Modéliation hydro élatique d'une tructure vibrante et validation par interférométrie de peckle Abderahman Makhloufi*, Dan Borza*, Abdelkhalak El Hami* INSA de Rouen, LMR-IMEN, BP 08, Av. de l Univerité, 76801 St Etienne du Rouvray, rance RÉSUMÉ : Cette étude concerne une analye modale numérique et expérimentale réaliée ur une plaque iotrope, rectangulaire, mince et élatique - dan le vide ou immergée dan un fluide. L'étude expérimentale utilie le technique interférométrique de peckle. L'étude numérique et conduite en utiliant un code de calcul élément fini généralite. Une méthode de couplage élément fini/élément fini et propoée pour modélier le ytème couplé fluide/tructure, avec une formulation non ymétrique en preion/déplacement. Une comparaion de réultat numérique et expérimentaux et propoée. Mot clé: immerion, vibration, modèle numérique, hydro-élatique, interférométrie de peckle Introduction Lorqu'une tructure élatique vibre au contact d'un fluide an écoulement, l'effet de couplage du fluide ur la dynamique de la tructure e traduit par un phénomène de mae ajoutée, caractérié par une baie plu ou moin ignificative de fréquence propre de la tructure couplée [1]. Cet effet de mae ajoutée peut être évalué dan de ca imple à l'aide de formule analytique [2]; dan de ca plu complexe, un calcul numérique de la mae ajoutée devient néceaire. La imulation numérique de problème couplé fluide/tructure a fait l objet de nombreue étude théorique et numérique qui ont permi le développement de méthode de calcul. L'approche numérique conite à réalier un couplage entre une dicrétiation de type élément fini du domaine tructure et une dicrétiation de type équation intégrale ou élément fini du domaine fluide. Le technique de calcul développée dan de laboratoire de recherche ont appliquée par exemple pour réalier l étude de tructure immergée, avec ou an prie en compte de phénomène de urface libre dan le fluide. Le meure par de technique de meure optique de tructure immergée dan l eau peuvent apporter une contribution utile à l'étude de l'interaction fluide tructure et également aux modèle numérique. Le meure expérimentale ont été réaliée par interférométrie de peckle. Elle ont permi de valider le premier réultat obtenu avec le modèle numérique. Le premier intérêt de l'utiliation de l'interférométrie de peckle réide dan le fait que, 'agiant d'une méthode an contact, il n'y a pa de capteur donc de mae ajoutée lor de meure. D'autre part, cette technique permet la meure précie et imultanée du champ complet d'amplitude de vibration en même temp que le fréquence propre pour tou le point de la tructure.
En ce qui concerne l analye fréquentielle de la plaque immergée, on rencontre dan la littérature un grand nombre de réultat théorique et expérimentaux [3, 4]. Par contre, on remarque que le réultat publié ur le déformée modale ont beaucoup plu rare, urtout quand il agit de comparer le déformée modale calculée et meurée en faiant varier le profondeur d immerion. Le préent article propoe une analye modale numérique et a validation expérimentale. L'étude concerne une plaque mince élatique, dan l'air et dan l'eau. Le modèle implifié de la tructure étudiée et repréenté par la ig.1. ENCASTREMENT STRUCTURE INTERACE LUIDE igure 1: plaque rectangulaire mince encatrée ur un coté et immergée dan un fluide 1.1 ormulation du couplage : 1. Apect numérique L équilibre dynamique d une tructure L équilibre dynamique d une tructure ollicitée par de effort externe de denité volumique r ( e f ) ( r r (, t ) et par de force externe de denité urfacique t ) ( r e, t) exerçant ur a frontière de normale unitaire n r et régi par le équation tridimenionnelle de la mécanique de milieux continu que l on écrit ou la forme : & r ( e ) r r ρ Χ r div σ = f (, t) ( v ) [1.1] r r e r r σ. n = t, t ( ) ( ) ( ) Dan ce équation, X r et le champ de déplacement. En principe il agit d un champ lagrangien défini en tout point matériel de la tructure, de vecteur de poition r. contrainte de la tructure. σ et le teneur de
L équilibre dynamique d un fluide Le fluide et un milieu continu déformable, au même titre que la tructure. Son équilibre et formulé, ici, par un ytème identique à [1.1] 2 1 δ Φ Φ = 0 ; Φ = 0 2 2 c δ t r 1 δφ v = Φ ; p = c δt (luide incompreible) [1.2] Sytème couplé fluide tructure Soit une tructure immergée dan un fluide. Le ytème et régi par l enemble de équation [1.1] et [1.2], qui ont munie de condition de couplage ur le paroi baignée par le fluide. Au nombre de deux, elle expriment que : 1. A l interface fluide tructure, le mouvement du fluide et le même que celui de la tructure. 2. L interface fluide tructure et en équilibre local. En conéquence, le contrainte dan le fluide et dan la tructure ont en équilibre. 1.2 Etude de la tructure dan le vide Conidérée comme plaque mince, la tructure et diviée en élément quadrilatéraux à 4 noeud régi par la théorie de Kirchhoff pour laquelle la déformation de ciaillement et négligeable tout en conidérant la conervation de normale. Dan ce ca, le mouvement de la tructure et régi par l'équation uivante : L analye modale de la tructure conite à réoudre le problème aux valeur propre ymétrique uivant : 2 K ω M δ = [1.4] [ ] ([ ] [ ] ){ } 0 ] [ M ] { δ & } [ K ] { δ } = { 0} & [1.3] T + T Dan l'équation [1.4], K et [ M ont le matrice du ytème tructure. Le problème aux valeur propre et ymétrique, nou utilion l algorithme de Choleky [5, 6] pour extraire le mode propre du ytème. Le déformée modale correpondante dan le plan (o, z) ont donnée par la ig. 2. 0, T 89Hz 284Hz 552Hz 1197Hz 1562Hz igure 2: Déformée modale correpondante dan le plan z obtenu avec le code ANSYS
1.3 Etude de la tructure dan l eau La modéliation d'enemble du ytème couplé fluide/tructure utilie une formulation en déplacement pour la tructure (champ vectoriel) et en preion pour le fluide (champ calaire). La dicrétiation de la formulation variationnelle correpondant au problème couplé avec une méthode de type élément fini conduit au problème aux valeur propre uivant (Morand Ohayon, 1995) : M S ω ² ρ R 0 M + K 0 S R K δ P ( ω) 0 = ( ω) 0 La méthode et mie en oeuvre avec le code de calcul élément fini Any. La modéliation du problème couplé fluide/tructure et faite en couplant le élément tructure Shell 63, élément fini quadratique formulé en déplacement, et le élément fluide fluid30, élément fini tétraédrique linéaire formulé en preion (Khonke, 1986). Le problème aux valeur propre poé par l'équation [1.5] et non ymétrique. Le calcul de élément propre et effectué en ayant recour à l'algorithme de Lanczo non ymétrique (Rajakumar-Roger, 1991). Si le fluide et conidéré incompreible ( c + ). Le problème couplé e réduit du point de vue tructure au problème ymétrique uivant : [ M ] + [ M ] ( ){ δ } + [ K ]{ δ } = 0 1 [ M ] =ρ [ L] [ H] [ L] T a L opérateur [ M a ] étant ymétrique, le problème aux valeur propre [1.6] l et également. a La figure 3 donne une repréentation de premier mode propre de la plaque dan le vide et en fluide (mode de flexion). La comparaion de baie en fréquence calculée montre que le effet de mae ajoutée ont correctement décrit par le calcul numérique. Le tableau 1 donne le réultat de calcul en vide et en fluide pour une plaque rectangulaire avec le code Any. [1.5] [1.6] 47Hz 144Hz 256Hz 751Hz 940Hz igure 3: Premier mode propre de la plaque couplée avec le fluide Tab 1. Première fréquence propre de la plaque couplée avec le fluide REQUENCE MODE 1 MODE2 MODE3 MODE5 MODE6 (Hz) VIDE 89 284 552 1197 1562 LUIDE 47 144 256 751 940
2. Partie expérimentale Le montage expérimental utilie un laer YAG continu de 100 mw doublé en fréquence; le décalage de phae et réalié à l'aide d'un miroir couplé à un actionneur piézoélectrique, commandé à l'aide d'une carte informatique dédiée [7]. Le vibration de la plaque immergée dan une cuve à paroi tranparente ont excitée à l'aide d'un deuxième actionneur piézoélectrique itué à l'extérieur de la cuve et le réultat et viible en temp réel ur le moniteur de contrôle (ig. 4). igure 4: Le dipoitif expérimental Le méthode interférométrique utiliée ont été l'interférométrie à intégration temporelle en temp réel [8] et l'interférométrie de haute réolution à intégration temporelle [9]. Le image retituée par ce technique pour le deuxième mode propre dan l'eau, à 152 Hz, ont préentée en ig. 5. igure 5: Deuxième mode propre de la plaque en immerion, meuré par interférométrie de peckle: (a) à intégration temporelle, (b) haute réolution, (c) haute réolution modifié; (d) profile à traver le troi tableaux de frange
Quelque'un de mode propre dan l'air et en immerion complète aini que leur fréquence ont illutré dan la ig. 6. f=88 Hz f=280 Hz f=548 Hz f=1184 Hz f=38 Hz f=152 Hz f=260 Hz f=703 Hz igure 6: Quatre de premier mode propre dan l'air (en haut) et en immerion complète (en ba) L'étude expérimentale du ixième mode de flexion pour différente profondeur d'immerion révèle, en même temp que la modification de la fréquence propre, de modification prononcée de la ditribution de amplitude de vibration. La variation de fréquence et montrée en ig. 7. igure 7: réquence propre pour le ixième mode, meurée expérimentalement et calculée à partir du modèle numérique (en haut) et leur écart relatif (en ba)
Troi de "variante" du ixième mode propre ont illutrée en ig. 8. igure 8: Modification du ixième mode propre en fonction du niveau d immerion (a) dan l'air, f = 1552 Hz; (b) immerion partielle, f = 1197 Hz; (c) immerion totale, f = 835 Hz Si la plaque et plu mince, pour la partie immergée le mode ont différent par rapport à la partie ituée hor du fluide, comme le montre la ig. 9. igure 9: Effet du couplage fluide tructure: modification locale de mode propre 3. Concluion La préente étude a porté ur l analye modale d une plaque, rectangulaire, mince et élatique, en prenant en compte le couplage fluide/tructure. Le réultat obtenu avec le modèle numérique ur le code Any ont en accord avec le réultat expérimentaux utiliant l'interférométrie de peckle. L'écart moyen de 6,7 % pour le dix premier mode et acceptable à ce tade de l'étude. Référence: [1]. Axia, Interaction fluide tructure, Hermè, 2001 [2] R. D. Blevin, ormula for requency and Mode Shape, Robert. E. Kreieger Publihing Company, 1984 [3] R. Pavanello, Contribution à l'étude hydroélatique de tructure à ymétrie cyclique, PhD, INSA Lyon, 1991 [4] J.. Sigrit, " Analye modale d une tructure indutrielle avec prie en compte du couplage fluide/tructure ", Mécanique & Indutrie 6, 553 563 (2005) [5] P. Ciarlet, Introduction à l'analye numérique matricielle et à l optimiation, Maon, 1988 [6] G. H. Golub, C.. Van Loan, Matrix Computation, John Hopkin Univerity Pre, 1984 [7] K. A. Steton, J. Wahid, "Real-time Phae Imaging for Nondetructive Teting," Exp. Tech.,22(1998), pp. 15 18 [8] R.J. Pryputniewicz, K.A. Steton. "Meaurement of vibration pattern uing electro-optic holography", Proc SPIE 1989;1162, pp. 456 67. [9] D. Borza, "Mechanical vibration meaurement by high-reolution time-average digital holography", Mea. Sci. Technol., 16 (2005), pp. 1853-1864