SYSTEMES DE NUMERATION

FICHE DU MODULE 1 SYSTEMES DE NUMERATION OBJECTIF GENERAL: La compétence visée par ce module est d amener l apprenant à se familiariser avec les systèmes de numération et les codes utilisés par les appareils et équipements numériques et informatiques pour traiter les informations. OBJECTIFS INTERMEDIAIRES : A la fin de ce module, le stagiaire doit être en mesure de : Définir la base d un système de numération, Définir le rang, le poids d un chiffre, Représenter un nombre de base b quelconque sous forme polynomiale, Convertir un nombre décimal en un nombre de base b quelconque, Convertir un nombre binaire en un nombre octal ou hexadécimal et vice versa, Effectuer les quatre opérations arithmétiques (+,-,x, :) dans le système binaire naturel. Complémenter à 1 et à 2 un nombre binaire et appliquer cette représentation à la soustraction, Ecrire un nombre binaire sous forme normalisée, Connaître le principe de l addition et de la soustraction réalisées par un calculateur, Coder un nombre décimal en Gray, en BCD et vice versa RESSOURCES et MOYENS DIDACTIQUES UTILISES : Tableau, Data show. Support de cours: polycopié CRITERES DE PERFORMANCE: Lire, écrire, interpréter, manipuler les nombres sous différentes bases, Lire, écrire, interpréter un nombre codé en Gray, en BCD ou en ASCII. DUREE ESTIMATIVE: 32 heures. Cette durée peut être régulée en fonction de la vitesse d assimilation des stagiaires. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 1 - Février 2006

CONTENU DU PROGRAMMES 1- BASE D UN SYSTEME DE NUMERATION 1-1 définitions 1-2 forme polynomiale 1-3 valeur décimale d un nombre n de base b quelconque 2- CHANGEMENT DE BASES (CONVERSIONS) 2-1 conversion d un nombre entier décimal en un nombre de base b quelconque 2-2 conversion d un nombre fractionnaire n un nombre de base b quelconque 2-2-1 Forme polynomiale d un nombre fractionnaire 2-2-2 Conversion d un nombre fractionnaire de base b en décimal 2-2-3 Conversion d un nombre décimal fractionnaire en un nombre de base b 3- NUMERATION OCTALE 3-1 représentation octale 3-2 conversion binaire-octale 3-2-1 Code binaire naturel 3-2-2 Conversion binaire-octal et octal-binaire 4- NUMERATION XEXADECIMALE 4-1 représentation hexadécimale 4-2 Conversion binaire-hexadécimal et hexadécimal-binaire 5- OPERATIONS ARITHMETIQUES EN BINAIRE 5-1 rappel du principe de l addition et de la soustraction en décimal 5-2 addition en binaire 5-3 soustraction en binaire 6- COMPLEMENTATION 6-1 Complément à 1 6-2 Complément à 2 6-3 Soustraction par complément à 1 6-4 Soustraction par complément à 2 7- NOMBRE POSITIFS ET NEGATIFS BINAIRE NORMALISES A HUIT CARACTERES 7-2 Calcul automatique 7-1 : Représentation 8- CODES 8-1 : Code Gray ou binaire réfléchi 8-2 : Code BCD (Binary Coded Décimal) ou (DCB) Décimal codé en binaire 8-2-1 : Représentation 8-2-2 : Opérations dans le code BCD Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 2 - Février 2006

1- BASE D UN SYSTEME DE NUMERATION : 1-1 DEFINITIONS: Définition 1 :La base d un système de numération est le nombre de chiffres qu utilise ce système. Dans un système décimal, on utilise un maximum de dix symboles pour représenter un nombre quelconque N, soit: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Dans un système binaire, on utilise un maximum de deux symboles pour représenter un nombre quelconque N, soit:0,1. Dans un système octal, on utilise un maximum de huit symboles pour représenter un nombre quelconque N, soit :0,1,2,3,4,5,6,7. Dans un système hexadécimal, on utilise un maximum de seize symboles pour représenter un nombre quelconque N, soit :0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Définition 2 : Dans tous les systèmes de numération, le chiffre de poids le plus fort (Most Significant Bit en binaire : MSB) d un nombre est dans la colonne extrême gauche, le chiffre de poids le plus faible (Least Significant Bit en binaire : LSB est dans la colonne extrême droite. Le rang d un chiffre d un nombre est égale au numéro de sa colonne, la première colonne (numèro0) étant celle du poids le plus faible. 256987 : poids le plus fort 2 ; poids le plus faible 7 rang du chiffre 7 :0 rang du chiffre 8 : 1 rang du chiffre 9 : 2 rang du chiffre 6 : 3 rang du chiffre 5 : 4 rang du chiffre 2 : 5 1-2 FORME POLYNOMIALE : Tout nombre N peut être décomposé en fonction de puissances entières de la base. n N = a i x b i où a i 0,1.b-1 i=0 i rang du chiffre a i n exposant du chiffre de poids fort. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 3 - Février 2006

Exemples : Dans le système décimal : a i 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Soit : (54219) 10 = 9x10 0 +1x10 1 +2x10 2 +4x10 3 +5x10 4 Dans le système à base 4 : a i 0,1,2,3 Soit : (30212) 4 = 2x4 0 +1x4 1 +2x4 2 +0x4 3 +3x4 4 Dans le système binaire (à base 2) : a i 0,1 Soit : (1011) 2 = 1x2 0 +1x2 1 +0x2 2 +1x2 3 1-3 VALEUR DECIMALE D UN NOMBRE N DE BASE b QUELCONQUE: La valeur en décimal d un nombre n de base b quelconque s obtient en effectuant les opérations de l expression de sa forme polynomiale. Exemples : Soit à déterminer la valeur décimale des nombres de l exemple précédent : (30212) 4 = 2x4 0 +1x4 1 +2x4 2 +0x4 3 +3x4 4 = (806) 10 (1011) 2 = 1x2 0 +1x2 1 +0x2 2 +1x2 3 = (11) 10 Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 4 - Février 2006

2- CHANGEMENT DE BASES (CONVERSIONS): 2-1 CONVERSION D UN NOMBRE ENTIER DECIMAL EN UN NOMBRE DE BASE b QUELCONQUE : Algorithme : L opération consiste à procéder à des divisions successives du nombre à convertir puis des quotients par la base du nouveau système tout en conservant les reste de ces divisions. On écrit ensuite tous les restes à partir de la fin de gauche à droite, en les convertissant en lettres s il y a lieu. Exemples : Convertir le nombre N=(231) 10 en binaire. 231 :2= 115 reste 1 115 :2= 57 reste 1 57 :2= 28 reste 1 28 :2= 14 reste 0 N= (11100111) 2 14 :2= 7 reste 0 7 :2= 3 reste 1 3 :2=1 reste 1 1 :2=0 reste 1 Convertir le nombre N=(189520) 10 en hexadécimal. 189520:16=11845 reste 0 11845 :16= 740 reste 5 740 :16= 46 reste 4 N=(2E450) 16 46 :16= 2 reste 14 2 :16= 0 reste 2 2-2 CONVERSION D UN NOMBRE FRACTIONNAIRE N UN NOMBRE DE BASE b QUELCONQUE : Exemples : 2-2-1 Forme polynomiale d un nombre fractionnaire: n N = a i x b -i où a i 0,1.b-1 i=0 i rang (décimal) du chiffre a i n exposant du chiffre décimal le plus à droite. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 5 - Février 2006

Soit à déterminer la valeur décimale des nombres : (0,30212) 4 = 3x4-1 +0x4-2 +2x4-3 +1x4-4 +2x4-5 (1011) 2 = 1x2-1 +0x2-2 +1x2-3 +1x2-4 2-2-2 Conversion d un nombre fractionnaire de base b en décimal : (0,1011) 2 = 1x2-1 +0x2-2 +1x2-3 +1x2-4 = 1x0,5+1x0,125+1x0,0625 = (0,6875) 10 (0,163) 8 =1x8-1 +6x8-2 +3x6-3 = (0,224609375) 10 2-2-3 Conversion d un nbre décimal fractionnaire en un nombre de base b: Algorithme : L opération consiste à procéder à des multiplications successives du nombre à convertir puis des différents résultats par la base du nouveau système tout en conservant les nombres entiers de ces multiplications. Exemples : Soit à convertir en binaire le nombre (0,72145) 10 0,72145 x2 = 1, 44290 0,44290x2 = 0, 88580 0,88580x2 = 1, 77160 N=(0,101110) 2 0,77160x2 = 1, 54320 0,54320x2 = 1, 08640 0,08640x2= 0, 17280 Soit à convertir en octal le nombre (0,732) 10 0,732x8 = 5, 856 0,856x8 = 6, 848 0,848x8 = 6, 784 N=(0,56662) 2 0,784x8 = 6, 272 0,272x8 = 2, 176 Remarque : En augmentant le nombre de multiplications, on améliore l approximation. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 6 - Février 2006

3- NUMERATION OCTALE: 3-1 REPRESENTATION OCTALE : La base du système de numération octale comprend huit(8) chiffres: 0,1,2,3,4,5,6,7. 3-2 CONVERSION BINAIRE-OCTALE : 3-2-1 Code binaire naturel : quatre bits permettent d avoir 16 combinaisons (2 4 ), donc d écrire 15 entiers de 0 à 15 : 0 1 2 3 4 5 6 7 0000 0001-0010-0011-0100-0101-0110-0111-8 9 10 11 12 13 14 15 1000-1001-1010-1011-1100-1101-1110-1111 ce code est appelé code binaire naturel ou code 8421. Chacun de ces chiffres représente le poids d un bit. Ce code est très souvent utilisé en techniques numériques. 3-2-2 Conversion binaire-octal et octal-binaire : Règle : A partir de la virgule, grouper les bits par groupes de trois en allant vers la gauche pour la partie entière et vers la droite pour la partie fractionnaire. Convertir ensuite chaque bloc séparément en octal selon le code binaire naturel. Exemples : Soit à convertir en octal le nombre binaire N=(001110011101,01110001) 2 N=(001 110 011 101,011 100 001) 2 N=( 1 6 3 5, 6 4 1 ) 8 On lit : un six trois cinq, six quatre un Soit à convertir en binaire le nombre en octal N=(7510) 8 N=(7510,246) 8 N=(111 101 001 000, 010 100 110) 2 Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 7 - Février 2006

4- NUMERATION XEXADECIMALE: 4-1 REPRESENTATION HEXADECIMALE : La base du système de numération hexadécimale comprend 9 chiffres et 6 lettres alphabétiques: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. 0 1 2 3 4 5 6 7 0000 0001-0010-0011-0100-0101-0110-0111-8 9 A B C D E F 1000-1001-1010-1011-1100-1101-1110-1111 4-2 Conversion binaire-hexadécimal et hexadécimal-binaire : Règle : A partir de la virgule, grouper les bits par groupes de quatre en allant vers la gauche pour la partie entière et vers la droite pour la partie fractionnaire. Convertir ensuite chaque bloc séparément en hexadécimal. Exemples : Soit à convertir en hexadécimal le nombre binaire N=(1110011101,01110001) 2 N=(0011 1001 1101,0111 0001) 2 N=( 3 9 D, 7 1 ) 16 On lit : un trois neuf D, sept, un Soit à convertir en binaire le nombre en hexadécimal N=(7A1F,B46) 16 N=(7A1F,B46) 16 N=(0111 1010 0001 1111, 1011 0100 0110) 2 Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 8 - Février 2006

5- OPERATIONS ARITHMETIQUES EN BINAIRE: 5-1 Rappel du principe de l addition et de la soustraction en décimal : Il faut effectuer un report dès que la somme dépasse le chiffre 9, chiffre le plus élevé dans la base 10. Exemple 1-addition: 1 1 Report 2 5 6 3 Cumulande + 7 6 4 Cumulateur = 3 3 2 7 Somme Exemple 2-soustraction : 5 15 4 13 Retenue 6 5 5 3 5 Diminuende - 1 6 3 8 3 Diminuteur = 4 9 1 5 2 différence 4 9 9 14 1 11 5 0 0 4 2 1-4 9 2 5 1 3 = 0 0 7 9 0 8 Règle 1 : Une retenue augmente le diminuende trop petit de la base du système et diminue de 1 le diminuende immédiatement à gauche du diminuende trop petit. Règle 2 : Lorsque le chiffre dans lequel on doit effectuer la retenue est 0, parcourir le diminuende vers la gauche et retenir 1 dans le premier chiffre rencontré différent de 0; puis remplacer tous les zéros parcourus par le plus grand chiffre du système de numération. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 9 - Février 2006

5-2 Addition en binaire : Règles de l addition : 0 + 0 = 0 1 + 1 = 0 report 1 1 + 0 = 1 1 + 1 + 1 = 1 report 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 = 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 5-3 Soustraction en binaire : Règles de la soustraction : 0-0 = 0 1-1 = 0 1-0 = 1 0-1 = 1 retenue 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1-1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 = 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 Règle: Si le bit dans lequel il faut effectuer une retenue est égal à 0, effectuer cette retenue dans le premier bit égal à1 rencontré en parcourant le diminuende vers la gauche. Remplacer ce bit par 0 et les 0 intermédiaires par des 1. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 10 - Février 2006

6- COMPLEMENTATION: 6-1 Complément à 1 : En décimal : En décimal, on forme le complément à 9 d un nombre en soustrayant de 9 chaque chiffre de ce nombre. La somme d un nombre décimal et de son complément à 9 est toujours égale à 999.9 (même nombre de chiffres 9 que le nombre complémenté). Le complément à 9 du nombre 58472 est 41527. La somme de ces deux nombres est égale à 99999. En binaire : En binaire, on forme le complément à 1 d un nombre en soustrayant de 1 chaque bit de ce nombre. La somme d un nombre binaire et de son complément à 1 est un nombre binaire uniquement composé de 1. (même nombre de bits 1 que le nombre complémenté). Remarque : Pour obtenir le complément à 1 d un nombre binaire, il suffit de complémenter chaque bit : 1 devient 0 et 0 devient 1. Le complément à 1 du nombre 011011101 est 100100010. La somme de ces deux nombres est égale à 111111111. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 11 - Février 2006

6-2 Complément à 2 : En décimal : En décimal, on forme le complément à 10 ou complément Vrai d un nombre en soustrayant de 10 le chiffre de rang 0 et de 9 les autres. Remarque : La somme d un nombre décimal et de son complément à 10 est égale à la puissance de 10 immédiatement supérieure. Le complément à 10 du nombre 58472 est 41528. La somme de ces deux nombres est égale à 1000000. En binaire : En binaire, on forme le complément à 2 d un nombre en le soustrayant de la puissance de 2 immédiatement supérieure. La somme d un nombre binaire et de son complément à 2 est le nombre binaire égale à la puissance de 2 immédiatement supérieure. Remarques : Pour obtenir le complément à 2 d un nombre binaire, il suffit d ajouter 1 à son complément à 1. Une autre méthode consiste à conserver tous les bits à partir de la droite jusqu au premier 1 compris et de changer les autres bits de 0 en 1 ou de 1 en 0. Le complément à 2 du nombre 011011101 est : 100100010 + 1 100100011 6-3 Soustraction par complément à 1 : la propriété du complément des nombres ci-dessous permet de justifier un autre algorithme pour la soustraction : Algorithme - Etape 1 - Additionner le diminuende à son complément à 9 (pour un nombre décimal) ou son complément à 1(pour un nombre en binaire) ; - Etape 2- Eliminer le 1 situé le plus à gauche du résultat obtenu ; - Etape 3 - Ajouter 1 à ce nouveau résultat. La différence cherchée est ainsi obtenue. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 12 - Février 2006

Exemple 1: Nombre décimal 5 15 4 13 Retenue 6 5 5 3 5 Diminuende 6 5 5 3 5 Diminuende - 1 6 3 8 3 Diminuteur + 8 3 6 1 6 complément à 9 du diminuteur = 4 9 1 5 2 différence 1 4 9 1 5 1 Même différence +1 En ajoutant le dernier 1 = 4 9 1 5 2 différence Exemple 1: Nombre binaire 0 1 0 1 1 1 1 1 Report 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 Diminuende - 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 + 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 complément à 1 du diminuteur = 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 = 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 + 1 En ajoutant le dernier 1 = 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 différence Même différence 6-4 Soustraction par complément à 2 : la propriété du complément des nombres ci-dessous permet de justifier un autre algorithme pour la soustraction : Algorithme - Etape 1 - Additionner le diminuende à son complément à 2 - Etape 2- Eliminer le 1 situé le plus à droite du résultat obtenu (débordement). La différence cherchée est ainsi obtenue. Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 13 - Février 2006

0 1 0 1 1 1 1 1 Report 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 Diminuende - 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 + 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 complément à 1 du diminuteur = 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 = 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 différence débordement à éliminer Même différence Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 14 - Février 2006

7- NOMBRE POSITIFS ET NEGATIFS BINAIRE NORMALISES A HUIT CARACTERES: (32) 10 (-32) 10 (27) 10 (-27) 10 0 7-1 : Représentation : Pour simplifier la compréhension, on ne considérera que les nombre binaires entiers et nous choisissons un mot de huit bits donc huit cases, la première étant réservée au signe. Soit à représenter sous forme binaire normalisée à huit caractères les nombres décimaux. + 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0-0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 + 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1-0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 La case de gauche est réservée au signe ; le facteur d alignement est donc égal à 7 ( les 7 cases restantes). La représentation retenue est de représenter le signe + par 0 et le signe par 1 appelés bit de signes. Les nombre négatifs sont représentés par leur forme complément à 2. 7-2 Calcul automatique: Un calculateur additionne et soustrait automatiquement grâce un seul circuit dit additionneur. On obtiendra le résultat avec son signe. 6 1 0 0111101 + 2 7 + 0 0011011 = 88 = 01011000 (88) 10 6 1 0 0111101-2 7 + 1 1100101 signe et complément à 2 de 00011011 (27) 10 = + 34 = 1 0 0100010 (34) 10 débordement à éliminer 27 0 0011011-61 + 1 1000011 = 88 = 1 1011110 Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 15 - Février 2006

8- CODES: 8-1 : Code Gray ou binaire réfléchi : Ce code est utilisé essentiellement dans la conversion d une grandeur analogique en une grandeur numérique ; car dans ces conversions on a besoin d un code dans lequel les grandeurs successives ne diffèrent que d un seul caractère. Par exemple pour passer de 7 à 8 décimal, soit de 0111 à 1000 binaire naturel les quatre bits changent. Equivalence n code Gray des entiers 0 à 15 : Décimal Binaire Gray naturel 0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0011 3 0011 0010 4 0100 0110 5 0101 0111 6 0110 0101 7 0111 0100 8 1000 1100 9 1001 1101 10 1010 1111 11 1011 1110 12 1100 1010 13 1101 1011 14 1110 1001 15 1111 1000 Pour convertir un nombre du binaire naturel au binaire réfléchi, il suffit de changer le bit qui précède directement un bit 1. (10) 10 (1 0 1 0) 2 (10)10 1 1 1 1) 2 bits à changer (précèdent un 1) Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 16 - Février 2006

8-2 : Code BCD (Binary Coded Décimal) ou (DCB) Décimal codé en binaire : 8-2-1 : Représentation : Ce code est utilisé par les calculateurs. On fait correspondre à chaque caractère (chiffre) du système Décimal un mot du code binaire de quatre bits. DECIMAL BINAIRE BCD 258 1111 1111 0010 0101 1000 32 10 0000 0011 0010 69 100 0101 0110 1001 4096 100 0000 0000 0100 0000 1010 0110 8-2-2 : Opérations dans le code BCD : 6 5 5 3 7 0110 0101 0101 0011 0111 + 1 6 3 8 3 + 0001 0110 0011 1000 0011 = 8 1 9 2 0 = 0111 1011 1000 1011 1010 non connus + 0110 0110 0110 Rajout de (6) 10 = 1000 0001 1001 0010 0000 8 1 9 2 0 Algorithme : Pour additionner deux nombres décimaux codés en binaire, il suffit de 1- procéder à l addition en binaire naturel ; 2- ajouter le nombre (6) 10 c est à dire (0110) 2, à tout quartet ne correspondant pas à une valeur connue par le code BCD (les nombres dépassant (9) 10 ou (1001) 2 ). Préparé par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 17 - Février 2006