Première STMG Suites numériques sguhel
... 0 Chapitre 3 : Suites numériques... 2 1 Introduction... 2 1.1 Activité 1... 2 1.2 Activité 2... 2 2 Modes de génération d une suite... 4 2.1 Suite numérique... 4 2.2 Suite donnée par l expression de un en fonction de n... 5 2.3 Suite donnée à l aide d une relation de récurrence... 5 3 Sens de variation d une suite... 6 4 Suites arithmétiques... 7 4.1 Définition... 7 4.2 Sens de variation d une suite arithmétique... 7 4.3 Représentation graphique d une suite arithmétique... 8 5 Suites géométriques... 8 5.1 Définition... 8 5.2 Sens de variation d une suite géométrique... 9 5.3 Représentation graphique d une suite arithmétique... 10 6 Exercices... 11 1
Chapitre 3 : Suites numériques 1 Introduction 1.1 Activité 1 1.2 Activité 2 Chapitre 3 : Suites numériques 2
Introduction 3
2 Modes de génération d une suite 2.1 Suite numérique Définition : Une suite numérique est une fonction de Dans l activité 2, à tout nombre entier naturel (positif) on associe un nombre réel : 0 C0 : le capital de départ 1 C1 : le capital disponible au bout de 1 an, 2 C2 : le capital disponible au bout de 2 ans, 3 C3 : le capital disponible au bout de 3 ans, n Cn : le capital disponible au bout de n années, Notations et vocabulaire: Modes de génération d une suite 4
2.2 Suite donnée par l expression de un en fonction de n Soit (un) la suite définie sur par : un = 2n + 1. u0 = 2 x 0 + 1 = 1 u1 = 2 x 1 + 1 = 3 u100 = 2 x 100 + 1 = 201 u222 = 2 x 222 + 1 = 445 Nous retrouvons la liste A de l activité 1. On peut calculer directement n importe quel terme de la suite. On peut également représenter graphiquement cette suite dans un repère orthonormé (O ; ; ) 2.3 Suite donnée à l aide d une relation de récurrence Exemple 1 : Reprenons la liste A : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; Pour passer d un terme au suivant, on rajoute 2 : nous avons donc un+1 = un + 2. Cette relation est appelée relation de récurrence. Exemple 2 : Soit la suite définie par son premier terme u0 = 1 et par la relation de récurrence : un+1 = un 3. u1 = 3 ; u2 = 9 ; u3 = 27 ; u4 = 81 ; u5 = 243 On retrouve la liste B de l activité 1. Exemple 3 : Soit la suite définie par son premier terme u0 = 1 et par la relation de récurrence : un+1 = un + 2n + 3. u1 =4 ; u2 = 9 ; u3 = 16 ; u4 = 25 ; u5 = 36 On retrouve la liste C de l activité 1. Modes de génération d une suite 5
Exemple 4 : Soit la suite définie par son premier terme u0 = 3 et par la relation de récurrence : un+1 = un + 2n + 3. u1 = 6 ; u2 = 11 ; u3 = 18 ; u4 = 27 ; u5 = 38 On retrouve la liste D de l activité 1. Lorsqu on définit une suite par une relation de récurrence, les valeurs des termes de la suite dépendent de sa valeur initiale. 3 Sens de variation d une suite Définition : Une suite (un) est croissante sur si et seulement si pour tout n de, un+1 un. Une suite (un) est décroissante sur si et seulement si pour tout n de, un+1 un. Une suite (un) est constante sur si et seulement si pour tout n de, un+1 un. Une suite monotone est une suite croissante sur ou décroissante sur. Exemple : La suite de la liste A étudiée dans l activité 1 semble monotone (croissante). Méthode : Pour étudier le sens de variation d une suite, on peut étudier le signe de un+1 un : Application : u0 = 1 et un+1 = un + 2 un+1 - un = 2, donc un+1 un, la suite est bien croissante. Sens de variation d une suite 6
4 Suites arithmétiques 4.1 Définition Exemples : Définition : Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison. Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un + r Exemples : Méthode : Pour montrer qu une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que un+1 un est constant. Cette constante est la raison r. 4.2 Sens de variation d une suite arithmétique Propriété : Une suite arithmétique de raison r est : - croissante si r > 0 ; - décroissante si r < 0 ; - constante si r = 0. Suites arithmétiques 7
4.3 Représentation graphique d une suite arithmétique Propriété : La représentation graphique d une suite arithmétique (un) dans un repère du plan est constitué des points alignés de coordonnées (n ; un) Exemple : Construire la représentation graphique de la suite arithmétique de premier terme U0 = 15 et de raison 2. 5 Suites géométriques 5.1 Définition Exemples : Suites géométriques 8
Définition : Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s obtient en multipliant le précédent par une constante q appelé raison. Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = un q Exemples : Méthode : Pour montrer qu une suite est géométrique, il suffit de vérifier que est constant. Cette constante est la raison q. 5.2 Sens de variation d une suite géométrique Propriété : Une suite géométrique de raison r est : - croissante si q > 1 ; - décroissante si 0 < q < 1 ; - constante si q = 1. Suites géométriques 9
5.3 Représentation graphique d une suite géométrique Exemple : Construire la représentation graphique de la suite (un) de terme général un = 2 n, puis de la suite (vn) de terme général un = 0,2 n Suites géométriques 1 0
6 Exercices Exercice 1 : On définit la suite (u n ) par une relation de la forme u n = f (n). Déterminer u 0, u 1, u 2, u 3 et u 4. Arrondir éventuellement à 10-2. Exercice 2 : Même énoncé : Exercice 3 : a. Pour n, u n = 2 3n ; c. Pour n, u n = (0,2) n ; b. Pour n, u n = (1,02) n ; d. Pour n, u n =. a. Pour n, u n = 2n + 4 ; c. Pour n, u n = 100(0,9) n ; b. Pour n, u n = 3(1,1) n ; d. Pour n, u n =. (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Dans chacun des cas suivants, Calculer u 1, u 2, u 3, u 4 et u 5. a. u 0 = et r = ; b. u 0 = 0,36 et r = ; c. u 0 = 1 000 et r = ; Exercice 4 : u 3 = et r =. Calculer u 0. Exercice 5 : u 4 = et r =. Calculer u 0. Exercice 6 : a. u 2 = et u 4 = 30. Calculer r et u 0. b. u 2 = et u 4 = 118. Calculer r et u 0. Exercice 7 : La suite arithmétique (u n ) est définie par : u 0 = 2 et pour tout entier n de, u n+1 = u n + 2. 1) Calculer u 1, u 2, u 3, u 4 et u 5. 2) Représenter graphiquement la suite (u n ) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm). 3) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). Exercice 8 : La suite arithmétique (u n ) est définie par : u 1 = 2 et pour tout entier n de, u n+1 = u n. 1) Calculer u 2, u 3, u 4 et u 5. 2) Représenter graphiquement la suite (u n ) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm). 3) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). Exercices 1 1
Exercice 9 : La suite arithmétique (C n ) est définie par : C 1 = 5 000 et la raison r = 500. 1) Ecrire les six premiers termes de la suite arithmétique (C n ). 2) Déterminer l entier naturel n tel que C n = C 1. 3) Déterminer le sens de variation de la suite (C n ). Exercice 10 : On donne la suite arithmétique (u n ) définie par son premier terme u 0 et une relation de récurrence. Dans chaque cas, représenter graphiquement la suite (u n ) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm) et déterminer son sens de variation. 1) u 0 = 2 ; u n+1 = u n 2. 2) u 0 = 0 ; u n+1 = u n + 3. 3) u 0 = 1 ; u n+1 u n =. Exercice 11 : La figure ci-contre donne la représentation graphique d une suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 et de raison r. 1) Déterminer graphiquement u 0 et r. 2) Calculer u 10. 3) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). Exercice 12 : (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 = 256 et de raison q =. Calculer u 1, u 2, u 3, u 4 et u 5. Exercice 13 : (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. Dans chacun des cas suivants, calculer u 1, u 2, u 3, u 4 et u 5. 1) u 0 = 1,5 et q = 2. 2) u 0 = 10 000 et q = 1,1. 3) u 0 = 5 000 et q = 1,03, pour u 2, u 3, u 4 et u 5, donner le résultat arrondi à l unité. 4) u 0 = 1 000 et q = 0,9. Exercice 14 : (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. u 0 = 1,5 et q = 1,022 5. Déterminer la valeur approchée arrondie à 10-2 de u 5. Exercices 1 2
Exercice 15 : (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. u 3 = 24 et q =. Calculer u 0. Exercice 16 : (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. 1) u 3 = 51 200 et q = 0,8. Calculer u 0. 2) U 4 = 20 736 et q = 1,2. Calculer u 0. Exercice 17 : (u n ) est une suite géométrique de raison q. u 2 = 4 et u 4 =. Calculer q. Exercice 18 : Démontrer que 50 000, 48 000, 46 080 peuvent être dans cet ordre, les trois premiers termes u 0, u 1 et u 2 d une suite géométrique dont on précisera la raison. Calculer u 5. Arrondir à 10-2. Exercice 19 : Pour chacune des suites suivantes, indiquer s il s agit des premiers termes d une suite arithmétique ou d une suite géométrique. Donner la raison. a) 45 ; 30 ; 15 ; 0. b) 11 ; 121 ; 1 331 ; 14 641. c) 1 000 ; 1 050 ; 1 102,5 ; 1 157,625. d) 500 ; 523,75 ; 547,50 ; 571,25. Exercice 20 : La suite (u n ) est définie par u n+1 = u n. 1) Calculer u 1, u 2, u 3 et u 4. 2) Représenter graphiquement la suite (u n ) dans un repère orthogonal. 3) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). Exercice 21 : La suite géométrique (u n ) est définie par u 1 = et pour tout entier n de * : u n+1 = u n. 1) Calculer u 2, u 3 et u 4. 2) Représenter graphiquement la suite (u n ) dans un repère orthonormé (unité : 1 cm). 3) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). Exercice 22 : La suite géométrique (v n ) est définie par v 0 = 1 000 et pour tout entier n de * : v n+1 = v n. 1) Calculer v 1, v 2, v 3 et v 4. 2) Déterminer le plus petit nombre entier n tel que v n 2v 0 3) Déterminer le sens de variation de la suite (v n ). Exercices 1 3
Exercice 23 : Exercice 24 : Exercice 25 : Exercice 26 : Exercice 26 : Exercice 26 : Exercice 27 : Exercice 26 : Exercices 1 4