Que de bonds! en groupe-classe en équipe individuelle Au cours de cette activité, l élève mesure la longueur des bonds qu effectuent les élèves du groupe-classe et présente ces données dans un histogramme. Pistes d observation Traitement des données et probabilité L élève : réalise une collecte de données; reconnaît les éléments d un histogramme; construit un histogramme; interprète des résultats et tire des conclusions selon le contexte du problème. Matériel requis calculatrices papillons autocollants de 7,5 cm 7,5 cm ruban-cache rubans à mesurer feuille Histogramme transparent de la feuille Histogramme fiche Que de bonds! (1 copie par élève) Avant la présentation de l activité préparer, dans un endroit assez grand (p. ex., le gymnase ou la cour d école), quatre ou cinq stations où les élèves pourront exécuter des bonds en longueur. À chaque station : s assurer qu il y a suffisamment d espace pour effectuer les bonds (environ deux mètres); marquer la ligne de départ sur le sol à l aide d un bout de ruban-cache. Déroulement Expliquer aux élèves qu elles et ils réaliseront une expérience en vue de déterminer la longueur d un bond que peut faire un ou une élève de 7 e année. 262 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Expliquer aux élèves le déroulement de l expérience : Les bonds seront effectués à quatre endroits différents. Un ou une élève sera responsable de mesurer les bonds à chaque endroit. Chaque élève doit effectuer deux bonds et noter la longueur de chaque bond sur un papillon autocollant différent. Pour effectuer un bond, on place le bout de son pied sur la ligne de départ et on prend son élan. La longueur d un bond correspond à la distance, en centimètres, entre la ligne de départ et le talon du pied le plus près de celle-ci. Demander à un ou à une élève de venir effectuer un bond à titre d exemple. Mesurer le bond qu a effectué l élève. Remettre à chaque élève deux papillons autocollants. Désigner un ou une élève à chaque endroit pour mesurer la distance des bonds effectués. Demander aux élèves de se grouper aux divers endroits en vue d effectuer les bonds. Lorsque tous les élèves ont terminé, leur dire de regagner leur place. Demander aux élèves de dire, à tour de rôle, la longueur de chacun des deux bonds effectués. L écrire au fur et à mesure au tableau. À titre d exemple, les nombres ci-dessous représentent la longueur des bonds, en centimètres, qu ont effectués les 25 élèves du groupe-classe de M me Bond. Ces données seront utilisées tout le long de l activité pour illustrer les solutions. 121 110 117 97 82 106 89 122 93 145 188 135 70 111 92 142 151 159 76 87 129 117 77 100 101 147 86 164 134 160 132 91 172 108 123 91 140 98 84 122 111 157 176 90 81 121 168 139 112 126 Expliquer aux élèves qu ensemble elles et ils construiront un diagramme à bandes en vue de représenter les données de l expérience. Poser aux élèves les questions suivantes. Quelle est la plus petite donnée? La plus petite donnée est 70. Quelle est la plus grande donnée? La plus grande donnée est 188. Tracer, au tableau, les axes nécessaires à la construction du diagramme à bandes. Graduer l axe horizontal par intervalles de 10 en commençant par la dizaine inférieure à la plus petite donnée recueillie lors de l expérience; par exemple, si la plus petite donnée est 55, graduer l axe par 10 en commençant par le nombre 50. Traitement des données et probabilité 7 e année Activité 3 Module 2 263
Si le tableau n est pas assez grand, n écrire que les cinq premières dizaines sur l axe horizontal et laisser suffisamment d espace entre les intervalles pour y coller côte à côte 10 papillons autocollants. e Longueur des bonds des élèves de 7 année Expliquer aux élèves que, puisque les valeurs notées sur l axe horizontal ne commencent pas à 0, il faut l indiquer à l aide d un bris. Leur montrer du doigt le bris sur l axe horizontal. Demander à chaque élève de venir coller leurs papillons autocollants aux endroits appropriés sur l axe horizontal du diagramme. Nombre de bonds Nombre de bonds 70 80 90 100 110 Longueur (cm) e Longueur des bonds des élèves de 7 année 70 80 90 100 110 Longueur (cm) Note : Les élèves qui n ont pas eu la chance de coller leurs papillons autocollants le feront au cours de la construction de l histogramme. Poser la question suivante : «Que remarques-tu relativement à ce diagramme à bandes?» Les réponses vont varier. Voici des réponses possibles : Il y a un très grand nombre de bandes dans le diagramme. L effectif de plusieurs bandes est 1 ou 2. Il est difficile d en faire ressortir des informations pertinentes. Faire réaliser aux élèves que le diagramme à bandes ne se prête pas très bien à la représentation de la longueur des bonds, puisqu il y a beaucoup trop de bandes. Amener les élèves à se rendre compte qu il est préférable de grouper les données pour réduire le nombre de bandes et faire ressortir l information pertinente. Expliquer aux élèves que, pour mieux représenter les données recueillies en mesurant la longueur des bonds des élèves de 7 e année, il est préférable de les grouper en classes. Expliquer également aux élèves que, puisque l ensemble des classes d intervalles successifs doit contenir toutes les données, la première classe doit contenir la plus petite donnée et la plus grande classe doit contenir la plus grande donnée. 264 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Faire remarquer aux élèves que les données varient entre 70 et 190. Leur demander de suggérer des façons de grouper les données obtenues en 5 à 10 classes d intervalles successifs et de grandeur égale. Les réponses vont varier. Voici quatre regroupements possibles : Les données se situent entre 70 et 190. Si on les groupe en classes dont Si on les groupe en classes dont les intervalles sont de 15, on obtient les intervalles sont de 10, on obtient les les 8 classes suivantes. 12 classes suivantes. Classes (intervalles de 10) 70 80 80 90 90 100 100 110 110 120 120 130 130 140 140 150 150 160 160 170 170 180 180 190 Si on les groupe en classes dont les intervalles sont de 20, on obtient les 6 classes suivantes. Classes (intervalles de 20) 70 90 90 110 110 130 130 150 150 170 170 190 Classes (intervalles de 15) 70 85 85 100 100 115 115 130 130 145 145 160 160 175 175 190 Si on les groupe en classes dont les intervalles sont de 50, on obtient les 3 classes suivantes. Classes (intervalles de 50) 70 120 120 170 170 220 Note : Il existe d autres possibilités quant au groupement des données en classes. Traitement des données et probabilité 7 e année Module 2 265
Faire une mise en commun pour faire ressortir différentes possibilités de regroupements. Expliquer aux élèves qu il est préférable de choisir des regroupements qui contiennent de 5 à 10 classes. Poser la question suivante : «Quel regroupement est préférable?» Les élèves élimineront probablement les classes dont les intervalles sont de 10 et de 50. Les classes dont les intervalles sont de 15 et de 20 constituent des regroupements acceptables parce qu on obtient respectivement 8 et 6 classes. Expliquer aux élèves qu il est possible de trouver rapidement la grandeur des classes. Poser les questions suivantes. Quelle est la plus petite donnée? La plus petite donnée est 70. Quelle est la plus grande donnée? La plus grande donnée est 188. Expliquer aux élèves que l étendue correspond à la différence entre la plus grande et la plus petite donnée. Dans ce cas, l étendue des données est de 188 70, soit 118. Étendue L étendue des données est la différence entre la plus grande et la plus petite donnée. Dans le but de trouver la grandeur des classes, dire aux élèves qu elles et ils doivent diviser l étendue par un nombre quelconque. Le quotient obtenu donne le nombre de classes. Poser aux élèves la question suivante : «Par quel nombre doit-on diviser 118 pour obtenir de 5 à 10 classes?» Voici une réponse possible : Si l on divise 118 par 10, on obtient 11 classes dont les intervalles sont de 10. C est trop de classes. Si l on divise 118 par 15, on obtient 8 classes dont les intervalles sont de 15. Si l on divise 118 par 20, on obtient 6 classes dont les intervalles sont de 20. Tracer, au tableau, une droite graduée dont l échelle respecte les intervalles qu ont choisis les élèves. L espace entre chaque nombre sur l échelle doit être de la même largeur qu un papillon autocollant (7,5 cm). Note : À titre d exemple, les classes dont les intervalles sont de 20 ont été choisies pour construire l histogramme qui représente la longueur des bonds des élèves du groupe-classe de M me Bond. 70 90 110 130 150 170 190 266 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Demander aux élèves de venir coller, au tableau, leurs papillons autocollants, l un au-dessus de l autre, dans la classe appropriée, en vue de former des bandes. 70 90 110 130 150 170 190 Classes Notes : Lorsqu on dénombre les données dans les différentes classes, certaines d entre elles peuvent parfois appartenir à deux classes différentes. Si une classe comprend les données situées entre 70 et 90 et que la prochaine comprend les données situées entre 90 et 110, dans quelle classe place-t-on la donnée 90? En mathématiques, il existe une convention qui stipule qu une classe entre 70 et 90 comprend la donnée 70, mais pas la donnée 90. Donc, la limite inférieure d une classe y appartient, mais pas la limite supérieure. La donnée 90 appartient à la classe 90 110. De la même façon, la donnée 110 appartient à la classe 110 130 et non à la classe 90 110. On place toujours les données qui pourraient appartenir à deux classes en fonction des limites inférieures des classes. Expliquer aux élèves que l on vient de construire un histogramme. L histogramme est composé de bandes adjacentes où chaque classe est représentée par une bande dont la base est la grandeur de l intervalle de la classe et dont la hauteur représente la quantité de données dans la classe, soit l effectif de la classe. Remettre à chaque élève la feuille Histogramme et projeter le transparent de la feuille Histogramme. Remplir le tableau des effectifs avec les élèves en utilisant les données écrites au tableau. Construire, au fur et à mesure, l histogramme avec les élèves en posant les questions suivantes. Comment va-t-on graduer l axe horizontal? L axe horizontal sera gradué par intervalles de 20 en commençant par le nombre 70 jusqu au nombre 190. Traitement des données et probabilité 7 e année Module 2 267
Doit-on indiquer un bris? Oui, car l axe n est pas gradué à partir de 0. Quel titre donne-t-on à l axe horizontal? Le titre est Longueur (cm). Comment va-t-on graduer l axe vertical? Puisque l effectif le plus élevé est 14, l axe vertical sera gradué par intervalles de 2 en commençant par 0 jusqu au nombre 16. Quel titre donne-t-on à l axe vertical? Le titre est Nombre de bonds. Quelle est la hauteur de la première bande? de la deuxième bande? La hauteur de la première bande doit être 9 parce que, parmi tous les bonds effectués, 9 bonds mesurent entre 70 et 90 centimètres. La hauteur de la deuxième bande est 10 parce que Expliquer aux élèves que, contrairement au diagramme à bandes, dans un histogramme, les bandes sont adjacentes, c est-à-dire qu elles se touchent. Quel est le titre du diagramme? Le titre du diagramme est Longueur des bonds des élèves de 7 e année. Une fois l histogramme terminé, poser aux élèves les questions suivantes. Quelle est la ressemblance entre un histogramme et un diagramme à bandes? Dans ces deux types de diagrammes, on utilise des bandes pour représenter des données. Quelles sont les différences entre un histogramme et un diagramme à bandes? Dans un histogramme, les bandes sont adjacentes (collées l une à l autre), tandis que, dans un diagramme à bandes, des espaces de même longueur les séparent. Dans un histogramme, une bande représente l effectif d un groupe de données, tandis que, dans un diagramme à bandes, une bande représente l effectif d une donnée. Dans quelle classe se situe un bond de 95 cm? Pourquoi? Un bond de 95 cm se situe dans la classe de 90 à 110 cm, puisque cette donnée se trouve entre 90 et 110 cm. Dans quelle classe se situe un bond de 110 cm? Pourquoi? Un bond de 110 cm se situe dans la classe de 110 à 130 cm, car la limite inférieure d une classe appartient à la classe. Dans quelle classe se situe un bond de 130 cm? Pourquoi? Un bond de 130 cm se situe dans la classe de 130 à 150 cm, car la limite inférieure d une classe appartient à la classe. Le bond de 130 cm ne se situe pas dans la classe de 110 à 130 cm, étant donné que la limite supérieure ne lui appartient pas. 268 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Dans quelle classe trouve-t-on le plus grand nombre de bonds? C est dans la classe de 110 à 130 cm que l on trouve le plus grand nombre de bonds, puisque l effectif de cette classe est le plus élevé. Combien de bonds de moins de 130 cm ont été effectués? Le nombre de bonds de moins de 130 cm est 14 + 10 + 9, soit 33 bonds. Activité 3 D après l expérience réalisée, est-il vrai que plus de 50 % des élèves ont réussi à faire des bonds de plus d un mètre de distance? Oui, car 50 % des élèves correspond à la moitié du groupe-classe et, en regardant l histogramme, il est évident que plus de la moitié des bonds effectués sont plus grands que 100 centimètres. D après l expérience réalisée, est-il vrai que 100 % des élèves ont réussi à faire des bonds de plus de 90 centimètres? Non, car 100 % des élèves signifie tous les élèves et, dans cette expérience, quelques élèves n ont pas réussi à faire des bonds de plus de 90 centimètres. Que doit-on retenir au sujet de l histogramme? Voici des réponses possibles : Un histogramme est un diagramme à bandes spécial. Chaque bande d un histogramme représente différentes données comprises dans un intervalle. Avant de construire un histogramme, on doit déterminer l étendue. Cette dernière nous aide à déterminer les différentes classes. Dans un histogramme, les bandes sont adjacentes. Lorsqu on dénombre les données dans les différentes classes, il faut prendre une décision en ce qui a trait aux données qui sont à la limite des intervalles. On construit un histogramme lorsqu on a beaucoup de données (valeurs) qui sont différentes. En plaçant ces données dans des classes, on limite le nombre de bandes. Traitement des données et probabilité 7 e année Module 2 269
Tableau des effectifs Histogramme Longueur des bonds des élèves de 7 e année Classes Dénombrement Effectifs Histogramme 270 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Histogramme Corrigé Tableau des effectifs Voici un exemple de tableau qu a rempli le groupe-classe de 25 élèves de M me Bond : Longueur des bonds des élèves de 7 e année Classes Dénombrement Effectifs 70 90 llll llll 9 90 110 llll llll 10 110 130 llll llll llll 14 130 150 llll lll 8 150 170 llll l 6 170 190 lll 3 Histogramme Voici un histogramme possible : e Longueur des bonds des élèves de 7 année Nombre de bonds 16 14 12 10 8 6 4 2 0 70 90 110 130 150 170 190 Longueur (cm) Traitement des données et probabilité 7 e année Module 2 271
Que de bonds! 1. Utilise les données de l expérience se rapportant aux bonds qu ont effectués les élèves du groupeclasse pour répondre aux questions suivantes. a) Dans quelle classe se situe un bond de 95 cm? b) Dans quelle classe trouve-t-on le plus grand nombre de bonds? c) Combien de bonds sont inférieurs à 130 cm? d) Quel pourcentage des bonds sont inférieurs à 130 cm? e) Maria affirme que plus de 50 % des bonds effectués sont inférieurs à 110 cm. A-t-elle raison? f) Joseph affirme que moins de 25 % des bonds effectués sont supérieurs à 150 cm. A-t-il raison? 2. Les élèves de 7 e année d une autre école ont réalisé la même expérience que les élèves de ton groupe-classe. Voici les résultats obtenus : e Longueur des bonds des élèves de 7 année Nombre de bonds 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 70 90 110 130 150 170 190 Longueur (cm) a) Si chaque élève du groupe-classe a effectué deux bonds, combien d élèves y a-t-il dans ce groupe-classe? b) Compare les résultats obtenus dans ton groupe-classe à ceux qu a obtenus l autre groupeclasse de 7 e année. Ont-ils effectué des bonds plus grands que ceux qu a effectués ton groupeclasse ou les résultats sont-ils comparables? Utilise des pourcentages pour justifier ta réponse. 272 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Que de bonds! Corrigé 1. Utilise les données de l expérience se rapportant aux bonds qu ont effectués les élèves du groupeclasse pour répondre aux questions suivantes. a) Dans quelle classe se situe un bond de 95 cm? Un bond de 95 cm se situe dans la classe de 90 à 110 cm. b) Dans quelle classe trouve-t-on le plus grand nombre de bonds? C est dans la classe de 110 à 130 cm que l on trouve le plus grand nombre de bonds. L effectif de cette classe est le plus élevé. c) Combien de bonds sont inférieurs à 130 cm? Il y a 14 + 10 + 9, soit 33 bonds inférieurs à 130 cm. d) Quel pourcentage des bonds sont inférieurs à 130 cm? Puisqu il y a 14 + 10 + 9 des 50 bonds qui sont inférieurs à 130 cm, alors 33 des bonds sont 50 inférieurs à 130 cm. Puisque 33 = 66 et que 66, alors 66 % des bonds sont inférieurs à 130 cm. 50 100 100 = 66 % e) Maria affirme que plus de 50 % des bonds effectués sont inférieurs à 110 cm. A-t-elle raison? 19 Parmi les 50 bonds effectués, 9 + 10, soit 19 bonds sont inférieurs à 110 cm. Puisque = 38, 50 100 alors 38 % des bonds sont inférieurs à 110 cm. Maria n a donc pas raison parce que seulement 38 % des bonds sont inférieurs à 110 cm. f) Joseph affirme que moins de 25 % des bonds effectués sont supérieurs à 150 cm. A-t-il raison? 9 Parmi les 50 bonds effectués, 9 bonds sont supérieurs à 150 cm. Puisque = 18, 50 100 alors 18 % des bonds sont supérieurs à 150 cm. Joseph a raison parce que moins de 25 % (seulement 18 %) des bonds sont supérieurs à 150 cm. Traitement des données et probabilité 7 e année Module 2 273
2. Les élèves de 7 e année d une autre école ont réalisé la même expérience que les élèves de ton groupe-classe. Voici les résultats obtenus : e Longueur des bonds des élèves de 7 année Nombre de bonds 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 70 90 110 130 150 170 190 Longueur (cm) a) Si chaque élève du groupe-classe a effectué deux bonds, combien d élèves y a-t-il dans ce groupe-classe? Il y a 4 bonds dans la 1 re classe, 17 bonds dans la 2 e, 12 bonds dans la 3 e, 14 bonds dans la 4 e, 2 bonds dans la 5 e et 3 bonds dans la 6 e. En tout, 4 + 17 + 12 + 14 + 2 + 3, soit 52 bonds ont été effectués. Il y a donc 52 2, soit 26 élèves dans le groupe-classe. b) Compare les résultats obtenus dans ton groupe-classe à ceux qu a obtenus l autre groupeclasse de 7 e année. Ont-ils effectué des bonds plus grands que ceux qu a effectués ton groupeclasse ou les résultats sont-ils comparables? Utilise des pourcentages pour justifier ta réponse. Voici une réponse possible : Dans le groupe-classe de M me Bond, 9 + 10 + 14, soit 33 des 50 bonds effectués sont inférieurs à 130 cm. Puisque 33 = 66, alors 66 % des bonds sont inférieurs à 130 cm et 34 % (100 % 66 %) 50 100 des bonds sont égaux ou supérieurs à 130 centimètres. 274 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Dans l autre groupe-classe de 7 e année, 4 + 17 + 12, soit 33 des 52 bonds effectués sont inférieurs à 130 cm. Puisque 33 0,634 615 52, alors environ 63 % des bonds effectués sont inférieurs à 130 cm et 63 100 63 % 37 % (100 % 63 %) des bonds sont égaux ou supérieurs à 130 cm. Les résultats des expériences réalisées dans les deux groupes-classes de 7 e année sont semblables, puisque, dans les deux cas, les pourcentages sont presque égaux, c est-à-dire que la même proportion d élèves ont effectué des bonds inférieurs à 130 cm et des bonds de 130 cm et plus. Traitement des données et probabilité 7 e année Module 2 275