Sujet 1 Problème 1 [2p] Lors d une course de chevaux, il y a 10 chevaux au départ. Combien de possibilités pour le tiercé? Il faut choisir 3 chevaux parmi 10, et l ordre compte. Il y a 10 possibilités pour le premier cheval, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième, soit 10 9 8 720 possibilités. Problème 2 [2p] On joue au loto avec 10 boules. Combien y-a-t-il de grilles possibles s il faut cocher 4 cases? Il faut choisir 4 cases parmi 10 et l ordre ne compte pas. Il y a donc C 4 10 210 grilles possibles. Problème 3 [4p] On dispose d un jeu de cartes ordinaire. On choisit 5 cartes dans ce jeu. 1. Quelle est la probabilité d avoir une paire d as? 2. Quelle est la probabilité d avoir un carré de rois? 1. Il faut avoir 2 as (parmi 4) et 3 autres cartes (parmi 28): p C2 4C 3 28 C 5 6 76 201376 351 3596 0, 097 2. Il faut avoir 4 rois (parmi 4) et 1 autre carte (parmi 28): p C4 4 C 1 28 C 5 28 201376 1 7192 0, 00014 Problème 4 [3p] On tire une carte dans un jeu de cartes. 1. Quelle est la probabilité d avoir le roi de trêfle? 2. Quelle est la probabilité d avoir soit un roi, soit un trêfle? 3. Quelle est la probabilité d avoir le roi sachant que c est un trêfle? 1. Il y a 1 roi de trêfle sur cartes, la probabilité est donc de 1 2. Il y a 4 rois et 8 trêfles. On a donc p( roi ou trêfle) p(roi trêfle) p(roi) + p(trêfle) p(roi de trêfle) 4 + 8 1 11
3. Parmi les 8 trêfles, il y a 1 roi, soit une probabilité de 1. On pouvait 8 le trouver en utilisant la formule: p( roi / trêfle) p(roi de trêfle) p(trêfle) 1 8 1 8 Problème 5 [6p] Une population est composé de 47% d hommes et de 53% de femmes. On suppose que 5 % des hommes et 1 % des femmes sont daltoniens. On choisit une personne au hasard. 1.. Quelle est la probabilité qu elle soit daltonienne? 2. Quelle est la probabilité qu elle soit un homme sachant qu elle est daltonienne? 3. Quelle est la probabilité qu elle ne soit pas daltonienne sachant que c est une femme? On a le tableau suivant: homme femme daltonien 0, 47 0, 05 0, 0235 0, 53 0, 01 0, 0053 0, 0288 pas daltonien 0, 47 0, 95 0, 4465 0, 53 0, 99 0, 5247 0, 9712 0, 47 0, 53 1 On peut maintenant répondre aux questions: 1. p(daltonien) 0, 0288 2. On a p( homme / daltonien ) p( homme daltonien) p(daltonien) 0, 0235 0, 0288 0, 0816 3. On a p( pas daltonienne / femme ) p( femme non daltonienne) p(femme) 0, 5247 0, 53 0, 99 On pouvait trouver ce résultat directement; 1% des femmes sont daltoniennes donc 99% ne le sont pas. Problème 6 [3p] Dans un atelier, le nombre d accidents au cours d une année suit une loi de Poisson de paramètre 3. Quelle est la probabilité qu il y ait 4 accidents ou plus?
P (X 4) 1 P (X < 4) 1 (P (X 0) + P (X 1) + P (X 2) + P (X 3)) ( ) 3 0 1 0! e 3 + 31 1! e 3 + 2! e 3 + 33 3! e 3 1 (0, 04978706837 + 0, 1493612051 + 0, 2240418077 + 0, 2240418077) 1 0, 6472318888 0, 3527681112
Sujet 2 Problème 1 [2p] Lors d une course de chevaux, il y a 10 chevaux au départ. Combien de possibilités pour le quarté? Il faut choisir 4 chevaux parmi 10, et l ordre compte. Il y a 10 possibilités pour le premier cheval, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième, 7 pour le quatrième, soit 10 9 8 7 5040 possibilités. Problème 2 [2p] On joue au loto avec 10 boules. Combien y-a-t-il de grilles possibles s il faut cocher 3 cases? Il faut choisir 3 cases parmi 10 et l ordre ne compte pas. Il y a donc C 3 10 120 grilles possibles. Problème 3 [4p] On dispose d un jeu de cartes ordinaire. On choisit 5 cartes dans ce jeu. 1. Quelle est la probabilité d avoir une paire de rois? 2. Quelle est la probabilité d avoir 5 cartes à carreau? 1. Il faut avoir 2 rois (parmi 4) et 3 autres cartes (parmi 28): p C2 4C 3 28 C 5 6 76 201376 351 3596 0, 097 2. Il faut choisir 5 cartes parmi les 8 carreaux: p C5 8 C 5 56 201376 1 3596 0, 00027 Problème 4 [3p] On tire une carte dans un jeu de cartes. 1. Quelle est la probabilité d avoir la dame de carreau? 2. Quelle est la probabilité d avoir soit une dame, soit un carreau? 3. Quelle est la probabilité d avoir la dame sachant que c est un carreau? 1. Il y a 1 dame de carreau sur cartes, la probabilité est donc de 1 2. Il y a 4 dames et 8 carreaux. On a donc p( dame ou carreau) p(dame carreau) p(dame) + p(carreau) p(dame de carreau) 4 + 8 1 11
3. Parmi les 8 carreaux, il y a 1 dame, soit une probabilité de 1 8. On pouvait le trouver en utilisant la formule: p( dame/ carreau ) p(dame de carreau) p(carreau) 1 8 1 8 Problème 5 [6p] Une population est composé de 45% d hommes et de 55% de femmes. On suppose que 4 % des hommes et 2 % des femmes sont daltoniens. On choisit une personne au hasard. 1. Quelle est la probabilité qu elle ne soit pas daltonienne? 2. Quelle est la probabilité qu elle soit un femme sachant qu elle est daltonienne? 3. Quelle est la probabilité qu elle ne soit pas daltonienne sachant que c est un homme? On a le tableau suivant: homme femme daltonien 0, 45 0, 04 0, 0180 0, 55 0, 02 0, 011 0, 029 pas daltonien 0, 45 0, 96 0, 40 0, 55 0, 98 0, 539 0, 971 0, 45 0, 55 1 On peut maintenant répondre aux questions: 1. p(pas daltonienne) 0, 971 2. On a p( femme / daltonien ) p( femme daltonienne) p(daltonien) 0, 011 0, 029 0, 37 3. On a p( pas daltonienne / homme ) p( homme non daltonien) p(homme) 0, 40 0, 45 0, 96 On pouvait trouver ce résultat directement; 4% des hommes sont daltoniens donc 96% ne le sont pas. Problème 6 [3p] Dans un atelier, le nombre d accidents au cours d une année suit une loi de Poisson de paramètre 6. Quelle est la probabilité qu il y ait 4 accidents ou plus?
P (X 4) 1 P (X < 4) 1 (P (X 0) + P (X 1) + P (X 2) + P (X 3)) ( ) 6 0 1 0! e 6 + 61 1! e 6 + 62 2! e 6 + 63 3! e 6 1 (0, 002478752177 + 0, 01487251306 + 0, 04461753919 + 0, 08923507837) 1 0, 1512038828 0, 8487961172