CONCOURS EXTERNE SPECIAL 2012 POUR LE RECRUTEMENT D ELEVES INGENIEUR DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE ET D ELEVES INGENIEUR DE L ECOLE NATIONALE DE LA METEOROLOGIE ************************************************************************************** EPREUVE DE METEOROLOGIE Durée : 4 heures Coefficient : 6 Cette épreuve comporte trois parties indépendantes pouvant être traitées séparément : I II III METEOROLOGIE GENERALE (7 points) METEOROLOGIE DYNAMIQUE (7 points) COUCHE LIMITE (6 points) Le candidat doit traiter toutes les parties. La clarté des réponses et le soin apporté à la rédaction seront pris en compte dans la notation. NOTA : CHACUNE DES PARTIE I, II et III DOIT ETRE REDIGEE SUR UNE COPIE SEPAREE. Pour tout document annexe (émagramme) rendu avec la copie, le candidat portera sur celui-ci le nom du centre d examen où ils passent l épreuve et le numéro de place, à l exclusion de toute autre information. L utilisation d une calculatrice de poche, standard, programmable, alphanumérique ou à écran graphique est autorisée, à condition que son fonctionnement soit autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante, ni de dispositif externe de stockage d information (cartes, clés USB, etc. ). L utilisation de toute autre documentation sur support papier ou électronique est strictement interdite. Ce document comporte 10 pages. Ecole Nationale de la Météorologie Page 1 sur 10
PARTIE I METEOROLOGIE GENERALE (7 points) Pièce jointe : un émagramme, à rendre avec la copie Données : Constante universelle des Gaz Parfaits : R* = 8,314 J.mole -1.K -1 Constante spécifique de l air sec : Ra = 287 J.kg-1.K -1 Accélération de la pesanteur : g = 9,8 m.s -2 Constante de la loi de Wien : 2898 x 10-6 m.k Constante de la loi de Stefan-Boltzmann : 5,67 x 10-8 W.m -2.K -4 Si on note c p la chaleur massique à pression constante, c v la chaleur massique à volume c p 5 constant, alors pour un Gaz Parfait monoatomiqueγ = = cv 3 On rappelle la loi de Mayer des Gaz Parfaits : c c R, constante spécifique du gaz. p v = La loi de Joule pour les Gaz Parfaits : du=m c v dt, où U est l énergie interne, m la masse et T la température. Chaque thème A, B, C ou D peut être traité indépendamment des autres. A) L équilibre vertical dans l atmosphère 1) a] Etablir l équation du mouvement vertical d une particule d air ; on fera pour cela l approximation de la pellicule mince, et on négligera les termes de frottement et de Coriolis. b] En déduire l expression de l équilibre hydrostatique ; préciser pour quelles échelles horizontales l hydrostatisme s applique. Quantifier la validité de l hydrostatisme à l échelle synoptique. c] Déduire de l hydrostatisme la relation de Laplace des épaisseurs, en précisant les hypothèses faites pour établir cette relation. d] Considérons une situation météorologique pour laquelle les champs de pression et de température sont en phase (anticyclone/haut géopotentiel dans l air chaud, dépression/bas géopotentiel dans l air froid). Une zone de bas géopotentiel aura-t-elle tendance à se creuser ou à se combler avec l'altitude? Et une zone de haut géopotentiel? Justifier la réponse. Ecole Nationale de la Météorologie Page 2 sur 10
e] Qu est-ce qu une dépression thermique? Quelles sont les conditions météorologiques favorables à l apparition d une telle structure? Citer au moins un exemple de dépression thermique fréquemment présente dans l hémisphère Nord. Toujours dans l hémisphère Nord, comment varie le tourbillon relatif sur la verticale dans une telle dépression? 2) On rappelle qu un émagramme est un diagramme thermodynamique caractérisé par les relations : 1000 y = k y log P x = y + k xt où y et x sont les coordonnées d un point, P(hPa) et T( C) désignent la pression et la température de la particule que ce point d état représente ; k x et k y sont des constantes positives. a] A partir de la relation établie au 1) a], établir l expression ci-après de l accélération verticale d une particule d air, en fonction de sa température virtuelle T vp et de la température virtuelle de son environnement, notée T v. dw dt Tvp T = g Tv Pour cela, on se placera dans le cadre très simple du modèle de la particule où on suppose que la particule se déplace au sein d un environnement au repos, et que la pression de la particule reste égale à celle de son environnement. v b] On assimilera ici la température virtuelle à la température. Montrer que la variation d énergie cinétique verticale d une particule initialement à l équilibre au niveau P 0, et animée d un mouvement vertical entre le niveau de pression P et le niveau P+dP, est proportionnelle à l aire ds hachurée sur le schéma, comprise sur un émagramme entre la courbe d état et la courbe décrivant la transformation subie par la particule. Courbe décrivant la transformation de la particule Courbe d état c] Expliquer les notions de CAPE et de CIN, en illustrant l explication d un schéma. Quelle est l unité de ces grandeurs? Quelle est leur utilité dans l aide à la prévision du risque d orage? Quelles surfaces sur l émagramme matérialisent la CAPE et la CIN respectivement? Ecole Nationale de la Météorologie Page 3 sur 10
B) Circulation générale de l atmosphère Représenter une coupe verticale (entre le sol et 20 km environ), avec la latitude en abscisse (du pôle nord au pôle sud) et l altitude en ordonnée, sur laquelle figurera l allure en moyenne annuelle des isentropes (c est-à-dire des isolignes de température potentielle). Positionner ensuite sur le même schéma les jets d ouest. C) Rayonnement 1) Calculer la puissance émise par unité de surface, par la Terre et par le Soleil respectivement, en supposant que ce sont des corps noirs à températures respectives de 290 K et 6000 K 2) Pour quelle longueur d onde se fait le maximum d émission pour la Terre? Pour le Soleil? 3) Qu est-ce que la fenêtre de transparence atmosphérique? Cette fenêtre a-t-elle une importance pratique en météorologie? Expliquer votre réponse. D) Exercices de thermodynamique Les trois exercices sont indépendants Exercice n 1 : gradient autoconvectif Pour cet exercice, on négligera la différence entre la température virtuelle et la température d état T. a] On considère une atmosphère fictive homogène (c est-à-dire telle que la masse volumique ρ est uniforme : en particulier, ρ ne dépend pas de l altitude) ; on suppose vérifiés dans cette atmosphère l équilibre hydrostatique et la relation d état des gaz parfaits. Montrer que cette atmosphère homogène a une épaisseur H finie qui dépend seulement de la température au niveau de la mer (z=0). Calculer l épaisseur d une telle atmosphère avec une température au niveau z=0 de 15 C. b] Calculer le gradient vertical de température Γ auto = dans l atmosphère homogène. T (appelé gradient autoconvectif) c] Caractériser le profil vertical de masse volumique que l on observerait dans une couche T d atmosphère où on aurait = Γ<0, avec Γ > Γauto. Ce type de stratification pourrait-il se maintenir durablement? Justifier votre réponse. Ecole Nationale de la Météorologie Page 4 sur 10
Exercice n 2 : panache d air chaud et humide Cet exercice sera traité à l aide de l émagramme fourni en pièce jointe. Une tour de refroidissement rejette de l air chaud et humide au niveau 850 hpa. Le profil de température de l environnement est isotherme avec T = 5 C. L air rejeté au sommet de la tour a une température de 30 C et un rapport de mélange de 25 g.kg -1. a] Déterminer : sa température du point de rosée ; r son humidité relative, en prenant comme approximation de cette grandeur, rw ( P, T ) où r est le rapport de mélange et r w (P,T) le rapport de mélange saturant à la pression P, température T ; sa température potentielle, et sa température pseudo-adiabatique potentielle du thermomètre mouillé. b] Un nuage signalant la présence d eau condensée se formera-t-il au-dessus de la tour de refroidissement? Si oui, déterminer la base et le sommet de ce nuage. Exercice n 3 : cycle d un gaz parfait Dans cet exercice, les transformations sont représentées en coordonnées de Clapeyron, avec le volume V en abscisse et la pression P en ordonnée. a] Quel est le signe du travail des forces de pression reçu par un gaz parfait qui subit un cycle de transformation réversible, le cycle tournant dans le sens des aiguilles d une montre en coordonnées de Clapeyron? Justifier votre réponse. P b] Par échange de chaleur et de travail des forces de pression, on fait subir à une mole d'un gaz parfait monoatomique un cycle réversible A B C D A. On donne : V A = V B = 22,4 x 10-3 m 3 ; V C = V D = 44,8 x 10-3 m 3 P A = P D = 1,013 x 10 5 Pa ; P B = P C = 5 x 1,013 x 10 5 Pa Calculer : Les températures aux points A, B, C, D. La quantité de chaleur reçue par le gaz au cours du cycle. La variation d'énergie interne entre les états A et C : U C - U A. La quantité de chaleur reçue par le gaz dans la transformation B C. P B. A..C.D V V Ecole Nationale de la Météorologie Page 5 sur 10
PARTIE II METEOROLOGIE DYNAMIQUE (7points) On considère un point O, origine du repère local, situé au sol, à la latitude +45. On estime que le paramètre de Coriolis noté f vaut 10-4 s -1 en O. Enfin, l accélération de la pesanteur g est supposée constante et égale à 9,8 m.s -2. Soit quatre points au sol A, B, C, D de coordonnées dans le même repère : A(-L, 0) B(0, L) C(L, 0) D(0, -L) On donne : L = 100 km On considère les cinq points A, B, C, D, O situés à la verticale des cinq points A, B, C, D, O précédents sur la surface isobare 500 hpa. Leurs altitudes respectives sont : z A = 5560 m z B = 5560 m z C = 5590 m z D = 5590 m z O = 5573 m A ce même niveau de pression de 500 hpa, on observe les températures : T A = -20 C T B = -22 C T C = -22 C T D = -20 C T O = -21 C On considère que l air est sec. On donne la valeur de la constante spécifique de l air sec : R a = 287 J.K -1.kg -1 La capacité calorifique à pression constante vaut, pour l air sec : c Pa = 1004 J.K -1.kg -1 1) On se place sur la surface 500 hpa en O. On assimile cette surface à un plan et on approche les dérivées spatiales premières par une discrétisation du premier ordre. a] Evaluer la plus grande pente de cette surface en O. b] En déduire les composantes de la force horizontale de pression exercée sur une particule d air de masse unité située en O. c] Evaluer les composantes du gradient isobare de température en O. d] Définir le vent géostrophique et préciser les hypothèses utilisées pour en obtenir la formulation. Indiquer une estimation du chiffrage de sa validité à l échelle synoptique et aux latitudes moyennes. Evaluer le vent géostrophique V g en O. 2) a] Donner la définition d une advection de température. Evaluer l évolution de la température en 3 heures sous l effet de l advection au point O. b] Rappeler l équation d évolution de la température établie en coordonnées pression. Montrer que l évolution locale de la température peut s exprimer comme somme de trois termes : l advection isobare de température, un terme faisant intervenir la vitesse verticale généralisée en coordonnée pression ω, un terme de chauffage diabatique. Ecole Nationale de la Météorologie Page 6 sur 10
Montrer que le terme faisant intervenir ω comporte un coefficient multiplicatif s qu on appellera terme de stabilité et que l on explicitera. Etablir que s peut s exprimer en faisant intervenir le gradient vertical de température potentielle et justifier ainsi son appellation. c] On suppose que le gradient vertical de la température en O est de 0,0065 K.m -1. Calculer le paramètre de stabilité. En déduire le gradient vertical de température potentielle en O en coordonnées pression. d] On néglige les apports de chaleur. En déduire ω en O, exprimée en hpa par 3 heures, qui serait nécessaire pour que la variation thermique en O soit nulle. Commenter ce résultat en explicitant le rôle des mouvements verticaux dans l atmosphère par rapport aux éventuelles anomalies de température. e] Dans le cas d une atmosphère humide quels pourraient être les impacts des apports de chaleur respectifs de la condensation et de l évaporation sur les mouvements verticaux dans l atmosphère. 3) a] Définir les tourbillons relatif et absolu. b] Etablir la formule approchée de la composante verticale du tourbillon relatif en fonction de l accélération de la pesanteur g, du paramètre de Coriolis f et des altitudes des points A, B, C, D et O. Calculer les composantes verticales ζ et ζ a des tourbillons relatif et absolu en O en négligeant les variations méridiennes du paramètre de Coriolis. Rappeler l expression du tourbillon potentiel d Ertel en coordonnées pression. Calculer sa valeur approchée en O. 4) a] Définir le vent thermique d une couche d air atmosphérique comprise entre deux niveaux de pression P B et P S. Déterminer le vent thermique correspondant à la couche [700, 500 hpa] à la verticale de O en estimant que le gradient isobare de température à 500 hpa est représentatif de celui moyenné sur la couche. b] En déduire le vent géostrophique à la verticale de O à 700 hpa. c] Evaluer l advection horizontale de température au niveau 700 hpa et la comparer à celle calculée en O en 2)a]. Commenter ce résultat. 5) a] Exprimer le cisaillement vertical du vent géostrophique en coordonnées V g pression en fonction de la pression P et du gradient de température à pression constante. P Montrer que le cisaillement du vent géostrophique en coordonnées z s exprime en fonction de la température T et du gradient isobare de T. L évaluer à 500 hpa à la verticale de O. b] Montrer que l advection de température par le vent géostrophique en O s exprime en fonction du cisaillement du vent. Ecole Nationale de la Météorologie Page 7 sur 10
c] En déduire une correspondance entre le signe de l advection thermique et l hodographe du vent. Appliquer ce résultat général à la verticale de O entre les deux niveaux 700 et 500 hpa. d] On désigne par A(z) l aire délimitée sur un graphe en coordonnées u, v par le vent géostrophique au sol V 0 (z), le vent géostrophique V g (z) au niveau d altitude z et l hodographe du vent entre ces deux niveaux (Cf. figure). v (z) V g Soit : A (z) = A(z) V 0 (z) z 0 hodographe u 1 k V d 2 g V g Etablir que l advection thermique horizontale à un niveau donné est fonction du gradient vertical de A. Rappeler la définition de la fréquence de Brunt-Väisälä N. En exprimant la dérivée eulérienne de N 2, montrer comment une variation de la stabilité dans le temps peut être conditionnée par le gradient vertical de l advection isobare de température. Ecole Nationale de la Météorologie Page 8 sur 10
PARTIE III COUCHE LIMITE (6 points) Exercice n 1 On considère que l équation d évolution de la concentration q (en kg par kg d air) d un polluant passif à l échelle du continuum s écrit : dq =ν q q dt où ν q est le coefficient de diffusion moléculaire, supposé constant. 1) On se place dans la couche limite atmosphérique (CLA) où on suppose que la divergence du vent horizontal est nulle. a] Pourquoi l étude de la CLA nécessite-t-elle de traiter les paramètres moyens? b] Rappeler les axiomes de Reynolds. c] Etablir l équation d évolution de la concentration moyenne q dans la CLA. 2) On se place dans le plan (O,x,z), Oz étant l axe vertical. On néglige la diffusion moléculaire devant la diffusion turbulente. Le vent est supposé constant et parallèle à l axe Ox : u = (U,0). Enfin, la diffusion turbulente selon Ox est négligeable devant le terme de transport par le vent moyen. a] Que devient l équation obtenue en 1.c, dans le cas stationnaire? On exprimera le flux turbulent de polluant suivant Oz en introduisant le coefficient d échanges K. b] On suppose que K est constant, trouver la relation que doit vérifier σ (x), fonction de x uniquement, pour que q s écrive : 2 A ( z h) q( x, z) = exp 2 σ ( x) 2σ ( x) c] Le polluant est émis en x = 0 depuis une cheminée de hauteur z = h. On se donne les conditions à la limite suivantes : lim( q( x, h)) = + et x 0 lim( q( x, z)) = 0, z h. 0 x Montrer que σ ( 0) = 0. d] On se place suivant Ox à 100 mètres de la cheminée. Donner l allure de la courbe q( 100, z) et calculer la variation relative de q entre h et le sol. Application numérique avec U = 3m.s -1, K = 5 m 2.s -1 et h = 30 m. Ecole Nationale de la Météorologie Page 9 sur 10
Exercice n 2 Dans la couche limite atmosphérique (CLA) homogène horizontalement, les termes de production dynamique et thermique P D et P T intervenant dans l équation d évolution de l énergie cinétique turbulente s écrivent : ' ' u ' ' v g ' ' P D = u w v w et P θ w θ T = 0 On introduit les coefficients d échanges K D et K T permettant d exprimer les flux turbulents en fonction des gradients verticaux de vitesse moyenne et de température moyenne. On définit K le nombre de Richardson de gradient D PT Ri = G KT PD 1) Exprimer Ri G en fonction des gradients verticaux de vitesse et température moyennes. 2) On définit le nombre de Richardson moyen de couche Ri B (autrement appelé «Bulk»), pour estimer la stabilité locale d une couche d épaisseur z, en approchant u v θ u v θ les gradients verticaux, et par, et respectivement. Exprimer z z z Ri B en fonction de u, v, θ et z. 3) Calculer pour chaque tranche d atmosphère la valeur de Ri B, en utilisant les mesures des composantes du vent moyen indiquées dans le tableau ci-dessous. On suppose que θ est constant sur toute la couche considérée et vaut 4 x 10-3 K.m -1. On prendra z g = 9,81 m.s -2 et θ 300 K 0 = z (m) 1 4 10 20 50 100 300 u (m.s -1 ) 3,5 4,8 5,6 6,3 7,3 7,8 8,9 v (m.s -1 ) 1,2 1,4 1,6 1,6 1,2 1,3 1,4 4) Discuter l état de stabilité statique et dynamique de l atmosphère pour chaque tranche d altitude. En déduire la nature de l écoulement. Ecole Nationale de la Météorologie Page 10 sur 10