Joël OUDINET LES FONCTIONS FINANCIERES sur EXCEL 1
Mathématiques financières, calcul actuariel Quel Objet? Comparer des sommes à des dates différentes. Répondre à la question : préférez-vous recevoir 100 euros tout de suite ou 110 euros dans 1 an? (en étant certain de recevoir dans un an, pas de risque de ne pas recevoir)? Tout dépend du taux auquel je pourrais placer mes 100 euros Si je pense pouvoir les placer à un taux supérieur à 10%, je choisis les 100 euros tout de suite Si je pense pouvoir les placer à un taux inférieur à 10%, je choisis les 110 euros dans un an car j obtiendrais moins que cette somme avec mon placement 2
Comparaison de 2 sommes à des dates différentes; une maintenant contre une à une date future t= t=0 t=npm VA VC Les éléments du calcul actuariel sont les suivants : un taux d actualisation par période (attention à la cohérence entre la période et le taux) : fonction TAUX le nombre de périodes : fonction NPM (Nombre de paiements) valeur actuelle : somme que représente aujourd'hui à t=0 un ensemble de versements futurs : fonction VA (valeur actuelle) valeur capitalisée : somme que représente à la fin des périodes à t= l'ensemble des versements : fonction VC (valeur capitalisée) ou valeur future 3
Différence entre intérêts simples et intérêts composés t=0 t=npm VA VC Intérêts composés : les intérêts sont ajoutés au capital, donc les intérêts suivants sont calculés sur le capital initial + Intérêts un taux d actualisation par période (attention à la cohérence entre la période et le taux) : fonction TAUX le nombre de périodes : fonction NPM (Nombre de paiements) valeur actuelle : somme que représente aujourd'hui à t=0 un ensemble de versements futurs : fonction VA (valeur actuelle) valeur capitalisée : somme que représente à la fin des périodes à t= l'ensemble des versements : fonction VC (valeur capitalisée) ou valeur future 4
va * (1+taux) = -vc -va = Valeurs actuelles, valeurs capitalisées vc (1+taux) Les éléments du calcul actuariel sont les suivants : un taux d actualisation par période (attention à la cohérence entre la période et le taux) : fonction TAUX le nombre de périodes : fonction NPM (Nombre de paiements) valeur actuelle : somme que représente aujourd'hui à t=0 un ensemble de versements futurs : fonction VA (valeur actuelle) valeur capitalisée : somme que représente à la fin des périodes à t= l'ensemble des versements : fonction VC (valeur capitalisée) traitent les encaissements et les décaissements comme des flux de trésorerie qui peuvent être positifs ou négatifs. 5
Pourquoi un signe négatif à VC? Quel que soit l'argument, les décaissements, tels que les dépôts sur un compte d'épargne, sont représentés par un nombre négatif alors que les encaissements, tels que les paiements de dividendes, sont représentés par un nombre positif. Ainsi un prêt et un emprunt sont traités avec la même formule avec simplement une différence de signe par exemple une somme déposée dans une banque sera traitée avec un signe négatif si vous êtes le déposant ou par un signe positif si vous représentez la banque. 6
Nombre de périodes fonction du moment du versement des intérêts Veillez à utiliser la même unité pour les arguments taux et. Si vous effectuez des remboursements mensuels pour un emprunt conclu pour une durée de quatre ans à un taux d'intérêt annuel de 12 %, utilisez 12 %/12 (taux proportionnel) pour taux et 4*12 pour. Si, pour le même emprunt, vos remboursements sont annuels, utilisez 12 % pour taux et 4 pour. Taux Proportionnel Exemple : taux mensuel t proportionnel à un taux annuel de 12% Le taux mensuel que les établissements financiers doivent appliquer est le taux proportionnel (décret du 4 septembre 1985). Taux équivalent : t = i n taux donnant ne somme équivalente m ( 1+t ) = n ( 1+i) ( 1+ t) = ( 1+ t) = Exemple : taux t mensuel équivalent à un taux i annuel de 12% m ( 1+i) ( 1+i) n m n 7
Capitalisation Actualisation Valeur acquise Vn par un capital Vo placé pendant n périodes à un taux i Valeur acquise par un capital de 10.000 F placé pendant 5 ans au taux annuel de 7 % : Valeur actuelle Vo (actualisation) d une valeur future Vn actualisée sur n périodes à un taux i n x = 1 n x n x = 1 n x Combien faudrait-il placer aujourd hui, sur un livret de Caisse d Epargne à 4% par an, pour disposer de 100.000 F dans 8 ans? 8
annuités, mensualités remboursements constants VPM pendant une période ininterrompue t=0 t=npm VA VPM1 VPM2 VPM3 VPM4 VC 1 Nouvelle variable montant des versements constants et périodiques (éléments de la suite) : fonction VPM (valeur des paiements) remboursements constants VPM pendant une période ininterrompue : Suite géométrique 9
annuités, mensualités somme d une suite de remboursements constants " vpm* (1+taux) 1% $ '=-vc # taux & ajout du type du VPM (début ou fin de période) " vpm*(1+taux*type)* (1+taux) 1% $ '=-vc # taux & - type de versements: TYPE - fin de période (à terme échu, 0, par défaut, comme souvent les emprunts ) - ou début de période (à terme à échoir, 1, comme souvent les 10 locations simples ou avec options d'achat)
annuités, mensualités VA d une série de versements VPM : exemple d un emprunt " va *(1+ taux) (1 + taux) 1% = vpm * $ ' # taux & va = vpm * va = vpm * -va = vpm * "(1 + taux) 1% $ '*(1+ taux) # taux & "(1 + taux) - 1*(1+ taux) $ # taux " 1-(1+taux) - % $ ' # taux & ajout du type " % -va = vpm * (1+taux*type) * $ 1-(1+taux)- ' # taux & % ' & 11
Synthèse des éléments d'un calcul actuariel équations d'équivalence sous Excel : exemple 1 de la VC d un versement initial VA et d une série de versements VPM exemple 2 de la VA d une série de versements VPM et d un éventuel versement VC à la fin à t=npm va *(1+ taux) "(1+ taux) + vpm *(1+ taux * type) * $ # $ taux 1 % ' = -vc &' "(1+ taux) vpm *(1+ taux * type) * $ # $ taux -va = (1+ taux) " 1-(1+ taux) -va = vpm *(1+ taux * type) * $ # $ taux 1% ' &' - vc + (1+ taux) % vc ' + &' (1+ taux) 12
Calcul de la valeur capitalisée (future)à t= va *(1+ taux) "(1+ taux) + vpm *(1+ taux * type) * $ # $ taux VC (taux; ; vpm; va; type) 1 % ' = -vc &' les versements sont indiqués par des montants négatifs car il s'agit pour vous de décaissements. La valeur future est positive car il s'agit d'un encaissement (ce que la banque vous verse) On peut se placer du point de vue du banquier en inversant les signes; il faut surtout respecter la cohérence, versements et valeur actuelle de même signe et valeur future de signe opposé. 13
1) Vous souhaitez économiser de l'argent pour financer un projet spécifique dans un an. Vous déposez 1000 sur un compte d'épargne qui vous rapporte 6% d'intérêts par an, capitalisés par mois. Vous envisagez de déposer 100 au début de chaque mois et ce pendant les 12 mois à venir. Quel sera le montant déposé sur votre compte au bout des 12 mois? VC(0,5%; 12; -100; -1000; 1) = 2 301,40 Vous pouvez entrer 6%/12 ou 0,06/12 au lieu de 0,5%. Utilisation d adresses de cellules à la place des nombres : mode dynamique plutôt que mode passif 14
Calcul de la valeur actuelle à t=0 "(1+ taux) vpm *(1+ taux * type) * $ # $ taux -va = (1+ taux) " 1-(1+ taux) -va = vpm *(1+ taux * type) * $ # $ taux 1% ' &' - VA (taux; ; vpm; vc; type) vc + (1+ taux) % vc ' + &' (1+ taux) 15
Calcul de la durée DUREE.XLS Quelle est la durée ou combien de versements pour obtenir une certaine somme? NPM (taux; vpm; va; vc; type) Calcul du montant des versements VPM.XLS Quel est le montant des versements périodiques pour obtenir une certaine somme? VPM (taux; ; va; vc; type) Calcul du taux TAUX.XLS Quel est le taux souhaité pour obtenir une certaine somme? TAUX (; vpm; va; vc; type; estimation) -paramètre estimation est la valeur de départ du taux. Excel procède par itérations pour estimer ce taux (résolution numérique et non résolution algébrique impossible dès que le polynome réduit est de degré supérieur à 2, c'est à dire que la durée dépasse 2 périodes). 16
Utilisation des fonctions Excel VA = Valeur Actuelle VC = Valeur Future TAUX = Taux d intérêt par période NPM = Nombre total de remboursements durant l opération VPM = Montant du remboursement pour chaque période (identique pour chaque période) VAN = Valeur Actuelle Nette (remboursements différents à chaque période) TYPE = Paiement en début de période = 1 ; paiement en fin de période = 0 (par défaut) Valeur actuelle (VA) : VA (taux ; ; vpm ; vc ; type) Valeur acquise (VC) : VC (taux ; ; vpm ; va ; type) Taux : TAUX ( ; vpm ; va ; vc ; type) Durée : NPM (taux ; vpm ; va ; vc ; type) Paiements : VPM (taux ; ; va ; vc ; type) VAN : VAN (taux ; valeur 1 ; Valeur 2 ; ) 17
TAUX.EFFECTIF et TAUX.NOMINAL Cette fonction renvoie le taux d'intérêt annuel effectif, calculé à partir du taux d'intérêt annuel nominal et du nombre de périodes par an que vous indiquez pour le calcul des intérêts composés. Si cette fonction n'est pas disponible, exécutez le programme d'installation pour installer la macro complémentaire Utilitaire d'analyse, puis activez cette dernière à l'aide de la commande Macros complémentaires du menu Outils. TAUX.EFFECTIF(taux_nominal; nb_périodes) taux_nominal représente le taux d'intérêt nominal. nb_périodes représente le nombre de périodes par an pour le calcul des intérêts composés. TAUX.NOMINAL(taux_effectif; nb_périodes) Cette fonction renvoie le taux d'intérêt nominal annuel calculé à partir du taux effectif et du nombre de périodes par an pour le calcul des intérêts composés. 18
Notes L'argument nb_périodes est tronqué de façon à être converti en nombre entier. Si l'un des arguments n'est pas numérique, la fonction TAUX.NOMINAL renvoie la valeur d'erreur #VALEUR! Si l'argument taux_effectif 0 ou si nb_périodes < 1, la fonction TAUX.NOMINAL renvoie la valeur d'erreur #NOMBRE! La relation entre les fonctions TAUX.NOMINAL et TAUX.EFFECTIF est montrée dans l'équation suivante : TAUX.EFFECTIF= (1 + (TAUX.NOMINAL/NPEM))^NPEM -1 Exemple TAUX.NOMINAL(5,3543%;4) égale 0,0525 ou 5,25 % 19