Christelle BERRUER PE2 Groupe A1 L APPROCHE DE L ADDITION AU COURS PREPARATOIRE I.- L addition dans l ensemble des entiers naturels Partie mathématique 1.1.- Définition C est l opération qui associe à deux entiers a et b, leur somme a+b. Le mot addition désigne une opération, le mot somme désigne le résultat de cette opération. C est une loi de composition interne, définie sur l ensemble IN, notée par le signe +. Le problème de l addition peut être considéré comme ayant pour origine un ensemble d objets. Soit un ensemble d objets A dont le cardinal est noté a et un autre ensemble d objets B, de cardinal b (A et B sont des ensembles disjoints). La réunion de ces deux ensembles donne un ensemble plus grand appelé union de deux ensembles. Si a = 3 et b = 5 B Card (AUB) = 8 * * * * * * * * AUB A Card A = 3 Card B = 5 Nous pouvons donc dire que le cardinal 8 est la somme de cardinaux 3 et 5, et l addition est l opération qui, au couple (3 ;5), associe leur somme 8. Avec une paire de nombres et la table d addition, on obtient un autre nombre appelé somme. + Exemple : (2 ;1) 3 La table d addition assigne un nombre déterminé appelé somme à toutes paires de nombres. De plus, l addition applique l ensemble des paires de nombres dans l ensemble des entiers IN. - 1 -
Par conséquent, dans l ensemble IN des entiers naturels, à tout couple (a;b) d entiers, nous pouvons faire correspondre un entier déterminé appelé somme de a et b, noté (a+b). La loi de composition interne s appelle l addition et est notée : + (a ;b) (a+b) Le nombre assigné comme somme à chaque paire est choisi dans le même ensemble IN. I.2.- Propriétés de l addition Associativité de l addition. L addition des entiers naturels est associative. En effet, quels que soient les éléments a, b et c de l ensemble IN, on peut écrire : a + (b + c) = (a + b) + c Cette égalité permet de ne plus écrire les parenthèses car on obtient toujours le même résultat. On peut l écrire a + b + c. Les parenthèses indiquent quelle somme est calculée en priorité. Exemple : Soit 5,7 et 4 trois éléments de IN On peut écrire : (5 + 7) + 4 = 12 + 4 = 16 et : 5 + (7 + 4) = 5 + 11 = 16 D où il résulte que : (5 + 7) + 4 = 5 + (7 + 4) = 16 Et donc on peut écrire que : (5 ;7.4) 5 + 7 + 4 = 16 Par ailleurs, cette propriété permet de calculer plus facilement des additions de la forme qui suit : (67 + 23) = 67 + (20 + 3) = (67 + 20) + 3 d après la propriété de l associativité. = 87 + 3 = 90 En revanche, cette propriété ne s applique pas (entre autres) à la soustraction. On le constate avec l exemple suivant : (5-3) - 2 = 2-2 = 0 5 - (3-2) = 5 1 = 4 donc (5-3) - 2 5 - (3-2) - 2 -
Commutativité de l addition. L addition des entiers naturels est commutative. C est à dire que quelles que soient les paires (a,b) interverties, elles ont toute la même image. a et b E IN : a + b = b + a exemple : 5 + 3 = 8 et d où 5 + 3 = 3 + 5 3 + 5 = 8 Toutes les opérations ne possèdent pas cette propriété. En effet, la division n est pas commutative. exemple : 18 6 = 3 mais 6 18 = 1/3 De même, pour la soustraction : exemple : 4-3 3-4 car 4-3 = 1 et 3 4 = -1 Existence d un élément neutre (le naturel 0) Pour tout entier a : a + 0 = 0 + a = a Sur le plan ensembliste, le 0 est le cardinal de l'ensemble vide. I.3.- La technique opératoire de l addition. La technique opératoire de l addition est fondée : - sur les principes d une numération de position dans une base donnée. - sur les propriétés des opérations dans IN. La numération y est considérée comme un pré-requis au calcul et dès que l on amorce le calcul sous forme d addition en colonnes, la numération est moins travaillée. L addition en colonnes est une technique écrite où la disposition spatiale entraîne l utilisation de retenues. Au niveau du CP, connaître la numération c est notamment savoir utiliser la dizaine pour calculer une somme. Il semble alors préférable de créer des situations pour que les enfants prennent conscience des facilités de calcul qui résultent de l emploi de la dizaine. Par exemple, pour calculer la somme (28 + 43), on fait : 28 + 43 = 20 + 8 + 40 + 3 = 60 + 10 + 1 = 70 + 1 = 71 Lorsque l on pose l opération en colonne, les calculs peuvent être traduits de la façon suivante : 28 + 43 11 (8 + 3) + 60 (20 + 40) 71-3 -
Dans la pratique, nous employons des retenues et on écrit : 1 28 + 43 71 Remarque : Cette technique trouvera son véritable intérêt avec des membres de plus grande taille ou pour calculer la somme de plus de 2 nombres. Nous pouvons remarquer que l addition en colonne constitue une technique puissante mais qui n aide pas à aller vers une meilleure conception des quantités. - 4 -
2.- PARTIE PEDAGOGIQUE Le cours préparatoire constitue le 3è niveau du cycle II où il est possible de résoudre des problèmes et conduire des calculs sans disposer encore de la technique opératoire de l'addition. En effet, cette technique doit être maîtrisée uniquement en fin de cycle. Ce qui doit être privilégié dans l'apprentissage est le sens. Les calculs additifs reposent, pendant cette approche de l'addition, sur des décompositions de nombres à ajouter dans la base dix. La technique classique est repoussée à plus tard afin que l'enfant n'applique pas rapidement une technique vide de sens. Pour passer de la connaissance du nombre et du dénombrement à l'approche de l'addition, plusieurs voies sont possibles, celle que nous avons envisagée est la suivante : 1.- Coder une situation d'augmentations successives 2.- Introduction des signes "+" et "=" dans une situation dynamique 3.- Les compléments à 10 - Jeux - additifs. 1.- Coder une situation d'augmentation successive : Objectifs : - Coder une situation d'augmentations successives Matériel : - Un sac - Une collection de 10 objets - Une ardoise par élève. Déroulement : Recherche de codage pour une situation d'augmentation a) La maîtresse raconte l'histoire d'un petit garçon dont la maman lui a demandé de ranger sa chambre. Antoine prend un grand sac puis commence ses recherches : il met 2 voitures dans son sac, puis 1, puis encore 2. La maîtresse ne prononce pas les nombres, mais mime. - 5 -
b) Discussion : - Quel est le nombre de voitures dans le sac? On le vérifie. - Comment peut-on le savoir? - Est-on sûr de ne pas se tromper? Faire un retour sur ce qui a été mis sur les ardoises. c) Deuxième essai : 4 voitures puis 2 puis 3. même discussion On convient de ne plus dessiner. Combien j'ai mis de voitures la première fois? d) Troisième essai : 2 voitures puis 3 puis 2. Je peux vous interroger sur ce que j'ai mis à chaque fois? On discute sur : - le résultat (à vérifier) - l'écriture des 3 étapes et la distinction avec le nombre final. e) Quatrième essai : 3 puis 4 puis 1. introduction des signes "+" et "-". ie 3 + 4-1 + 8. Prolongement possible : Faire l'opération inverse ie : le maître écrit au tableau des expressions du type 1 + 2 + 3 ; 2 + 3 ; 4 + 1 + 2, puis il demande la signification à certains élèves et à tous de trouver le résultat et de l'écrire sous la forme d'une égalité. 2.- Introduction des signes "+" et "=" dans une situation de jeu Objectifs : - Utiliser les signes "+" et "=" en codant une situation d'augmentations successives. - Associer une somme de 2 nombres au cardinal d'une réunion de 2 ensembles n'ayant aucun élément en commun. - Calculer la somme de 2 nombres dont le total est < 12. - 6 -
Matériel : - 1 dé pour 2 élèves - 1 fiche de la chenille à calculer pour deux. Déroulement : a) Explication de l'activité : Règle du jeu : l'enfant qui arrive le plus loin dans la chenille après 2 jets de dés a gagné. Jeu qui se joue à deux. Rôle du maître : expliquer les règles du jeu. Activité de l'élève : - lance le dé - comptage / surcomptage Finalité de l'élève : - anticipation possible. b) L'activité : 1ère étape : jeu libre. - On laisse les enfants jouer 2 ou 3 fois - Le maître passe dans les rangs et demande aux enfants : Qui a gagné? Pourquoi a-t-il gagné? Comment a-t-il fait pour gagner? - 7 -
Comment pourrions-nous faire pour nous en souvenir? Après la discussion, on décide de noter tous les points obtenus sur l'ardoise. 2ème étape : analyse des résultats en collectif. Les élèves montrent leurs écritures et le maître en reproduit quelques-unes au tableau. Une comparaison puis une reformulation Rôle du maître : expliciter l'utilité du symbolisme arithmétique même si celui-ci n'est pas indispensable à l'apprentissage du calcul. Activité de l'élève : - écriture des chiffres - codage d'une situation d'augmentation. Finalité pour l'élève : - utiliser les signes "+" et "=". 3ème étape : Trace écrite Prend un dé. Lance-le 2 fois de suite a) Ecris le nombre de points obtenus. 1er lancer 2e lancer en tout + = b) Recommence 3 autres fois 1er lancer 2e lancer en tout + = 1er lancer 2e lancer en tout + = 1er lancer 2e lancer en tout + = Quelques vérifications : Des élèves ont-ils trouvé 10? Ils viennent écrire leur égalité. Les autres vérifient sur leur ardoise. A l'issue des vérifications, le maître interroge sur les différentes méthodes pour vérifier. - 8 -
Prolongements possibles : Le maître peut proposer des petits problèmes, dans lesquels il faut ajouter deux nombres, le total ne dépasse pas 10. Les élèves écrivent l'égalité correspondante. 3.- Les compléments à 10 : rechercher des décompositions additives de 10 Objectifs : - réinvestir les séances précédentes - recenser les décompositions additives de 10. Matériels : - Une feuille avec les constellations de dés Déroulement : - découper les dés - coller sur le cahier les dés de façon à obtenir 10 - Ecrire, pour chaque réponse, l'égalité traduite en nombres L'objectif étant de réutiliser les signes "+" et "=". - Discussion collective afin d'analyser les réponses et les démarches. Prolongements possibles : - faire un labynombre : par exemple, trouver un chemin d'un départ à une arrivée sur une grille en se déplaçant de case en case, uniquement celles qui contiennent les décompositions de 10. 4.- Jeux additifs L'objectif est ici de fournir aux enfants l'occasion d'additionner dans un but précis. a) Le "jeu du cochon" Le maître distribue à chaque enfant un exemplaire d'un polycopié sur lequel figure le cochon cidessous : - 9 -
Matériel : - Un dé qui comporte sur des faces opposées les chiffres 0, 1, 2. - Un dé qui comporte les chiffres 1, 2 et 3 - Un exemplaire du cochon par personne. Déroulement : Jeu à 2, 3, 4 ou 5 joueurs Règle : Les joueurs lancent à tour de rôle les 2 dés à la fois. C'est la somme des 2 dés qui déterminent quelle partie du corps du cochon on peut colorier. Remarque : On ne colorie qu'une patte à la fois. Le joueur dont le cochon est entièrement colorié a gagné. a) Le nombre-cible Objectifs : - Utiliser les écritures additives dans une situation qui évoque une réunion de collections et commencer à mettre en place le répertoire additif. - Utiliser et améliorer les procédures mentales de calcul des élèves. - Réinvestir les compléments. Matériel : Un lot de cartes portant des nombres. Un grand nombre de jetons. Une enveloppe ou une boîte par groupe. Une fiche- score par groupe, puis par élève. Règle du jeu : Un nombre est proposé aux joueurs : c'est le nombre-cible, celui qu'il faut atteindre en un nombre déterminé de coups. Chaque joueur à son tour choisit une carte, il reçoit autant de jetons et marque autant de point sur sa fiche, que le nombre indiqué sur la carte. Le gagnant est celui qui a le nombre de points correspondant au nombre-cible. Déroulement : Phase de jeu collective : On joue équipes contre équipes (équipes de 4 ou 5 joueurs). Le meneur de jeu est l'enseignant. Il étale, à la vue de toute la classe, les cartes grand modèle marquées de nombres. Le nombre que l'on cherche à atteindre est affiché au tableau. Pour le premier jeu, on choisit 10-10 -
(possibilité d'utiliser les doigts). On détermine le nombre de coups (3 par exemple, il faudra donc que chaque équipe tire 3 cartes pour atteindre le nombre-cible). Les élèves disposent d'une banque numérique. A tour de rôle, un représentant de chaque équipe demande à l'enseignant la carte souhaitée. Celui-ci donne la carte et les jetons correspondants à l'équipe qui pose la carte visible sur la table et place les jetons dans l'enveloppe (ou la boîte) que l'on referme. L'équipe note le nombre correspondant sur sa fiche score. A l'issue des trois tirages, on cherche quelles sont les équipes gagnantes. Chaque équipe doit trouver le nombre de jetons qu'elle a gagnés, sans ouvrir la boîte (soit avec les cartes, soit avec la fichescore) et comparer celui-ci au nombre-cible. La vérification se fait ensuite par comptage des jetons. Le jeu sera repris plusieurs fois, en prenant pour cible d'autres nombres. Variantes : - Changer le nombre-cible. - Changer le nombre de coups. - Supprimer les jetons. c) Puzzle à colorier Objectif : - Ajouter deux nombres - Reconnaître une décomposition de 10. - 11 -
BIBLIOGRAPHIE Apprentissages numériques ERMEL-HATIER Cycle des apprentissages fondamentaux Math - Guide pédagogique DELAGRAGE 2ème année J'Apprends les maths Rémi BRISSIAUD - RETZ Pierre CLERC André OUZOULIAS Comment les enfants apprennent à calculer Rémi BRISSIAUD-RETZ - 12 -