Chapitre Proportionnalité 5 ème

Chapitre Proportionnalité 5 ème (CHAPITRE 2 en 2008/2009) Retour sur les tableaux de valeurs proportionnelles et sur les propriétés. Reconnaissance d'un tableau de valeurs proportionnelles ( travailler sur des grandeurs plutôt que sur des nombres sans contexte ). Calculer une quatrième proportionnelle par passage à l'unité par exemple. Échelles. Comparer des proportions ( déjà étudié dans les chapitres «Nombres en écritures fractionnaires» et «Calculs avec des écritures fractionnaires» ). Calcul d'un pourcentage ( ex : 8 sur 20 est une proportion s'écrivant 8 ou 40 ). 20 Unités de durée et relation durée-distance-vitesse ( sur des exemples, pas de technicité). Utilisation des connaissances déjà acquises dans des exercices variés mettant l'élève dans des situations concrètes

Chapitre Proportionnalité 5 ème ) Identifier une situation de proportionnalité Définition : Deux grandeurs sont «proportionnelles»lorsque l une s obtient en multipliant (ou en divisant) l autre par un même nombre non nul. Ce coefficient multiplicateur est un «coefficient de proportionnalité». Dans un magasin, le prix payé est proportionnel au nombre de glaces. glaces coûtent 4,5. On cherche le prix d une glace : p 4,5 p = 4,5 donc p = 4,5 : = =, 5 pour une glace. Nombre de glaces Prix (en ) 4,5 p,5 est un coefficient de proportionnalité entre le nombre de glaces et le prix payé. 2) Reconnaître un tableau de proportionnalité Méthode : Un tableau de nombres relève d une situation de proportionnalité, si un même coefficient (non nul) multiplicateur s applique dans tout le tableau. On parle alors du «coefficient de proportionnalité» du tableau. Exemple : Dans un magasin, les prix des sont donnés dans le tableau ci-contre. Pour savoir si ce tableau illustre une situation de proportionnalité, Nombre de Prix (en ) 0,75 6,5 9 2,25 il faut calculer le quotient fourni par chaque colonne du tableau. Si ces quotients sont tous égaux alors le tableau est un tableau de proportionnalité. 0,75,5 2,25 = 0,25 ; = 0,25 et = 0,25. 6 9 0,25 Les trois quotients sont égaux donc le tableau est un tableau de proportionnalité et son coefficient est 0,25. Exemple 2 : Dans un autre magasin les prix des Nombre de 4 6 9 sont donnés dans le tableau ci-contre. 0,60 0,90,08 Prix (en ) 0,60 0,90,08 = 0,5 ; = 0,5 et = 0,2 4 6 9 Les trois quotients ne sont pas égaux donc le prix n est pas proportionnel au nombre de.

) Compléter un tableau de proportionnalité a) Méthode : On utilise un coefficient de proportionnalité. Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. Trouver les nombres p et n. On cherche le coefficient de proportionnalité k : 2 0 k = 2 donc k = = 0, 2 0 0,2 est le prix d un bonbon.,2 2 n 0,2 =,20 donc n = = = 6. 0,2 2 p = 7 0,2 =,40. Nombre de n 0 7 Prix (en ),20 2 p k b) Méthode 2: On utilise des relations entre les différentes valeurs des grandeurs. Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité. Trouver les nombres p, n et n. 7 coûtent donc 2 coûtent fois ce prix, c'est-à-dire 9. Donc, p = 9. Avec on peut acheter 7, donc avec 6 on peut acheter 2 fois plus de, c'est-à-dire 4. Donc, n'= 4. On a 5 = 6 + 9. Avec 5, on peut donc acheter 4 + 2 = 5. Donc, n = 5. Remarques: Nombre de n 7 2 n Prix (en ) 6 p 5 La méthode 2 est souvent utiliser, lorsque le coefficient de proportionnalité n est pas un nombre décimal. Par exemple, dans l exemple ci-dessus, le coefficient de proportionnalité est 7, qui n est pas un nombre décimal. On peut tout de même utiliser le coefficient comme dans la méthode pour faire des calculs. 2 Par exemple, p = 2 = = = 9. 7 7 Dans une situation de proportionnalité, si l on connaît trois valeurs sur quatre du tableau, alors il est possible de calculer la quatrième valeur. On dit que l on calcule une «quatrième proportionnelle». Une voiture consomme 8 litres pour km. On suppose que la consommation est proportionnelle à la distance parcourue. Quelle distance d va-t-elle parcourir en consommant 5 litres de carburant? Distance parcourue (en km) d 0,08 Consommation de carburant (en L) 8 5 : 0, 08 Le coefficient de proportionnalité est 8 = 0, 08. Donc d = 5 : 0,08 = 87, 5 km. On dit que 87,5 est «une quatrième proportionnelle». Avec 5 litres d essence, la voiture pourra parcourir 87,5 kilomètres.

4) Résoudre des problèmes d échelles a) Définition : Les dimensions sur un plan (ou sur une carte, une photo, etc) sont proportionnelles aux dimensions réelles. L échelle du plan (ou de la carte, ou de la photo, etc) est le coefficient de proportionnalité qui permet d obtenir les dimensions sur le plan en fonction des dimensions réelles. Dimension sur le plan L échelle s exprime souvent sous forme fractionnaire : Echelle =. Dimension réelle ATTENTION : Les dimensions sur le plan et les dimensions réelles doivent être exprimées dans la même unité. b) Méthode : Calculer avec une échelle Dimension sur le plan = Dimension réelle Echelle Un plan est à l échelle. 250 Cela signifie : «cm sur le plan représente 250 cm dans la réalité». A quelle dimension d dans la réalité, correspondent 2,2 cm sur le plan? d = 2,2cm 250 = 550cm = 5, 5 m. Donc 2,2 cm sur le plan correspondent à 5,5 m dans la réalité. A quelle dimension d sur le plan correspondent 7,5 m dans la réalité? 7,5 d' = 7,5 m = = 7,5 : 250 = 0,0m = cm. 250 250 Donc 7,5 m dans la réalité correspondent à cm sur le plan. c) Méthode 2: Déterminer une échelle Sur une carte, 2 cm représentent km dans la réalité. Pour déterminer l échelle de cette carte, on convertit toutes les dimensions dans la même unité. 2 cm km 2 cm 00 000 cm. 2cm L échelle est donc =. 00 000cm 50 000 Cette échelle est un coefficient de «réduction». Sur une photo prise au microscope, cm représentent 0,06 mm dans la réalité. Pour déterminer l échelle de cette photo, on convertit toutes les dimensions dans la même unité. cm 0,06 mm 0 mm 0,06 mm. 0 mm 000 500 L échelle est donc = =. 0,06mm 6 Cette échelle est un coefficient «d agrandissement».

5) Travailler avec des mouvements uniformes a) Définition : «Heure décimale» On peut exprimer une durée à l aide de nombres décimaux ou de fractions de durées. On dit alors que «la durée est exprimée en heure décimale». 5 90 9 min = h ; s = min ; 5 min = h = h = 0, 25h ; 90 min = h = h = h =, 5h 60 60 60 4 60 6 2 b) Définition : «Mouvement uniforme» Lorsqu on se déplace à allure (vitesse) constante, on parle de «mouvement uniforme». Dans ce cas, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. Remarque : La vitesse est un coefficient de proportionnalité. Pour tester un régulateur de vitesse, on fait tourner deux voitures sur un circuit : Le conducteur de la voiture A utilise un régulateur de vitesse ; Le conducteur de la voiture B essaye de garder une vitesse constante. Voiture A Voiture B Temps écoulé (en min) 0 20 0 40 0 20 0 40 Distance parcourue (en km) 5 0 45 60 20 0 50 60 La distance parcourue par chaque voiture varie en fonction du temps écoulé. 5 0 45 60 Pour la voiture A utilisant un régulateur de vitesse, on vérifie que = = = =, 5. 0 20 0 40 La distance parcourue par la voiture A est proportionnelle au temps écoulé. On dit que le mouvement de la voiture A est uniforme. 20 0 Pour la voiture B n utilisant pas de régulateur de vitesse, on a = 2 et =, 5. 0 20 Comme 2, 5, on peut dire que la distance parcourue par la voiture B n est pas proportionnelle au temps écoulé. Le mouvement de la voiture B n est pas uniforme. On peut représenter les deux tableaux sur un graphique : Distance parcourue (en km) Lorsque les points du graphique sont alignés avec l origine du repère, on reconnaît une situation de proportionnalité Par exemple, pour la voiture A. Voiture B Voiture A (en pointillé) «Origine» du repère Temps écoulé (en min)

6) Utiliser des pourcentages a) Appliquer un pourcentage : (notion vue en 6 ème ) P Calculer P % d un nombre, revient à multiplier ce nombre par. 70 % des 600 élèves d un collège sont demi-pensionnaires. 70 600 600 = 70 = 70 6 = 420. Donc 420 élèves sont demi-pensionnaires. Sur une boîte de céréales il est écrit : «0 % de fruits». Quelle quantité de fruits trouve-t-on dans g de céréales? dans 200 g? dans 00 g? 0 = 0 = 0. Donc il y a 0 g de fruits dans g de céréales. Masse de céréales (en g) Masse de fruits (en g) 200 00 0 60 90 0 La masse de fruits est proportionnelle à la masse de céréales. 0 = 0, est le coefficient de proportionnalité. b) Calculer un pourcentage : Exemple : A un entraînement de football, Jean a marqué 0 buts sur 50 tirs et Paul a marqué 20 buts sur 2 tirs. Quel est le joueur le plus adroit? 0 60 20 0 5 62,5 Jean : = = 0,6 = = 60% Paul : = = = 0,625 = = 62,5%. 50 5 2 6 8 Paul est donc le joueur le plus adroit, car il a un pourcentage de réussite (62,5 %) plus grand. Exemple 2 : Parmi les 4 500 électeurs de Mathcity, 2 24 ont voté pour Monsieur Pythagore. Quel est le pourcentage des voix pour Monsieur Pythagore? 2 24 49,8 = 0,498 =. Monsieur Pythagore a obtenu 49,8 % des voix. 4500 Cas général : a Le pourcentage P d un nombre a par rapport à un nombre b (non nul) est : P =. b 2 «2 personnes sur 28» : = 25. 2 personnes représentent 25 % de 28 personnes. 28 40 «Jean a dépensé 40 sur 200» : = 70. 40 représentent 70 % de 200. 200