Chap.1 Cinématique des fluides 1. Notions mathématiques nécessaires à la mécanique des fluides 1.1. Rappels sur les différentielles 1.2. Opérateurs d analyse vectorielle 2. Description d un fluide en mouvement 2.1. Trois échelles de description possibles 2.2. Lien entre l échelle mésoscopique et l échelle macroscopique 2.3. Description lagrangienne Description eulérienne 2.4. Signification physique du champ des vitesses 2.5. Trajectoire et ligne de courant 3. Dérivée particulaire d un champ eulérien 3.1. Dérivée particulaire du champ de masse volumique (champ scalaire) 3.2. Dérivée particulaire du champ des vitesses (champ vectoriel) 3.3. Signification physique des différents termes 4. Débits, flux et densités de courant 4.1. Débit volumique à travers une surface Flux de 4.2. Débit massique à travers une surface Flux de 4.3. Un débit est le flux d une densité de courant : généralisation 5. Conservation de la masse 5.1. Bilan de masse (échelle macroscopique) 5.2. Parenthèse mathématique : Théorème de flux-divergence (Ostrogradski) 5.3. Equation locale de conservation de la masse (échelle mésoscopique) 6. Quelques exemples d écoulements 6.1. Ecoulement stationnaire : conservation du débit massique 6.2. Ecoulement incompressible : conservation du débit volumique 6.3. Ecoulement irrotationnel : potentiel des vitesses 6.4. Interprétation physique de 6.5. Interprétation physique de Intro : En première année, les fluides ont été étudiés au repos. La loi essentielle était la relation fondamentale de la statique, qui traduisait simplement la RFD au repos appliquée à un volume élémentaire de fluide. Ce nouveau chapitre est le premier de la mécanique des fluides en mouvement. Comme en mécanique du point, on commence par décrire le mouvement du fluide, sans se préoccuper des causes du mouvement. On ne parlera donc pas ici des forces, on se limite à une étude cinématique. 1. Notions mathématiques nécessaires à la mécanique des fluides 1.1. Rappels sur les différentielles Définition de la différentielle d une fonction à une variable Expression en fonction de la dérivée Idem pour une fonction à plusieurs variables 1
1.2. Opérateurs d analyse vectorielle Définition de l opérateur nabla Définition du gradient d un champ scalaire Définition de la divergence d un champ vectoriel Définition du rotationnel d un champ vectoriel 2. Description d un fluide en mouvement Les deux premiers paragraphes sont des rappels de première année. 2.1. Trois échelles de description possibles Dans le cours de mécanique des fluides, on ne sera amené qu à étudier des systèmes macroscopiques, c est-à-dire constituer d un grand nombre de molécules (ou d atomes). Parler de molécules et d atomes consiste à décrire la matière à l échelle microscopique. C est une modélisation discrète de la matière (par opposition à modélisation continue), à l échelle du. Or on comprend aisément que l étude d un fluide ne peut pas consister à déterminer le mouvement de chacune de ses molécules. Non seulement ce serait impossible techniquement, mais on ne saurait que faire de toute cette information. C est pourquoi en mécanique des fluides, on ne va s intéresser qu aux propriétés macroscopiques des systèmes étudiés. L échelle de description que l on va adopter est donc l échelle macroscopique. A cette échelle, on va adopter une modélisation continue de la répartition de matière, comme si la matière n était pas constituée d atomes, mais emplissait tout l espace. Souvent, les grandeurs définies localement (vitesse du fluide, masse volumique) n ont pas nécessairement la même valeur partout dans le fluide. Ces grandeurs sont définies à l échelle mésoscopique. 2
On l appelle l échelle mésoscopique (échelle de l ordre du ): o assez grande devant l échelle micro. pour adopter une modélisation continue de la matière o assez petite devant l échelle macro. pour considérer ces grandeurs localement uniformes Remarque : On peut préciser ce que l on entend par grand devant l échelle microscopique. Les molécules du fluide se déplacent et s entrechoquent au hasard. En suivant une molécule, on peut s intéresser à son libre parcours moyen, i.e. la distance moyenne parcourue entre deux chocs. Si l échelle mésoscopique choisie est grande devant le libre parcours moyen des molécules, alors cette échelle peut bien être considérée comme grande devant l échelle microscopique. 2.2. Lien entre l échelle mésoscopique et l échelle macroscopique A l échelle mésoscopique, on évitera d écrire des rapports de grandeurs. Dans le cas particulier de la masse volumique, on la définit par l écriture suivante : La masse volumique est définie en un point du système par la relation : On passe de l échelle mésoscopique (écritures locales) à l échelle macroscopique (écritures intégrales) grâce aux intégrales. Relation masse totale / masse volumique La masse d un corps de volume est la somme des masses élémentaires de chacune de ses parties 2.3. Description lagrangienne Description eulérienne Deux points de vue sont possibles pour décrire l écoulement d un fluide. Si l on regarde couler une rivière : un observateur peut suivre des yeux une feuille à la surface de l eau (point de vue lagrangien) un observateur peut aussi regarder fixement une zone de la rivière et voir passer la feuille quand elle traverse son champ de vue (point de vue eulérien) Dans les deux cas, on décrit le fluide à l échelle mésoscopique : système = volume élémentaire de fluide. Description lagrangienne : o on découpe le fluide en volumes élémentaires, chacun étant un système fermé, donc de masse constante : une «particule de fluide» o ces particules de fluide sont mobiles ; on associe un observateur à chacune, chargé de la suivre au cours du temps o les coordonnées d espace représentent la position d une particule de fluide et sont donc des fonctions du temps o c est le même point de vue que la mécanique du point o on connaît l écoulement lorsque l on connaît position et vitesse de chaque particule de fluide Description eulérienne : o on découpe le fluide en volumes élémentaires immobiles, chacun est donc un système ouvert o on associe un observateur à chacun de ces volumes, qui regarde ce qui s y trouve à l instant o les coordonnées d espace représentent la position de chaque volume, et ne dépendent donc pas du temps o on connaît l écoulement lorsque l on connaît le champ des vitesses 3
La description lagrangienne est intuitive, et les lois de la mécanique sont connues dans le cas lagrangien. La description eulérienne est plus pratique pour décrire les fluides expérimentalement et mathématiquement. Par la suite, «on écrira eulérien en pensant lagrangien» 2.4. Signification physique du champ des vitesses En utilisant le concept de champ, la description eulérienne peut sembler un peu abstraite. Pour la rendre concrète, il suffit de pouvoir faire le lien entre les deux descriptions, mathématiquement cela donne : Il suffit d évaluer le champ des vitesses à l endroit où se trouve la particule de fluide pour connaître la vitesse de cette dernière. 2.5. Trajectoire et ligne de courant Définition de la trajectoire d une particule de fluide (lagrangien) C est l ensemble des positions occupées successivement par la particule de fluide au cours du temps. C est la même définition que dans le cas d un point matériel. Définition d une ligne de courant (eulérien) Définie à un instant donné, c est la courbe tangente en chacun de ses points au champ des vitesses. C est simplement une ligne de champ (cf. cours d électromagnétisme de 1 e année) du champ des vitesses. Etant données ces deux définitions, il n y a aucune raison pour que trajectoire et ligne de courant puissent s identifier. Ce n est vrai que dans le cas d un écoulement stationnaire (les champs eulériens sont tous indépendants du temps). 3. Dérivée particulaire d un champ eulérien 3.1. Dérivée particulaire du champ de masse volumique (champ scalaire) On s intéresse à la variation temporelle de la masse volumique d une particule de fluide (lagrangien), mais en l écrivant en fonction du champ (eulérien) de masse volumique. Définition de la dérivée particulaire avec Expression de la dérivée particulaire du champ de masse volumique Remarque : Il est impératif de savoir exprimer le nouvel opérateur en coordonnées cartésiennes. 4
3.2. Dérivée particulaire du champ des vitesses (champ vectoriel) Définition du champ des accélérations Quelle information concrète sur le fluide nous donne le champ d accélération? Expression de la dérivée particulaire du champ des vitesses Remarque : Le nouvel opérateur n est pas le même que précédemment, car il s applique à un vecteur, et non plus à un scalaire. Il est impératif de savoir exprimer cet opérateur en coordonnées cartésiennes. 3.3. Signification physique des différents termes On parle de «dérivée particulaire» car la variation temporelle du paramètre considéré est étudiée en lagrangien, donc du point de vue de la particule de fluide. La notation au lieu de rappelle simplement que cette variation temporelle est exprimée avec un champ eulérien (on pense lagrangien et on écrit eulérien). Le terme est appelé «dérivée locale» car elle provient de la variation temporelle du champ eulérien toujours au même point (localement, sans suivre les particules de fluide) Le terme est appelé «dérivée convective» car elle provient du déplacement de la particule de fluide à travers un champ de vitesse inhomogène ( convection = déplacement de fluide). 4. Débits, flux et densités de courant 4.1. Débit volumique à travers une surface Flux de Définition du débit volumique Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une surface donnée par unité de temps ( ) : Si la surface est orientée, le débit volumique est une grandeur algébrique. Son signe renseigne alors sur le sens de l écoulement. Remarque : Lorsque le sens de l écoulement est connu, il est préférable de travailler avec des débits volumiques définis positifs (donc d orienter les surfaces dans le sens de l écoulement). Relation entre le volume transféré et le débit volumique Le volume total qui traverse la surface considérée pendant une durée, est donné par : 5
Expression de en fonction du champ des vitesses sur la surface Le débit volumique est le flux du vecteur à travers la surface considérée Si l écoulement se fait dans le même sens que le vecteur normal de la surface :. Sinon. Démonstration : partons du cas simple d une conduite rectiligne avec champ des vitesses uniforme On raffine : idem, mais avec champ des vitesses non-uniforme (passage à surfaces élémentaires) Vocabulaire Flux est un synonyme de Débit (un truc qui traverse une surface par unité de temps, unité : ) Densité de courant signifie débit surfacique (ou débit par unité de surface, unité : ) Le champ des vitesses est la densité de courant de volume («le volume s écoule avec le fluide»). 4.2. Débit massique à travers une surface Flux de Définition du débit massique Le débit massique est la masse de fluide qui traverse une surface donnée par unité de temps ( ) : Si la surface est orientée, le débit massique est une grandeur algébrique. Son signe renseigne alors sur le sens de l écoulement. Remarque : Lorsque le sens de l écoulement est connu, il est préférable de travailler avec des débits massiques définis positifs (donc d orienter les surfaces dans le sens de l écoulement). Relation entre la masse transférée et le débit massique La masse totale qui traverse la surface considérée pendant une durée, est donné par : Expression de en fonction des champs sur la surface Le débit massique est le flux du vecteur à travers la surface considérée Si l écoulement se fait dans le même sens que le vecteur normal de la surface :. Sinon. Le champ apparaît donc comme la densité de courant de masse, ou débit massique surfacique. Démonstration : idem que précédemment 6
4.3. Un débit est le flux d une densité de courant : généralisation En physique, un débit peut toujours être écrit comme étant le flux d un certain vecteur. Ce vecteur s appelle densité de courant, et est noté : Cette année, on définira cette densité de courant pour les débits suivants : débit de particules (cf. cours diffusion particulaire) débit de chaleur (cf. cours diffusion thermique) débit d énergie électromagnétique (cf. cours électromagnétisme) débit de volume débit de masse débit de charge (c est simplement la définition de l intensité électrique) Par contre, tous les flux ne peuvent pas être assimilés à des débits : flux du champ électrostatique (cf. théorème de Gauss) flux du champ magnétostatique (toujours nul) 5. Conservation de la masse 5.1. Bilan de masse (échelle macroscopique) Tant que des réactions nucléaires ne sont pas mises en jeu, la masse est une grandeur qui se conserve. Sinon, d après, la masse n est qu une forme d énergie, qui peut donc être convertie sous d autres formes (comme tout type d énergie). L énergie, elle, se conserve quelque soit les conditions. La masse est une grandeur qui se conserve, donc : un système fermé est de masse constante un système ouvert voit sa masse varier de la manière suivante (pendant une durée élémentaire ) : ou «L augmentation du stock est égale à ce qui entre, moins ce qui sort) Comprendre cette formule signifie d être capable d expliquer la signification de chacun de ses trois termes en s aidant d un schéma (masse entrante et sortante sont définies positives avec cette écriture). On utilisera souvent des systèmes ouverts en mécanique des fluides, donc cette dernière équation est l écriture mathématique de la conservation de la masse. 5.2. Parenthèse mathématique : Théorème de flux-divergence (Ostrogradski) Cette année, nous verrons souvent les lois physiques sous deux formes : une forme intégrale, applicable à un système macroscopique une forme locale, applicable à un système mésoscopique (un volume élémentaire..) La signification physique est la même, c est juste l écriture qui diffère. Pour passer d une forme à l autre, un théorème d analyse vectorielle est très utile, c est le Théorème de flux-divergence, ou Théorème d Ostrogradski. Il n est pas vraiment au programme, mais est indispensable pour construire le cours. 7
Théorème de flux-divergence 5.3. Equation locale de conservation de la masse (échelle mésoscopique) Equation locale de conservation de la masse Pour la démontrer, il suffit de partir d un système macroscopique, et d écrire la loi de conservation de la masse sous la forme, ou cette fois-ci la masse sortante est algébrique. Faire apparaître la masse volumique. Transformer le flux en intégrale sur le volume (Ostrogradski) Equation vraie quelque soit le volume considéré, volume élémentaire entre autre : enlève intégrales. 6. Quelques exemples d écoulements 6.1. Ecoulement stationnaire : conservation du débit massique Définition écoulement stationnaire Un écoulement est stationnaire si tous les champs eulériens sont indépendants du temps. Propriété : conservation du débit massique Le débit massique est le même sur toute section d un tube de courant. Démontrer cette affirmation à partir de l équation locale de conservation de la masse, puis en intégrant sur un volume macroscopique (exemple d une conduite cylindrique rectiligne) 6.2. Ecoulement incompressible : conservation du débit volumique Définition écoulement incompressible Un écoulement est incompressible si le volume d une particule de fluide est constant au cours de son mouvement. En écrivant cela en eulérien : Ne pas confondre «fluide incompressible» et «écoulement incompressible»!! Fluide incompressible : son volume ne varie pas sous l effet de la pression ( uniforme dans le fluide) Ecoulement incompressible : l écoulement est «suffisamment lent» pour que le fluide ne soit pas comprimé. Le champ n est pas nécessairement uniforme. Propriété : conservation du débit volumique Le débit volumique est le même sur toute section d un tube de courant. 8
Démontrer cette affirmation à partir de l équation locale de conservation de la masse, et de la formule d analyse vectorielle : (ne pas la retenir). Puis intégrer sur un volume. Remarque : Un écoulement de gaz (fluide compressible) est incompressible tant que la vitesse du fluide est très faible devant la propagation du son dans le gaz. 6.3. Ecoulement irrotationnel : potentiel des vitesses Définition écoulement irrotationnel Un écoulement est irrotationnel si. Propriété : existence d un potentiel des vitesses Il existe un champ eulérien scalaire tel que : Un écoulement irrotationnel est donc aussi appelé écoulement potentiel. Par opposition, un écoulement rotationnel est un écoulement tourbillonnaire. Le vecteur tourbillon est définit par. Dans des cas d écoulements très simples, on peut faire l analogie avec le vecteur rotation instantané de la mécanique du solide. 6.4. Interprétation physique de Un écoulement dans une tuyère peut être modélisé simplement par visualisation de la dilatation d une particule de fluide sont représentés ci-dessous.. Le champ des vitesses et la On retiendra que est une mesure de l accroissement relatif par unité de temps du volume d une particule de fluide. 9
6.5. Interprétation physique de Un écoulement dans l œil d une tornade peut être modélisé simplement par le champ des vitesses représenté cidessous : en coordonnées polaires. La rotation sur elle-même d une particule de fluide est représentée. On retiendra que le vecteur tourbillon mesure la rotation locale du fluide. Notions clefs Savoirs : Opérateurs d analyse vectorielle (nabla, grad, div, rot, (v.grad)) Lagrange-Euler : définition système, dépendance des grandeurs avec la position et/ou le temps Définitions trajectoire et ligne de courant Expression dérivée particulaire + signification physique (signification lagrangienne, écriture eulerien) Accélération locale et accélération convective Définitions débits volumique et massique + illustration avec schéma dans cas simple conduite rectiligne Leur expression en fonction de la densité de courant associée Loi conservation de la masse : écrite sous forme intégrale + forme locale Définition écoulement stationnaire, incompressible, irrotationnel + conséquences dans chaque cas Interprétation physique de la divergence et du rotationnel Savoirs faire : Etre capable d exprimer avec des mots et des schémas ce que signifient les formules mathématiques (définitions ou lois) Et inversement 10