1. LA DEMARCHE EN GEOMETRIE Nous devons nous inspirer de l histoire de la géométrie pour mettre en œuvre une démarche d enseignement de la géométrie à l école. Historiquement les hommes ont d abord du résoudre des problèmes concrets de partage de parcelles sur lesquelles ils ont tracé des polygones. Puis l Homme, à partir d observations a repéré des propriétés sur ces figures. Des observations réitérées ont permis de passer du particulier à l universel, de généraliser et de poser ainsi des bases permettant de déduire et de démontrer. La géométrie s est donc éloignée du monde sensible (espace que nous percevons) pour le structurer en monde géométrique, celui des figures abstraites (volumes, des surfaces, des lignes, des points, des figures planes) allant même jusqu à la création d objets géométriques parfaits (solides de Platon). Bien des difficultés des élèves viennent du fait qu ils n ont pas eu entre les mains des objets matériels suffisamment nombreux et variés pour leur permettre de se constituer un champ d expériences et à partir desquels ils puissent progressivement construire les concepts géométriques (objets géométriques représentés). La géométrie dans l espace doit être le point de départ des activités géométriques à l école élémentaire : la démarche va des figures géométriques tridimensionnelles au point et non du point aux figures. Les objets courants fournissent aux élèves des informations sans ambigüité par rapport aux propriétés géométriques que l on veut faire acquérir. La géométrie plane, pour laquelle il est nécessaire de considérer comme négligeable l une des dimensions des objets, suppose une capacité d abstraction qui ne peut être acquise que progressivement. La démarche à mettre en œuvre doit tenir compte de tous ces points. Pour cela, il faut : - Apprendre par la résolution de problèmes concrets. - Partir du concret (objet physique) l enfant doit pouvoir manipuler, utiliser un matériel varié. En géométrie l objet concret par excellence c est le solide! - Observer les objets et émettre des hypothèses (reconnaissance perceptive de propriétés : parallélisme, égalité, perpendicularité). - Introduire le vocabulaire nécessaire à la description en situation plutôt que de poser des définitions. 2. LA GEOMETRIE A L ECOLE Un rapport d un IGEN datant de 2005 présente la géométrie comme étant un domaine peu enseigné, contenant peu de séquences organisées et proposant peu de manipulations ou de réelles situations problèmes. Une analyse rapide des manuels montre qu il est rare que les programmations proposées partent des solides et que la part belle est faite aux figures planes. La géométrie à l école traite de 2 champs de connaissances : la structuration de l espace (connaissances spatiales propres à chaque élève) et l étude des objets géométriques qui permet de construire le raisonnement déductif. L étude des solides fait partie du second champ de connaissances mais peut nécessiter de faire appel à des connaissances spatiales. Les compétences concernant les solides au cycle 2 Pascal SIRIEIX CPC ETAMPES Page 1
A ces compétences peuvent s ajouter des compétences : - de structuration de l espace avec l orientation et le repérage (situer un objet par rapport à un autre dans un assemblage de solides par exemple) qui sont également traitées en découverte du monde (géographie) et en EPS. - de connaissance des propriétés et des relations (angle droit, parallélisme, égalité) que l on pourrait mettre en évidence en décrivant des solides. Quelques verbes sont fondamentaux pour mettre en place une géométrie active : 3. ACTIVITES AVEC DES SOLIDES Voici pour chaque compétence des programmes des activités possibles. Il n y a pas d ordre de progression! (Construire pour) Trier, classer des solides Il ne faut pas réduire le nombre de solides ni se limiter aux solides mentionnés dans les programmes. C est en comparant de nombreux solides qu on peut reconnaitre les particularités de chacun, qu on peut identifier parmi les solides les analogies et les différences. Il est donc important de se constituer un stock important de solides (construction en Polydrons, récupération de boites, utilisation de solides pédagogiques en bois) avec lesquels on peut : - Trier des solides selon leur ressemblance (famille) : les sphères (ou boules) - Classer des solides selon leur famille : les formes non sphériques - Classer ou trier des polyèdres on sera attentif à l expression «objet qui roule» qui pose problème (cf. le dé) - Classer des solides selon leur famille : polyèdres / non polyèdres - Trier pour ne garder qu un seul exemplaire de chaque identique (mêmes dimensions) ou semblable Ces activités permettront : - de dégager les critères géométriques pertinents et d écarter ceux qui ne le sont pas (couleur, matière, orientation) - de poser le vocabulaire des «familles» en situation : polyèdre, solide, cube, pyramide, pavé, prisme, sphère, cylindre, cône (même si bon nombre de ces termes ne sont pas exigibles dans les programmes). Pascal SIRIEIX CPC ETAMPES Page 2
Voici une classification simplifiée (mais suffisante à l école élémentaire) des solides : Cubes Pavés L enseignant doit savoir identifier des polyèdres simples ou composés, des solides tronqués, des solides droits et obliques (le terme de «solide droit» figure dans les programmes). Un solide qui a au moins une surface non plane n est pas un polyèdre. Un prisme droit est un polyèdre ayant deux bases polygonales parallèles et superposables, des faces latérales rectangulaires et perpendiculaires aux bases et des arêtes latérales parallèles entre elles et perpendiculaires aux bases. Un prisme avec des bases rectangle est un parallélépipède rectangle (ou pavé). Un prisme avec 6 faces carrées est un cube (prisme régulier). Une pyramide est un polyèdre ayant une base polygonale (de n côtés) et n faces latérales triangulaires reliées entre elles en un sommet commun (qui n appartient pas à la base). Reconnaitre (de manière perceptive) des solides usuels Les jeux de Kim (vue, toucher) sont intéressants pour poser du vocabulaire (cube, pavé ). On peut différencier en demandant de reconnaitre des solides : - de même nature représentés avec le même matériel (même couleur, même matière, même dimension). - de même nature représentés en modifiant une variable (couleur, orientation, dimension, matière). - de même nature représentés en modifiant plusieurs variables Associer l objet à sa représentation photo ou dessin exige une première étape d abstraction (qui peut encore être accentuée si la représentation n est pas identique mais seulement semblable à l objet). L enfant doit pouvoir percevoir qu il est impossible de représenter en 2D toutes les faces d un solide et que toute représentation d un solide ne peut être que partielle. Il est nécessaire de prévoir un apprentissage à la représentation en perspective cavalière que l on trouve dans de nombreux manuels. Historiquement la perspective cavalière n a été introduite qu à la Renaissance et donc c est quelque chose qui ne va pas de soi. Il ne s agit pas d exiger que les élèves soient capables de représenter en perspective cavalière (généralement l enfant n y arrive que vers 12 ans) mais simplement qu ils soient capables de reconnaitre le solide représenté par ce type de représentation. Pour cela, on prendra le temps de faire tracer sur du calque les arêtes (côtés des polygones) visibles sur une photo. Puis on demandera aux élèves d associer ce «dessin» à un solide. On peut aussi demander à un élève d associer tout ce qui concerne un solide (étiquette nom, solide construit, photo, empreinte, dessin, représentation en perspective cavalière, description écrite). Pascal SIRIEIX CPC ETAMPES Page 3
Nommer des solides usuels : cube, pavé Durant les activités suivantes, on s attachera à faire nommer les solides rencontrés ainsi que les polygones constituants leurs faces. - Associer un solide à l une de ses faces : les encastrements, les passe-formes Il s agit pour l élève d identifier la pièce et son orientation permettant de faire coïncider la base du solide avec le trou. Attention, utilisé souvent, l élève mémorise les solutions et le jeu perd son intérêt. Dans un premier temps, on peut commencer avec des solides réguliers 1 seul passe-forme car toutes les faces sont identiques. Avec des solides non réguliers, on peut rechercher tous les trous par lesquels on peut faire passer un solide ou demander de trier tous les solides qui peuvent passer par un orifice (donc qui ont une face identique) Il est intéressant que les élèves se rendent compte que lorsqu il y a une face carrée, ce n est pas forcément un cube. - Associer un solide à la représentation de l une de ses faces : les empreintes Dans un premier temps on peut demander aux élèves de tracer toutes les empreintes d un solide (attention : à la difficulté de tracer toutes les empreintes des non polyèdres) ou de tracer toutes les empreintes différentes d un solide. On pourra ensuite demander d apparier un solide à toutes les empreintes de ses faces. - Les jeux de Kim sont également d excellents supports pour nommer des solides. - Rédiger un bon de commande pour reproduire un solide Reproduire un polyèdre nécessite d observer son polyèdre et d identifier chacune des faces qui le composent. Les élèves doivent remplir un bon de commande (anticipation) permettant de récupérer les pièces nécessaires (les nommer). Cette activité nécessite de maitriser le vocabulaire des polygones constitutifs des faces du solide : carré, rectangle, triangle. Si ce n est pas le cas, il reste toujours la possibilité de faire dessiner le polygone dans le tableau. Décrire des solides usuels Le passage par le langage est une étape essentielle dans l acquisition des concepts et permet l abstraction. On peut : - Décrire oralement pour faire reconnaitre un solide (variante du jeu de Kim). - Décrire (coder) pour faire reconnaitre un solide - Faire associer un solide à sa description écrite - Jouer au jeu du détective poser des questions auxquelles on ne peut répondre que par «oui» ou par «non» pour identifier le solide choisi. - Décrire par écrit pour faire reconnaitre un solide (jeu du portrait) - Jouer au jeu de l intrus justifier par une description orale en quoi un solide est l intrus dans un groupe de solide Percevoir des relations et des propriétés Les solides sont d excellents supports pour faire percevoir les relations et les propriétés (parallélisme, égalité de longueur et perpendicularité) car ces propriétés sont «lisibles» sur certains solides. - La reproduction d un cube en pâte à modeler sera source de difficultés. Les élèves percevront bien que cela ne ressemble pas tout à fait au modèle et ce sera l occasion de faire verbaliser ce qui diffère devant l insatisfaction du résultat, on précisera les caractéristiques du cube : faces planes, angles droits, parallélisme des arêtes, égalité des longueurs des côtés - La reproduction d un faux cube (7,5 X 8 X 8,5 cm) sur du papier bristol quadrillé et les difficultés rencontrées pour assembler des «côtés» de longueurs différentes (exprimées en nombre de carreaux) doit déboucher sur la mise en évidence de l égalité des longueurs des «côtés». Pascal SIRIEIX CPC ETAMPES Page 4
Situer un objet par rapport à un autre objet De nombreuses activités (reproduire, reconnaitre, décrire) avec des assemblages de cubes ou de solides peuvent servir de support pour travailler le langage spatial et aider les élèves à apprendre à situer un objet par rapport à un autre. La possibilité de valider les hypothèses par la présence d objets physiques autour desquels on peut tourner (micro espace) est indispensable pour construire la notion de point de vue et donc de représentation. - On peut demander à un élève de construire un assemblage qu un autre élève devra reproduire. On peut demander de reproduire un assemblage à partir d une photo ou d une description orale Le nombre d éléments de cet assemblage, le nombre d éléments différents (famille, taille, couleur ) de cet assemblage constituent des éléments de différenciation. L introduction de points de vue complémentaires (permettant de voir les éléments cachés) constitue également une complexification. - Un travail sur les points de vue est également très intéressant. On peut demander de reconnaitre des assemblages identiques parmi plusieurs représentations. On peut demander d associer une photo (ou plusieurs) à son point de vue d un assemblage de solides. 4. PROGRAMMATION Proposition d une programmation de cycle Classer Décrire Reconnaitre Nommer Percevoir des relations et propriétés GS CP CE1 Trier les solides selon leurs ressemblances (ceux qu on ne peut pas faire tenir sur une table = sphères). Classer des solides selon leur famille (formes non sphériques). Décrire oralement un solide (Jeu de la boite mystère). Kim vue. Kim toucher. Associer un objet à sa photo (objet et photo identiques). Associer un objet à sa représentation (dessin). Associer un solide à l une de ses faces (encastrements, passe-formes). Tracer toutes les faces d un polyèdre (empreintes). Associer un solide à la représentation de l une de ses faces ou à toutes ses empreintes. Trier tous les solides qui ont une face identique. Construire des objets fermés. Puis les classer (mettre ensemble tous les polyèdres qui ont quelque chose de pareil). Décrire (coder) pour faire reconnaitre un solide. Associer une description écrite à un solide. Associer un objet à sa photo (objet et photo semblables). Représenter un objet (cube). Associer un objet à sa représentation en perspective cavalière. Reproduire un polyèdre à partir d un polyèdre en polydron bon de commande. Kim vue : nommer l objet qui a disparu. Construire un cube en pate à modeler. Classer des solides : polyèdres / non polyèdres. Classer des polyèdres par famille (cube, prisme, pavé, pyramide). Trier les polyèdres pour ne garder qu un exemplaire de chaque (identique /semblable). Décrire oralement pour retrouver un solide (jeu du détective). Ecrire la description d un solide (jeu du portrait). Reconnaitre un solide quelle que soit sa représentation (photos de différents points de vue, dessin, perspective cavalière ). Reproduire un polyèdre à partir d une représentation (ou de points de vue complémentaires) bon de commande. Trouver l intrus et dire pourquoi. Reproduire un «cube» en bristol. Pascal SIRIEIX CPC ETAMPES Page 5
Proposition d une séquence au CP Etapes Compétences visées Activités 1 Construire des polyèdres Construire des objets fermés (vous devez pouvoir y cacher une bille à l intérieur) à l aide de polydrons. 2 Trier, classer des polyèdres Classer les polyèdres (mettre ensemble tous les polyèdres qui ont quelque chose de pareil). 3 Reconnaitre des polyèdres Associer des polyèdres à leur photo et écrire leurs noms. 4 Reproduire des polyèdres Rédiger un bon de commande pour reproduire un polyèdre à partir d un polyèdre en polydron. 5 Représenter des polyèdres Représenter un cube à partir d un cube en polydron. Associer un polyèdre à sa représentation en perspective. 6 Décrire un polyèdre Décrire (coder) pour faire reconnaitre un polyèdre. Associer une description écrite à un polyèdre. 7 Synthèse 8 Evaluation 5. RESSOURCES - «Situations-jeux pour des apprentissages mathématiques en maternelle GS» - Eric Greff et Josiane Hélayel Retz 2009 quelques activités à mettre en œuvre (fiches et documents sur CD). - «Aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1-1» - Catherine Berdonneau Hachette éducation 2006 pour chaque difficulté listée, des propositions d activités de remédiation (essentiellement la mise en place du vocabulaire : face, arête, sommet). - «Apprentissages géométriques aux cycles 2 et 3» - Jean-François Grelier CRDP Midi Pyrénées 2004 des séquences avec du matériel et une proposition de programmation en géométrie sur l ensemble de la scolarité. - «Questions sur la géométrie et son enseignement» - François Boule Nathan pédagogie 2001 des apports théoriques très intéressants. - «Enseigner la géométrie cycle des apprentissages fondamentaux» - Josiane Hélayel et Anne Bertotto Bordas 1996 des séquences et des séances (très détaillées) avec du matériel. Attention les séquences sont axées autour du matériel et non des compétences. Une répartition des séances par niveau est donnée. - «De la construction mathématique à sa représentation - GS» - Liliane Baron Magnard - 1995 des séquences détaillées liant d autres champs disciplinaires (comptine, lecture ). -«La géométrie au cycle 2» - Anne-Marie Rinaldi Hachette - 1995 Le 4 pages départemental «Espace et géométrie» d octobre 2008 Le document d accompagnement des programmes de 2002 «espace et géométrie au cycle 2» - MEN Pascal SIRIEIX CPC ETAMPES Page 6