Exercices supplémentaires : Probabilités Partie A : Probabilités simples et variables aléatoires On lance trois dés : un rouge, un bleu et un vert. On écrit un nombre de trois chiffres : le chiffre des centaines est le nombre porté par le dé rouge, le chiffre des dizaines est le nombre porté par le dé bleu et le chiffre des unités par le dé vert. 1) Combien de nombres différents peut-on écrire ainsi? 2) Calculer la probabilité des événements suivants : «le chiffre des dizaines est le même que celui des unités.» : «le chiffre des centaines est 4». : «le nombre obtenu est le carré d un entier naturel.» : «le nombre obtenu est strictement supérieur à 365.» Une pièce est truquée de telle façon que Pile a deux fois plus de chances de sortir que Face. Quelle est la probabilité d obtenir Pile? d obtenir Face? Sur 100 personnes interrogées sur l utilisation de deux produits et, 45 utilisent, 50 utilisent et 20 utilisent et. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité des événements suivants? : «La personne utilise et». : «La personne utilise au moins l un des deux produits.» : «La personne utilise le produit mais pas le produit.» : «La personne utilise un seul des deux produits.» Exercice 4 et sont deux événements tels que 0,7, 0,4 et 0,3. Calculer ; ; ; ; et. Exercice 5 On considère la loi de probabilité ci-contre. Calculer 3 puis l espérance et l écart-type. 2 1 1 2 3 0,1 0,2 0,3 0,2 Exercice 6 On considère la loi de probabilité ci-contre. Calculer et pour que l espérance soit nulle. 2 1 1 2 3 0,25 0,3 0,15 Exercice 7 Un professeur donne à ses élèves une interrogation qui comporte quatre questions. Pour chaque question, le professeur propose deux réponses : l une juste et l autre fausse et l élève doit choisir parmi les deux réponses. Un élève, qui n a rien appris, répond au hasard à chacune des quatre questions. 1) Combien y a-t-il de manières différentes de répondre à ces quatre questions? 2) Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants? a. : «Tous les résultats sont corrects». b. : «Tous les résultats sont faux» c. : «Il y a exactement une réponse juste» d. : «Il y a au moins une réponse juste» 3) Le professeur met 5 points pour chacune des réponses justes et enlève 3 points par réponse fausse. Si le total est négatif, il met 0. On note la variable aléatoire égale à la note obtenue par l élève.
a. Quelles sont les valeurs prises par? b. Quelle est la loi de probabilité de? c. Calculer l espérance de. Exercice 8 Une urne contient cinq boules blanches et six boules noires, toutes indiscernables au toucher. On choisit simultanément trois boules au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants : : «Les trois boules sont blanches» : «Les trois boules sont de la même couleur» : «On a deux boules blanches et une boule noire» Exercice 9 On choisit au hasard simultanément cinq cartes dans un jeu de 32. Quelle est la probabilité des événements suivants «on obtient cinq trèfles» : «on obtient cinq cartes rouges» : «on n obtient pas d as» : «on obtient exactement deux as» : «on obtient au moins un as» 0 Une population de poussins comporte 1 mâles et 1 femelles. On choisit simultanément deux poussins au hasard. 1) Calculer en fonction de la probabilité pour qu ils soient de sexes différents. 2) Déterminer pour que cette probabilité soit maximale. Partie B : Probabilités conditionnelles On donne 0,3 ; 0,2 et 0,8. Calculer puis. On suppose que la probabilité de naissance est la même pour les deux sexes, quel que soit le rang de la naissance. On considère les familles de deux enfants et on choisit une famille au hasard. 1) Calculer la probabilité des événements suivants : : «la famille a deux garçons» : «l aîné est un garçon» : «la famille a au moins un garçon» : «le plus jeune enfant est une fille». 2) Sachant que l aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que la famille ait deux garçons? 3) Calculer ; et et énoncer les résultats à l aide d une phrase. Un sac contient 9 boules dont 5 sont rouges ; un sac contient 5 boules dont 3 sont rouges. On choisit un sac au hasard et on tire une boule de ce sac. On note l événement «le sac choisit est le sac» ; l événement «le sac choisit est le sac» et l événement «la boule tirée est rouge». 1) Calculer et. En déduire. 2) Sachant que la boule tirée est rouge, quelle est la probabilité qu elle provienne du sac?
Exercice 4 Dans un terrain de camping, il y a 32% de français et 68% de belges. 70% des français savent jouer à la belote et 30% des belges savent jouer à la belote. Vous croisez une personne dans le camping qui sait jouer à la belote. Quelle est la probabilité qu elle soit belge? Exercice 5 On dispose d un paquet de huit cartes formé de quatre rois et quatre valets. On choisit deux cartes l une après l autre sans remise. 1) Calculer la probabilité de tirer deux rois. 2) Calculer la probabilité d obtenir un roi sachant que la 1 ère carte tirée est un valet. Exercice 6 Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du 1 er appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s il décroche, la probabilité qu il réponde au questionnaire est 0,3. 1) On note l événement «la personne décroche au 1 er appel» et l événement «la personne répond au questionnaire lors du 1 er appel». Calculer la probabilité de. 2) Lorsqu une personne ne décroche pas au 1 er appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité qu il réponde au questionnaire sachant qu il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas au second appel, on ne tente plus de la contacter. On note l événement «la personne décroche au second appel», l événement «la personne répond au questionnaire lors du second appel» et l événement «la personne répond au questionnaire». Montrer que 0,236. 3) Sachant qu une personne a répondu au questionnaire, quelle est la probabilité que la réponse ait été donnée lors du 1 er appel? Exercice 7 Un joueur dispose d un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et de trois urnes, et contenant chacune boules où désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. Il y a trois boules noires dans l urne, deux boules noires dans l urne et une seule boule noire dans l urne. Toutes les autres boules sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher. Une partie se déroule de la manière suivante : le joueur lance le dé. S il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule de l urne, note sa couleur et la remet dans. S il obtient un multiple de 3, il prend au hasard une boule de l urne, note sa couleur et la remet dans. S il obtient un autre résultat, il prend une boule dans, note sa couleur et la remet dans. On note l événement «on obtient un 1 avec le dé», : «le dé donne un multiple de 3» ; : «le dé donne un résultat autre que 1 ou un multiple de 3» et : «la boule tirée est noire». 1) Montrer que la probabilité de est. 2) Calculer la probabilité que le dé ait donné 1 sachant que la boule tirée est noire. 3) Déterminer pour que la probabilité d obtenir une boule noire soit supérieure à. Exercice 8 Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la 1 ère partie. On admet que si elle gagne une partie, la probabilité qu elle gagne la suivante est 0,6 et que si elle perd une partie, la probabilité qu elle perde la partie suivante est 0,7. On note pour un entier naturel non nul, l événement «Juliette gagne la -ième partie» et l événement «Juliette perd la -ième partie». 1) Déterminer ; ; ;. En déduire. 2) Calculer. 3) On pose pour, et. Déterminer et pour.
4) Montrer que pour tout entier naturel non nul : 0,6 0,3 0,4 0,7 5) Pour tout et 4 3. Montrer que est constante et que est géométrique. Préciser le 1 er terme et la raison et en déduire l expression de et en fonction de. 6) En déduire l expression de en fonction de. Montrer que converge et déterminer sa limite. Partie C : Indépendance On jette une pièce deux fois de suite. On note l événement «obtenir Pile la 1 ère fois», l événement «obtenir Pile la seconde fois» et l événement «obtenir le même résultat les deux fois». Les évènements et sont-ils indépendants? Même question pour et puis pour et et enfin pour et. On considère une mobylette qui n est pas en très bon état. Soit l événement «la mobylette tombe en panne de moteur» et l événement «la mobylette a une crevaison». On a 0,06 et 0,05. On estime que les événements et sont indépendants. Quelle est la probabilité que la mobylette soit en état de marche. Sur un jeton, une face est rouge et l autre blanche. Ce jeton est équilibré. On jette ce jeton trois fois de suite et on note chaque fois la couleur de la face obtenue. On désigne par le nombre d apparitions de la face rouge au cours des deux premiers lancers et par le nombre d apparition de la face blanche au cours des trois lancers. 1) Déterminer la loi de probabilité, l espérance et la variance de puis de. 2) Calculer 1 2. Les variables et sont-elles indépendantes? Exercice 4 On considère et deux événements tels que ; et. 1) Calculer dans chacun des cas suivants : a. et sont incompatibles. b. et sont indépendants. c. est une partie de. 2) Dans chacun des cas, calculer et. Exercice 5 On jette une pièce de monnaie bien équilibrée. On s arrête lorsque l on obtient Face ou bien quatre Pile à la suite. représente le nombre de jets nécessaires à la réalisation de cet événement et le nombre de Pile obtenu. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes?
Correction des exercices supplémentaires : Probabilités Partie A : Probabilités simples et variables aléatoires 1) Pour le chiffre des centaines, il y a 6 choix, pour le chiffre des unités, il y a 6 possibilités et pour le chiffre des unités, il y a encore 6 possibilités. Ce qui fait donc 666 choix soit 216 nombres différents 2) On estime qu il y a équiprobabilité. Pour : On a 6 possibilités pour le chiffre des centaines ; on a 6 possibilités pour le chiffre des dizaines. Le chiffre des unités est alors identique à celui des dizaines et on n a pas le choix. D où 6 6 1 possibilités, soit 36. On a donc Pour : le chiffre de centaines est 4 donc on n a pas le choix. Pour les dizaines et les unités, on a toujours 6 choix ce qui représente 36 choix possibles. D où Pour : Parmi les nombres possibles (nombres à trois chiffres dont les chiffres sont compris entre 1 et 6), les carrés d entiers sont : 121 ; 144 ; 225 ; 256 ; 324 ; 361 ; 441 ; 625 ce qui donne 8 résultats. Pour : Pour être strictement supérieur à 365, le nombre peut être 366 ou alors que le chiffre des centaines soit supérieur ou égal à 4 : ce qui laisse 3 choix pour les centaines et toujours 6 choix pour les unités et les dizaines. On a donc 3 6 6 1 choix possibles soit 109. On a donc On note la probabilité d obtenir Face La probabilité d obtenir Pile est donc 2. La somme des probabilités est égale à 1 donc 2 1 et donc. La probabilité d obtenir Pile est donc égale à et celle d obtenir Face est. On peut représenter les données sous forme de tableau et de diagramme ou alors utiliser uniquement les notations de probabilités : 0,45 ; 0,5 et 0,2. 0,2 Total 0,2 0,3 0,5 0,25 0,25 0,5 0,45 0,5 0,2 0,75 Total 0,45 0,55 1 0,45 0,2 0,25 0,25 0,25 0,5 0,2 0,55 Exercice 4 1 0,3 1 0,6 0,7 0,4 0,3 0,8 donc 0,4 0,3 0,1 0,3 0,4 0,1 0,6 or donc 0,3 0,1 0,2 d où 0,3 0,6 0,2 0,7 On retrouve ces résultats en utilisant un tableau ou un diagramme. Total 0,3 0,1 0,4 0,4 0,2 0,6 Total 0,7 0,3 1 Exercice 5 La somme des probabilités est égale à 1 donc 3 1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
20,110,210,320,230,2 0,9 2 0,11 0,21 0,32 0,23 0,20,9 0,40,20,30,81,80,812,69 donc 2,69 1,64 Exercice 6 La somme des probabilités est égale à 1 donc 0,250,30,151 ou encore 0,3. L espérance est nulle donc 20,2510,310,15230 ou encore 230,65 On résout le système : 0,3 230,65 0,3 20,330,65 0,3 0,60,65 0,25 0,05 Exercice 7 1) Pour la 1 ère question, il y a 2 choix. Pour la 2 ème question, il y a 2 choix. Pour la 3 ème question, il y a 2 choix et pour la 4 ème question, il y a 2 choix. Ce qui fait un total de 2 choix, soit 16 2) a. Il n y a qu une seule possibilité pour avoir tout juste donc b. Il n y a aussi qu une possibilité pour avoir tout faux donc c. Il y a 4 possibilités d avoir exactement une réponse juste : soit elle est pour la 1 ère question, soit la 2 ème, soit la 3 ème et soit la 4 ème D où d. L événement correspond à «ne pas avoir de réponses correctes», autrement dit d où et donc 1 3) a. Si on a 4 réponses justes, on a 20 points. Si on a 3 réponses justes et une fausse, on a 12 points (353). Si on a deux réponses justes et deux fausses, on a 4 points (2523). Si on a trois réponses fausses et une juste, on a 0 (le total est 5334 donc on ramène la note à 0). Et si on a quatre réponses fausses, on a également 0. Donc 20;12;4;0 b. Loi de probabilité de : 20 ; 12 en raisonnant comme pour l événement. 4 car les deux réponses justes sont choisies parmi les quatre possibles d où possibilités, soit 6. 0 car ce cas regroupe les deux événements et. c. 20 12 4 0 5,75 Exercice 8 Nombre de tirages possibles : car on choisit 3 boules au hasard parmi 11. Ceci donne 165 tirages possibles. On suppose que ces tirages sont équiprobables car les boules sont indiscernables au toucher. Pour : Nombre de tirages de 3 boules blanches : 10 donc Pour : Nombre de tirages de 3 boules noires : 20. Il y a donc au total 30 tirages où les boules sont de la même couleur (10 tirages «blancs» et 20 tirages «noirs»). Donc Pour : Choix des boules blanches : 10. Choix de la boule noire : 6. On a donc 60 tirages possibles. D où 20 12 4 0 1 1 3 5 16 4 8 16
Exercice 9 Nombre de tirages total : on choisit 5 cartes parmi 32 : 201376. On suppose que ces tirages sont équiprobables. Pour : on tire 5 cartes parmi les 8 trèfles d où 56 tirages donc Pour : on tire 5 cartes parmi les 16 rouges d où 4368 tirages donc Pour : on tire 5 cartes parmi les 28 qui ne sont pas des as (on enlève les quatre as des 32 cartes) soit 98280 tirages possibles donc Pour : Choix des deux as : 6 ; choix des deux cartes autres que les as : 378 ce qui représente 63782268 tirages possibles donc Pour : l événement contraire de est «ne pas obtenir d as» ce qui correspond à l événement donc 111 1755 1841 3596 3596 0 1) Nombre de tirages possibles de deux poussins parmi les 2 : 2 2 2! 2!22! 22122 21 21 22223 21 On suppose qu il y a équiprobabilité. Pour que le tirage contienne les deux sexes différents, c est que l on a un mâle (il y a 1 choix) et une femelle (il y a 1 choix). On a donc 11 choix possibles. La probabilité que le tirage contienne des poussins de sexes différents est donc 2) Pour déterminer à quel moment la probabilité est maximale, on étudie la fonction de définition et définie sur 1;. est une fonction rationnelle donc est dérivable sur son ensemble 22 41 1 2 4 2 4 4 1 2 41 2 Le dénominateur est clairement positif donc est du signe du numérateur 41. Pour étudier le signe de, on calcule Δ4 41112 donc est du signe de 1 sauf entre les racines 2 3 et 2 3. 1 2 3 Signe de 0 Variations de 0 Comme 2 33,73 et que est un nombre entier, la probabilité va être maximale soit pour 3, soit pour 4. Calculons les deux valeurs : 3 0,533 et 4 0,536 Il faut donc que soit égal à 4 pour que la probabilité d obtenir deux poussins de sexes différents soit maximale. On aura alors 5 mâles et 3 femelles. Partie B : Probabilités conditionnelles donc 0,3 0,2 0,06. donc 0,8 0,3 0,06 0,56
0,06 0,56 6 56 3 28 1) On représente les familles obtenues grâce à un arbre. ; 1 1 ; 1 4 1 4 1 2 2) 3) : correspond à l événement «la famille a deux garçons et a au moins un garçon», autrement dit, «la famille a deux garçons» d où. On a donc Ceci correspond à la probabilité que la famille ait deux garçons sachant qu elle en a au moins un. : correspond à l événement «la famille a deux garçons et le plus jeune enfant est une fille», ce qui n est pas possible d où et 0 Ceci correspond à la probabilité d avoir deux garçons sachant que l enfant le plus jeune est une fille. 1 Ceci correspond à la probabilité d avoir au moins un garçon sachant que la famille est constituée de deux garçons. 1) On représente les données sous forme d un arbre. car dans le sac il y a 5 boules rouges sur les 9. car dans le sac il y a 3 boules rouges sur les 5. et forment une partition de l univers (on tire soit dans le sac, soit dans le ) donc d après la formule des probabilités totales : 1 2 5 9 1 2 3 5 2) 25 27 52 26 90 90 90 45 Exercice 4 En notant l événement «la personne est française», «la personne est belge» et «la personne sait jouer à la belote», on peut représenter les données à l aide d un arbre. On veut calculer. Or. 0,68 0,3 0,204 et forment une partition de l univers (la personne est soit française, soit belge) donc d après la formule des probabilités totales : 0,204 0,204 0,32 0,7 0,428 Donc,,
Exercice 5 1) 2) car on a tiré un valet, il reste donc 7 cartes dont 4 rois et 3 valets Exercice 6 On regroupe les données dans l arbre ci-contre. 1) 0,60,3 0,18 2) or 0,40,70,20,056 donc 0,180,056 0,236 3),, Exercice 7 1), et forment une partition de l univers donc d après la formule des probabilités totales : 1 6 3 1 3 2 1 2 1 1 2 2 3 1 2 343 10 6 6 5 3 2) 3) 0; 2 2 car la fonction inverse est décroissante sur et comme est entier supérieur ou égal à 3, il faut que 3 Exercice 8 1) D après l énoncé ; ; 0,6 et 0,3 et forment une partition de l univers (Juliette gagne ou perd la 1 ère partie ) donc d après la formule des probabilités totales : 1 2 0,61 0,3 0,45 2 2) et forment également une partition de l univers donc 1 et 0,55 3) Pour : 0,3 et 0,6 d après l énoncé. 4) Pour : et forment une partition de l univers donc d après la formule des probabilités totales : 0,3 0,6 De même : 0,7 0,4 On a donc bien 0,6 0,3 0,4 0,7 5) Pour : 0,6 0,3 0,4 0,7 Donc est bien une suite constante et égale à 1. On pouvait aussi raisonner sur la signification du terme : il représente la somme des probabilités de gagner et de perdre la -ième partie. La somme des probabilités est naturellement égale à 1 et est constante. 4 3 40,6 0,3 30,4 0,7 2,4 1,2 1,2 2,1 1,2 0,9 0,30,4 0,3 0,3
Donc la suite est bien une suite géométrique de raison 0,3 et de 1 er terme 0,4 0,3 0,5. On a donc pour tout : 1 et 0,50,3 6) Pour tout, on a donc le système : 1 0,4 0,3 0,50,3 1 1 0,4 0,30,3 0,50,3 0,50,3 0,3 0,7 5 7 0,3 3 7 4 7 5 7 0,3 Comme 0,3 est strictement compris entre 1 et 1, on a que la limite de 0,3 quand tend vers qui est nulle donc lim 3 7 Partie C : Indépendance et constituent une partition de l univers donc d après la formule des probabilités totales : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 donc et sont indépendants. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 est l événement «les deux résultats sont identiques et on obtient Pile la 1 ère fois» autrement dit, d où donc et sont indépendants. et représente l événement «on obtient Pile aux deux lancers» donc donc et ne sont pas indépendants. 1 2 1 2 1 4 3 4 représente l événement «obtenir Pile la seconde fois ou obtenir le même résultat deux fois», autrement dit, il regroupe les tirages :, et. regroupe donc les tirages précédents qui commence par Pile, autrement dit : donc et ne sont pas indépendants. Comme et sont indépendants : 0,060,050,003. On veut calculer la probabilité que la mobylette soit en état de marche qui est l événement contraire du fait que la mobylette ait au moins une panne, autrement dit, on veut calculer or 0,060,050,0030,107 donc 1 0,893 1) Pour on ne s intéresse qu au deux premiers lancers : 0;1;2. Grâce à l arbre ci-contre, on dresse la loi de probabilité de :
0 1 4 11 2 21 4 1 0 1 4 1 1 2 2 1 4 1 0 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 111 2 De même pour la loi de probabilité de : 0 1 2 3 1 8 3 8 3 8 1 8 0 1 8 13 8 23 8 31 8 12 8 3 2 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8 3 2 3129 9 8 4 24 8 9 4 3 4 2) 12 car on a tiré une face rouge parmi les deux premiers lancers et deux faces blanches sur les trois lancers. Les solutions possibles sont donc les tirages : et. 12 12 donc les variables et ne sont pas indépendantes. Exercice 4 1) a. 0 car et sont incompatibles. Donc d où 0 b. car et sont indépendants. On a donc l équation 1 3 1 4 4 3 4 1 12 1 12 4 3 1 9 c. donc et donc 2) a. b. c. 0 et 0 et 1 et Exercice 5 1;2;3;4 et grâce à l arbre ci-contre, on établit la loi de probabilité de. Par exemple : 2 1 2 3 4 1 1 1 1 2 4 8 8 0;1;2;3;4 et on établit la loi de probabilité de grâce à l arbre ci-contre. 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 4 8 16 16 Par ailleurs, 230 car on ne peut avoir à la fois deux lancers et trois Pile. On a donc 2323 donc et ne sont pas indépendantes.