Curriculum Vitae Saa Haloui Née le 14/12/1984 à Marseille. Nationalité : française. E-mail : s.haloui@mat.dtu.dk Adresse professionnelle : Danmarks Tekniske Universitet, Matematiktorvet, Building 303 B, room 146, 2800 Kgs. Lyngby, Denmark. Situation actuelle Post-doctorante au Centre Danois-Chinois pour les Applications de la Géométrie Algébrique en Théorie des Codes et Cryptographie, Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby, Danemark, sous la direction de Tom Høholdt et Peter Beelen (depuis septembre 2011). Formation et diplômes 20072011 Thèse sous la direction de Yves Aubry, soutenue le 14 juin 2011 à l'institut de Mathématiques de Luminy, Marseille. Titre : Sur le nombre de points rationnels des variétés abéliennes sur les corps nis. Mention : Très honorable. Jury : Yves Aubry, Jean-Marc Couveignes (président), Sylvain Duquesne, Gilles Lachaud, Kristin Lauter (rapporteur), Marc Perret (rapporteur), Christophe Ritzenthaler. 20062007 Deuxième année de master recherche de Mathématiques Discrètes et Fondements de l'informatique (Université Aix-Marseille II) mention très bien. Mémoire : Utilisation du couplage de Weil en cryptographie et construction de courbes elliptiques avec un petit degré de plongement, encadré par Yves Aubry. 20052006 Maîtrise de Mathématiques (Université Aix-Marseille I) mention bien. Mémoire : Extensions centrales et deuxième groupe de cohomologie, encadré par Christophe Pittet. 20042005 Licence de Mathématiques (Université Aix-Marseille I) mention bien. 20022004 DEUG MIAS (Université Aix-Marseille I) mention bien. 2002 Bac. S spécialité Mathématiques (Lycée Marseilleveyre, Marseille). Fonctions occupées 20102011 Attaché Temporaire d'enseignement et de Recherche (ATER) à mi-temps, à l'université de la Méditerranée, Marseille. 20072010 Allocataire de recherche à l'université de la Méditerranée et monitrice au CIES Provence-Côte d'azur-corse. Thèmes de recherche Variétés sur les corps nis, variétés abéliennes, courbes algébriques, jacobiennes, théorie des nombres.
Publications Articles publiés [1] The characteristic polynomials of abelian varieties of dimension 3 over nite elds, J. Number Theory 130 (2010), no. 12, 2745-2752. [2] The characteristic polynomials of abelian varieties of dimension 4 over nite elds, avec V. Singh, Arithmetic, geometry, cryptography and coding theory, 59-68, Contemp. Math., 574, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012. [3] On the number of points on abelian and Jacobian varieties over nite elds, avec Y. Aubry et G. Lachaud, 2012. A paraître dans Acta Arithmetica. [4] Sur le nombre de points rationnels des variétés abéliennes et des Jacobiennes sur les corps nis, avec Y. Aubry et G. Lachaud, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 350 (2012), no. 19-20, 907-910. Article en préparation [5] Sur le nombre de points rationnels des variétés de Prym sur les corps nis. Avec Yves Aubry. Activités d'enseignement J'ai été monitrice au CIES Provence-Côte d'azur-corse (2007-2010) puis ATER à l'université de la Méditerranée (2010-2011). Les enseignements dont j'ai été chargée sont les suivants : 20102011 Travaux dirigés en L1 : Probabilités. Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Relations d'ordre. Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Nombres premiers. 20092010 Travaux dirigés en L1 : Fonctions. Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Topologie intuitive. 20082009 Travaux dirigés en L1 : Ensembles, relations, fonctions. Soutien en L1 : Ensembles, relations, fonctions. Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Géométries non euclidiennes. 20072008 Travaux dirigés en L2 : Maths pour la bio. Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Relations d'ordre et ordres partiels. (Tous les enseignements ont étés dispensés à l'université Aix-Marseille II.)
Activités de recherche Exposés 06/2012 Codes from algebraic varieties, GT de l'équipe Discrete Maths, DTU, Lyngby. 05/2012 On the number of rational points on Jacobian varieties over nite elds, Workshop, ECNU, Shanghai. 12/2011 The characteristic polynomials of abelian varieties of dimensions 3 and 4 over nite elds, Workshop, Aalborg. 03/2011 The characteristic polynomials of abelian varieties of dimensions 3 and 4 over nite elds, AGCT, Marseille. 11/2010 On the number of rational points on some abelian varieties over nite elds, Séminaire Algebra/Shannon, Dublin. 05/2010 On the number of rational points on some abelian varieties over nite elds, GTEM Workshop, Louvain. 03/2010 Diviseurs et morphismes projectifs, GT de l'équipe ATI, Marseille. 07/2009 On the number of points on Jacobian and Prym varieties, Finite Fields 9, Dublin. 06/2009 Sur le nombre de points des jacobiennes et des variétés de Prym, Séminaire de l'équipe ATI, Marseille. 10/2008 Théorie générale des variétés abéliennes sur C, GT de l'équipe ATI, Marseille. 05/2008 Introduction aux courbes de genre 2, GT de l'équipe ATI, Marseille. 01/2008 Courbes elliptiques à multiplication complexe, GT de l'équipe ATI, Marseille. Groupes de travail Je participe au groupe de travail de mon équipe, qui porte principalement sur la théorie des codes correcteurs d'erreurs. Au cours de ma thèse, j'ai assisté et donné des exposés au groupe de travail de l'équipe ATI (IML). J'ai aussi participé à son organisation en 2009-2010. Ses thématiques étaient les suivantes : multiplication complexe (2007-08), variétés abéliennes (2008-09), Schémas et cohomologie (2009-10). Séjours à l'étranger Mon équipe de recherche (au Danemark) collabore avec l'université Normale de Chine de l'est (ECNU) située à Shanghai. J'ai donc travaillé là-bas entre novembre 2012 et janvier 2013 sous la direction de Hao Chen. J'ai été invitée par Vijaykumar Singh et Gary McGuire à l'institut Claude Shannon (Dublin) en novembre 2010 pendent une période de deux semaines.
Description des travaux de recherche Résultats obtenus Etant donnée une variété abélienne A de dimension g sur un corps ni F q, q = p n, nous pouvons considérer son polynôme caractéristique ; c'est par dénition le polynôme caractéristique de l'endomorphisme de Frobenius de A agissant sur son module de Tate T l (A) où l p est un nombre premier, nous le noterons p A (t). Le polynôme p A (t) ne dépend que de la classe d'isogénie de A et de plus, par le Théorème de Honda-Tate, il caractérise cette dernière. C'est en outre un objet très intéressant lorsque l'on cherche à obtenir des informations sur le nombre de points rationnels des variétés abéliennes sur les corps nis puisque sa valeur en 1 est égale au nombre de points rationnels de A. Le polynôme p A (t) est unitaire, à coecients entiers, de degré 2g et l'ensemble de ses racines comptées avec multiplicité est constitué de couples de nombres complexes conjugués de module q ; un polynôme possédant ces propriétés sera appelé polynôme de Weil. On vérie immédiatement que tout polynôme de Weil est de la forme t 2g + a 1 t 2g 1 +... + a g t g + qa g 1 t g 1 +... + q g 1 a 1 t + q g pour certains entiers relatifs a 1,..., a g. Ainsi, la description de l'ensemble des polynômes caractéristiques possibles pour une variété abélienne de dimension g dénie sur F q peut se faire en deux étapes : on commence par donner une caractérisation des (a 1,..., a g ) correspondant à des polynômes de Weil, puis on utilise des résultats de la théorie de Honda-Tate pour déterminer quels polynômes de Weil sont des polynômes caractéristiques de variétés abéliennes. Le problème évoqué ci-dessus a été résolu par M. Deuring et W.C. Waterhouse lorsque A est une courbe elliptique. En 1990, H.-G. Rück a donné une description des polynômes caractéristiques irréductibles de surfaces abéliennes ; ses travaux ont été complétés par D. Maisner, E. Nart et C.P. Xing qui ont traité le cas réductible et listé les polynômes caractéristiques supersinguliers. Une première partie de ma thèse est consacrée à l'étude des cas g = 3 et 4. Ces travaux ont donné lieu aux articles [1] et [2] qui contiennent respectivement une description explicite de l'ensemble des polynômes caractéristiques de variétés abéliennes de dimension 3 et 4. Je me suis par la suite intéressée au nombre de points rationnels des variétés abéliennes sur les corps nis ; plus précisément, j'ai cherché à donner des majorations et minorations celui-ci. Il résulte des propriétés de p A (t) énoncées dans le premier paragraphe que le nombre de points rationnels de A est compris entre (q + 1 2 q) g et (q + 1 + 2 q) g. Il est en fait possible, comme dans le cas des courbes, de remplacer dans ces dernières quantités le 2 q par sa partie entière (ceci est prouvé dans [3]) ; les bornes ainsi obtenues sont généralement optimales. En 1990, G. Lachaud et M. Martin-Deschamps ont donné des bornes sur le nombre de points de A dans le cas où celle-ci est la jacobienne d'une courbe lisse, projective, absolument irréductible (toutes les courbes considérées par la suite sont supposées avoir ces propriétés). Leurs résultats peuvent être vus comme l'analogue pour les corps de fonctions à une variable sur un corps ni de formules d'estimation du nombre de classes des corps de nombres. L'article [3], qui est un travail en collaboration avec Yves Aubry et Gilles Lachaud, contient diérentes nouvelles bornes sur le nombre de points des variétés abéliennes sur les corps nis, en fonction de leur trace. Dans une première partie, celles-ci sont valables pour une variété abélienne quelconque et sont obtenues par l'étude des propriétés des polynômes de Weil. La suite est consacrée aux jacobiennes ; les bornes qui y sont établies sont déduites d'identités combinatoires reliant les nombres de points d'une courbe sur les extensions nies du corps de base et les nombres de ses points et diviseurs eectifs de degré donné. L'article contient aussi des formules exactes pour les nombres maximum et minimum de points rationnels sur les surfaces jacobiennes sur les corps nis.
Travaux en cours et projets de recherche Sur le nombre de points rationnels des variétés de Prym sur les corps nis. Avec Yves Aubry. Lorsque nous travaillons en caractéristique impaire, la variété de Prym associée à un revêtement de courbes (lisses, projectives, absolument irréductibles) π : C C double et non ramié peut être dénie comme étant l'image de (σ id), où σ est l'involution induite par π sur la jacobienne de C. Des bornes sur le nombre de points de ces variétés de Prym sur les corps nis ont été établies par M. Perret en 2006. Dans son article, il remarque aussi que celles-ci peuvent être adaptées aux jacobiennes. Les bornes en question dépendent en fait du paramètre # C(F q ) #C(F q ), qui est la trace du polynôme caractéristique de notre variété de Prym. Ainsi, on vérie que les bornes de Perret se généralisent à une variété abélienne quelconque. En recourant à des méthodes similaires à celles utilisées dans la seconde partie de [3] (consacrée aux jacobiennes), nous avons établit des bornes sur le nombre de points des variétés de Prym, spéciques à ces dernières. Celles-ci peuvent être dans certains cas meilleures que les bornes connues sur le nombre de points d'une variété abélienne quelconque. Codes sur les variétés abéliennes A une courbe C/F q, un ensemble de points {P 1,..., P n } C(F q ) et un diviseur rationnel G sur C dont le support ne contient pas l'un des P i, on peut associer le code correcteur d'erreur dont les mots sont de la forme (f(p 1 ),..., f(p n )) où f est dans l'espace de Riemann-Roch L(G) = {f F q (C), div(f) G} {0}. Cette construction remonte au début des années 80 et devint populaire suite aux travaux de M. Tsfasman, S. Vl duµ et T. Zink montrant que de tels codes pouvaient avoir asymptotiquement des paramètres particulièrement bons. Une généralisation naturelle de cette construction est de remplacer C par une variété algébrique X de dimension supérieure. Les paramètres des codes ainsi obtenus s'avèrent alors bien plus diciles à estimer que dans le cas des courbes et seulement peu de résultats généraux sont connus à ce sujet. J'étudie le cas où X est une variété abélienne, le jeu étant de trouver des espaces vectoriels de fonctions donnant des codes avec de bons paramètres. Schémas de partage de secret issus des variétés algébriques. Il s'agit d'un projet sur lequel j'ai commencé à travailler durant mon séjour à l'ecnu, sous la suggestion de Hao Chen. Le problème est de partager un secret s entre n personnes P 1,..., P n de manière à ce que certains ensembles des personnes (et seulement ceux-ci) puissent reconstruire s en réunissant leurs parts. De tels ensembles sont dits qualiés. Dans le cas où les ensembles qualiés sont ceux ayant un cardinal strictement supérieur à un entier d < n, A. Shamir a proposé la solution suivante : étant donné un sous ensemble {P 1,..., P n } de F q, on choisit un polynôme f F q [t] de degré d. On pose alors s = f(0) et la part de secret attribuée à P i sera f(p i ). Il est clair que la donnée de d+1 parts permet de calculer f et que celle de seulement d parts ne donne aucune information sur f(0) (qui pourrait être n'importe quel élément de F q ). Une généralisation de l'idée de Shamir a plus tard été proposée par H. Chen et R. Cramer : on prend {P 1,..., P n } C(F q ) et on choisit f dans L(G) (avec les mêmes conventions que dans le paragraphe précédent). Le problème est d'étudier cette construction et éventuellement sa généralisation aux variétés de dimension supérieure.