MAT-3053-2 REPRE SENTATION GE OME TRIQUE SA2 Rénovations à l appartement Guide de l élève CSPO
Contenu Présentation de la situation-problème... 35 Activité d apprentissage 1 : Conversion de longueurs... 37 1. Le système métrique... 37 2. Le système impérial... 38 3. Équivalences d unités entre les deux systèmes... 42 Activité d apprentissage 2 : Conversion d aire et de volume dans le système métrique... 47 1. Conversion de mesures d aire... 47 2. Conversion de mesures de volume... 49 Activité d apprentissage 3 : Conversion d aire et de volume dans le système impérial... 51 Activité d apprentissage 4 : Conversion d aire et de volume d un système à l autre... 53 Résolution de la situation-problème... 60 34
MAT-3053-2 Représentation géométrique / SA2 Présentation de la situation-problème Rénovations à l appartement Vous êtes propriétaire d un appartement, et vous avez quelques rénovations à faire dans celui-ci. Voici le schéma de cet appartement, avec les dimensions des pièces exprimées en mètres. Vous voulez : poser de la céramique dans la cuisine; refaire le ciment de la galerie. Vous voulez estimer les coûts, mais les mesures qui apparaissent sur les différents produits à acheter sont exprimées dans le système impérial (pouce, pied, verge). Questions 1. Pouvez-vous convertir des mesures du système métrique au système impérial de mesures? 2. Pouvez-vous convertir des mesures à l intérieur du système impérial de mesures? Avant de résoudre cette situation-problème, vous devrez faire les apprentissages mathématiques dans les pages qui suivent. 35
Un peu d histoire En 1066, Guillaume le Conquérant introduit en France le système de mesure anglais à son retour de la bataille de Hastings en Angleterre. L unité de base: le pied, qui équivaut à 16 doigts (du Roi de France) Le pied est divisé en quatre mains. La main est divisée en quatre doigts, les doigts du Roi de France (la main correspond à la distance transversale allant du côté extérieur du petit doigt au côté extérieur de l index). Dès le début du Moyen Âge, on divise le pied en douze parties égales: l unité qui en résulte est le pouce (1 pied = 12 pouces). D autres sources stipulent que l unité «pouce» était à l origine la largeur d un pouce humain. Depuis 1824, on parle du système impérial d unités. http://fr.wikipedia.org/wiki/pied_(unit%c3%a9) http://fr.wikipedia.org/wiki/pouce_(unit%c3%a9) 36
Activité d apprentissage 1 : Conversion de longueurs 1. Le système métrique La plupart des pays utilisent, comme le Canada, le système métrique de mesures, appelé aussi système international. Pour les mesures de longueur, les unités sont le millimètre (mm), le centimètre (cm), le mètre (m), etc. 1 cm 1 mm 1 m = 100 cm Tableau de conversion de mesures à l intérieur du système métrique. 37
2. Le système impérial D autres pays, comme les États-Unis et plusieurs pays anglo-saxons, utilisent un autre système de mesure : le système impérial. Au Québec, il est utilisé dans certains métiers, comme celui de la construction. Pour les mesures de longueur dans ce système, on parle de pouce, pied, verge, etc. A. Le pouce À l origine, le pouce représentait la largeur du pouce d un homme. Pour le comparer au système métrique, un pouce équivaut à 2,54 cm. 1 pouce pouces centimètres Cette unité est utilisée pour mesurer des objets de petite taille (table, bureau, livre). Le symbole du pouce est po ou exemple : l écran d un téléviseur mesure 42 po ou 42 38
B. Le pied Le pied est l équivalent de 12 pouces. On l utilise pour désigner la taille d une personne, la hauteur d une porte, etc. Le symbole du pied est pi ou 1 pied = 12 pouces 1 pi = 12 po 1 = 12 exemple : cette personne mesure 5 pi 6 po ou 5 6. C. La verge La verge est l équivalent de 3 pieds ou 36 pouces. Cette unité est utilisée dans les sports tels le golf et le football. Le symbole de la verge est vg. 1 verge = 3 pieds = 36 pouces 1vg = 3 = 36 exemple : le terrain au football canadien mesure 110 vg par 65 vg. http://fr.wikipedia.org/wiki/football_canadien 39
D. Le mille Le mille est l équivalent de 1 760 verges ou 5 280 pieds. 1 mille = 1 760 verges = 5 280 pieds 1 mi = 1 760 vg = 5 280 Cette unité sert à donner la mesure de distance entre deux villes, entre deux pays, etc. Le symbole du mille est mi. exemple : la distance entre les villes de New-York et de Boston aux États-Unis est de 215 mi. https://maps.google.ca/maps?hl=fr&tab=wl E. Équivalences entre les unités du système impérial Le tableau suivant résume les diverses équivalences entre les unités du système impérial. Équivalences dans le système impérial 1 pied = 12 pouces 1 verge = 3 pieds = 36 pouces 1 mille = 1 760 verges = 5 280 pieds 40
À partir de ces équivalences, il est possible de transformer les unités à l intérieur du système impérial. Exemple 1 Combien y a-t-il de pouces dans 5 pieds? Exemple 2 2. Combien y a-t-il de verges dans 288 pouces? Exercice 1 Effectuez les transformations d unités suivantes. a) 3 mi en pieds b) 1 440 po en vg c) 44 pi en po d) 500 vg en mi e) 320 pi en vg 41
f) Trouvez la distance parcourue, en pieds, par une balle de golf qui parcourt 285 verges. Trouvez ensuite cette distance en pouces. 3. Équivalences d unités entre les deux systèmes Reprenons l image du ruban à mesurer 1 pouce pouces centimètres 2,54 cm L équivalence de base entre les deux systèmes est la suivante : 1 po = 2,54 cm À partir de cette équivalence, il est possible de transformer n importe quelle mesure d un système à l autre. 42
Exemple 1 Combien y a-t-il de pieds dans 6 m? Transformons les m en cm : 6 m 100 = 600 cm Transformons les cm en po : 10 10 m dm cm mm 6 0 0 Transformons les po en pi : Exemple 2 Combien y a-t-il de mètres dans 18 verges? Transformons les vg en po : Transformons les po en cm : Transformons les m en cm : 1 645,92 100 = 16,46 m m dm cm mm 16, 4 6 10 10 Voici un tableau qui peut aussi servir à transformer des mesures d un système à l autre. Du système impérial au système métrique 1 pouce = 2,54 cm 1 pied = 30,48 cm ou 0,3048 m 1 verge = 91,44 cm ou 0,9144 m 1 mille = 1 609 m ou 1,609 km 43
Exercice 2 Effectuez les transformations d unités suivantes. a) 3 mi en mètres b) 1 440 pi en cm c) 44 m en vg d) 245 po en cm e) 320 m en pieds f) Au football, un botteur fait un botté de placement de 39 verges. Le ballon a franchi quelle distance, en mètres? 44
5,49 m 6,4 m 6,4 m 5,49 m g) Voici les dimensions, en mètres, d un terrain de tennis. Trouvez la longueur et la largeur de ce terrain en pieds. 8,2 m 11 m 45
h) La distance entre New-York et Boston est de 215 mi. Trouvez cette distance en km. https://maps.google.ca/maps?hl=fr&tab=wl i) Une feuille de papier, format standard, mesure 8½ X 11. Quelles sont les dimensions de cette feuille en mm. j) Un avion Airbus 340 peut monter jusqu à une altitude de 12,5 km. Trouvez cette altitude en pieds. 46
1 cm 10 mm Activité d apprentissage 2 : Conversion d aire et de volume dans le système métrique 1. Conversion de mesures d aire Quand nous voulons transformer des mesures de longueur dans le système métrique, nous multiplions ou divisons la mesure donnée par un ou plusieurs facteurs de 10. Par exemple, nous trouvons 1 m = 100 cm ou 1 cm = 10 mm. Qu en est-il pour la conversion de mesures d aire? Exemple 1 Combien y a-t-il de mm² dans 1 cm²? On sait que l aire d un carré est «côté x côté». Si ce carré a, comme mesure, 1 cm de côté, son aire est alors de: 1cm x 1 cm = 1 cm² Puisque 1 cm = 10 mm, le même carré a comme aire : 10 mm x 10 mm = 100 mm². 1 cm² 100 mm² 1 cm 10 mm On conclut alors que 1 cm² = 100 mm² 47
1 m 100 cm Exemple 2 Combien y a-t-il de cm² dans 1 m²? 1m x 1 m = 1 m² Puisque 1 m = 100 cm, le même carré a comme aire : 100 cm x 100 cm = 10 000 cm². 1 m² 10 000 cm² 1 m 100 cm On conclut alors que 1 m² = 10 000 cm² Donc, pour passer d une unité de mesure à une autre, il faut utiliser la multiplication ou la division par facteur de 100. De cm 2 vers mm 2, on doit multiplier par 100. À l inverse, de mm 2 vers cm 2, on doit diviser par 100. Plus généralement, quand on se déplace vers des unités vers la droite, on multiplie par 100 pour chaque bond. Alors, quand on se déplace vers des unités vers la gauche, on divise par 100. pour chaque bond. 48
2. Conversion de mesures de volume Combien y a-t-il de mm³ dans 1 cm³? On sait que le volume d un cube est «côté x côté x côté». Si ce cube a, comme mesure, 1 cm de côté, son volume est alors de: 1cm x 1 cm x 1 cm = 1 cm³ Puisque 1 cm = 10 mm, le même cube a comme volume : 10 mm x 10 mm x 10 mm = 1000 mm³. On conclut alors que 1 cm³ = 1 000 mm³ Quand on se déplace vers des unités vers la droite, on multiplie par 1000 pour chaque bond. Alors que quand on se déplace vers des unités vers la gauche, on divise par 1000 pour chaque bond. 49
Exercice 3 Compléter les égalités suivantes. 4 200 m 2 =... km² 8 hm 2 =... dam 2 1 245 dam 2 =... km² 9,6 hm 3 =... dam 3 5 hm 3 =... m 3 42 m 3 =... dm 3 0,45 cm 3 =... mm 3 5,45 m 2 =... dm 2 4 km 2 =... dam 2 50
1 vg 3 pi 1 pi 12 po Activité d apprentissage 3 : Conversion d aire et de volume dans le système impérial Le système métrique utilise des facteurs de 100 pour passer d une unité de mesure d aire à une autre, ce qui n est pas le cas pour le système impérial. Pour ce système, il faut partir des équivalences d unités de longueur. Rappel : Équivalences dans le système impérial 1 pied = 12 pouces 1 verge = 3 pieds 1 mille = 1 760 verges Aire 1 pi = 12 po 1 pi 2 = (12 po) 2 = 144 po 2 1 pi² 144 po² 1 pi 12 po 1 vg = 3 pi 1 vg 2 = (3 pi) 2 = 9 pi 2 1 vg² 9 pi² 1 vg 3 pi 51
1 vg 3 pi 1 pi 12 po Volume 1 pi = 12 po 1 pi 3 = (12 po) 3 = 1 728 po 3 1pi 3 144 po 3 1 pi 1 pi 12 po 12 po 1 vg = 3 pi 1 vg 3 = (3 pi) 3 = 27 pi 3 1 vg 3 27 pi 3 1 vg 1 vg 3 pi 3 pi Unités d aire et de volume dans le système impérial 1 pi 2 = 144 po 2 1 vg 2 = 9 pi 2 1 mi 2 = 3 097 600 vg 2 1 pi 3 = 1 728 po 3 1 vg 3 = 27 pi 3 1 mi 3 = 5,45 10 9 vg 3 Exercice 4 Transformez les mesures impériales suivantes. 1. 558 po 2 en pi 2 2. 40 vg 3 en pi 3 3. 486 pi 3 en vg 3 4. 99 pi 2 en vg 2 5. 10 vg 2 en po 2 52
1 vg 0,9144 m 1 pi 0,3048 m 1 po 2,54 cm Activité d apprentissage 4 : Conversion d aire et de volume d un système à l autre Pour convertir des mesures du système métrique au système impérial, et vice versa, il faut partir des équivalences d unités de longueur entre les deux systèmes. Rappel : du système impérial au système métrique 1 pouce = 2,54 cm 1 pied = 30,48 cm ou 0,3048 m 1 verge = 91,44 cm ou 0,9144 m 1 mille = 1 609 m ou 1,609 km Aire 1 po = 2,54 cm 1 po 2 = (2,54 cm) 2 = 6,452 cm² 1 po² 6,452 cm² 1 po 2,54 cm 1 pi = 0,3048 m 1 pi 2 = (0,3048 m) 2 = 0,093 m 2 1 pi² 0,093 m² 1 pi 0,3048 m 1 vg = 0,9144 m 1 vg 2 = (0,9144 m) 2 = 0,836 m 2 1 vg² 0,836 m² 1 vg 0,9144 m 53
1 vg 0,9144 m 1 pi 0,3048 m 1 po 2,54 cm Volume 1 po = 2,54 cm 1 po 3 = (2,54 cm) 3 = 16,387 cm³ 1po 3 16,387 cm 3 1 po 1 po 2,54 cm 2,54 cm 1 pi = 0,3048 m 1 pi 3 = (0,3048 m) 3 = 0,028 m 3 1 pi 3 0,028 m 3 1 pi 1 pi 0,3048 m 0,3048 m 1 vg = 0,9144 m 1 vg 3 = (0,9144 m) 3 = 0,765 m 3 1 vg 3 0,765 m 3 1 vg 1 vg 0,9144 m 0,9144 m Unités d aire et de volume, du système impérial au système métrique 1 po² = 6,452 cm² 1 pi² = 0,093 m² 1 vg 2 = 0,836 m 2 1 po 3 = 16,387 cm 3 1 pi 3 = 0,028 m 3 1 vg 3 = 0,765 m 3 54
Les transformations et les équivalences, en résumé Aire dans le système métrique Volume dans le système métrique Équivalences Équivalences dans le système impérial 1 pied = 12 pouces 1 verge = 3 pieds 1 mille = 1 760 verges Du système impérial au système métrique 1 pouce = 2,54 cm 1 pied = 30,48 cm ou 0,3048 m 1 verge = 91,44 cm ou 0,9144 m 1 mille = 1 609 m ou 1,609 km Unités d aire et de volume dans le système impérial 1 pi 2 = 144 po 2 1 pi 3 = 1 728 po 3 1 vg 2 = 9 pi 2 1 vg 3 = 27 pi 3 1 mi 2 = 3 097 600 vg 2 1 mi 3 = 5,45 10 9 vg 3 Unités d aire et de volume, du système impérial au système métrique 1 po² = 6,452 cm² 1 po 3 = 16,387 cm 3 1 pi² = 0,093 m² 1 pi 3 = 0,028 m 3 1 vg 2 = 0,836 m 2 1 vg 3 = 0,765 m 3 1 mi² = 2,589 km² 1 mi³ = 4,166 km³ 55
Exercice 5 Convertissez les mesures suivantes. Arrondissez au centième près. 1. 40 po 2 en cm 2 2. 50 vg 3 en m 3 3. 86 m 3 en pi 3 4. 33 m 2 en vg 2 5. 8 vg 2 en cm 2 Exercice 6 1. Quelle est l aire d un carré de 3 milles de côté: a) en verges carrées: b) en km²: 2. Un dé à jouer a 2 cm de côté. Quel est son volume en po³? 56
3. Une tuile de céramique carrée 15 po de côté. Une boîte contient 20 de ces tuiles. Combien de boîtes de céramique faudra-t-il se procurer si on veut recouvrir un plancher qui mesure 10 m par 8 m? 4. Combien de litres d eau peut contenir un réservoir de 4 pi par 3 pi, et dont la hauteur est de 6 po? Rappel : 1 L = 1 000 cm³ 57
Toilette 5. Vous voulez aménager un jardin rectangulaire de 3 m par 5 m. La terre à jardin que vous voulez acheter se vend 26$ la verge cube, taxes incluses. La quantité achetée doit être un nombre entier. Sachant que votre jardin aura une épaisseur de 18 cm de terre, calculez le coût d achat de la terre. 6. Vous êtes propriétaire d un nouveau casse-croûte au centre-ville. Cet établissement a une forme carrée de 30 pieds de côté. La toilette mesure 4 pieds par 6 pieds. Les dimensions de la cuisine sont 8 pieds par 26 pieds. Le reste de l espace servira de salle à manger. Selon les normes, la capacité maximale de la salle à manger est de 1,2 m² de surface libre pour chaque personne. En respectant les normes, combien de personnes pouvez-vous accueillir dans votre casse-croûte? C Cuisine 58
7. Le Québec a une superficie de 1 667 441 km². Combien de fois retrouve-t-on le territoire du Québec dans celui des États-Unis, qui a une superficie de 3 717 813 mi²? 59
Résolution de la situation-problème Rénovations à l appartement Vous êtes propriétaire d un appartement, et vous avez quelques rénovations à faire dans celui-ci. Voici le schéma de cet appartement, avec les dimensions des pièces exprimées en mètres. Vous voulez : poser de la céramique dans la cuisine; refaire le ciment de la galerie. Vous voulez estimer les coûts, mais les mesures qui apparaissent sur les différents produits à acheter sont exprimées dans le système impérial (pouce, pied, verge). 60
Tâche 1 À partir des informations suivantes, trouvez le coût d achat des tuiles de céramique pour couvrir le plancher de la cuisine: VIVA Carreaux de céramique pour mur ou plancher 35,82 $ (taxes incluses) Boite (18 tuiles) Format 10"x13" Article #04750 61
Tâche 2 À partir des informations suivantes, trouvez le coût d achat du ciment pour refaire la galerie: la hauteur de la galerie : 18 cm le ciment se vend 11,50$ / pi³ 62