Département Technologies de l Informatique Support de cours Systèmes logiques Classes : L-INFO Enseignant : SAADAOUI Abdelkader Année universitaire : 204/205
INTRODUCTION GENERALE Ce support de cours est destiné aux étudiants de la première année Tronc commun (TC) au Département Technologies de l Informatique. Il permet d'analyser, de concevoir et de synthétiser des systèmes combinatoires et séquentiels. Il introduit les bases de l'algèbre booléenne, ainsi que d'électronique numérique. il apprend à implémenter des systèmes combinatoires complexes, en les simplifiant grâce aux règles de l'algèbre booléenne et aux tables de Karnaugh. Par la suite, il expose les systèmes séquentiels, tant sur leur analyse que sur leur synthèse. Enfin, il présente les compteurs et les décompteurs. Ce manuel comporte des travaux dirigés qui favorisent l application directe du cours, et l assimilation de l étude des systèmes combinatoires et séquentiels. Des sujets d examens permettent aux étudiants de s entraîner et de tester leur niveau de connaissance. Dans ce support, certaines figures sont directement tirées du document constructeur à fin de familiariser les étudiants à leurs exploitations. L auteur remercie par avance tous les lecteurs qui lui fait part de leurs critiques et de leurs remarques constructives.
FICHE MATIERE : SYSTEMES LOGIUES ELEME T CO STITUTIF (ECUE) Systèmes Logiques Volume horaire Coefficient Crédit Cours TD TP 2 2,25,25 0 Plan : Chapitre : Système de numération Chapitre 2 : Logique combinatoire Chapitre 3 : Circuits combinatoires Chapitre 4 : Circuits séquentiels Echéancier : Semaine Cours Système de numération (décimal, binaire, octal et hexadécimal) Séance Conversion d un nombre d une base b à une base b2. Séance 2 Codage (code BCD et code GRAY) Représentation en complément à et en complément à 2 Distribution TD S3 Opérations arithmétiques S4 Correction TD S5 Porte logique et fonction logique de base. (formes canoniques) S6 Correction Exercice App & Algèbre de BOOL Distribution TD S7 Simplifications des fonctions logiques par la méthode - algébrique - graphique (diagramme de KARNAUGH). S8 Simplifications des fonctions logiques par la méthode graphique (Suite) S9 Correction TD2 Programmer une évaluation. S0 S Circuits combinatoires (codeur et décodeur, multiplexeur, démultiplexeur) S2 Circuits combinatoires (comparateur, demi -additionneur et additionneur complet, transcodeur) S3 Circuits séquentiels (les bascules RS, D, JK et T) S4 Circuits séquentiels (les compteurs et les décompteurs) Moyens et Outils Pédagogiques Condensé du cours. Travaux dirigés.
Documentation constructeur. Bibliographie D. Mange, "Analyse et synthèse des systèmes logiques", Vol. V, Traité d'électricité. Lausanne: Presses polytechniques romandes, 987. J. F. Wakerly, "Digital design, 4th edition". Prentice Hall, 2005. Evaluations : Le mode de contrôle continue : Devoir de contrôle (de S jusqu à S7) La note personnalisée (NP) : sur la présence, la participation à la correction des exercices et la réalisation des exercices à la maison. Devoir de synthèse
SOMMAIRE INTRODUCTION... 2 SOMMAIRE... 5 CHAPITRE I LE SYSTEME DE NUMERATION ET CODAGE.... 7 I- UELUES DEFINITIONS... 7 II- DECOMPOSITION D UN NOMBRE... 7 III-- LE SYSTEME DE NUMERATION «DECIMAL»... 7 III-2- LES AUTRES BASES DE NUMERATION UTILISEES... 8 IV- CONVERSION ENTRE LES BASES (TRANSCODAGE)... 8 IV-- CONVERSION D UN NOMBRE DECIMAL VERS SON EUIVALENT BINAIRE [(N)0 VERS (N)2]... 8 IV-2- CONVERSION D UN NOMBRE BINAIRE VERS SON EUIVALENT DECIMAL [(N)2 VERS (N)0]... 9 IV-3- CONVERSION D UN NOMBRE DECIMAL VERS SON EUIVALENT OCTAL OU HEXADECIMAL [(N)0 VERS (N)8 OU (N)6]... 9 IV-4- CONVERSION D UN NOMBRE OCTAL OU HEXADECIMAL VERS SON EUIVALENT DECIMAL [(N)8 VERS (N)0 OU (N)6 VERS (N)0 ]... 0 IV-5- CONVERSIONS DIRECTES BINAIRE <=> HEXADECIMAL <=> OCTAL... IV-6- CONVERSION DECIMAL <=> CODE BCD (DECIMAL CODE BINAIRE)... IV-7- LE CODE DE GRAY... IV-8- LES AUTRES CODES... 3 IV-9- REPRESENTATION DES NOMBRES SIGNES EN BINAIRE... 4 V- CALCUL ARITHMETIUES... 5 V-- ADDITION BINAIRE... 5 V-2- SOUSTRACTION BINAIRE... 6 V-3- MULTIPLICATION EN BINAIRE... 7 CHAPITRE II L ALGEBRE DE BOOLE.... 8 I- INTRODUCTION... 8 II- UELUES DEFINITIONS... 8 III- NOTION DE TABLE DE VERITE... 8 IV- ÉUATION LOGIUE A D UNE SORTIE... 9 V- LES OPERATEURS LOGIUES DE L ALGEBRE DE BOOLE... 9 V-- L OPERATEUR LOGIUE NON (NOT)... 9 V-2- L OPERATEUR LOGIUE OU (OR)... 9 V-3- L OPERATEUR LOGIUE ET (AND)... 20 V-4- LES AUTRES OPERATEURS LOGIUES... 20 L OPERATEUR LOGIUE NON- OU (NOR)... 20 L OPERATEUR LOGIUE ET-NON* (NAND)... 20 L OPERATEUR LOGIUE OU-EXCLUSIF (XOR)... 2 VI- THEOREMES DE ALGEBRE DE BOOLE... 2 VI-- PROPRIETES DES OPERATEURS LOGIUES (PROPRIETES DE L ALGEBRE DE BOOLE)... 22 VI-2- THEOREMES DE DE MORGAN... 22 V- LOGIUE COMBINATOIRE... 22 V-- ERE METHODE (METHODE ALGEBRIUE)... 23 V-- 2EME METHODE (METHODE GRAPHIUE)... 23 CHAPITRE III LES CIRCUITS LOGIUES COMBINATOIRES... 26 I- INTRODUCTION... 26 II- LES CIRCUITS COMBINATOIRES... 26
II-- LES MULTIPLEXEURS... 26 II-2- DEMULTIPLEXEUR... 28 II-3- ENCODEUR BINAIRE... 28 II-4- DECODEUR... 29 II-5- DEMI ADDITIONNEUR... 29 II-5- ADDITIONNEUR COMPLET UN BIT... 30 II-5- COMPARATEUR UN BIT... 3 II-6- TRANSCODEUR... 33 CHAPITRE IV LES CIRCUITS SEUENTIELS... 35 I- INTRODUCTION... 35 II- LES ELEMENTS DE MEMORISATION LES BASCULES... 35 II-- LES ENTREES DE FORÇAGE... 35 II-2- LA BASCULE ASYNCHRONE RS... 36 II-3- LES BASCULES SYNCHRONES... 37 A- TYPES DE SYNCHRONISATION... 37 B- BASCULE RS... 37 C- BASCULE D... 38 D- BASCULE JK... 39 E- BASCULE T... 40 III- LES COMPTEURS... 40 III-- IDENTIFICATION DE LA FONCTION COMPTAGE... 40 III-2- COMPTEURS ASYNCHRONES... 4 III-3- COMPTEURS SYNCHRONES... 43 CHAPITRE V BIBLIOGRAPHIE... 46
Le système de Numération et Codage. I- uelques définitions : BIT : C'est la plus petite unité d'information manipulable par une machine numérique. Un bit ne peut prendre que deux états 0 ou. Ex : le nombre binaire 000 est constitué de 5 bits. DIGIT : "DIGital unit", élément d'information numérique désignant en réalité un simple chiffre de base quelconque. Ex : Les nombre 546 est constitué de 3 digits. POIDS D UN DIGIT : La valeur de chaque digit dépend de sa position. Les positions des digits d'un nombre écrit en base B ont pour poids des puissances de B. MOT : Un MOT est l association de plusieurs digits ou bits. un mot de 8 bits s appelle un octet; ex : 00 un mot de 4 bits s appelle un quartet; ex : 0 BASE : Une base B contient B symboles différents pour écrire tous les nombres. On trouve par exemple les bases suivantes : Décimal (Base 0) Binaire (Base 2) Hexadécimal (Base 6) Octal (Base 8) les Valeurs de la base 0 [0 symboles]: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 alors que les Symboles en base 6 [6 symboles]: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F II- Décomposition d un nombre Un nombre est représenté par la somme de ces digits multipliés par leur poids respectifs. Les nombres tels que nous les utilisons sont, en réalité, une convention d'écriture. Tout nombre entier positif peut s'écrire sous la forme d'un polynôme arithmétique comme suit :. N=a n xb n +a n- xb n- + +a xb +a 0 xb 0 Où B est la base, a est le chiffre de rang n et n représente le poids.
III-- Le système de numération «Décimal» Un système décimal que nous employons couramment utilise 0 chiffres : 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On l'appelle système à base 0. La base 0 (décimal) est universellement employée par l homme depuis qu il sait compter sur ses doigts (0 doigts ) Dans ce système, un nombre peut être décomposé en puissance de 0. - au premier rang (rang de niveau 0) : le poids est de (ou 0 0 ), - au deuxième rang (rang de niveau ) : le poids est de 0 (ou 0 ), - et au troisième rang (rang de niveau 2) le poids est de 00 (ou 0 2 ). Le poids est la puissance nième de 0 (0n) si on numérote les rangs de droite à gauche et en commençant par le rang n 0. Exemple : 938= 9x0 2 + 3x0 + 8x0 0 Un nombre réel peut être écrit souss la forme polynomiale : 43,25 0 = *0 2 + 4*0 + 3*0 0 + 2*0 - + 5*0-2. III-2- Les autres bases de numération utilisées : La base 2 (binaire) est employée pour traduire les états d un système logique [0 ou, tout ou rien, juste ou faux ] Exemple : La base 8 (octal) tend aujourd hui à disparaître au profit de la base 6 suite à l évolution technologique des composants (6 bits et +) La base 6 (hexadécimal) est apparue avec la logique microprogrammée et les microprocesseurs. Elle permet de traduire plus facilement un nombre binaire et autorise une représentation plus conviviale des grands nombres. IV- Conversion entre les bases (transcodage) IV-- Conversion d un nombre décimal vers son équivalent binaire [(N) 0 vers (N) 2 ] La méthode consiste à répéter la division par 2 du nombre décimal à convertir et au report des restes jusqu à ce que le quotient soit 0. Le nombre binaire résultant s obtient en écrivant le premier reste à la position du bit de poids le plus faible (LSB = Least Significant Bit) et le dernier à la position du bit de poids le plus fort (MSB = Most Significant Bit). Exemple : conversion du nombre décimal 9 en binaire (9) 0 = ( ) 2? LSB 9 2
4 2 0 2 2 0 2 0 => on arrête MSB D où (9) 0 = (00) 2 Application : uel est le code binaire correspondant à (65) 0 et (4) 0? (65) 0 = ( ) 2 (4)0 = ( ) 2 Remarque (cas d un nombre réel) : Un nombre réel est constitué de deux parties : la partie entière et la partie fractionnelle. La partie entière est transformée en effectuant des divisions successives par la base b. La partie fractionnelle est transformée en effectuant des multiplications successives par la base b. Exemple : 35,625 0 = (? ) 2 Pour 35 0 = (000) 2 mais pour 0,625 0 on fait comme suit : On aura 0,625 0 = (0) 2 ainsi 35,625 0 = (000,0) 2 IV-2- Conversion d un nombre binaire vers son équivalent décimal [(N) 2 vers (N) 0 ] Il s agit ici d appliquer la formule en prenant B= 2. (0) 2 = x2 3 + x2 2 + 0x2 + x2 0 = x8 + x4 + 0x2 + x = (3) 0 (0,) 2 = x2 3 + x2 2 + 0x2 + x2 0 + x2 - + x2-2 = x8 + x4 + 0x2 + x+ x0.5 + x0.25 = (3.75) 0 Application: uel est le code décimal correspondant à ( 00 000)2 et (00 00)2? ( 00 000)2 = ( ) 0 (00 00)2 = ( ) 0 IV-3- Conversion d un nombre décimal vers son équivalent octal ou hexadécimal [(N) 0 vers (N) 8 ou (N) 6 ] Il s agit ici d appliquer la même méthode que pour le passage du décimal vers le binaire en divisant
Exemple : (43) 0 = (?) 2 = (?) 8 = (?) 6 Ainsi : (43) 0 = (00) 2 = (53) 8 = (2B) 6 Application : Convertir les nombres suivants : (0,52)0 = ( ) 8 (54,8)0 = ( ) 6 IV-4- Conversion d un nombre octal ou hexadécimal vers son équivalent décimal [(N) 8 vers (N) 0 ou (N) 6 vers (N) 0 ] Il s agit ici d appliquer la même méthode que celle pour le passage d un nombre binaire en décimal pour respectivement les bases B=8 ou B=6. Exercice : Convertir les nombres suivants : (02,7) 8 = ( ) 0 (62,F) 6 = ( ) 0 méthode récapitulative à employer pour le transcodage Base de départ Décimal Binaire Octal Hexadécimal Base d arrivée Binaire Octal Hexadécimal Décimal Méthode de transcodage Méthode de la division par 2 du nombre Méthode de la division par 8 du nombre Méthode de la division par 6 du nombre (N)0= an x B n + an- x B n- +...+ a x B + ao x B 0 avec B=2 (N)0= an x B n + an- x B n- +...+ a x B + ao x B 0 avec B=8 (N)0= an x B n + an- x B n- +...+ a x B + ao x B 0 avec B=6 IV-5- Conversions directes binaire <=> hexadécimal <=> octal La conversion de la base 2 à la base 6 (et inversement) se fait aisément, on divise le nombre binaire en tranches de 4 bits (à partir du LSB). Chacun des quartets est ensuite converti en un digit hexadécimal par simple sommation pondérée. la base 6 (2 4 = 6 ) étant un multiple entier de la base 2. Elle permet de représenter sous une forme réduite un nombre binaire. Alors que la conversion de la base 2 à la base 8 (et inversement) se fait par regroupement de 3 bits. Méthode :
Exemple : (0 00 00) 2 = (E35) 6 Exemple 2 : (D4C7) 6 = D 4 C 0 000 00 000 = (0 000 00 000) 2 ( 00 0) 2 = (45) 8 (0 00) 2 = (65) 6 (000) 2 = (256) 8 = (AE) 6 Remarque : pour un nombre avec virgule, le regroupement se fait de droite à gauche pour la partie entière et de gauche à droite pour la partie fractionnelle. exemple : (0,00) 2 = (5,6) 8 = (D,C) 6 (275,5) 8 = (00 0, 00 0) 2 (FA, B) 6 = ( 00, 0) 2 IV-6- Conversion Décimal <=> code BCD (Décimal Codé Binaire) Le code BCD est utilisé pour les afficheurs lumineux, son principe repose sur le codage de chaque digit décimal (chiffre) en son équivalent en binaire sur 4 bits (et inversement). Exemple : ( 2 7) 0 = (000 000 0) BCD Exercice : Effectuer les transcodages suivants : (5 7 6) 0 = ( ) BCD (9 9) 0 = ( ) BCD (000 00 00) BCD = ( ) 0 Exercice : Combien faut-il de bits pour représenter un nombre décimal de 5 chiffres dans le code BCD? IV-7- Le code de GRAY Le «code à distance unité» ou code de Gray, également appelé code reflex ou code binaire réfléchi, est un code non pondéré. Ce code permet de ne faire changer qu un seul digit à la fois lorsqu on passe d un mot binaire au mot binaire immédiatement inférieur ou supérieur ou tout autre mot symétrique, utilisé dans l écriture des tableaux de Karnaugh (c est pour plus tard ). Le nom du code vient de l'ingénieur Frank Gray en 953. Ce code est fréquemment utilisé dans les capteurs de positions, mais aussi lorsque l on désire une
progression numérique binaire sans parasite transitoire. En effet, si on utilise le code binaire standard, lors du passage de la position un (0) à deux (0), il y a un risque de passage transitoire re par trois () ou zéro (00), ce qu'évite le code de Gray. Principe d obtention du code GRAY : Exemple : (0) 2 = (0) réfléch hi Remarque : si le nombre en binaire naturel B i B i- = (0 ou 0) alors le nombre en code GRAY =, si ou 00 alors 0. Donc toujours on suit une comparaison horizontale. Cette conversion commence à l apparition du premier à gauche du nombre en binaire naturel. Décimal 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Binaire Code Gray 0000 0000 000 000 000 00 00 000 000 00 00 0 00 00 0 000 000 00 00 0 Pour le passage du code Gray vers le code binaire naturel : Exemple : (0) réfléchi = (00) 2 Cette conversion commence à l apparition du premier à gauche du nombre en code Gray. on suit une comparaison diagonale entre B i et G i-
IV-8- Les autres codes : Le code ASCII L abréviation américaine : American Standard Code Interchange Information, normalisé en 967, il propose un jeu de 28 caractères (7 bits) nécessité de trasmettredes messages, il est Limité à la langue anglaise : dépourvue de toute décoration (accent.) et non adapté a d autres langue (chinois ) chaque caractère étant codé par un mot de 7 bits, il ne contient donc pas de caractères accentués, ni de caractères spécifiques à une langue. Puis il a été étendu sur 8 bits (un octet) pour pouvoir coder plus de caractères (c'est-à-dire 256 caractères possibles). Ce code est très répandu dans le milieu informatique. Unicode : Le système Unicode permet de représenter n'importe quel caractère par un code sur 6 bits, indépendamment de tout système d'exploitation ou langage de programmation. Ce code est développé en 99 pour coder des caractères sur (6 bits ou 32 bits ), et il est mis à jour régulièrement. Il regroupe ainsi la quasi-totalité des alphabets existants (arabe, arménien, cyrillique, grec, hébreu, latin,...) et est compatible avec le code ASCII. Le Code Barre Ce principe de codage, apparu dans les années 80, est largement utilisé sur les produits de grande consommation, car il facilite la gestion des produits. Le marquage comporte un certain nombre de barres verticales ainsi que 3 chiffres : - Le er chiffre désigne le pays d origine : 3 = France, 4 = Allemagne, 0 = U.S.A, Canada etc. - Les cinq suivants sont ceux du code «fabricant», - Les six autres sont ceux du code de l article, - Le dernier étant une clé de contrôle Les barres représentent le codage de ces chiffres sur 7 bits, à chaque chiffre est attribué un ensemble de 7 espaces blancs ou noirs.
IV-9- Représentation des nombres signés en binaire Il est indispensable de traiter également des nombres négatifs. Le langage binaire ne connaît pas le signe - (!) Il existe 3 conventions pour exprimer les nombres signés dans le système binaire : Représentation de la valeur et du signe indépendamment (binaire signé), Représentation en complément à, Représentation en complément à 2. Le binaire signé L une des méthodes est de réserver un bit pour indiquer le signe du nombre, d où l appellation de binaire signé. C est une représentation signe/valeur absolue (S/VA) c.-à-d. si on travaille sur n bits, alors le bit du poids fort est utilisé pour indiquer le signe : pour le signe négatif et 0 pour le signe positif. Les autres bits (n -) désignent la valeur absolue du nombre. Le bit réservé au signe est toujours le bit le plus à gauche. (attention : Il ne correspond plus au MSB!) Pour le bit de signe et par convention, le 0 représente le + et le le -. Exemple : (-23) 0 = ( 000) 2 ; (+23) 0 = (0 000) 2 Complément à d un nombre binaire Pour calculer le complément à (CA) d un nombre binaire, il suffit de complémenter chaque bit de ce nombre c'est-à-dire remplacer les par des 0 et les 0 par des. Attention : En notation signé, le bit de signe reste inchangé (ne pas le complémenter). Exemple : (-23) 0 = s écrit ( 000) 2 en binaire signé (ci-dessus) et son complément à est : ( 0000) 2, le bit de signe étant inchangé. Complément à 2 d un nombre binaire Pour calculer le CA2 d un nombre binaire N, on ajoute la valeur au CA de N. (CA2 = CA + ) Exemple : Nombre binaire N (non signé) : N = 00 Complément à de N : (N)CA= 00 Complément à 2 de N : (N)CA2 = 0 Exemple 2 : (-23) 0 = s écrit ( 000) 2 en binaire signé, son complément à est ( 0000) 2, son complément à 2 est ( 000) 2. En résumé, si le bit de poids fort = 0, alors l entier est positif et si le bit de poids fort =, alors l entier est négatif. Exemple : Codage de (57) 0 sur 8 bits par 3 méthodes : (57) 0 = (000) 2 4
S/VA : 000 CA : 0000 CA2 : 000 V- Calcul arithmétiques V-- Addition binaire L addition de 2 nombres binaires est parfaitement analogue à l addition de 2 nombres décimaux. Il faut commencer par le bit de poids le plus faible en utilisant : 0 + 0 = 0 ; + 0 = ; + = 0 (= 0 + report de sur la gauche) Alors que : + + = (= + report de sur la gauche) Exemple : Opérations arithmétiques en octal Puisque la base 8 contient de 0 à 7 donc le 8 s écrit 0 8, le 9 s écrit 8, le 0 s écrit 2 8 etc. Si la somme est 8 on met dans le résultatt 0 et on retient. Exemple : Opérations arithmétiques en hexadécimal Puisque la base 6 contient de 0 à F donc le 6 s écrit 0 6, le 7 s écrit 6, le 8 s écrit 2 6 etc. Si la somme est 8 on met dans le résultat 2 et on retient. Exemple :
V-2- Soustraction binaire : Dans le cas de la soustraction de deux nombres binaires non signés. La soustraction en binaire peut être effectuer comme en décimal. On peut utiliser l algorithme suivant : 0-0 = 0 0 - = (avec un report de à retrancher au chiffre supérieur) - 0 = - = 0 Exemple : opération 7 0 2 0 = 0-0 0 0 = 0 0 5 0 Une autre méthode consiste à faire une addition de deux nombres de signes contraires, deux cas peuvent se présenter : er cas : La grandeur du nombre positif est supérieure à celle du nombre négatif. On peut effectuer la Soustraction en binaire en utilisantt la méthode du CA2. On néglige systématiquement la retenue sur le bit supplémentaire pour déterminer le résultat final A B = A + CA2 (B) Exemple : Effectuer l opération de ( 9-4) sur 5 Bits, en utilisant la représentationn en CA2. Exemple 2: Effectuer les opérations de ( -9-4) et (-9 + 9) sur 5 Bits, en utilisant la représentation en CA2.
Le résultat de l addition est négatif (bit de signe = ) pour(-9-4). Ce résultat est écrit sous la forme du complément à 2. V-3- Multiplication en binaire La multiplication en binaire est effectuée comme en décimal. Exemple : 0 2 x 0 2 Remarque : Décalage d'un bit vers la gauche = multiplication par 2 Décalage d'un bit vers la droite = division entière par 2
L Algèbre de Boole. I- Introduction : Historique : Georges BOOLE, philosophe et mathématicien anglais, publia en 854 un essai sur les raisonnements logiques portant sur les propositions auxquelles les seules réponses possibles sont oui ou non. L ensemble des opérations découlant de ces propositions forme une structure mathématique, donc une algèbre, appelée «Algèbre de BOOLE». «L algèbre de Boole» se caractérise par l utilisation de variables ne pouvant prendre que deux états distincts. Ces deux états sont représentés par la valeur 0 ou. Ces deux «états logiques» distincts se traduisent généralement par deux «niveaux de tension» distincts : présence ou absence de tension. II- uelques définitions Variable logique : grandeur, représentée par un identificateur (lettre ou nom) qui peut prendre la seule valeur 0 ou. Niveau logique : En électronique, une variable logique est concrétisée par un signal électrique (tension ou courant) qui peut prendre deux niveaux électriques (ou niveaux logiques) - le niveau logique Haut (H) ou High - le niveau logique Bas (L) ou Low Algèbre de BOOLE : Ensemble de variables à 2 états, de valeur, ou état "" (vrai) ou "0" (faux) et muni d'un petit nombre d'opérateurs fondamentaux : NON, ET, OU. III- otion de table de vérité Une table de vérité est une représentation graphique (tableau) faisant connaître la réaction du circuit logique, c est à dire l état de la sortie S en fonction de toutes les combinaisons de valeurs (0 ou ) que peuvent prendre les variables binaires d entrées E, E2,, Ei,,En. Exemple d une table de vérité pour une fonction logique à deux entrées E et E2 et une sortie S. E E 2 S 0 0 0 0 0 0 Nombre de variables d entrées : 2 alors que le nombre de combinaisons de valeurs possibles c est 2 2 =4 pour les variables d entrées. 8
IV- Équation logique à d une sortie «L équation logique à d une sortie» traduit sous forme d une équation mathématique, le comportement de la sortie de la fonction logique. Elle consiste en l écriture d une équation des cas où la sortie S de la fonction logique est égale à. Exemple : rechercher l équation logique de la sortie la table de vérité est donnée au paragraphe précédent en écrivant les cas où S est à. Remarque : On verra par la suite qu il est parfois possible de simplifier une équation logique. de plus, les symboles utilisés en algèbre de Boole bien qu'en apparence similaire à ceux des mathématiques diffèrent dans leurs significations. Ainsi : le symbole " + " se lit " ou ". En effet l'expression " a + b = " se lit " a ou b égal à ". Cette condition est vérifiée pour a ou pour b (ou pour les deux en même temps) égale à le symbole ". " se lit " et ". En effet l'expression " a. b = " se lit " a et b égal à ". Cette condition est vérifiée pour a et b égal à. (Si l' 'un des deux vaut 0, l'équation n'est pas vérifiée) la variable " " se lit " a barre". Elle prend la valeur opposé de a. Si a = alors = 0 et inversement. V- Les opérateurs logiques de l algèbre de Boole V-- L opérateur logique NON (NOT) Symbole Américain: Table de vérité : Chronogrammes d évolution : E S 0 0 E S t t V-2- L opérateur logique OU (OR) Symbole Américain : Table de vérité et équation logique de la sortie
V-3- L opérateur logique ET (AND) Symbole Américain : Table de vérité et équation logique de la sortie : V-4- Les autres opérateurs logiques L opérateur logique NON- OU (NOR) Symbole Américain : Table de vérité et équation logique de la sortie : A noter : «OU-NON» est la bonne traduction de l acronyme «NOR». Car il s agit bien de l opérateur logique «OU» suivi de l opérateur «NON» [et pas le contraire]. Cependant par abus de langage on trouve couramment l expression «NON-OU» dans la littérature technique. L opérateur logique ET-NON* (NAND) Symbole Américain : 20
Table de vérité et équation logique de la sortie : * A noter : «ET-NON» est LA bonne traduction de l acronyme «NAND». Car il s agit bien de l opérateur logique «ET» suivi de l opérateur «NON» [et pas le contraire]. Cependant par abus de langage on trouve couramment l expression «NON-ET» dans la littérature technique. L opérateur logique OU-EXCLUSIF (XOR) : Symbole Américain : Table de vérité et équation logique de la sortie : VI- Théorèmes de Algèbre de Boole VI-- Propriétés des opérateurs logiques (propriétés de l algèbre de Boole) Les propriétés suivantes permettent d'effectuer des calculs dans l'algèbre de Boole : 2
VI-2- Théorèmes de De Morgan : Historique : Augustus De Morgan, mathématicien britannique, fondateur avec Boole de la logique des classes et des relations. Il a formulé certaines lois du calcul des propositions. Les 2 théorèmes de Morgan : Intérêt : Simplifier et optimiser la conception des structures à base d opérateurs logiques. Exemple : ABC + ABC+ ABCD = AB (C+ C) + ABCD = AB+ ABCD = A ( B+ B (CD)) = A ( B+ CD) = AB+ ACD V- logique combinatoire : Un système est dit "combinatoire" lorsqu à l une combinaison des variables binaires d'entrée correspond une (et une seule) combinaison des variables de sorties. Note : on parle de systèmes combinatoires par opposition aux systèmes séquentiels, dans lesquels les variables de sortie dépendent à la fois des variables d'entrée et de l'état antérieur des variables de sortie. Conception de systèmes de nature combinatoire
La réalisation d'un système combinatoire nécessite un cahier des charges détaillantt chaque étape du fonctionnement, de dresser une table de vérité descriptif complet de tous les états binaires. De cette table de vérité on peut tirer une expression booléenne qu'il convient de simplifier afin de réduire la complexité de la réalisation. Il existe plusieurs méthodes d'extraction et de simplification des équations booléennes. Exemple : Schéma d un circuit logique (logigramme) F ( A, B, C) = AB. + BC. A B F V-- ère méthode (méthode algébrique) : Pour chaque variable de sortie figurant sur la table de vérité, on écrit la "somme" logique des lignes ou la variable de sortie prend la valeur.. l expression logique de la fonction est e sous forme de sommes de produits des variables d entrée ( où la sotie a pris ). On l appelle somme dee produit ou première forme canonique de Shannon. Lorsque les états "" sont plus nombreux que les états "0", il est avantageux d'écrire le complément de la somme logique des lignes où la variable de sortie prend la valeur 0. L expression logique de la fonction est donc sous forme de produits de sommes et on parle ainsi de deuxième forme canonique de Shannon. Puis on simplifie l'expression obtenue en utilisant les propriétés de l'algèbre de BOOLE. Exemple : Donner les deuxx formes canoniques de F(A,B,C)? C - Première forme canonique de F ( Somme de produit, somme min termes ). On s intéresse à F=. ( F = R(0,,2,4,5,6) = Σ(0,,2,4,5,6) ) Donc F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C - Deuxième forme canonique de F (produit de somme, produit des max termes). On s intéresse à F= 0: ( F = P (3,7) = Π(3,7) ) donc F = (A + B +C ).( A + B +C ) V-- 2 ème méthode (méthode graphique) : Dans le cas ou le nombre de variables devient trop important, il est plus avantageux d utiliser une
représentation graphique intitulée «Tableau de Karnaugh» permettant de trouver directement une expression simplifiée de l équation de sortie d une fonction logique. Expression simplifiée d une sortie à l aide de la méthode du «Tableau de Karnaugh» Définition : Outil graphique de simplification des équations logiques. Le nombre de case du tableau est égal au nombre de combinaisons possibles pour les entrées soit : C = 2 n Avec - C : nombre de combinaisons. - n : nombre de variables (ou entrées). Exemple de tableau de karnaugh pour 3 et 4 entrées utilisant le code gray : Groupement des cases : Peuvent être réunies les cases adjacentes, contenant des valeurs à condition que le nombre de cases du groupement soit égal à une puissance de 2 (, 2, 4, 8, 6 ). Remarques : - On doit réaliser les plus grands regroupements possibles, - Il est possible de faire des regroupements par symétrie, c'est-à-dire il est possible de faire des regroupements en regroupant les situés de part et d autre des deux axes de symétrie du tableau. - Les peuvent servir à plusieurs regroupements. - Tous les doivent êtres regroupés (au moins par défaut avec eux-mêmes) Les conditions indifférentes : Dans certains cas, nous avons des sorties indéterminés pour certaines conditions d entrées. Principalement parce que ces conditions ne peuvent jamais exister. Dans ce cas, nous complétons notre
diagramme K avec des et nous les considérons de la façon qui nous intéresse le mieux. Exemple : F= a Exemple : Chaque combinaison de la table de vérité lui correspond une combinaison de la table de karnaugh. c 0 ab 00 0 0 0 0 0 L idée de base est d essayer de regrouper les cases adjacentes qui comportent des ( rassembler les termes adjacents ). De plus, on doit faire des regroupements avec le maximum de cases ( 6,8,4,2 ou ) ainsi S= AB+AC+BC D autre exemples de regroupement dans des tables de karnaugh.
Les circuits logiques combinatoires I- Introduction Un circuit combinatoire est un circuit numérique dont les sorties dépendent uniquement des entrées. Il est possible d utiliser des circuits combinatoires pour réaliser d autres circuits plus complexes. Exemples : Demi Additionneur, Décodeur II- Les circuits combinatoires : Additionneur complet, Comparateur, Multiplexeur, Encodeur, II-- Les multiplexeurs : Un multiplexeur est un circuit combinatoire qui permet de sélectionner une information ( bit) parmi 2 n valeurs en entrée Il possède : 2 n entrées d information, Une seulee sortie et N entrées de sélection (commandes) Exemple : Multiplexeur 8 0 4 3 2 5 4 3 2 0 9 7 U3 X0 X X2 X3 X4 X5 X6 X7 A B C E 74S5 Y Y 5 6
Table de vérité : Équation logique : S = C2. C. C0.( E0) + C2. C. C0( E) + C2. C. C0( E2) + C2. C. C0( E3) + C2. C. C0( E4) + C2. C. C0( E5) + C2. C. C0( E6) + C2. C. C0( E7) Exercice : Simplifier par la méthode algébrique la fonction logique S suivante : S= x.y.z + x.y.z+x.y = x.z + x.y Exercice 2 : Trouver l expression de X et Y du montage suivant : X= A B = A.B+A.B et Y=C.D+C.D = C
) Trouver l expression de Z en fonction de A, B, C et D. (A B).C + (A B).C + (A B).C = (A B) + C II-2- Démultiplexeur : Un démultiplexeur permet de faire passer une information dans l une des sorties selon les valeurs des entrées de commandes. Il joue le rôle inverse d un multiplexeur. Il possède une seule entrée, 2 n sorties et N entrées de sélection ( commandes) Exemple : Démultiplexeur 4 Table de vérité et équation logique : S0= C. C0.( I) S= C. C0.( I) S2= C. C0.( I) S3= C. C0.( I) II-3- Encodeur binaire : Un encodeur binaire possède 2 n entrées et n sortie. Pour chaque combinaison en entrée on va avoir son numéro (en binaire) à la sortie. Exemple : Encodeur binaire 4 2 Table de vérité et équation logique :
X = I0. I.( I 2+ I3) Y = I0.( I+. I 2. I3) II-4- Décodeur : Le décodeur est un circuit combinatoire MSI à n entrées et 2 n sorties. Pour une configuration binaire en entrée, une seule sortie est active parmi 2 n. Exemple d un décodeur 3:8 0 2 3 6 4 5 U2 A B C E E2 E3 Y0 Y Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 5 4 3 2 0 9 7 0 74LS38 Il faut noter que ce circuit utilise la logique négative, où une sortie est sélectionnée avec 0 et non et ce pour économiser de l énergie. Le décodeur est souvent utilisé pour l activation des composants ( chip select) dans l environnement des cartes à microprocesseurs. Table de vérité et équation logique : II-5- Demi additionneur : Il possède deux entrées et deux sorties Table de vérité :
A B R S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Équation logique : R= AB. S = AB. + AB. = A B II-5- Additionneur complet un bit : Il possède trois entrées et deux sorties Table de vérité : Équation logique : Pour construire un additionneur de nombres de n bits, il suffit d utiliser n additionneurs en cascade, la sortie de retenue d un étage correspondant à l entrée de retenue du suivant. S 3 S 2 S S 0 Avec le câblage ci contre, on peut alors additionner 2 mots de quatre bits {A 3 A 2 A A 0 } et {B 3 B 2 B B 0 } Rs + Rs + Rs + Rs +
Un additionneur sur 4 bits est un circuit qui permet de faire l addition de deux nombres A et B de 4 bits chacun : A(a 3 a 2 a a 0 ), B(b 3 b 2 b b 0 ). En plus il tient en compte de la retenue entrante. En sortie on va avoir le résultat sur 4 bits ainsi que la retenue ( 5 bits en sortie ) Donc au total le circuit possède 9 entrées et 5 sorties. A4 B4 R3 A3 B3 R2 A2 B2 R A B R0=0 ADD4 ADD3 ADD2 ADD R4 S4 S3 S2 S Exemple : Un additionneur sur 2 bits est un circuit qui permet de faire l addition de deux nombres A et B de 2 bits chacun : A(a 2 a ), B(b 2 b). 0 5 2 4 3 3 U C0 A A2 B B2 7482 S S2 C2 2 0 0 II-5- Comparateur un bit C est un circuit combinatoire qui permet de comparer entre deux nombres binaire A et B. Il possède 2 entrées : B : sur un bit A : sur un bit Il possède 3 sorties fe : égalité ( A=B) fi : inférieur ( A < B) fs : supérieur (A > B)
Table de vérité : Équation logique : Comparateur 2 bits en utilisant des comparateurs bit Il est possible de réaliser un comparateur 2 bits en utilisant des comparateurs bit et des portes logiques. Il faut utiliser un comparateur pour comparer les bits du poids faible et un autre pour comparer les bits du poids fort. Il faut combiner entre les sorties des deux comparateurs utilisés pour réaliser les sorties du comparateur final. Équation logique : ) A=B si A2=B2 et A=B : 2) A>B si A2 > B2 ou (A2=B2 et A>B) : 3) A<B si A2 < B2 ou (A2=B2 et A<B) : fe = (A2 B2).(A B) = fe2.fe fs = A2.B2+ (A2 B2).(A.B) = fs2+ fe2.fs fi = A2.B2+ (A2 B2).(A.B) = fi2+fe2.fi
a2 b2 a b Comparateur bit fs2 fe2 fi2 Comparateur bit fs fe fi fs fe fi Exemple : le 7485 est un circuit intégré réalisant une comparaison de deux nombres ayant 4 bits chacun. 0 0 0 0 0 2 3 5 9 4 2 3 4 U A0 A A2 A3 B0 B B2 B3 A<B A=B A>B 7485 A<B A=B A>B 7 6 5 0 0 II-6- Transcodeur : Le transcodeur est un circuit combinatoire qui permet de transformer un code X (sur n bits) en entrée en un code Y (sur m bits) en sortie. Exemple : Un transcodeur BCD-7Segment :
On obtient pour le Segment a : Et on fait la même chose pour les autres segments (b,c,d,e,f et g) pour effectuer le câblage correspondant à ces 7 équations. 0 0 7 2 6 4 5 3 U A B C D BI/RBO RBI LT A B C D E F G 3 2 0 9 5 4 7448
Les circuits séquentiels I- Introduction : Un circuit combinatoire est un circuit numérique dont les sorties dépendent uniquement des entrées : S = f(e). L état du système ne dépend pas de l état interne du système. Donc, pas de mémoration de l état du système. Un circuit séquentiel est un circuit numérique dont l état à l instant instant t+ est une fonction des entrées en même instant t+ et de l état précédente du système (l instant t) : S t+ =f(e,s t ) les compteurs, mémorisation, les registres à II- Les éléments de mémorisation : les bascules. Les bascules sont des éléments de base des systèmes séquentiels. Elles possèdent deux états stables (0 ou ) et maintiennent leur état tant qu elles ne sont pas sollicitées pour en changer. Ce sont des cellules de mémorisation à bit qui, pour une combinaison d états logiques de leurs entrées, présentent sur leur sortie deux états complémentaires. Ces composants sont utilisés dans les mémoires vives RAM (Random Access Memory). On trouve quatre types de bascules : SR, D, JK et T. II-- Les entrées de forçage : dans les bascules, il y a des entrées de forçage :PRESET et CLEAR qui vont forcer les sorties à prendre des valeurs avec les conditions suivantes : PRE= et CLR=0 alors = mais si PRE=0 et CLR= alors =0 35
7 0 7 6 3 J CLK S 6 3 J CLK S 0 5 K R 2 0 5 K R 2 0 4 4 II-2- La bascule asynchrone RS : Une circuit asynchrone, est une bascule dont la sortie évolue dès lors qu un changement a lieu sur l une des entrées. Les entrées d inscription et d effacement sont notées R (Reset = Effacement) et S (Set = Inscription). On appelle n l état de la sortie avant la modification de l une des variables d entrées et n+ son état après cette modification. Symbole : 36
II-3- Les bascules synchrones : a- Types de synchronisation : Dans une bascule synchrone, un signal supplémentaire, l horloge, autorise le changement des sorties de manière statique (synchronisation sur niveau logique 0 ou ) ou dynamique (synchronisation sur front montant ou descendant). Le triangle face à l entrée signifie qu elle est dynamique. Si elle est complémentée, la synchronisation à lieu sur un front descendant. b- Bascule RS : Symbole : (B) 2 3 2 3 0 2 3 2 3 0 Table de vérité : R S n+ 0 0 n 0 0 0 invalide Exemple de structure et chronogrammes : 37
c- Bascule D : La bascule D est équivalente à une bascule RS pour laquelle on aurait S = D et l état «à éviter» (S,R)=(,) constaté pour les bascules RS est donc supprimé. R= D. Par conséquent, Elle décale dans le temps l état de la sortie d où son appellation D (pour Delay = Retard). n est l état pris par la sortie à l instant t n (avant le front montant) et n+ son état à t n+ (après le front montant). Sur chaque front montant de H, la bascule mémorise l état qu elle voit en D à cet instant (juste avant le front montant). Exemple de structure et chronogrammes d une bascule D Flip Flop : 38
d- Bascule JK : Elle possède une entrée de synchronisation et 2 entrées d inscription et d effacement telles que S=J et R=K, avec la combinaison (J,K)=(,) autorisé. Dans ce cas, n = Symbole et table de vérité : +. Exemple de chronogrammes : 39
e- Bascule T ou bascule diviseur de fréquence par 2 : Elle possède une seule entrée T (Toggle = bouton = basculer) donnant l ordre à la sortie de changer d état sur chaque front montant du signal H appliqué en T. Symbole et table de vérité : Exemple de chronogramme utilisant le front descendant: III- Les compteurs III-- Identification de la fonction Comptage : La fonction qui s impose pour dénombrer des événements se succédant chronologiquement est le comptage. L opérateur technique assurant cette fonction est le compteur. Exemple : Système de comptage de pièces A chaque coupure du faisceau lumineux par une pièce, une impulsion est générée et appliquée à l entrée du compteur. 40
Les compteurs binaires peuvent être classés en deux catégories : les compteurs asynchrones; les compteurs synchrones. De plus on distingue les compteurs réversibles ou compteurs-décompteurs. III-2- compteurs asynchrones: Les compteurs binaires asynchrones utilisent le code binaire naturel pour compter (ou décompter). Généralement, c est un assemblage de n bascules JK ou D, cadencé par un signal d horloge. Ces compteurs sont asynchrones, car seule la première bascule reçoit le signal d'horloge. Toutes les bascules qui suivent celle-ci sont commandées par la bascule précédente, dont le principe de fonctionnement est le suivant : Lorsque les entrées J et K de la bascule JK sont à, la sortie au front d horloge suivant est complémentée (Toggle). La sortie change d état sur un front ascendant d horloge. Exemple d un compteur asynchrone modulo 6:
7 U:A 9 U:B 7 U2:A 9 U2:B U:A(CLK) 6 3 J CLK S 0 3 J CLK S 5 6 3 J CLK S 0 3 J CLK S 5 5 K R 2 K R 4 5 K R 2 K R 4 4 4027 2 4027 4 4027 2 4027 Exemple d un décompteur asynchrone modulo 6: 7 U:A 9 U:B 7 U2:A 9 U2:B U:A(CLK) 6 3 J CLK S 0 3 J CLK S 5 6 3 J CLK S 0 3 J CLK S 5 5 K R 2 K R 4 5 K R 2 K R 4 4 4027 2 4027 4 4027 2 4027 Une impulsion (front montant ou descendant selon le circuit) sur l entrée de comptage (appelé aussi H, CLK ou CP) provoque l incrémentation du compteur. Ce nombre est accessible sous forme binaire sur les n sorties des bascules : [n-,, 2,, 0]. Exemple d un Chronogramme d un compteur asynchrone modulo 8 à base de bascules JK : 42
Remarque : Compteur à cycle incomplet On peut souhaiter compter jusqu'à un nombre N qui ne soit pas une puissance de 2, par exemple 0 (système décimal). Pour cela on utilise un compteur de n bascules, tel que 2n > N. On lui ajoute un asservissement de l'entrée Clear pour remettre le compteur à zéro tous les N coups. Considérons par exemple un compteur modulo 0. Nous voulons que l'entrée Clear soit à 0 lorsque le compteur atteint 0 0 = 00 2. Pour cela nous pouvons écrire l'expression logique : En fait dans ce cas particulier nous pouvons simplifier cette relation logique en ne tenant compte que des sorties à dans l'expression binaire de N. En effet il ne peut y avoir ambiguïté : toute combinaison contenant les mêmes sorties à et au moins une autre à correspond à un nombre plus grand que N et ne peut être rencontrée dans la séquence décrite par le compteur. Pour un compteur modulo 0 nous pouvons donc utiliser : ce qui nous conduit au schéma suivant : III-3- Compteurs synchrones Ce sont des compteurs (décompteurs) dont tous les étages (bascules) sont commandés par le même signal d'horloge. Ce mode de fonctionnement permet de limiter la durée des périodes d'instabilité et par conséquent autorise des vitesses de fonctionnement plus élevées qu'en mode asynchrone. Pour faire décrire au compteur une séquence déterminée il faut à chaque impulsion d'horloge définir les entrées synchrones J et K. Pour cela on utilise la table de transition de la bascule J-K. Nous avons déjà 43
remarqué que cette table peut se simplifier. En effet, pour chacune des quatre transitions possibles une seule des entrées J ou K est définie. Rien ne nous interdit donc de les mettre dans le même état, c'est-àdire J = K, comme dans une bascule T. Prenons l'exemple d'un compteur synchrone 3 bits fonctionnant selon le code binaire pur. Nous pouvons dresser un tableau précisant les valeurs des entrées J et K permettant d'obtenir chaque transition (passage d'une ligne à la suivante). Pour qu'une bascule change d'état il faut que ses deux entrées soient à. N 2 0 J2 = K2 J = K J0 = K0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 4 0 0 0 0 5 0 0 6 0 0 0 7 8 0 0 0 Chaque ligne de cette table correspond à une même tranche de temps. Il est assez facile d'en déduire les expressions logiques reliant les entrées aux sorties (en utilisant la table de Karnaugh): U3 Horloge 6 3 5 7 J CLK K S R U:A 2 0 3 9 J CLK K S R U:B 5 4 AND 6 3 5 7 J CLK K S R U2:A 2 4 4027 2 4027 4 4027 Procédons de même pour réaliser un décompteur, nous écrivons la table des transitions recherchées N 2 0 J2 = K2 J = K J0 = K0 0 44
0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 4 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 0 0 8 0 0 0 Nous en déduisons l'expression logique des entrées d'un décompteur : U3 Horloge 6 3 5 7 J CLK K S R U:A 2 0 3 9 J CLK K S R U:B 5 4 AND 6 3 5 7 J CLK K S R U2:A 2 4 4027 2 4027 4 4027 45
Bibliographie J. F. Wakerly, "Digital design, 4th edition". Prentice Hall, 2005. Givone, «Digital Principles and Design». McGraw-Hill 2003. Brown & Vranesic, «Fundamentals of Digital Logic with VHDL Design». McGraw-Hill 2000. Harvey & Sawan, «Systèmes logiques». Polytechnique 999. Mano, «Digital Design», 3e édition. Prentice-Hall 2002. Marcovitz, «Introduction to Logic Design», 2e édition. McGraw-Hill 2005. Roth, «Fundamentals of Logic Design», 5e édition. Thomson Brooks-Cole 2004. Sandige, «Digital Design Essentials». Prentice-Hall 2002. 46
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