Chapitre 7 : Fonctions du second degré I. Objectifs de ce chapitre Au terme de ce chapitre, tu devras être capable de : 1) Réaliser l étude complète d une fonction du second degré (concavité, ordonnée à l origine, racines, équation de l axe de symétrie, coordonnées de l extrémum, équation écrite sous sa forme factorisée et sous sa forme canonique, points supplémentaires éventuels, graphique précis, tableau de signes et tableau de variations). ) Restituer les formules permettant d étudier une fonction du second degré. 3) Résoudre un problème transcriptible en une équation du second degré. 4) Résoudre un exercice d optimisation. 5) Déterminer, algébriquement et graphiquement, les coordonnées événtuelles du/des point(s) d intersection entre deux paraboles. II. Exercices supplémentaires 1) Réalise l étude complète des fonctions suivantes (concavité, ordonnée à l origine, racines, équation de l axe de symétrie, coordonnées de l extrémum, équation écrite sous sa forme factorisée et sous sa forme canonique, points supplémentaires éventuels et graphique précis). a) y = x + 5x + 4 c) y = x 4x + 5 b) y = x + 6x 9 d) y = 1 4 x + x + 5 4 ) Emergeant de l eau, un dauphin décrit une trajectoire T y = x 6x 5 de la gauche vers la droite ; le niveau de l eau supposé est l axe des abscisses. a) Dessinez le saut du dauphin en y précisant les points au ras de l eau et le point sommet. b) Un ballon suspendu à une hauteur 3 au-dessus de la piscine est touché par le dauphin dans la phase ascendante de son saut. En quel point se trouve le ballon? c) Lorsque la courbe du saut possède une hauteur supérieure ou égale à, quelle zone d eau le dauphin surplombe-t-il? 3) L agent de promotion d un groupe de rock organise une série de concerts. Pour le premier concert, il vend les billets à 40 euros et écoule 500 places. Les soirs suivants, il diminue le prix du billet et ceci par tranches de,50 euros. Il constate une augmentation du nombre de spectateurs de 100 personnes à chaque diminution. Quel est le nombre de diminution(s) idéal pour maximiser le profit?
4) Une société de location de kayaks possède 100 embarcations et constate que celles-ci sont toutes louées lorsque le prix de location est de 10 euros de l heure. Une étude statistique estime qu à chaque augmentation de 1 euro l heure de location, 5 kayaks de plus resteront sur la berge. Détermine le prix de location permettant à la société d obtenir le meilleur profit. 5) Parmi tous les cartons rectangulaires de périmètre 108 cm, lequel choisir si, en effectuant trois découpes (voir dessin), on veut maximiser la surface à peindre du «donjon» ainsi bricolé? Plan du «donjon» : 6) Soient deux paraboles P et Q situées dans un repère orthonormé. P y = x + x + 3 et Q y = ( x + ) a) Réalise l étude complète de P et construis son graphe précis ; b) Sur le même graphique, par manipulations, construis le graphe de Q ; c) Détermine algébriquement les éventuels points d intersection entre P et Q ; d) Vérifie graphiquement si les solutions obtenues algébriquement sont corroborées. III. Solutions des exercices supplémentaires 1) a) b) c) d) Concavité Vers le haut U Vers le bas Vers le haut U Vers le bas Ordonnée à l origine ( 0 ; 4 ) ( 0 ; - 9 ) ( 0 ; 5 ) ( 0 ; 5/4 ) Racine(s) Z f = 4; 1 Axe de symétrie Extrémum { } Z f = 3 { } Z f = { } Z f = 1;5 { } a s x = 5 a s x = 3 a s x = a s x = E 5 ; 9 (m) E( 3;0) (M) E ;1 4 ( ) (m) E ; 9 4 (M)
Forme factorisée Forme canonique y = x + 5 y = ( x + 4) ( x +1) y = ( x 3) / y = 1 9 4 4 ( x 5 ) x +1 ( ) y = ( x 3) y = ( x ) +1 y = 1 4 ( x ) + 9 4 ) a) Points au ras de l eau = racines : ( - 5 ; 0 ) et (- 1 ; 0 ) Point sommet : ( -3 ; 4 )
b) Cela revient à résoudre l équation 3 = x 6x 5 («hauteur de 3» signifie y = 3) On trouve solutions : -4 et - Comme le dauphin touche le ballon dans sa phase ascendante et qu il saute de gauche à droite, le ballon est situé au point ( - 4 ; 3 ). c) Formulé autrement : «Que vaut x si y est supérieur ou égal à?» Cela revient à résoudre l inéquation y x 6x 5 La zone d eau surplombée par le dauphin est donc : [ 3 ; 3 + ] 3) y = (40,5x) ( 500 +100x) y = 50x 750x + 0000 Maximum atteint pour x = 11 = 5,5. L agent de promotion pourra donc, au choix, procéder à 5 ou 6 diminutions pour maximiser le profit. 4) y = ( 10 + x) ( 100 5x) y = 5x + 50x +1000 Maximum atteint pour x = 5. La société de location de kayaks devra proposer un tarif horaire de 15 euros de l heure si elle souhaite obtenir le meilleur profit. 5) Les dimensions du carton sont 5x pour les côtés horizontaux et L pour les côtés verticaux.
Le périmètre est de 108 cm 10x + L =108 L =108 10x L = 54 5x L aire (y) totale du carton est donnée par la formule y = 5x. L De cette aire totale, il faut ôter l aire de carrés de côté x ainsi que l aire d un rectangle de longueur 15 cm et de largeur 10 cm : y = 5x L x 150 Résolvons le système suivant : y = 5x L x 150 L = 54 5x On obtient une équation du second degré y = 7x + 70x 150 dont le maximum sera atteint pour x = 5. Les dimensions du carton seront donc de 5 cm (5x) sur 9 cm (54 5x). 6) a) Concavité : Vers le bas Ordonnée à l origine : ( 0 ; 3 ) Racines : Z f = { 1;3 } Axe de symétrie : a s x =1 Extrémum : E ( 1;4 ) (M) Forme factorisée : y = ( x +1) ( x 3) Forme canonique : y = ( x +1) + 4 Graphe : voir ci-après. b) Parabole déplacée de unités vers la gauche et de unités vers le bas. c) Coordonnées des points d intersection : 1 3 ; 3 3 et 3 1 ; + 3 3 d) Après passage à la calculatrice, les points d intersection deviennent : ( 1, 4; 1,6 ) et ( 0,4;3,6 ) Ces résultats correspondent au graphique qui suit.