n-uplets de variables aléatoires réelles

n-uplets de variables aléatoires réelles Table des matières 1 Définition d un n-uplet de variables aléatoires réelles. 2 2 Loi d un vecteur aléatoire à valeurs dans n. 2 3 Loi marginale. 2 4 Caractérisation de la loi d un vecteur aléatoire discret à valeurs dans n. 2 5 Espérance d une somme de variables aléatoires. 2 6 Croissance de l espérance. 3 7 Existence d une espérance par domination. 3 8 Indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles.. 3 9 Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles.. 3 10 Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles discrètes. 3 11 Lemme des coalitions. 4 12 Espérance du produit de variables aléatoires indépendantes. 4 13 Variance d une somme de variables aléatoires indépendantes.. 4 14 Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre. 4 15 Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales. 5 16 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi γ. 5 17 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale. 6 18 Indépendance mutuelle d une suite infinie de variables aléatoires réelles. 6 19 Complément : Variance de la somme de n variables aléatoires discrètes. 6 1

1 Définition d un n-uplet de variables aléatoires réelles. Definition 1 Soient X 1,, X n n variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisable (Ω, ). Le vecteur aléatoire discret X = (X 1,, X n ) est l application : Ω n ω X (ω) = (X 1 (ω),, X n (ω)) 2 Loi d un vecteur aléatoire à valeurs dans n. Definition 2 La loi d un vecteur (X 1,..., X n ) de variables aléatoires réelles est donné par la fonction F (X1,...,X n ) définie sur n par : n F (X1,...,X n )(x 1,..., x n ) = P X i x i. Théorème 3 Si deux vecteurs (X 1, X 2,..., X n ) et (Y 1, Y 2,..., Y n ) ont même loi et si g est une fonction continue sur n à valeurs dans, alors les variables aléatoires réelles g(x 1, X 2,..., X n ) et g(y 1, Y 2,..., Y n ) ont même loi. 3 Loi marginale. Definition 4 Soit X = (X 1,, X n ) un vecteur aléatoire définie sur (Ω, A, P) Pour tout k [1, n ], la loi de X k ( qui peut être obtenue à partir de la loi conjointe de (X 1,, X n )) est la loi marginale de X k. 4 Caractérisation de la loi d un vecteur aléatoire discret à valeurs dans n. Definition 5 On appelle loi de probabilité (ou loi conjointe) d un vecteur aléatoire discret X = (X 1,, X n ), l application X 1 (Ω) X n (Ω) [0, 1] n (x 1,, x n ) P [X 1 = x 1 ] [X n = x n ] = P [X i = x i ] = P X 1 = x 1 ; ; X n = x n Remarque 1 X (Ω) = {X (ω)/ω Ω} X 1 (Ω) X n (Ω). Lorsque (x 1,, x n ) X 1 (Ω) X n (Ω) \ X (Ω), P X 1 = x 1 ] [X n = x n = 0. Propriété (x 1,,x n ) X (Ω) P X 1 = x 1 ; ; X n = x n = 1. Remarque : Obtention des lois marginales x k X k (Ω), P [X k = x k ] = x 1 X 1 (Ω) x k 1 X k 1 (Ω) x k+1 X k+1 (Ω) x n X n (Ω) 5 Espérance d une somme de variables aléatoires. P X 1 = x 1 ; ; X n = x n. Théorème 6 Si X et Y admettent une espérance, X + Y admet une espérance et E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). Théorème 7 Généralisation à n variables aléatoires Soit X 1,..., X n n variables aléatoires définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que, pour tout k [1, n ], X k admet une espérance. Alors la variable aléatoire X k admet une espérance et E X k = 2 E(X k ).

Exercice 1 : Utilisation de la linéarité de l espérance n souris (minimum 3) sont lâchées en direction de 3 cages, chaque cage pouvant contenir les n souris et chaque souris allant dans une cage au hasard. 1. Calculer la probabilité pour qu une cage au moins reste vide. 2. Soit X le variable aléatoire égale au nombre de cages restées vides. Calculer l espérance de X. 6 Croissance de l espérance. Théorème 8 Si X Y presque sûrement et si X et Y admettent une espérance, alors E(X ) E(Y ). 7 Existence d une espérance par domination. Théorème 9 Si X et Y sont deux variables aléatoires vérifiant 0 X Y presque sûrement, et si Y admet une espérance, alors X admet également une espérance. Dans ce cas, E(X ) E(Y ). Exercice 2 Pour x réel positif, on note [x] la partie entière de x, c est-à-dire l unique entier n tel que n x < n + 1. 1. Soit X une variable aléatoire réelle de densité f, à valeurs positives définie sur un espace probabilisé (Ω,, P). On suppose que f est continue sur +. On pose Y = [X ]. Quelle est la loi de Y? 2. Trouver une majoration simple de la variable aléatoire X Y. En déduire que la variable aléatoire X Y admet une espérance. 3. Montrer que E(Y ) existe si et seulement si E(X ) existe. Montrer qu on a alors E(Y ) E(X ) E(Y ) + 1. 8 Indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles.. Definition 10 X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si : F (X1,...,X n )(x 1,..., x n ) = F X k (x k ) pour tous réels x 1,..., x n. 9 Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles.. Théorème 11 X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si : n P X i I i = P([X i I i ]) pour tous intervalles I 1,..., I n de. X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si toute famille d événements (A 1,..., A n ), avec A k élément de X k, est une famille d événements mutuellement indépendants. Exercice 3 Soit (X 1,..., X n ) n variables aléatoires indépendantes. On suppose que Déterminer la loi de min(x 1,..., X n ). k [1, n ], X k (α k ). 10 Caractérisation de l indépendance mutuelle de n variables aléatoires réelles discrètes. Théorème 12 Les n variables aléatoires réelles discrètes X 1,, X n sont mutuellement indépendantes si et seulement si pour tout (x 1,..., x n ) X 1 (Ω)... X n (Ω) : n P [X i = x i ] = P([X i = x i ]). 3

11 Lemme des coalitions. Théorème 13 Si X 1, X 2,..., X n, sont indépendantes, toute variable aléatoire fonction de X 1, X 2,..., X p est indépendante de toute variable aléatoire fonction de X p+1, X p+2,..., X n. Remarque Si les n variables aléatoires réelles X 1,, X n sont mutuellement indépendantes, alors X 1 + + X n 1 et X n sont indépendantes X 1 X n 1 et X n sont indépendantes. X 1,, X n sont 2 à 2 indépendantes. Exercice 4 On lance 2 dés équilibrés : un rouge et un bleu. X est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si le dé rouge amène un numéro pair et 0 sinon. Y est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si le dé bleu amène un numéro pair et 0 sinon. Z est la variable aléatoire réelle qui vaut 1 si la somme des numéros obtenus est paire et 0 sinon. 1. Montrer que les variables aléatoires X, Y, Z sont 2 à 2 indépendantes. 2. Montrer que les variables aléatoires X, Y, Z ne sont pas mutuellement indépendantes. 12 Espérance du produit de variables aléatoires indépendantes. Théorème 14 Si X et Y admettent une espérance et sont indépendantes, X Y admet une espérance et E(X Y ) = E(X )E(Y ) Théorème 15 Généralisation à n variables aléatoires mutuellement indépendantes Soit X 1,..., X n n variables aléatoires définies sur l espace (Ω, A, P) et mutuellement indépendantes. On suppose que, pour tout k [1, n ], X k admet une espérance. Alors la variable aléatoire X k admet une espérance et E X k = E(X k ). Exercice 5 Soit X 1,..., X n n variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans. Pour tout k [1, n ], on note G X k la fonction génératrice de X k. On note G X1 + +X n la fonction génératrice de X k. Montrer que : t [0, 1], G X1 + +X n (t) = G X k (t). 13 Variance d une somme de variables aléatoires indépendantes.. Théorème 16 Si X et Y sont indépendantes et admettent une variance, X +Y admet une variance et V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ). Théorème 17 Généralisation à n variables aléatoires mutuellement indépendantes. Soit X 1,..., X n n variables aléatoires définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que les variables aléatoires X 1,, X n sont mutuellement indépendantes et que pour tout k [1, n ], X k admet une variance. Alors la variable aléatoire admet une variance et V X k = V (X k ). 14 Somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre. Théorème 18 La somme de n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de même espérance p suit la loi binomiale (n, p). X k 4

15 Sommes de variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales. Théorème 19 Soit X 1,..., X k k variables aléatoires réelles définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que les variables aléatoires X 1,, X k sont mutuellement indépendantes et que pour tout i [1, k ], X i suit la loi de Poisson (λ i ). Alors k k la variable aléatoire X i suit la loi de Poisson λ i. Théorème 20 Soit X 1,..., X k k variables aléatoires réelles définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que les variables aléatoires X 1,, X k sont mutuellement indépendantes et que pour tout i [1, k ], X i suit la loi binomiale (n i, p). k k Alors la variable aléatoire X i suit la loi binomiale n i, p. 16 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi γ. Théorème 21 Soit n un entier supérieur ou égal à 2, α 1,..., α n des réels strictement positifs et (X 1,..., X n ) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que X i γ(α i ). Alors : En particulier, X 1 + + X n γ(α 1 + + α n ) Si pour tout i [1, n ], X i (1) = γ(1), alors : X 1 + + X n γ(n) Exercice 6 Soit (X 1,..., X n ) une famille de n (n 3) variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que pour tout i [1, n ], X i (1). On pose S n = X 1 + + X n. Montrer que 1 S n admet une espérance et une variance que l on calculera. Étude de la loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi (λ) Pour étudier la somme de n variables aléatoires indépendantes de loi (λ), on se ramènera après multiplication par λ à une somme de n variables aléatoires indépendantes de loi (1). Résultat à savoir redémontrer Si pour tout i [1, n ], X i (λ) (où λ > 0) alors : S n = X 1 + + X n admet pour densité f n définie par : 0 si t 0 t f n (t) = (λt)n 1 λt λe (n 1)! si t > 0 Exercice 7 (oral hec) On considère une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes N, X 1,..., X n,... définies sur le même espace de probabilité (Ω,, ). Soit p ]0, 1[, q = 1 p et λ un réel strictement positif. On suppose que N suit la loi géométrique de paramètre p et que les variables X i, i, suivent la loi exponentielle de paramètre λ. N On note S la variable aléatoire X i. 1. Déterminer la loi conditionnelle de S sachant que [N = n]. 2. En déduire la fonction de répartition puis la loi de S.(on admettra que l on peut intervertir la somme et l intégrale mises en jeu) Vérifier que : (S) = (X 1 )(N). 5

17 Loi de la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale. Théorème 22 Soit n un entier supérieur ou égal à 2, (m 1,..., m n ) une famille de réels, (σ 1,..., σ n ) une famille de réels strictement positifs et (X 1,..., X n ) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que X i (m i, σ 2 i ) pour tout i [1, n ]. Alors : X 1 + + X n (m 1 + + m n, σ 2 1 + + σ2 n ) 18 Indépendance mutuelle d une suite infinie de variables aléatoires réelles. Definition 23 Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires réelles définies sur (Ω,, P). On dit que (X n ) n est une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes lorsque pour tout n, X 1,..., X n sont mutuellement indépendantes. Exercice 8 : Utilisation de la linéarité de l espérance Soit (X n ) n une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi géométrique de paramètre a > 0. Pour tout n de, on pose S n = X 1 + X 2 + + X n. 1. Montrer que la variable aléatoire 1 S n a une espérance, qu on note m. (on ne cherchera pas à calculer m) 2. Soit k un entier de. Calculer l espérance Sk S n en fonction de n, a, k et m. Exercice 9 : Somme de variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique Soit N, X 1,, X n, une suite de variables aléatoires à valeurs dans,mutuellement indépendantes, définies sur le même espace probabilisé. On suppose que pour tout n de, X n suit une loi géométrique de paramètre p et que N suit une loi géométrique de paramètre p. 1. Déterminer pour n la loi de X k. 2. Soit T la variable aléatoire réelle définie par : N(ω) ω Ω, T(ω) = X k (ω). (a) En utilisant la formule de l espérance totale, déterminer (T). (b) Déterminer la loi de T. 19 Complément : Variance de la somme de n variables aléatoires discrètes. Théorème 24 Soit X 1,..., X n n variables aléatoires discrètes définies sur l espace (Ω, A, P). On suppose que, pour tout k [1, n ], X k admet un moment d ordre 2. Alors la variable aléatoire discrète X k admet une variance et Remarque La somme 1i< jn V X k = V (X k ) + 2 Cov(X i, X j ) comporte exactement n 2 termes. 1i< jn Cov(X i, X j ). 6