Modélisation numérique de la dispersion d'eaux usées en mer. Michaël Susini 2 Mai 2013 Travail dirigé par Monsieur Andrea Doglioli. 1
Table des matières 1 Introduction 2 2 Solution analytique 2 3 Loi uniforme et loi normale 3 4 Marche aléatoire 5 5 Théorème de la limite centrale 7 6 Modélisation de la diusion 7 7 Conclusion 9 8 Annexes 10 Je tiens à remercier dans un premier temps M. Andrea Doglioli pour son encadrement et son suivi tout au long du semestre. 1 Introduction Le mouvement brownien tire son nom du grand botaniste Robert Brown qui en 1827 le décrit pour la première fois en observant le mouvement désordonné et incessant de particules à l'intérieur d'un grain de pollen. Il suppose donc en premier lieu que les grains de pollen sont vivants mais pour s'en convaincre il réitère l'expérience avec des minéraux et réalise les mêmes observations que sur le grain de pollen mais ne parvient pas à trouver d'explication à ce phénomène. Il faudra attendre 1905 pour qu'albert Einstein explique ce mouvement aléatoire par la présence de molécules d'eau dans le liquide qui entrent en collision avec les particules observées. Aujourd'hui le mouvement brownien est utilisé dans de nombreuses disciplines comme la physique, la biologie, les nances... Dans le cadre du projet le mouvement brownien sera utilisé pour modéliser la dispersion des eaux usées à l'émissaire de Cortiou. 2 Solution analytique Le physiologiste Allemand Adolf Eugene Fick résout ce problème de diusion analytiquement au 19ème siècle. Grâce a sa seconde loi il permet de représenter théoriquement la diusion d'un uide dans un milieu. 2
Seconde loi de Fick : C t = k 2 C + ε. ε représente les apports, dans ce cas précis ε = 0 Solution analytique à cette équation :. 1 C(x, t) = Co (4 π Kc t) 3 2 e x2 4 Kc t Où σ 2 =2*Kc*t et t 0 Figure 1 Superposition d'une gausienne à la solution analytique. La courbe en bleu représente la courbe de concentration et la courbe en rouge un gaussienne de référence, en superposant ces deux courbes il est possible de déduire que la courbe de concentration décrit une gaussienne. 3 Loi uniforme et loi normale Sur le logiciel Matlab il existe deux fonctions permettant un tirage aléatoire rand et randn. 100 Tirages vont être simulés an de comparer ces deux fonctions. 3
Loi uniforme : Figure 2 Histogramme obtenu avec la fonction rand. Sur le graphique les résultats des tirages sont répartis de manière homogène entre 0 et 1, En approchant plus ou moins la valeur de 10 tirages par tranche de 0,1. La courbe en rouge représente un tirage aléatoire suivant une loi uniforme cette histogramme semble y correspondre, avec un plus grand nombre de tirages la précision aurait été meilleure. On en déduit donc que la fonction rand suit une loi uniforme. 4
Loi normale : Figure 3 Histogramme obtenu avec la fonction randn. Contrairement à la gure précédente les résultats de tirages ne sont pas répartis de manière homogène. La courbe rouge est une gaussienne et semble correspondre à l'histogramme, la fonction randn suit donc une loi normale. 4 Marche aléatoire Le mouvement aléatoire d'une particule puis de plusieurs particules va être simulé suivant une loi uniforme et une loi normale sur un plan à deux dimensions : 5
Figure 4 Mouvement aléatoire d'une particule. Figure 5 Mouvement aléatoire de 30 particules. 6
5 Théorème de la limite centrale Figure 6 Répartition de la concentration pour 100 particules. En observant la répartition de concentration de 100 particules après diusion obtenues avec la loi uniforme et la loi normale une courbe gaussienne se dessine, ce phénomène est établit par le théorème de la limite centrale qui arme que toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne. Utiliser la loi uniforme ou normale revient donc au même, seul la loi normale sera utilisé pour la suite du rapport. 6 Modélisation de la diusion A présent il est intéressant d'observer l'évolution de la concentration de nos particules en fonction du temps. Dans la gure suivante les unités de temps et d'espaces et de concentrations sont arbitraires, Les particules sont préalablement placées au centre de cette matrice au temps T1. 7
Figure 7 Evolution de la diusion dans le temps. Le même algorithme va être appliqué avec les approximations adéquates de la calanque de Cortiou. Les coordonnées GPS de Cortiou sont approximativement : latitude = 43,5 ; longitude =5,5. Figure 8 Positionnement à l'émissaire de Cortiou. 8
Le courant à la sortie de l'émissaire est d'environ 10cm/s dans la direction du Sud, En prenant 1 degré de latitude environ égal à 111km il faudra 6 jours pour qu'une particule parcourt 0,5 degré de latitude Figure 9 Parcours des particules en 6 jours. 7 Conclusion Le mouvement observé par Brown peut être modélisé grâce au logiciel Matlab avec les fonctions de tirage aléatoire qui peuvent toutes être utilisées car cela n'inue pas sur la répartition des particules comme le montre le théorème de la limite centrale. Le mouvement brownien est donc utile pour simuler la diusion de particules dans un uide, ce modèle peut être ensuite appliqué à des cas réels comme la dispersion des eaux usées de Cortiou ou à d'autres phénomènes similaires en ajoutant les paramètres du milieu. Dans le cas du rapport seul le courant a été pris en compte mais pour plus de précision il aurait été intéressant de pouvoir dénir la concentration en particules en m3, de faire varier la dispersion en fonction de la direction du vent et de son intensité, de connaitre les débits réels de la station d'épuration située en amont etc. Des paramètres liés au milieu permettant de coller au mieux à la réalité. 9
8 Annexes Figure 10 Algorithmes utilisés pour la loi uniforme et la loi normale. Figure 11 Algorithme nal. 10