Équations, inéquations et sstèmes du premier degré Échauffez-vous! Dans les eercices. à., reliez par un trait les points correspondants. + = 9 < Égalité + = - > - H 0 Inégalité stricte < 0 Égalité = 0 - G + + = = + Inégalité stricte Inégalité large H Égalité + =- + - + > - 7 - + < Inégalité stricte Inégalité large Raez les encadrés inutiles. a) Dans l égalité - =- +, les deu membres sont et / - et - +. b) Dans l inégalité + > -, le premier membre est / + et le deuième membre est / -. Vocabulaire Entre deu nombres ou epressions algébriques : une égalité s écrit avec le smbole «=» ; une inégalité stricte s écrit avec l un des smboles «<» ou «>» ; une inégalité large s écrit avec l un des smboles «G» ou «H». Les deu membres d une égalité sont les nombres ou epressions qui figurent à gauche et à droite du smbole «=». Les deu membres d une inégalité sont les nombres ou epressions qui figurent à gauche et à droite du smbole «>», «<», «H» ou «G». 7
Équations du premier degré à une inconnue. Traduire une situation avec une équation Énoncé «J achète eemplaires du produit, j ajoute les frais de port de, euros ; cela fait en tout,0 euros!». J achète eemplaires du produit, j ajoute les frais de port de, ; cela fait en tout,0! Activité On note le pri d un eemplaire du produit acheté par Fred.. Cochez l epression algébrique associée à chaque affirmation de Fred. a) «J achète eemplaires du produit» : +, b) «J achète eemplaires du produit, j ajoute les frais de port de, euros» : + =, ( +, ) +, +,. Cochez l équation qui traduit la situation de l énoncé. +, =, 0 ( +, ) =, 0 ( + ) #, =, 0 #, + =, 0. Vérifier si un nombre est ou n est pas solution d une équation Résoudre une équation à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de telles que l égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de l équation. Activité (voir Énoncé en.). Cochez la case correspondant à la bonne réponse et justifiez par un calcul. Les trois eemplaires du produit acheté par Fred sont : a) billets de spectacle à,0 euros l unité. Vrai Fau, car,0 +, =,,0. b) tee-shirts à,0 euros l unité. Vrai Fau, car,0 +, = 9,,0.. Cochez la solution de l équation +, =,0 parmi les valeurs suivantes.,0,0, Activité Raez l encadré inutile et justifiez par un calcul. a) est / nl est pas solution de l équation ( - ) = +, car ( ) = et + = ; l'égalité est vraie. b) 9 est / nl est pas solution de l équation ( - ) = +, car (9 ) = et 9 + = 0 ; l'égalité n'est pas vraie. 7
. Comment résoudre une équation du premier degré à une inconnue? Méthode Étape Regrouper dans un membre tous les termes où figure l inconnue et dans l autre membre tous les termes connus, pour obtenir la forme a = b, avec a 0. Étape Déterminer la solution b a de l équation en divisant chaque membre de l égalité par a. Résolvez l équation + = -. Étape On regroupe tous les termes en dans le membre de gauche. Pour cela, soustraez à chaque membre de l équation, puis simplifiez : + = ; + =. On regroupe tous les termes connus dans l autre membre. Pour cela, soustraez à chaque membre de l équation obtenue, puis simplifiez : + = ; = 0. Étape Divisez par chaque membre de l équation obtenue, puis simplifiez : = 0 ; = 0 =. Concluez : la solution de l équation est. Résolvez l équation - - =- +. Étape On ajoute à chaque membre de l équation, puis on simplifie : + = + + ; =. On ajoute à chaque membre de l équation, puis on simplifie : + = + ; =. Étape On divise les deu membres de l équation par, puis on simplifie : = ; =. La solution de l équation est. CHAPITRE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 7
Inéquations du premier degré à une inconnue. Traduire une situation avec une inéquation Énoncé Lil a obtenu, puis 9 et sur 0 à ses trois premiers contrôles de mathématiques. Elle veut dépasser, de moenne au trimestre, et il ne reste qu un contrôle! Activité. Cochez la case correspondant à la bonne réponse et justifiez par un calcul. La moenne de Lil après les trois premiers contrôles est sur 0. + 9 + Vrai Fau, car = =.. Cochez la case correspondant à la bonne réponse. On désigne par la note qu obtiendra Lil au quatrième contrôle. La moenne de Lil après le quatrième contrôle sera : + 9 + + + 9 + + + 9 + +. Cochez la case correspondant à la bonne réponse. L inéquation traduisant la situation de l énoncé est : + >, + >, + >,. Vérifier si un nombre est ou n est pas solution d une inéquation Résoudre une inéquation à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de telles que l inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées solutions de cette inéquation. Activité (voir Énoncé en.). Cochez la case correspondant à la bonne réponse et justifiez par un calcul. La note indiquée permettrait-elle à Lil de dépasser, de moenne au trimestre? a) Oui Non, car + = =,7. b) Oui Non, car + = 9 =,.. Cochez les solutions de l inéquation + >, parmi les valeurs suivantes. 7 Activité Raez l'encadré inutile et justifiez par un calcul. a) est / nl est pas solution de l inéquation ( - ) < +, car ( ) = = et + = ; l'inégalité n'est pas vraie. b) 9 est / nl est pas solution de l inéquation ( - ) < +, car (9 ) = = et 9 + = 0 ; l'inégalité est vraie. 7
. Comment résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue? Méthode Étape Regrouper dans un membre tous les termes où figure l inconnue et dans l autre membre tous les termes connus, pour obtenir la forme a < b (ou a > b, ou a G b, ou a H b), avec a! 0. Étape Déterminer l intervalle des solutions en divisant chaque membre de l égalité par a. Attention : lorsque a > 0, l inégalité ne change pas de sens, mais lorsque a < 0, l inégalité change de sens. Résolvez l inéquation - < +. Étape On regroupe tous les termes en dans le membre de gauche. Pour cela, soustraez à chaque membre de l inéquation, puis simplifiez : + ;. On regroupe tous les termes connus dans l autre membre. Pour cela, ajoutez à chaque membre de l inéquation obtenue, puis simplifiez : + + ;. Étape Divisez par chaque membre de l inéquation obtenue, puis simplifiez : l inégalité ne change pas de sens, car 0. On a donc : ;. Concluez : l intervalle des solutions est ] ; [. Résolvez l inéquation - - 0 H - -. Étape On ajoute à chaque membre de l inéquation, puis on simplifie : 0 + + ; 0. On ajoute 0 à chaque membre de l inéquation obtenue, puis on simplifie : 0 + 0 + 0 ;. Étape On divise par chaque membre de l inéquation obtenue, puis on simplifie. L inégalité change de sens, car 0. On a donc : ;. Concluez : l intervalle des solutions est ] ; ]. CHAPITRE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 7
Résolution d un sstème de deu équations du premier degré à deu inconnues. Traduire une situation avec un sstème de deu équations Énoncé Dans sa tirelire, Corentin dénombre pièces, les unes de 0 centimes et les autres de 0 centimes, pour une somme totale de,90 euros. Activité On note le nombre de pièces de 0 centimes et le nombre de pièces de 0 centimes.. Reliez chaque donnée à l epression algébrique ou à l équation qui lui correspond. Nombre total de pièces + Montant (en ) en pièces de 0 cts 0, Montant (en ) en pièces de 0 cts + = Corentin a pièces, +, =, La somme totale est,90 euros 0, 0 0 90. Cochez le sstème qui traduit la situation de l énoncé. + = 0, + 0, =,90 0, + 0, = + =,90 + = 0 + 0 =,90. Vérifier si un couple de nombres est ou n est pas solution d un sstème Résoudre un sstème de deu équations à deu inconnues et consiste à trouver toutes les valeurs du couple ( ; ) pour lesquelles les égalités sont vraies. Ces valeurs sont appelées solutions du sstème. Activité (voir Énoncé en.). Cochez la bonne réponse et justifiez par un calcul. Corentin possède : a) pièces de 0 cts et pièces de 0 cts. Vrai Fau, car 0, + 0, =,90. b) pièces de 0 cts et pièces de 0 cts. Vrai Fau, car 0, + 0, = 0,0.. Cochez le couple solution du sstème + = parmi les couples suivants. 0, + 0, =,90 ( ; ) ( 0 ; ) ( 0 ;, 9 ) ( ; ) Activité = - On considère le sstème : *. - = + Raez l encadré inutile et justifiez par un calcul. a) Le couple ( ; ) est / nl est pas solution du sstème, car. b) Le couple( - ; ) est / nl est pas solution du sstème, car ( ) = et = ( ) +. 7
. Comment résoudre, par substitution, un sstème de deu équations du premier degré à deu inconnues? Méthode Étape Eprimer en fonction de (ou en fonction de ) à partir de l une des deu équations. Étape Remplacer dans l autre équation (ou ) par l epression déterminée à l étape, puis résoudre l équation du premier degré obtenue, d inconnue (ou ). Étape Déterminer la valeur de (ou de ) en remplaçant, dans l epression obtenue à l étape, (ou ) par sa valeur trouvée à l étape. Étape Conclure. = - Résolvez, par substitution, le sstème *. - - =- 0 Étape La première équation permet d écrire : + =, c est-à-dire =. Étape En remplaçant par cette dernière epression dans la deuième équation, on obtient : ( ) = 0, soit : + = 0 ; = 0 ; = ; = ; =. Ainsi : =. Étape En remplaçant par cette valeur dans l epression trouvée à l étape, on obtient : = = =. Ainsi : =. Étape Le sstème a pour solution le couple ( ; ). 0, - = - Résolvez, par substitution, le sstème *. + =- + Étape La deuième équation permet d écrire : = +, c est-à-dire = +. Étape En remplaçant par cette dernière epression dans la première équation, on obtient : 0, ( + ) = ; soit :, + = ;, = ;, + = ; 0, = ; =. Ainsi : =. 0, Étape En remplaçant par cette valeur dans l epression trouvée à l étape, on obtient : = + = 0 + = 0. Ainsi : = 0. Étape Le sstème a pour solution le couple ( 0 ; ). 7 CHAPITRE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 7 77
Résolution graphique d un sstème de deu équations du premier degré à deu inconnues. Déterminer si un point appartient à une droite d équation donnée Le plan est rapporté à un repère. a et b sont des nombres donnés. L ensemble des points de coordonnées ( ; ), où et sont tels que = a + b, est une droite. Cette droite est «la droite d équation = a + b». a est le coefficient directeur de cette droite et b est son ordonnée à l origine. b a O = a + b Activité On veut déterminer si les points A ( ; ) et B (- ; ) appartiennent à la droite d équation =- +. Raez les encadrés inutiles.. Dans l epression - +, en remplaçant par l abscisse de A, on obtient / nl obtient pas son ordonnée. Ainsi, l égalité =- + est vérifiée / n est pas vérifiée, donc le point A appartient / nl appartient pas à la droite.. Dans l epression - +, en remplaçant par l abscisse de B, on obtient / nl obtient pas son ordonnée. Ainsi, l égalité =- + est vérifiée / n est pas vérifiée, donc le point B appartient / nl appartient pas à la droite.. Comment tracer une droite à partir de son équation Méthode Étape Déterminer deu points qui appartiennent à la droite d équation = a + b. Étape Placer les deu points sur le graphique. Étape Tracer la droite qui passe par ces deu points. Tracez la droite d équation =-, +. Étape Sur la droite, le point A d abscisse 0 a pour ordonnée, 0 + = et le point B d abscisse a pour ordonnée, + = 0,. Étape On place les points A (0 ; ) et A ( ; 0, ) sur le graphique. Étape On trace la droite, qui passe par ces points. O A B 7
. Comment résoudre, graphiquement, un sstème de deu équations du premier degré à deu inconnues? Méthode a b Étape Transformer chacune des équations du sstème pour obtenir la forme ) = + = a l + bl. Étape Tracer sur un graphique les deu droites d équations = a + b et = a l + bl. Étape Déterminer graphiquement les couples de coordonnées des points communs à ces deu droites, qui sont les solutions du sstème : = a + b Cas où a! al Cas où a = al et b! bl Cas où a = al et b = bl O 0 0 = a' + b' = a + b O = a' + b' O = a + b = a' + b' Les droites ont un seul point d intersection, il a donc un seul couple solution _ ; i. 0 0 Les droites sont parallèles et distinctes, il n a donc aucun couple solution. Les droites sont confondues, il a donc une infinité de couples solutions. - + = Résolvez graphiquement le sstème *. + =- - + = Étape Le sstème * + =- = + est équivalent au sstème =. Étape On trace les droites d équations = + et = sur le graphique. Étape On lit que les coordonnées du point d intersection des deu droites sont ( ; ). Le sstème a donc une seule solution, le couple ( ; ). - + = Résolvez graphiquement le sstème *. - = - + = Étape Le sstème * - = = + est équivalent au sstème =. Étape On trace les droites d équations = + et = sur le graphique. Étape Les droites sont parallèles (car elles ont le même coefficient directeur : ) et distinctes. Le sstème n a donc aucun couple solution. = + O = + O = = 9 CHAPITRE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 9 79
a) La solution de l équation est. b) La solution de l équation est. c) La solution de l équation est. d) La solution de l équation est. a) La solution de l équation est. b) La solution de l équation est 7. c) La solution de l équation est. d) La solution de l équation est 9. a) La solution de l équation est 0. b) La solution de l équation est. c) La solution de l équation est 0. d) La solution de l équation est 0. a) La solution de l équation est. b) La solution de l équation est. c) La solution de l équation est. d) La solution de l équation est 7. a) L intervalle des solutions est ] ; [. b) L intervalle des solutions est ] ; + [. c) L intervalle des solutions est [ ; + [. d) L intervalle des solutions est ] ; ]. 9 a) L intervalle des solutions est ] ; [. b) L intervalle des solutions est ] ; ]. c) L intervalle des solutions est ] ; 0]. d) L intervalle des solutions est ] ; [. 0 a) L intervalle des solutions est ] ; 9 [. b) L intervalle des solutions est ] 9 ; + [. c) L intervalle des solutions est [ ; + [. d) L intervalle des solutions est ] ; ].. La solution de l équation est.. L intervalle des solutions est ] ; + [.. + a) La solution de l équation est 9. b) La solution de l équation est. c) La solution de l équation est 9. d) La solution de l équation est. a) L intervalle des solutions est ] ; + [. b) L intervalle des solutions est ] ; [. c) L intervalle des solutions est [ ; + [. d) L intervalle des solutions est ] ; ]. 7 a) L intervalle des solutions est [ ; + [. b) L intervalle des solutions est ] ; ]. 0 c) L intervalle des solutions est ] ; + [. d) L intervalle des solutions est ] ; [. + 0 +. La solution de l équation est.. L intervalle des solutions est ] ; [.. + + 0 a) Le sstème a pour solution le couple ( ; ). b) Le sstème a pour solution le couple (0 ; ). a) Le sstème a pour solution le couple ( ; ). b) Le sstème a pour solution le couple ( ; ). a) Le sstème a pour solution le couple ( ; ). b) Le sstème a pour solution le couple ( ; ). + 70 CHAPITRE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 70
. Tracé de et. 7 7 0 7 7. Les droites sont parallèles. Elles ont le même coefficient directeur. 7. Tracé de. 7 7 0 7 7. coupe l ae des abscisses au point de coordonnées ( ; 0).. coupe l ae des ordonnées au point de coordonnées (0 ; ). '. Tracé de et. 7 7 0 7 7. Les droites se coupent au point de coordonnées ( ; ).. A et E sont des points de la droite ; B, C et E sont des points de la droite et F n appartient à aucune des deu droites. 9 La droite verte a pour équation = + ; la droite violette a pour équation = ; la droite bleue a pour équation = + et la droite rouge a pour équation =. 0. Tracé des droites. = + 7 7 0 7 7 ' = +. Les droites se coupent au point de coordonnées ( ; ). = +. Le sstème est équivalent à. = + Le sstème a pour solution le couple ( ; ). 7
= a) Le sstème est équivalent à. = = 7 7 0 7 = 7 Le sstème a pour solution le couple ( ; ). = + b) Le sstème est équivalent à. = = + 7 7 0 7 = 7 Le sstème a pour solution le couple ( ; ).. AB =.. P = (AB + AD)=( + ) = ; on résout alors l équation =, soit = =,. Ainsi, ABCD est un rectangle de largeur, cm et de longueur 7 cm.. a) Avec la formule, pour DVD il faut paer, en euros,. b) Avec la formule, pour DVD il faut paer, en euros, +,. c) Avec la formule, pour DVD il faut paer, en euros, 0 +,.. L inéquation, + > est équivalente à <. Cela signifie que la formule est plus avantageuse que la formule lorsqu on loue moins de DVD par an.. L inéquation 0 +, < +, est équivalente à >. Cela signifie que la formule est plus avantageuse que la formule lorsqu on loue plus de DVD par an.. La première équation permet d écrire = (, ). Avec la deuième équation, on a alors : + ( (, ) ) = 9,, soit successivement + 7 0 = 9, ; 7 = 7, ; =,. Ainsi, = (,,) =,. Le sstème a pour solution le couple (, ;,).. a) Mise en équations : enfants et adultes ont paé,0, donc + =, ; enfants et adultes ont paé 9,0, donc + = 9,. Le problème se ramène donc à la résolution du sstème (S). b) Le pri du billet enfant est,0, celui du billet adulte,0. Soit le nombre de billets vendus de re catégorie et le nombre de billets vendus de e catégorie. 0 personnes ont assisté au spectacle : + =0 ; la recette totale est euros : 0 + =. + = 0 On a donc le sstème :. 0 + = Le sstème a pour solution le couple ( ; ) : billets de re catégorie et billets de e catégorie ont été vendus. On résout l équation A = ; la solution est 7. 7 Le bénéfice par crêpe vendue est,70. Soit le nombre de crêpes vendues. On résout l inéquation,7 > 0, soit > 9, (arrondi au diième). Armelle doit vendre au moins 0 crêpes pour obtenir un bénéfice supérieur à 0. Aire du carré ABCD en cm² : ². Aire du rectangle : ( + )( ). On résout l équation ² = ( + )( ). Cette équation est successivement équivalente à : ² = ² + ; = 0 ; = 7,. Le carré et le rectangle ont la même aire pour = 7, cm. 7 CHAPITRE ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES 7
9 Partie A. Tracé des droites 0 = + 0 0 = 0 0 0. a) Les droites se coupent au point de coordonnées ( ; 7 ). b) + = 0 = + 0 équivaut à = =, dont le couple solution est le couple des coordonnées du point d intersection des deu droites de la question., soit le couple ( ; 7). Partie B Soit le nombre de parties gagnées et le nombre de parties perdues. Héloïse a joué 0 parties : + = 0 ; à la fin des 0 parties elle a gagné euros : =. + = 0 On a le sstème :. = Ce sstème a pour solution le couple ( ; 7). Héloïse a donc perdu 7 parties. 0 Pri à paer pour matches avec la formule A :. Pri à paer pour matches avec la formule B : 0 euros. On résout l inéquation > 0, équivalente à > 9, (arrondi à 0,). La formule B est plus avantageuse à partir de 0 matches. On sait que qa + qb + qc = 0, qa = 90 et qb = qc. On résout l équation 90 + qc + qc =0, soit qc = 90. La solution de l équation est qc = 0. On a donc qa = 90, qb = 0 et qc = 0.. Soit et les nombres cherchés. + = 0 Sstème :. =. Le sstème a pour solution le couple (7 ; 0). Les nombres cherchés sont 7 et 0. Partie A. Les droites associées au sstème ont pour équations respectives : = + et = +.. Tracé des droites. 0 0 0 0 0. Le sstème a pour solution le couple (0 ; ). Partie B La classe compte élèves : + =. 0 % des garçons et 0 % des filles font du sport, soit élèves : 0, + 0, = ; ou encore, en multipliant les deu membres de l équation par 0 : + =0. + = Sstème :. + = 0 Ce sstème a pour solution le couple (0 ; ). La classe compte 0 garçons et filles. 7
COMME À L ÉCRAN Résolution graphique d un sstème de deu équations du premier degré à deu inconnues - =-. Quelles sont les équations des droites associées au sstème *? + =- = + et =. On a obtenu le tableau et le graphique suivants sur tableur.. Epliquer comment remplir la colonne A sans saisir les valeurs une à une. On entre dans la cellule A et, dans la cellule A ; on sélectionne ces deu cellules que l'on recopie jusqu'à la cellule A.. Parmi les formules suivantes, entourer celle qui a été entrée dans la cellule B, puis copiée jusqu à la cellule B. = A = A+ = B+ = B. Quelle formule a été entrée dans la cellule C, puis copiée jusqu à la cellule C? = *A.. Déterminer à l aide du graphique le couple solution du sstème. C'est le couple ( ;).. Sur quelle ligne et dans quelles cellules du tableur retrouve-t-on ce résultat? Commentez la réponse. Sur la ligne 0, pour la valeur = de la cellule A0, les valeurs des cellules B0 et C0 sont égales à. 7
Évaluation Nom Prénom Classe Date Eercice points Résoudre chacune des équations suivantes.. - + = - 0. + = 0 ; + = 0 ; + = 0 ; = ; = =. La solution est.. ( - ) + =-( - ) + -. + = + + ; = + ; + = + ; = 0 ; = 0 =. La solution est. Eercice points Résoudre chacune des inéquations suivantes.. 7 + < - 0. 7 0 ; 7 ; ;. 7 L'intervalle des solutions est ] ; [.. -( - ) G -(- - ) +. + + 0 + ; ; 0 ; 0 ;. L'intervalle des solutions est [ ; + [. Eercice points - + =- Résoudre le sstème d équations *. + =- La première équation équivaut à = +. Avec la deuième équation : + ( + ) = ; 0 + = ; 7 = + 0 ; 7 = 7 ; = 7 7 ; =. En reportant dans = +, on obtient = + = + =. Le sstème a pour solution le couple ( ; ). 7 CHAPITRE INFORMATION CHAPITRE CHIFFRÉE ÉQUATIONS, : PROPORTIONNALITÉ, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES ÉCHELLES 7
Problème 9 points Le plan est rapporté à un repère. On considère les droites et ' d équations =, +, et = + 0,. On donne ci-dessous un tracé de '.. Déterminer les coordonnées de deu points distincts de, puis tracer sur le graphique. Pour =, on obtient =, +, =, +, = 7. Pour =, on obtient =, +, =, +, =. passe par les points de coordonnées ( ; 7) et ( ; ). 9 7 O 7 '. En utilisant la question., résoudre graphiquement le sstème + = + =. = Le sstème est équivalent à + = +, =, +, soit. Le couple solution est ( ;,). = + 0,. Un magasin propose deu tpes de rangement pour DVD : des boîtes et des classeurs. Léa achète boîtes et classeurs et pae euros ; Hugo achète boîtes et classeurs et pae euros. On veut déterminer le pri d une boîte et le pri d un classeur. Epliquer pourquoi le problème se ramène à la résolution du sstème d équations de la question., puis donner le pri d une boîte et le pri d un classeur. boîtes et classeurs coûtent : + = ; boîtes et classeurs coûtent : + =. + = On doit, pour trouver et, résoudre le sstème + =. Une boîte coûte et un classeur coûte,0. 7