Flexion des poutres sandwich par la méthode des éléments finis

Flexion des poutres sandwich par la méthode des éléments finis M.Abdeddaim 1 et A.Tati 2 1 Département de Génie civil, Université Mohamed Khider Biskra, B.P 145 R.P, 7, Biskra Algérie, E-mail : abdeddaim_mms@yahoo.fr 2 Laboratoire de Génie Energétique et Matériaux, LGEM. Université de Biskra, B.P. 145, R.P, 7, Biskra, Algérie, E-mail : abdeltati@yahoo.fr RESUME. Cette investigation a pour objectif la corrélation entre les résultats obtenus par la méthode des éléments fini et ceux obtenus en adoptant les théories de Bernoulli et de Timoshenko, dans l analyse de la flexion des poutres sandwich. Lors de l étude analytique, on a considéré les rigidités extensionnelle et flexionnelle équivalentes de la section transversale homogénéisée de la poutre. Cependant lors de l étude numérique, on a considéré la caractéristique mécanique de chaque constituant. Les déplacements transversaux obtenus ont montré l inefficacité de la théorie de Bernoulli alors qu on a marqué une convergence de la valeur numérique vers celle analytique de Timoshenko qui, contrairement à Bernoulli, considère les déformations dues au cisaillement transverse. Les contraintes normales et tangentielles à, travers l épaisseur sont aussi présentés afin de mettre en évidence les variations brusques dues à la variation des propriétés mécaniques à travers l épaisseur de la poutre. MOTS CLES : Poutre, déplacements, contraintes, isotrope, anisotrope, sandwich. INTRODUCTION Les sandwiches sont des matériaux composites multicouches qui consistent en deux peaux minces, métalliques ou en matériaux composites, séparés par un cœur épais de faible densité. Cette configuration donne au matériau sandwich une résistance et une rigidité spécifique pour une faible densité. Ces qualités et d autres sont la raison pour que les structures sandwich reçoivent une attention considérable. En effet, les structures sandwich sont largement utilisées dans divers domaines et spécialement dans le domaine aérospatial. Les recherches concernant le comportement des structures sandwich a débuté juste après la deuxième guère mondial et s est intensifié dès 199 spécialement après le développement des modèles d ordre supérieur [1,2,3], capable de mieux modéliser la variation des contraintes de cisaillement à travers l épaisseur des plaques et des poutres sandwich. Avec tous ce qui a été fait, il reste toujours des questions qui nécessitent davantage d investigation, à cause de la complexité du comportement de ces structures et parmi ces questions, le comportement de flexion qui engendre des contraintes de cisaillement transverses qui sont à l origine de plusieurs modes d endommagement de ce type de structures.

L importance de développer une analyse sur le comportement des poutres est liée d une part à l utilisation des poutres comme éléments de base dans la réalisation des structures, et d autre part à la caractérisation des propriétés mécaniques des matériaux sandwichs. Le but de ce travail est la modélisation numérique de la flexion d une poutre sandwich en utilisant un élément fini membranaire permettant de mettre en évidence la variation des contraintes normales et spécialement les contraintes de cisaillement selon l épaisseur. L étude a aussi pour objectif la comparaison des résultats obtenus numériquement avec ceux obtenus en utilisant les théories de Bernoulli et de Timoshenko. ETUDE THEORIQUE Dans cette étude théorique nous allons adopter la théorie de Timoshenko [4] appliquée aux poutres isotrope afin de l appliqué sur une poutre sandwich, G. Cailletaud [5] a démontré qu on utilisant une approche, qui consiste à évaluer le champ de contrainte à partir du champ de déplacement. On suppose donc que, en présence de plusieurs couches, on continue à avoir la même cinématique. Contrairement au cas du matériau homogène, il y a maintenant une distribution spatiale des propriétés élastiques, qui dépendent de la cote y dans la section. Ceci interdit de sortir les modules des intégrales, et conduit donc à des moyennes différentes, prenant en compte à la fois la géométrie et le comportement. Evaluation des efforts intérieurs Effort normal : N =< ES > U, avec < ES >= E(y)dS (1) Moment : M =< EI > θ, avec < EI >= E(y). y². ds (2) Cisaillement : Il faut prendre en compte la continuité de la composante à l interface. La valeur de est limitée par le faible module de la mousse à l intérieur de la poutre, et elle doit être nulle en surface externe, de normale y, qui est libre. On admet tout simplement de négliger la contribution des plaques métalliques externes ; on se limite à l intégrale sur le cœur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est compris entre h :

T = σ ds = σ dzdy = (V, + θ) 2bμ(y)dy (3) On a introduit les quantités suivantes : - rigidité équivalente de traction : < >= - rigidité équivalente de flexion :< >= ² - rigidité équivalente de cisaillement :< >= Calcul de la rigidité équivalente en flexion : T =< μs > (V, + θ) (4) < EI >= E I + E I (2h + 2e) (2h) < EI > = E b( 12 ) + E b. (2h) 12 < EI >= 2 3 b E ((e + h) h ) + E. h (5) - E p : Module d élasticité des peaux inférieur et supérieur, - E a : Module d élasticité de l âme, - I p : Moment d inertie des peaux, - I a : Moment d inertie de l âme, - e : épaisseur des peaux (semelles), - 2h : hauteur de l âme, - b : largeur de la section. Calcul de la rigidité équivalente de cisaillement : - : Module de cisaillement de l âme, - : Section de l âme, < μs >= μ. S = μ. 2bh (6) FORMULATION ELEMENT FINI L élément utilisé est élément un Q4 iso-paramétrique formulé par la méthode des éléments finis et adapté aux matériaux sandwich [6], en utilisant le principe des Travaux virtuels, nous allons trouver le vecteur force { } et la matrice de rigidité globale [ ].

Figure1 les coordonnées et les déplacements de l élément utilisé Approximation nodale des coordonnées D après Cazenave [7] les coordonnées paramétriques notés (, ) (, ) d un point quelconque sont définies par :. Les coordonnées x(ξ, η) = N (ξ, η)x (7) y(ξ, η) = N (ξ, η)y (8) Ou (, )sont les coordonnées du nœud. Les fonctions de formes ou fonctions d interpolation sont les fonctions les déplacements d un point quelconques intérieur à un élément aux nodaux qui relient déplacements Les fonctions d interpolation des coordonnées et des déplacements à travers l élément sont données respectivement par : x(ξ, η) = N (ξ, η)x y(ξ, η) = N (ξ, η)y (i= 1,2,3,4) (9) u(ξ, η) = N (ξ, η)x v(ξ, η) = N (ξ, η)y (i= 1,2,3,4) (1) Avec (, ) = (1 )(1 ) Relations cinématiques Les déformations sont liés aux déplacements par : ε = u x ; ε = v y ; γ = u y + v x Loi de comportement

Le matériau étant considéré anisotrope, la relation contrainte-déformation est donnée par : = ; { } = [ ]{ } (11) Principe des travaux virtuel Le travail virtuel des efforts internes est donné par : δu = h {δq} [B] [D][B]{q}dxdy = h {δq} [B] [D][B]{q} J dξdη (12) δu = h {δq} [B] [D][B]{q}dxdy = h {δq} [B] [D][B]{q} J dξdη (13) Ou δu = {δq}[k]{q} Avec [ ] est la matrice de rigidité élémentaire qui s obtient par intégration numérique et est le déterminant du Jacobien Soit { } le vecteur de déformation virtuel, et { } le vecteur de déplacement virtuel, alors (14) Le travail virtuel des forces est donné par : {δε} = [B]{δq} (15) δv = {δq} {f } (16) Ou { } est le vecteur force élémentaire Le vecteur force globale { } s obtient par l assemblage des vecteurs force élémentaire. L équilibre au sein de l élément s exprime par l égalité des deux travaux virtuels. Ce qui permet d obtenir l équation d équilibre : U = V (17) [k]{q} = {f } (18) Les contraintes dans l élément au niveau des points de Gauss sont données par : {σ} = [D][B]{q} (19)

RESULTATS ET DISCUSSIONS Application sur une poutre sandwich simplement appuyée Une poutre sandwich (qui a une dimension plus grande que les deux autre en l occurrence ça longueur plus grande que son hauteur et ça largeur), composée de deux semelles en aluminium, et d une âme en mousse thermodurcissable, simplement appuyée sur ces deux cotés et soumise à une charge concentrée au milieu de la poutre P, la taille de la poutre est constante tout au long de sa portée. Les données : P = 15 N, l = 5 mm, E p = 75 MPa, =,3, b = 4 mm, h = 2mm, E a =5 MPa, e = 5 mm, condition aux limites: simplement appuyé sur ces deux coté Les résultats donnés par l élément et ceux obtenu analytiquement sont représentés dans le graphe qui sera représenter par la figure 2 Déplacement 36 34 32 3 28 26 24 22 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 5 1 15 2 25 3 Nombre d'élément résultats numérique résultats analytique timoshenko résultats analytique Bernoulli Figure 2 : Convergence du déplacement pour une poutre sandwich simplement appuyée sous l effet d une charge concentrée. Interprétation des résultats - La convergence des résultats est rapide et s approche rapidement des résultats théorique. - Les résultats donnés par l élément tendent vers les résultats obtenus par la théorie de Timoshenko et dépasse les résultats donnés par la théorie de Bernoulli. - L erreur relativement grand, est due aux considérations prises lors de l étude théorique en l occurrence la non-participation des semelles à la résistance aux efforts tranchants.

Application sur une poutre sandwich en console Une poutre sandwich composé de deux semelles en aluminium, et d une âme en mousse thermodurcissable encastrée sur un côté et libre de l autre, est soumise à une charge concentrée P sur son côté libre, la taille de la poutre est constante tout au long de sa portée. Les données : P = 1 N, l = 5 mm, E p = 75 MPa, =,3, b = 4 mm, h = 2mm, E a =5 MPa, e = 5 mm, condition aux limites : libre d un côté et encastré de l autre côté. Les résultats donnés par l élément et ceux obtenu analytiquement sont représentés dans le graphe qui sera représenter par la figure 3 3 25 Déplacement 2 15 1 5 résultats analytique Timoshenko résultats analytique Bernoulli résultats numérique 5 1 15 2 25 3 Nombre d'élément Figure 3 : Convergence du déplacement pour une console sandwich sous l effet d une charge concentrée. Interprétation des résultats - La convergence des résultats est rapide et s approche rapidement des résultats théoriques. - Les résultats donnés par l élément tendent vers les résultats donnés par la théorie de Timoshenko et dépasse les résultats donnés par la théorie de Bernoulli.

Conclusion Suite à l étude des deux exemples en l occurrence la poutre sandwich simplement appuyée et la console sandwich, c est-à-dire dans le cas de l anisotropie, et après interprétation des résultats on peut conclure ceci : - La discrétisation faite par le programme qui prend en considération les caractéristiques de chaque matériau. - L erreur est relativement grand cela est dû principalement aux considérations prises lors de l étude théorique. - La convergence rapide des résultats donnés par l élément vers ceux calculés analytiquement. - La prise en compte par l élément de l effet de cisaillement transverse qui influe sur le déplacement ce qui le rend compatible avec la théorie de Timoshenko. REPRESENTATION DES CONTRAINTES Le programme utilise une méthode de discrétisation qui attribue à chaque élément du maillage ces propres caractéristiques selon sa position qu il soit situé dans l âme ou dans les semelles cela permet d observé la variation des contraintes dans les interfaces âme-semelles, les variations observé sont représenter dans les graphes suivants : 2,5 3 1,5 2,5 1-5 -,5-1,5 5-2 -2,5-3 Contrainte principale Epaisseur de la poutre Epaisseur de la poutre -2-15 -1-5 Contraintes de cisaillement 3 2,5 2 1,5 1,5 -,5-1 -1,5-2 -2,5-3 Figure 4 Variation des contraintes principales dans une poutre sandwich. Figure 5 Variation des contraintes de cisaillement dans une poutre Sandwich Observation - La contrainte principale dans la poutre sandwich est discontinue là où il y a un changement de matériau, cette discontinuité se manifeste par un zigzag visible au niveau du graphe représenté dans la figure 4. - la contrainte de cisaillement dans une poutre sandwich (anisotrope) se caractérise par une cassure au niveau de l interface âme-semelles, cette cassure est due au changement de matériau qui passe d un matériau à hautes caractéristiques (semelle)

a un matériau à faibles caractéristiques (âme), cette cassure est bien visible dans la figure 5. - l apparition de ces phénomène en l occurrence la cassure et le zigzag, est dû à l approche de discrétisation faite par le programme, contrairement à l étude théorique qui considère un mélange ou une équivalence. CONCLUSION GENERALE Pour plusieurs exemples exploités nous avons constaté la convergence rapide des résultats donnés par le programme vers ceux obtenus par l étude théorique, on a pu montrer l inefficacité de la théorie de Bernoulli, qui ne prend pas en considération l effet de l effort tranchant sur le déplacement pour des poutres anisotropes (sandwich). Il s avère aussi que la théorie de mélange ou d équivalence utilisée pour l étude théorique donne des résultats pondérés et majorés comparée à l étude numérique, la théorie considère aussi une continuité des contraintes qui est en réalité fausse car il se produit une discontinuité des contraintes à l interface lors du passage d un matériau a l autre (de l âme à la semelle), la discontinuité des contraintes est clairement visible dans les résultats que donne le programme car il utilise une approche de discrétisation qui prend en considération les caractéristiques de chaque matériaux ce qui permet l obtention de résultats très exacts. L approche de discrétisation reste très intéressante pour l observation de la variation des contraintes aux niveaux des interfaces et le calcul des déplacements. REFERENCES 1. Kant, T., and Patil, H. S (1991) Journal of Reinforced Plastics and Composites Vol. 1, 12 19. 2. Hunt G. E., and Da Silva, L. S. (199) Journal of Applied Mechanics Vol. 57, 189 196. 3. Hunt, G. E., and Da Silva, L. S. (199) International Journal of Mechanical Structures and Mechanics Vol. 18, 353 372 4. S.P. Timoshenko. (1968) Résistance des matériaux Tome 1, Dunod. 5. G. Cailletaud, M. Tijani. (211) Mécanique des matériaux solides notes de cours. MINES ParisTech. 6. A. Tati, A. Abibsi. (27) Revue des composites et des matériaux avancés Vol. 17, 279 296 7. Michel Cazenave. (21) Méthode des éléments finis approche pratique en mécanique des structures. Dunod.