Description d une série statistique à deux variables quantitatives Activité 1 On souhaite répondre à la question suivante : «Y a-t-il corrélation entre le revenu mensuel d un ménage et la somme d argent que ce ménage a mis dans l achat de sa dernière voiture?» Pour avoir des éléments de réponse, on sélectionne un échantillon de 10 ménages jugées représentatifs d un certaine population et on relève, pour chacun d eux, les informations regroupés dans le tableau suivant, où les salaires et les budgets sont exprimés en euros. Ménages 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire mensuel 1067 1220 1372 1524 2134 2439 2744 3049 3049 4269 Budget voitures 5350 7600 5350 4550 13700 12200 15250 18300 21350 22900 On désire, à partir de ces informations, dégager une loi ou une règle reliant le budget d un ménage quelconque à la dépense qu il consacre à l achat d une voiture. Autrement dit, peut-on prévoir le budget voiture d un ménage ayant un salaire mensuel de 1 800? Et pour un ménage ayant un salaire mensuel de 5 000?
1- Représentation graphique Différentes étapes sont nécessaires pour découvrir et expliciter cette relation, si toutefois elle existe. La première étape (indispensable) consiste à représenter graphiquement les données. Ici, on choisira un nuage de points. Pour réaliser cette représentation graphique : On trace, dans le plan, un système de deux axes orthogonaux tels que : L axe horizontal est gradué selon les valeurs du caractère revenu, noté X ; L axe vertical est gradué selon les valeurs du caractère budget voiture, noté Y. On trace, pour chaque ménage, un point ayant pour coordonnées (x i, y i ) les valeurs observées des deux caractères : son revenu en abscisse, son budget voiture en ordonnée ( car on désire ici apprécier le budget voiture en fonction du revenu et non le contraire comme ce pourrait être le cas pour un contrôle fiscal!). 2- Exploitation du nuage Ici, ce que l œil voit immédiatement, c est la forme du nuage : le nuage est étiré selon une certaine direction et les points semblent répartis de part et d autre d une droite fictive. Ajuster (de façon affine) le nuage, c est lui associer une droite, de manière à ce que, en un sens à préciser mathématiquement, elle soit «le plus proche possible»de l ensemble des points du nuage, reflétant au mieux sa position et son aspect étiré. Si on trace une telle droite et si on connaît le revenu d un autre ménage, on peut se faire une idée sur son budget voiture : pour un ménage de revenu x, faute d autres informations sur ses choix, on peut considérer que y est la valeur qu il pense consacrer à l achat d une voiture, où y est l ordonnée du point d abscisse x sur la droite d ajustement. Que peut-on prévoir le budget voiture pour un ménage ayant un salaire mensuel de 18 000? Et pour un ménage ayant un salaire mensuel de 5 000? 3- Droite d ajustement Un droite fictive ajustant au mieux le nuage de points a une équation réduite du type y = ax + b. Pour tracer cette droite, diverses méthodes sont envisageables : Soit une méthode manuelle : on dessine avec précision le nuage de points et on trace à la règle une droite qui parait bien ajustée l ensemble des points. On peut alors, une fois la droite tracée, calculer les coefficients a et b de son équation après lecture des coordonnées de deux de ces points. Soit une méthode objective : on se donne un critère pour définir ce que l on entend par une meilleure droite d ajustement, ce qui permet de calculer les paramètres a et b et de tracer la droite d équation y = ax + b. Le critère généralement retenu est celui des moindres carrés. Soit des méthodes adaptées à certaines données. Parmi celles-ci, la méthode de Mayer : on partage les individus en deux groupes selon les valeurs x i ce qui constitue deux nuages.
Ajustement affine d une série statistique à deux variables quantitatives Activité 2 «Y a-t-il corrélation entre le revenu mensuel d un ménage et la somme d argent que ce ménage a mis dans l achat de sa dernière voiture?» Pour avoir des éléments de réponse, on sélectionne un échantillon de 10 ménages jugées représentatifs d une certaine population et on relève, pour chacun d eux, les informations regroupés dans le tableau suivant, où les salaires et les budgets sont exprimés en euros. Ménages 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire mensuel 1067 1220 1372 1524 2134 2439 2744 3049 3049 4269 Budget voitures 5350 7600 5350 4550 13700 12200 15250 18300 21350 22900 On désire, à partir de ces informations, dégager une loi ou une règle reliant le budget d un ménage quelconque à la dépense qu il consacre à l achat d une voiture. 4- Méthode «manuelle» La droite tracée passe par les points de coordonnées ( ; ) et ( ; ) donc son équation est : 5- Méthode de Mayer On partage les ménages en deux groupes : ceux dont le salaire mensuel est inférieur à B = salaire mensuel est supérieur à B. On obtient les séries Ménages et Ménages Salaire mensuel Budget voitures Le point moyen de la première a pour coordonnées ( ; ) Le point moyen de la deuxième a pour coordonnées ( ; ) Donc la droite a pour équation : Salaire mensuel Budget voitures et ceux dont le 6- Méthode des moindres carrés Cette méthode est celle utilisée par la calculatrice. Après avoir entré les listes, on utilise la fonction «reglin» et la calculatrice affiche l équation de la «droite de régression» : Questions : Peut-on prévoir le budget voiture pour un ménage ayant un salaire mensuel de 1 800? Et pour un ménage ayant un salaire mensuel de 5 000? Quelle est le meilleur ajustement?
Ajustement affine d une série statistique à deux variables quantitatives Activité 2 «Y a-t-il corrélation entre le revenu mensuel d un ménage et la somme d argent que ce ménage a mis dans l achat de sa dernière voiture?» Pour avoir des éléments de réponse, on sélectionne un échantillon de 10 ménages jugées représentatifs d une certaine population et on relève, pour chacun d eux, les informations regroupés dans le tableau suivant, où les salaires et les budgets sont exprimés en euros. Ménages 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire mensuel 1067 1220 1372 1524 2134 2439 2744 3049 3049 4269 Budget voitures 5350 7600 5350 4550 13700 12200 15250 18300 21350 22900 On désire, à partir de ces informations, dégager une loi ou une règle reliant le budget d un ménage quelconque à la dépense qu il consacre à l achat d une voiture. 1- Méthode «manuelle» La droite tracée passe par les points de coordonnées ( ; ) et ( ; ) donc son équation est : 2- Méthode de Mayer On partage les ménages en deux groupes : ceux dont le salaire mensuel est inférieur à B = 2300 et ceux dont le salaire mensuel est supérieur à B. On obtient les séries Ménages 1 2 3 4 5 et Ménages 6 7 8 9 10 Salaire mensuel 1067 1220 1370 1524 2134 Salaire mensuel 243 2744 3049 3049 4269 Budget voitures 5320 7600 5320 4550 13700 Budget voitures 12200 15250 18300 21350 22900 Le point moyen de la première a pour coordonnées (1643 ; 7310) Le point moyen de la deuxième a pour coordonnées (3110 ; 18000) Donc la droite a pour équation :y = 6,49x 2183,9 3- Méthode des moindres carrés Cette méthode est celle utilisée par la calculatrice. Après avoir entré les listes, on utilise la fonction «reglin» et la calculatrice affiche l équation de la «droite de régression» : y = 3,32x 1799,57 Questions : Que peut-on prévoir le budget voiture pour un ménage ayant un salaire mensuel de 18 000? Et pour un ménage ayant un salaire mensuel de 5 000? Quelle est le meilleur ajustement?
Ajustement affine d une série statistique à deux variables quantitatives Activité 3 «Y a-t-il corrélation entre le revenu mensuel d un ménage et la somme d argent que ce ménage a mis dans l achat de sa dernière voiture?» Pour avoir des éléments de réponse, on sélectionne un échantillon de 10 ménages jugées représentatifs d une certaine population et on relève, pour chacun d eux, les informations regroupés dans le tableau suivant, où les salaires et les budgets sont exprimés en euros. Ménages 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salaire mensuel 1067 1220 1372 1524 2134 2439 2744 3049 3049 4269 Budget voitures 5350 7600 5350 4550 13700 12200 15250 18300 21350 22900 On désire, à partir de ces informations, dégager une loi ou une règle reliant le budget d un ménage quelconque à la dépense qu il consacre à l achat d une voiture. On ajuste les points M i d un nuage de points par une droite D d équation, on note i l écart entre le point M i (x i ; y i ) du nuage et le point M de même abscisse x i appartenant à la droite D. On a i = y i y = y i (ax i + b) Compléter le tableau : Variable explicative X: Variable expliquée Y: i avec la méthode de Mayer i avec la méthode des moindres montant en euros du salaire mensuel montant en euros du budget voiture 1067 5350 1220 7600 1372 5350 1524 4550 2134 13700 2439 12200 2744 15250 3049 18300 3049 21350 4269 22900 Somme y = carrés : y = La somme ( ) est appelée somme des résidus en y. L objet de cette activité est d effectuer un ajustement affine par la méthode des moindres carrés. C est à dire de déterminer la droite D appelée droite de régression de y en x d équation y = ax + b telle que la somme des résidus ( ) soit minimale. 1. Dans un premier temps, on suppose connu le coefficient directeur a de la droite D. a) Le premier résidu est pour i = 1 : ( ) ( ) ( ). Développer de même les neuf autres résidus. b) Vérifier que la somme S est un polynôme du second degré en b. c) Déterminer la valeur de b (en fonction de a) pour que la somme S soit minimale. d) En déduire que le point moyen G appartient à la droite D. 2. Calcul du coefficient directeur a a) En remplaçant b par la valeur obtenu en 1.c, vérifier que la somme S est un polynôme du second degré en a. b) En déduire la valeur de a pour laquelle S est minimal, puis celle de b. c) Donner l équation réduite de la droite D. Comparer avec celle de la droite.
Statistiques à deux variables Fiche(1) France juin 2009 4 points Le tableau ci-dessous donne l évolution de l indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007. Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de l année : xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Indice : yi 100 108,5 120,7 134,9 154,8 176,4 193,5 213,6 Source : INSEE 1. Calculer le pourcentage d augmentation de cet indice de l année 2000 à l année 2007. 2. Construire le nuage de points M i (x i ; y i ) dans le plan (P) muni d un repère orthogonal défini de la manière suivante : sur l axe des abscisses, on placera 0 à l origine et on choisira 2 cm pour représenter une année. sur l axe des ordonnées, on placera 100 à l origine et on choisira 1 cm pour représenter 10 unités. 3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le plan (P). 4. L allure de ce nuage permet de penser qu un ajustement affine est adapté. a. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d) d ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième. b. Tracer la droite (d) dans le plan (P). 5. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer l indice du prix de vente des appartements anciens de Paris au quatrième trimestre 2009. Justifier la réponse. Asie juin 2009 5 points Le tableau ci-dessous donne le prix du kilogramme de pain dans un quartier d une grande ville depuis 2001 (les prix sont relevés au premier janvier). Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Rang x i 1 2 3 4 5 6 Prix y i du kilogramme de pain en euro 1,90 1,94 2,01 2,07 2,13 2,16 1. Calculer le pourcentage d évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier entre les années 2000 et 2005. On donnera une valeur arrondie au centième. 2. Représenter le nuage de points associé à la série (xi ; yi) dans un repère du plan. a. Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifié? b. Déterminer une équation de la droite (D) d ajustement affine de y en x obtenue par méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10 3 près. c. Représenter la droite (D) dans le repère précédent, d. En admettant que le modèle précédent est valable pour les années suivantes, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième). 3. On considère maintenant un autre modèle pour étudier l évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier. Les relevés de prix entre 2005 et 2008 ont permis de constater que le prix du kilogramme de pain a augmenté de 1,5% par an. En admettant que le prix du kilogramme de pain continue d augmenter chaque année de 1,5 %, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième). 4. Pour chacun des modèles précédents, déterminer à partir de quelle année le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dépassera 2,60 euros.
Statistiques à deux variables CORRIGE Fiche(1) France juin 2009 4 points Le tableau ci-dessous donne l évolution de l indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007. Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de l année : xi 0 1 2 3 4 5 6 7 Indice : yi 100 108,5 120,7 134,9 154,8 176,4 193,5 213,6 Source : INSEE 1. Calculer le pourcentage d augmentation de cet indice de l année 2000 à l année 2007. L indice a augmenté de 13,6% entre 2000 et 2007. 2. Construire le nuage de points M i (x i ; y i ) dans le plan (P) muni d un repère orthogonal défini de la manière suivante : sur l axe des abscisses, on placera 0 à l origine et on choisira 2 cm pour représenter une année. sur l axe des ordonnées, on placera 100 à l origine et on choisira 1 cm pour représenter 10 unités. 3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le plan (P). On a et donc les coordonnées de G sont (3,5 ; 150,3). 4. L allure de ce nuage permet de penser qu un ajustement affine est adapté. a. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d) d ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième. b. Tracer la droite (d) dans le plan (P). 5. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, estimer l indice du prix de vente des appartements anciens de Paris au quatrième trimestre 2009. Justifier la réponse. Au quatrième trimestre 2009, on a donc Asie juin 2009 5 points Le tableau ci-dessous donne le prix du kilogramme de pain dans un quartier d une grande ville depuis 2001 (les prix sont relevés au premier janvier). Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Rang x i 1 2 3 4 5 6 Prix y i du kilogramme de pain en euro 1,90 1,94 2,01 2,07 2,13 2,16 1. Calculer le pourcentage d évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier entre les années 2000 et 2005. On donnera une valeur arrondie au centième. donc le prix du pain a augmenté de 13,68%. 2. Représenter le nuage de points associé à la série (xi ; yi) dans un repère du plan. a. Pourquoi un ajustement affine du nuage de points est-il justifié? Le nuage est allongé et les points sont presque «alignés». b. Déterminer une équation de la droite (D) d ajustement affine de y en x obtenue par méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10 3 près. c. Représenter la droite (D) dans le repère précédent, d. En admettant que le modèle précédent est valable pour les années suivantes, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième). En 2010, on a donc 3. On considère maintenant un autre modèle pour étudier l évolution du prix du kilogramme de pain dans ce quartier. Les relevés de prix entre 2005 et 2008 ont permis de constater que le prix du kilogramme de pain a augmenté de 1,5% par an. En admettant que le prix du kilogramme de pain continue d augmenter chaque année de 1,5 %, calculer le prix du kilogramme de pain dans ce quartier en 2010 (valeur arrondie au centième). ( ) Le prix du pain serait de 2,33 en 2010. 4. Pour chacun des modèles précédents, déterminer à partir de quelle année le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dépassera 2,60 euros. En utilisant l ajustement affine : on cherche pour que donc Le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dépassera 2,60 euros en 2013. En utilisant le taux d évolution : on cherche pour que soit A ce stade de l année, on fait une recherche à l aide de la calculatrice : Le prix du kilogramme de pain dans ce quartier dépassera 2,60 euros en 2012.
Statistiques à deux variables Fiche(2) Nouvelle Calédonie décembre 2008 5 points Le tableau ci-dessous donne l évolution de la facture de gaz (en milliers d euros) d une entreprise pour les années 2000 à 2007. Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang x i de l année 0 1 2 3 4 5 6 7 Montant y i (en milliers d euros) 105 112 116 120 124 131 139 148 de la facture de gaz 1. Représenter le nuage de points M i (x i ; y i )de cette série statistique dans un plan muni d un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l axe des abscisses ; 1 cm pour 10 milliers d euros sur l axe des ordonnées en commençant à 50 milliers). 2. On utilise un ajustement affine comme premier modèle. a. Donner, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au dixième. b. Calculer le montant (arrondi au millier d euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce modèle pour l année 2012. 3. Déterminer le pourcentage annuel moyen d augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 (arrondir à l unité). 4. On envisage un second modèle pour prévoir l évolution de cette facture ; on considère qu à partir de 2007, la facture augmentera de 5 % chaque année. Pour tout entier naturel n, on appelle u n le montant (en milliers d euros) de la facture de gaz obtenu avec ce second modèle pour l année 2007+n. Ainsi, u 0 = 148. a. Calculer u 1. b. Justifier que (u n ) est une suite géométrique de raison 1,05. c. Exprimer u n en fonction de n. d. Calculer le montant (arrondi au millier d euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce modèle pour l année 2012. Antilles septembre 2008 5 points Le tableau ci-dessous indique le nombre y d exploitations agricoles en France entre 1955 et 2005. On appelle x le rang de l année. Année 1955 1970 1988 2000 2005 Rang x i 0 15 33 45 50 Nombre d exploitations y i (en milliers) 2280 1588 1017 664 545 (Source INSEE) Partie A : un ajustement affine 1.a. Tracer le nuage de points M i (x i ; y i ) associé à cette série statistique dans le plan muni d un repère orthogonal (O ;, ) d unités graphiques : 1 cm pour 5 années sur l axe des abscisses et 1 cm pour 200 milliers d exploitations sur l axe des ordonnées ; (on placera l origine du repère en bas à gauche de la feuille). b. À l aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique. 2.a. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement D de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l unité). b. Tracer la droite D sur le graphique. 3. Calculer le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (le résultat sera arrondi au millier). Partie B : une autre estimation 1. Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (le résultat sera arrondi au dixième). 2. On suppose qu entre 2000 et 2005, le pourcentage annuel de diminution du nombre d exploitations agricoles est constant. Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87 %. 3. On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87 % entre 2005 et 2008. Quel est le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir en 2008 (le résultat sera arrondi au millier)?
Statistiques à deux variables CORRIGE Fiche(2) Nouvelle Calédonie décembre 2008 5 points Le tableau ci-dessous donne l évolution de la facture de gaz (en milliers d euros) d une entreprise pour les années 2000 à 2007. Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang x i de l année 0 1 2 3 4 5 6 7 Montant y i (en milliers d euros) de 105 112 116 120 124 131 139 148 la facture de gaz 1. Représenter le nuage de points M i (x i ; y i )de cette série statistique dans un plan muni d un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l axe des abscisses ; 1 cm pour 10 milliers d euros sur l axe des ordonnées en commençant à 50 milliers). 2. On utilise un ajustement affine comme premier modèle. a. Donner, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite (D) de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au dixième. b. Calculer le montant (arrondi au millier d ) de la facture de gaz obtenue avec ce modèle pour l année 2012. En 2012, on a donc Le montant de la facture serait de 173 800 3. Déterminer le pourcentage annuel moyen d augmentation de cette facture entre 2000 et 2007 (arrondir à l unité). Le montant de la facture a augmenté de 41% 4. On envisage un second modèle pour prévoir l évolution de cette facture ; on considère qu à partir de 2007, la facture augmentera de 5 % chaque année. Pour tout entier naturel n, on appelle u n le montant (en milliers d euros) de la facture de gaz obtenu avec ce second modèle pour l année 2007+n. Ainsi, u 0 = 148. a. Calculer u 1. ( ) b. Justifier que (u n ) est une suite géométrique de raison 1,05. ( ) donc (u n ) est une suite géométrique de raison 1,05, de premier terme 148. c. Exprimer u n en fonction de n. ( ) ( ) d. Calculer le montant (arrondi au millier d euros près) de la facture de gaz obtenue avec ce second modèle pour l année 2012. En 2012, on a n=5 donc ( ) Le montant de la facture serait de 188 889 Antilles septembre 2008 5 points Le tableau ci-dessous indique le nombre y d exploitations agricoles en France entre 1955 et 2005. On appelle x le rang de l année. Année 1955 1970 1988 2000 2005 Rang x i 0 15 33 45 50 Nombre d exploitations y i (en milliers) 2280 1588 1017 664 545 (Source INSEE) Partie A : un ajustement affine 1.a. Tracer le nuage de points M i (x i ; y i ) associé à cette série statistique dans le plan muni d un repère orthogonal (O ;, ) d unités graphiques : 1 cm pour 5 années sur l axe des abscisses et 1 cm pour 200 milliers d exploitations sur l axe des ordonnées ; (on placera l origine du repère en bas à gauche de la feuille). b. À l aide de la calculatrice, déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique. On a et donc les coordonnées de G sont (28,6 ; 1218,8) 2.a. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement D de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l unité). b. Tracer la droite D sur le graphique. 3. Calculer le nbre d exploitations agricoles que l on peut prévoir pour 2008 en utilisant cet ajustement (arrondi au millier). En 2008, on a donc Il y aurait 394 000 exploitations agricoles Partie B : une autre estimation 1. Déterminer le pourcentage de diminution du nombre d exploitations agricoles entre 2000 et 2005 (le résultat sera arrondi au dixième). le nombre d exploitations agricoles a diminué de 17,9% 2. On suppose qu entre 2000 et 2005, le % annuel de diminution du nbre d exploitations agricoles est constant. Vérifier que ce pourcentage est environ de 3,87 %. A ce stade de l année, on utilise le résultat donné : ( ) CQFD 3. On suppose que le pourcentage annuel de diminution reste constant et est égal à 3,87 % entre 2005 et 2008. Quel est le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir en 2008 (le résultat sera arrondi au millier)? ( ) Dans ce cas, il y aurait 484 000 exploitations agricoles en 2008.
Statistiques à deux variables Ajustement non affine Fiche(3) France septembre 2007 5 points Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France : Années 2000 2001 2002 2003 2004 Rang de l année, x i 0 1 2 3 4 Nombres de PACS en milliers, y i 22,1 19,4 25 31,1 39,6 Source INSEE. 1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d augmentation du nombre de milliers de PACS entre 2000 et 2004. 2. On envisage un ajustement affine a. À l aide de la calculatrice, donner l équation de la droite d ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax +b. Par la suite, on pose f (x) = ax +b. b. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de PACS signés en 2007. 3. On envisage un autre type d ajustement On modélise le nombre de milliers de PACS signés durant l année 2000+x (x entier) à l aide de la fonction par ( ). a. En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de PACS signés en 2007. b. On suppose que l évolution se poursuit selon ce modèle jusqu en 2015. Le nombre de milliers de PACS signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000? Justifier. 4. Comparaison des deux ajustements Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l aide de chacun des deux ajustements. 0 1 2 3 4 ( ) 16 11,36 5,95 1,02 7,95 a. Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. b. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité? Justifier. Pondichéry avril 2008 4 points Un centre d appel comptait en 2001 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l évolution du nombre d employés en fonction du rang de l année. Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de l année x i 1 2 3 4 5 6 7 Nombre d employés y i 66 104 130 207 290 345 428 On cherche à étudier l évolution du nombre y d employés en fonction du rang x de l année. Une étude graphique montre qu un ajustement affine ne convient pas. On pose alors. 1. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième) Rang de l année x i 1 2 3 4 5 6 7 z i 5,12 définie 0 1 2 3 4 ( ) 0,49 2. Représenter le nuage de points M i (x i ; z i ) associé à cette série statistique, dans le plan muni d un repère orthonormal d unité graphique 1 cm. Un ajustement affine vous paraît-il approprié? Justifier la réponse. 3. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième). Tracer cette droite sur le graphique précédent. 4. En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l effectif de ce centre d appel dépassera 900 employés?
Statistiques à deux variables Ajustement non affine CORRIGE Fiche(3) France septembre 2007 5 points Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes civils de solidarité (PACS) signés chaque année en France : Années 2000 2001 2002 2003 2004 Rang de l année, x i 0 1 2 3 4 Nombres de PACS en milliers, y i 22,1 19,4 25 31,1 39,6 Source INSEE. 1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d augmentation du nombre de milliers de PACS entre 2000 et 2004. Le nombre de PACS a augmenté de 79,2% entre 2000 et 2004 2. On envisage un ajustement affine a. À l aide de la calculatrice, donner l équation de la droite d ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax +b. Par la suite, on pose f (x) = ax +b. y = 4,67x +18,1 b. En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de PACS signés en 2007. En 2007, on a donc ( ) Donc le nombre de PACS serait de 50 790 3. On envisage un autre type d ajustement On modélise le nombre de milliers de PACS signés durant l année 2000+x (x entier) à l aide de la fonction définie par ( ). a. En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de PACS signés en 2007. En 2007, on a donc ( ) Donc le nombre de PACS serait de 87,2 b. On suppose que l évolution se poursuit selon ce modèle jusqu en 2015. Le nbre de milliers de PACS signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000? Justifier. En 2010, on a donc ( ) Donc le nombre de PACS serait de 163 400 donc supérieur à 100 000. 4. Comparaison des deux ajustements Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l aide de chacun des deux ajustements. 0 1 2 3 4 ( ) 16 11,36 5,95 1,02 7,95 a. Compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième. b. Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité? Justifier. L ajustement avec la fonction g semble meilleur car les carrés des erreurs sont moindres Pondichéry avril 2008 4 points Un centre d appel comptait en 2001 soixante-six employés. Le tableau ci-dessous donne l évolution du nombre d employés en fonction du rang de l année. Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rang de l année x i 1 2 3 4 5 6 7 Nombre d employés y i 66 104 130 207 290 345 428 On cherche à étudier l évolution du nombre y d employés en fonction du rang x de l année. Une étude graphique montre qu un ajustement affine ne convient pas. On pose alors. 1. Recopier et compléter le tableau suivant (on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis au centième) Rang de l année x i 1 2 3 4 5 6 7 z i 5,12 7,2 8,40 11,39 14,03 15,57 17,69 2. Représenter le nuage de points M i (x i ; z i ) associé à cette série statistique, dans le plan muni d un repère orthonormal d unité graphique 1 cm. Un ajustement affine vous paraît-il approprié? Justifier la réponse. Oui, car le nuage a une forme allongée, autour d une droite fictive. 3. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés (on donnera les coefficients sous forme décimale, arrondis au centième). Tracer cette droite sur le graphique précédent. 4. En utilisant cet ajustement, à partir de quelle année peut-on prévoir que l effectif de ce centre d appel dépassera 900 employés? On cherche pour que soit supérieur à 900 soit supérieur à 27 L effectif du centre d appel dépassera les 900 employés à partir de 2012. 0 1 2 3 4 ( ) 21,4 21,2 24,2 30,4 39,8 ( ) 0,49 3,24 0,64 0,49 0,04