code : nombre de symboles émis par temps-symbole (max. n t ) Performances à débit fixé bien connues Quid du débit admissible? Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 12 / 34
Théorie de l information : canal déterministe Canaux discrets stationnaires sans mémoire Entropie : H(Z) = k Pr(Z = z k ) log 2 (Pr(Z = z k )) Information mutuelle : I(X; Y) = H(X) H(X Y) = H(Y) H(Y X) Exemple : Si Y = X, alors I(X, Y) = H(X) Si Y et X ind., alors I(X, Y) = 0 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 13 / 34
Capacité de canal Définition mathématique Soit C la capacité d un canal, alors C = max I(X, Y) p(x) Théorème de la capacité Il existe un codage de taux d information T et de longueur N tel que T < C pour lequel lim N P e = 0 La limite fondamentale est le débit et non la performance Théorème non constructif (a priori entrelacement long nécessaire) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 14 / 34
Exemple : canal BSC (I) Canal binaire symétrique. 0 1 p 0 p p 1 1 p 1. C = 1 H(p) Canal représentant une transmission binaire avec décision dure Si le canal physique est gaussien, alors ( ) ( ) 2E c 2E b C p = Q = Q 1 N 0 N 0 2 e E bc/n 0 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 15 / 34
Exemple : canal BSC (II) 1 1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 Capacite 0.5 Capacite 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p Eb/N0 (en db) Capacité nulle pour p = 1/2. Capacité nulle en dessous de E b /N 0 = 0, 4dB Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 16 / 34
Capacité du canal gaussien Canal gaussien à entrées et sorties continues : avec y = x + b la contrainte E[ x 2 ] P x b un bruit gaussien centré de variance 2N 0 (par dim. complexe). Information mutuelle L entropie de x et y est infinie. On définit de manière plus générale l information mutuelle ( ) p(x, Y) I(X; Y) = p(x, Y) log 2 dxdy p(x)p(y) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 17 / 34
Exemple Capacité ( C = log 2 1 + E ) s 2N 0 Comme E s /2 = T E b et T < C, E b /N 0 (2 T 1)/(T) T 0 ln(2) ( 1.6dB) 9 Capacite canal BBGA en fonction de Eb/N0 8 7 6 Capacite (bits/s/hz) 5 4 3 2 1 0-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Eb/N0 (en db) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 18 / 34
Canal MIMO Soit X et Y deux processus gaussiens Information mutuelle avec Cas particulier : Si alors I(X; Y) log 2 det ( Id + 1 ) HQH H 2N 0 Q = E[XX H ] Q = P X n t Id nt (E[Tr(XX H )] P X ) ( I(X; Y) log 2 det Id + P ) X HH H n t 2N 0 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 19 / 34
Théorie de l information : canal aléatoire Canal inconnu à l émetteur (car canal variant dans le temps) Capacité ergodique Si un mot de code visite toutes les réalisations du canal, alors [ C = E H log2 det ( Id + RSBHH H)] A fort Rapport Signal-à-Bruit, si H est i.i.d., alors C = min(n t, n r ) log 2 (RSB) + O(1) Remarques : Gain de multiplexage : min(n t, n r ) le canal doit être de rang plein (min(n t, n r )) le canal doit varier très rapidement le code ne doit pas avoir de contraintes de latence Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 20 / 34
Probabilité de coupure Canal supposé constant sur un bloc Equivalent à des contraintes de latence Modèle plus proche des systèmes pratiques Probabilité de coupure L information mutuelle I(H) = log 2 det ( Id + RSBHH H) est vue comme une variable aléatoire. Les blocs pour lesquels l information mutuelle I(H) est inférieure au rendement R du système sont dits en «coupure». P out. = Pr(I(H) < R) Remarque : la meilleure P e est «équivalente» à P out. Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 21 / 34
Remarque (I) Canal SISO Constellation MAQ à M états Probabilité d erreur P e = 1 2 1 1 2 1 + 4 M 1 3 RSB A fort Rapport Signal-à-Bruit, P e = M 1 3RSB Remarque : A débit fixé, la diversité vaut d = 1 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 22 / 34
Remarque (II) Remarque Lorsque le RSB augmente, la capacité de Shannon d une communication SISO se comporte en log 2 (RSB). Ainsi, on augmente la taille de la MAQ dans la même proportion, c est-à-dire, m = r log 2 (RSB) avec m = log 2 (M). A fort Rapport Signal-à-Bruit, P e Résultat : la diversité vaut d = 1 r 1 RSB 1 r Compromis entre la fiabilité (d) et le débit (r) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 23 / 34
Remarque (III). 1 0.1 MDP2 MAQ4 MAQ16 MAQ64 MAQ128 0.01 Pe 0.001 1e 04 r = 1 et d = 0 1e 05 r = 0 et d = 1 1e 06 0 10 20 30 40 50 RSB (db). Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 24 / 34
Compromis On définit une séquence de codes vérifiant Gain de multiplexage : r = lim RSB R(RSB) log 2 (RSB) Diversité : d = lim RSB log P e (RSB) log(rsb) Théorème On suppose T n t + n r 1. La courbe de compromis optimal d (r) est une fonction linéaire par morceaux avec les points de rupture d (k) pour k = 0, 1,, min(n t, n r ) et où d (k) = (n t k)(n r k) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 25 / 34
Illustrations Exemple : n t = n r = 4. dmax (1, 9) Gain de diversité d (r) 2, 4) (3, 1) rmax Gain de multiplexage r. d max = n t n r et r max = min(n t, n r ) Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 26 / 34
Construction des codes Constat Des codes admettant la même diversité maximale (débit fixe) ne gèrent pas nécessairement l augmentation en débit de la même manière et donc n admettent pas nécessairement le même gain de multiplexage Critères de rang et du déterminant : débit fixe «Critère» du compromis : débit variable Critères de rang et du déterminant pas suffisant Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 27 / 34
Code d Alamouti (I) Considérons n t = 2 Si T = 1, il n y a aucun gain de diversité d émission Alors T > 1 X = [ ] s1 s 2 s 2 s 1 avec s 1 et s 2 deux symboles complexes Décodage : exemple n r = 1 Si { r(1) = h(1)y(1) + h(2)y(2) r(2) = h(2)y(1) + h(1)y(2) Alors { r(1) = ( h(1) 2 + h(2) 2 )s 1 r(2) = ( h(1) 2 + h(2) 2 )s 2 Ce décodage est en fait optimal (car XX H Id). Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 28 / 34
Code d Alamouti (II) linéaire en fonction des symboles rendement de 1 symbole par temps-symbole d Alamouti (r) = 2n r (1 r) + Diversité maximale : 2n r Rendement maximal : 1 Code d Alamouti vérifie le compromis optimal ssi n r = 1 Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 29 / 34
Code V-BLAST n r n t. Principe de multiplexage spatial X = s 1 s nt+1 s 2nt+1. s nt s 2nt s 3nt linéaire en fonction des symboles rendement de n t symboles par temps-symbole (plein) d V BLAST (r) = (2 r) +, si (n t = n r = 2) Diversité d max maximale : n r Rendement r max maximal : n t ( n r ) Le code V-BLAST ne vérifie jamais le compromis optimal Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 30 / 34
Codes orthogonaux Codes tels que XX H Id Décodage ML possible par transformation linéaire Compromis «mauvais» (sauf Alamouti(1,2)) Résultats n t = 2 : n r = 1 : optimal n r > 1 : pas optimal n t > 2 : rendement de 1 maximum diversité maximale de n tn r Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 31 / 34
Code d Or Pour n t = n r = 2, on a avec X = 1 5 [ α(s1 + s 2 θ) α(s 3 + s 4 θ) iα(s 3 + s 4 θ) α(s 1 + s 2 θ) θ = (1 + 5)/2 et θ = (1 5)/2 α = 1 + i iθ et α = 1 + i iθ ] Extension possible pour n t = 3, 4 et 6 (codes parfait) Adaptable aux cas n r > n t Le code d Or atteint le compromis optimal Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 32 / 34
Performances : compromis Exemple : n t = 2, n r = 2. Gain de diversité d (r) 4 3 2 1 d max 1 2 Compromis optimal + code d Or Code d Alamouti r max Code V-BLAST Gain de multiplexage r Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 33 / 34.
Bibliographie Théorie de l information : L. Zheng, D. Tse, "Diversity ans Multiplexing : a fundamental trade-off in multiple antennas channels", IEEE Trans. on Information Theory, Mai 2003. E. Biglieri, J. Proakis, S. Shamai, "Fading channels : information-theoretic and communications aspects", IEEE Trans. on Information Theory, Oct. 1998. I. Telatar, "Capacity of multi-antenna Gaussian channels", ETT, Nov. 1999. Construction de code : V. Tarokh, N. Shesadri, A. Calderbank, "Space-time codes for high data rate wireless communication : performance criterion ans code construction", IEEE Trans. on Information Theory, Mars 1998. S. Alamouti, "Space-time block coding : a simple transmitter diversity technique for wireless communications, IEEE JSAC, Oct. 1998. G. Foschini, "Layered space-time architecture for wireless communication in a fading environment when using multiple antennas", Bell Labs Technical Journal, 1996. J.C Belfiore, G. Rekaya, E. Viterbo, "The Golden code : a 2 2 full rate space time code with non vanishing determinants", IEEE Trans. on Information Theory, Avril 2005. Philippe Ciblat Théorie de l information et codage pour les canaux de Rayleigh MIMO 34 / 34