Les systèmes de Numération 1 - Les systèmes de Numération 1) Calculer l équivalent décimal des nombres 54 8, 587 8, 110 3, 1101 2, AB9 16 2) Calculer l équivalent binaire et octal des nombres décimaux 30 et 196 3) Convertir en base 10 les nombres suivants : a) 10011,011101 2 b) 1101,101 8 c) 110,11 16 d) 1AC4 16 4) Trouver directement les équivalents en octal puis en hexadécimal des nombres a) 00110010,01 2 b) 100101,011101 2 5) Calculer l équivalent binaire du nombre décimal 43,125 10 puis en déduire simplement son équivalent octal. 6) Soit le nombre décimal 1986,19 10. Trouvez, à 10-2 près, ses expressions en binaire, octal, hexadécimal et DCBN 7) Convertir dans le système binaire le nombre 345,11 8 8) Convertir en base 2 les nombres hexadécimaux suivants : a) 91,DE 16 b) 9,3B 16 c) C1A,57 16 d) 1AC4 16 9) Quelle est la capacité décimale correspondant à a) un nombre hexadécimal de 6 chiffres b) un nombre binaire de 10 bits 10) Calculer, en base 2, la somme, la différence, le produit et le quotient des nombres 11110011 2 et 00001010 2 11) Effectuer, en base 2, la soustraction suivante : 101101,101 2 10110,01 2 Donner le résultat en base 8 sans recourir à l écriture décimale 12) Effectuer, dans le système hexadécimal, l addition 4B9 16 + 16 13) Opérant en «complément à deux», on dispose de mots-machine d un octet : Ecrire les nombre entiers signés suivants : 123, 73, -73 Effectuer en explicitant l addition algébrique : (+123) + (-73) 14) Trouver les équivalents binaires de A=51,75 10, B=2,25 10 et C=0,375 10 Rappel : 2-1 =0,5 ; 2-2 =0,25 ; 2-3 =0,125 ; 2-4 =0,0625 Calculer le produit de B et la division de A par la soustraction de B par C 15) On dispose d une représentation normalisée en virgule flottante (Norme IEEE 754, voir cours) Ecrire les nombres A, - C et C de l exercice 14 dans cette représentation normalisée Calculer dans cette représentation la soustraction de B par arithmétiquement et par complément à 2 Calculer dans cette représentation la soustraction de C par B et vérifier que l on obtient bien l opposé de B-C effectué précédemment. - 1 -
onctions et Circuits Logiques 2 - onctions et Circuits Logiques 1) Démontrer, en utilisant les axiomes de l algèbre de Boole, les théorèmes suivants : Idempotence X. X = X, X + X = X, 1+ X = 1 Absorption 0. X = 0, X + XY = X, X + XY = X + Y Consensus XY + XV + YV = XY + XV ( X + Y )( X + Y ) = X ( X + Y )( X + V )( Y + V ) = ( X + Y )( X + V ) Théorèmes de Morgan X + Y = X. Y et X. Y = X + Y 2) Calculer une expression simplifiée de = XZ + YZ + XV + YV 3) Soit la fonction = CD + ABC + BD, trouver, algébriquement, une forme simplifiée du type = XY + ZY. Expliciter X, Y et Z. 4) Ecrire les tables d implication (tables de vérité) des fonctions A. AB + B et B. Montrer qu elles permettent de comparer A et B. 5) Trouver, à l aide des théorèmes de Morgan, une expression simple pour = XY + X. Y Soit la fonction = XY + XY, trouver deux expressions équivalentes, l une se met sous la forme d un produit de produels et l autre est le produit d un produel par l inverse d un produit. Tracer les logigrammes des trois circuits correspondant. 6) Complémenter et simplifier la fonction = AB + CD + AB + CD 7) Exprimer sous forme de produels de produits de variables (complémentées ou non) les fonctions 1, 2, 3 exprimées sous forme de tables de vérités suivantes : X Y Z 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 Peut-on réaliser 3 à partir de 1 et 2? Justifier la réponse. = XY Z X Y 8) Simplifier les fonctions logiques 1 ( ( )) et 2 = XYZ( X Y ) 9) Montrer que A = B C est équivalent à B = A C et est équivalent à C = B A 10) Réaliser à l aide de diodes les circuits logiques ET et OU 11) Questions a) Qu est-ce qu un opérateur logique complet? b) L opérateur A+B est-il un opérateur logique complet? Justifier le résultat c) Les opérateurs NAND et NOR sont-ils des opérateurs logiques complets? Tracer, lorsque cela est possible, les logigrammes des circuits réalisés - 2 -
onctions et Circuits Logiques d) Même question pour l opérateur X + Y 12) Etablir la fonction logique S=(E 0,E 1,E 2,E 3,A,B) d un multiplexeur à 4 entrées d information E 0,E 1,E 2,E 3, à 2 entrées de commande A et B et à une sortie S. 13) Déduire, du schéma de la figure ci-dessous, l expression simplifiée de (X,Y). X Y 14) Soit le circuit arithmétique suivant. A L M Trouver l expression de la première forme canonique de la fonction =(A,L,M) Réaliser la table de vérité de en fonction de A, L et M. On considérera maintenant L et M comme des entrées de contrôle. Remplir la table de vérité ci-dessous en exprimant en fonction de 1, 0, A et / Que peut-on en déduire? L M - 3 -
3 - Diagrammes de Karnaugh TD Logique Combinatoire - CiP 1 Diagrammes de Karnaugh 1) Etablir les diagrammes de Karnaugh des fonctions suivantes: 1 ( A, B) = AB 2 ( A, C) = BC. + B C 3 ( A, C) = AC. + B. C+ A B 4 ( A, D) = ABCD... + BCD.. + B. C. BC. D.... En outre, on tiendra compte du fait que 4 est indéterminée pour ACD et BCD. ( A, D) OU EXCLUSI à 4 variables ( A, D) ( 0,2,4,5,8,10) ( 1, ) 5 = = + 6 3 1 0 ( A, D, E) = E. ( ABCD... + ABC... ABCD... + ABC... BC.. )+ 7 D.( ABC... ABCD... + ABC... BCD.. + B. C D) E. 2) Soit les fonctions 1, 2, 3 exprimées sous la forme des tables de vérité suivantes : X Y Z 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 a) Etablir les diagrammes de Karnaugh de ces fonctions b) En déduire des expressions simplifiées de 1, 2, 3 c) Réaliser les logigrammes de ces fonctions à l aide de portes NOR uniquement 3) Réaliser, à l aide de portes NOR uniquement, le transcodeur permettant de passer du code GRAY excédent 3 au code 8421 (Décimal Codé Binaire Naturel). On dressera d abord les diagrammes de Karnaugh en tenant compte des conditions interdites puis on donnera les fonctions logiques D i simplifiées. G 3 G 2 G 1 G 0 D 3 D 2 D 1 D 0 Décimal 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 1 0 0 0 1 0 1 5 1 1 0 1 0 1 1 0 6 1 1 1 1 0 1 1 1 7 1 1 1 0 1 0 0 0 8 1 0 1 0 1 0 0 1 9 4) Proposer un schéma de circuit logique réalisant l addition de 2 nombres binaires de 3 digits (bits). Pour cela, on réalisera d abord : Un schéma de circuit logique réalisant l addition de 2 digits binaires, en écrivant la somme sous la forme de 2 digits binaires : - 4 -
Diagrammes de Karnaugh S pour celui de poids 2 0 R pour celui de poids 2 1 Nota : Un tel circuit est appelé «demi- ou semi-additionneur» Le schéma du circuit logique réalisant l addition de 3 digits Même question pour la soustraction 5) Trois opérateurs A, C commandent l allumage de deux lampes R et S dans les conditions suivantes : Dès qu un ou plusieurs opérateurs sont activés, la lampe R doit s allumer La lampe S ne doit s allumer que si au moins deux opérateurs sont activés Calculer, à l aide de diagrammes de Karnaugh, les expressions des fonctions binaires R et S ne faisant intervenir que des portes NAND. 6) On veut réaliser un circuit capable de comparer 2 nombres digitaux de 4 bits notés A=A 3 A 2 A 1 A 0 et B= B 3 B 2 B 1 B 0 que l on appelle communément «comparateur 4 bits». Pour cela, on demande : a) de réaliser le logigramme du comparateur de 2 bits Ai et Bi, schématisé cidessous A i B i Comparateur 2 bits S i : A i > B i E i : A i = B i I i : A i < B i b) de comparer les deux nombres digitaux des bits A et B. Pour cela, il est conseillé : d établir, par raisonnement, la fonction booléenne S telle que S=S(E 3,E 2,E 1,E 0,A 3,A 2,A 1,A 0,B 3,B 2,B 1,B 0 ) représente la condition A>B de trouver, par déduction, la fonction représentant la condition A<B 7) On désire réaliser le logigramme du transcodeur permettant de passer du code AIKEN pondéré 2421 au code pondéré 8421 (Décimal Codé Binaire Naturel) dont les équivalences avec le code décimal sont données dans le tableau ci-dessous : A 3 A 2 A 1 A 0 D 3 D 2 D 1 D 0 Décimal 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 1 1 0 1 0 1 5 1 1 0 0 0 1 1 0 6 1 1 0 1 0 1 1 1 7 1 1 1 0 1 0 0 0 8 1 1 1 1 1 0 0 1 9 a) Rechercher les combinaisons inutilisées et les exprimer en fonction des A i b) Etablir les 4 diagrammes de Karnaugh des fonctions D i =D i (A 3,A 2,A 1,A 0 ) c) Etablir les expressions simplifiées de ces fonctions D i d) Proposer un logigramme simplifié - 5 -