2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 13 Chap. 2 : Energie potentielle électrique. Potentiel électrique 1. Travail de la force électrique a) Expression mathématique dans le cas du déplacement d'une charge positive Une charge q > 0 est transportée de A vers B dans le champ uniforme d'un condensateur plan. (Pour que ce déplacement se fasse il faut bien sûr qu'il y ait des forces extérieures appropriées qui agissent sur q!). Considérons le repère d axe Ox (parallèle au champ électrique E et orienté dans le sens opposé à E ). A = point initial = point de départ ; B = point final = point d arrivée. Le champ E est constant. La force électrique F qe est donc constante au cours du déplacement, donc son travail W(F) est indépendant du chemin suivi. W(F) FAB FAB cos qe ABcos qe AC qe x x A qe x x qe x i f C b) Expression mathématique dans le cas du déplacement d'une charge négative W(F) F AB F AB cos q E AB cos q E AB cos A i f C qe AB cos car q q 0 qe AC qe x x qe x x qe x
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 14 c) Conclusion L'expression mathématique du travail de la force électrique F s exerçant sur une charge q quelconque dans un champ électrique uniforme E s écrit : W(F) qe x où l axe Ox est parallèle au champ électrique et dirigé dans le sens opposé au vecteur E. d) Analogie avec le travail du poids W(P) mg z et W(F) qe x g est l'intensité du champ de pesanteur ; E est l'intensité du champ électrique. Oz est parallèle à g, et de sens contraire; Ox est parallèle à E, et de sens contraire. Le poids P s'exerce sur la masse m ; la force électrique F s'exerce sur la charge q. Attention : m est toujours > 0, mais q peut être > 0 ou < 0! 2. Energie potentielle d'une charge q placée dans un champ électrique uniforme a) Variation de l'énergie mécanique d'une charge déplacée dans un champ électrique uniforme Considérons une charge q > 0 déplacée (à vitesse constante) par une force d'un opérateur de la plaque négative d'un condensateur chargé vers la plaque positive. * Système : charge q dans le champ électrique E (ce qui revient à englober le condensateur dans le système : la force électrique est donc une force intérieure au système) * Forces extérieures : Force de l'opérateur F op opposée à la force électrique F : Fop F Le poids de la charge est négligé. On suppose que l'espace entre les plaques est vide d'air de sorte qu'il n'y a pas de force de frottement.
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 15 * Variation de l'énergie mécanique du système : E W Forces extérieures E W(F op) W(F) qe x qex B 0 L'énergie acquise s'appelle énergie potentielle électrique. (q > 0) b) Conclusions : Energie potentielle électrique d une charge 1. L'énergie potentielle électrique d une charge q quelconque située en un point d abscisse x dans un champ électrique uniforme E, vaut : Ep élect Elle dépend du niveau de référence choisi! qex 2. La variation de l énergie potentielle électrique d une charge q quelconque dans un champ électrique uniforme E vaut : E qe x W(F) p élect Elle est indépendante du niveau de référence choisi. c) Remarques 1. En A: x = 0 E p élect = qex A = 0 (minimum) Le niveau de référence pour l'énergie potentielle électrique est sur la plaque négative. 2. En C: x = x C (maximum) E p élect = qex C (maximum) 3: L'axe Ox est toujours parallèle à E et orienté dans le sens opposé à E. L'origine O détermine le niveau de référence. 4: Pour q < 0, la formule est la même: En A E p élect = 0 (maximum); en B E p élect = qex B < 0; en C E p élect = qex C < 0 (minimum)
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 16 3. Potentiel électrique a) Définition Le potentiel V d'un point d'un point du champ est égal à l'énergie potentielle E p élect que posséderait une charge témoin de +1 C placée en ce point. V E p élect Cette définition est valable pour un champ électrique quelconque. q b) Unité S.I. pour le potentiel électrique : le volt (V) Si E p élect = 1 J et si q = 1 C, alors V = 1 J/C = 1 volt = 1 V c) Potentiel d'un point d'un champ uniforme Comme Ep élect qex, le potentiel d'un point d'abscisse x s'écrit: V Ex V ne dépend que de la position du point et du champ électrique. d) Nouvelle unité pour l'intensité du champ électrique E : le volt/mètre V Dans un champ uniforme E : si V = 1 V, et si x = 1 m, alors E = 1 V/m x Montrer que 1 V/m = 1 N/C e) Nouvelle expression pour l'énergie potentielle électrique Ep élect qv f) Nouvelle unité pour l énergie : l'électron-volt Si q = e = 1,610-19 C, et si V = 1 V, alors E p élect = 1 ev = 1 électron-volt 1 ev = 1 e1 V = 1,610-19 C1 V = 1,610-19 J g) Remarque Dans un champ uniforme, l'axe Ox est dirigé toujours dans le sens des potentiels croissants.
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 17 4. Différence de potentiel électrique = tension électrique a) Définitions Lorsqu'une charge se déplace d'un point initial A de potentiel V i = V A vers un point final B de potentiel V f = V B, alors la différence de potentiel entre le point final et le point initial est : V V V Une différence de potentiel est encore appelée tension électrique. La tension entre A et B est notée : UAB VA VB On a évidemment : UBA VB VA UAB Souvent une parle de la tension électrique aux bornes d'un appareil électrique : il s'agit alors de la différence de potentiel prise positivement : U V 0. Sur les schémas, les tensions sont représentées par des flèches allant du potentiel moins élevé vers le potentiel plus élevé. f i b) Nouvelle expression pour le travail de la force électrique Dans un champ uniforme : W(F) qe x qe(x x ) q(exf Ex i) W(F) q V (Formule importante à retenir!) f i Nous admettons que cette expression est valable également dans des champs non uniformes. c) Relation entre tension aux bornes d'un condensateur et distance entre les plaques Appliquons la relation V=Ex aux points A et B : V A = 0 et V B = Ed Finalement : U = Ed (Formule importante à retenir!)
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 18 5. Application du théorème de l énergie mécanique et du théorème de l énergie cinétique * L énergie mécanique totale d une charge q placée dans un champ électrique est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle électrique : E = E c + E p élect 1 2 2 E mv qv * Si une charge évolue spontanément dans un champ électrique (sans autre force que celle du champ électrique), on peut déterminer sa vitesse acquise au bout d un certain déplacement soit à l aide du théorème de l énergie mécanique : E = 0 (Système = charge dans le champ électrique ; pas de force extérieure au système) ; soit à l aide du théorème de l énergie cinétique : Ec q V (Système = charge seule ; force électrique = force extérieure). Voir exercices!
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 19 Exercices 1 Champ et forces électriques Un proton se déplace en ligne droite, dans le vide, de A vers B. a) Il passe en A à la vitesse v A = 2000 km/s. Quelle est son énergie cinétique E C (A), en joules, puis en électrons-volts? b) Quelle tension positive U faut-il appliquer entre les points A et B, et dans quel sens, pour que le proton passe au point B à la vitesse v B = 10000 km/s? 2 Pendule électrique Un pendule électrique, constitué d un fil de masse négligeable et d une petite sphère isolante S de masse m 0 2 g, portant la charge q métalliques verticales P 1 et P 2 distantes de d 20 cm. 8 2 10 C, est suspendu entre deux plaques a) On établit la tension U = 4000 V entre ces plaques de manière à créer entre celles-ci un champ électrique uniforme E. Quels sont la direction, le sens et l intensité du champ E? (On admet que ce dernier n est pas perturbé par la présence de la charge q.) b) Faire un schéma montrant l inclinaison subie par le pendule et calculer l angle entre le fil et la verticale lorsque l équilibre est atteint. Cet angle dépend-il de la position initiale du pendule? (On admet que la sphère S ne touche jamais l une ou l autre des plaques.) c) Le pendule est déplacé horizontalement, vers la droite, sur une distance d = 2 cm à partir de la position d équilibre précédente. Calculer le travail W(f e ) de la force électrique f e qui s exerce sur la boule pendant ce déplacement. 3 Tensions électriques Trois points A, B et C situés dans cet ordre sur une droite D sont placés dans un champ électrique uniforme E, parallèle à la droite D et orienté vers la droite. E D A B C On donne : AB = 30 cm, BC = 10 cm ; E = 1500 V/m. Calculez les tensions U AB, U BC et U CA.
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 20 4 Travail de la force électrique Une charge q = 10-7 C se déplace en ligne droite, de A vers B, dans un champ électrique uniforme E d intensité E = 600 V/m et faisant un angle α = 30 avec la direction de AB. a) Etablir, en fonction de q, E, AB et α, l expression mathématique du travail de la force électrique s exerçant sur q, au cours du déplacement entre A et B. b) Calculer la valeur de la tension U AB, sachant que AB = 15 cm. 5 Potentiels et travail de la force électrique On se déplace, dans un champ électrique uniforme E, le long d une ligne de champ graduée en cm. L axe Ox est orienté dans le sens opposé au vecteur champ. Soient A (x A = -2 cm) et B (x B = 8 cm) deux points de la ligne de champ tels que la tension entre ces points vaut 800 V. Calculez : a) l intensité du champ électrique E ; b) la valeur du potentiel à l origine O de l axe Ox ; c) le travail de la force électrique que subirait une charge q = 10-8 C se déplaçant de A vers M tel que x M = 5 cm. 6 Différence de potentiel Une particule de charge q = 10-12 C est accélérée dans un champ électrique uniforme. Initialement au repos au point A, elle acquiert une énergie cinétique de 10 GeV au point B, après avoir parcouru une distance de 5 cm. Déduisez-en : a) la valeur de la différence de potentiel entre A et B, b) l intensité E du champ électrostatique.
2 e BC 2 Potentiel électrique. Energie potentielle électrique 21 Exercice supplémentaire A. Une particule (noyau d hélium), produite par une source radioactive, est émise au voisinage du point A avec une vitesse initiale négligeable. a) Quelle tension U AB = U faut-il appliquer entre les plaques distantes de D = 20 cm, pour que la vitesse des particules en B soit v = 10 3 km/s? (1,0310 4 V) b) Calculer la vitesse des particules à mi-chemin entre A et B. (7,0710 5 m/s) c) Donner les caractéristiques du champ électrique E entre les plaques. (5,1610 4 V/m) d) Quelle est en J, puis en ev, l énergie cinétique d une particule en B? (3,3010-15 J ; 2,0610 4 ev) e) Calculer le potentiel d un point situé à 5 cm, à 12 cm, à 18 cm de la plaque A. Calculer l énergie potentielle d une particule en ces points. (5 cm: 7,7410 3 V ; 1,5510 4 ev) On donne : q = 2e = 3,210-19 C m = 6,610-27 kg B. Même exercice avec des électrons ayant en A une vitesse initiale de 6,610 7 m/s dirigée vers la plaque B. On donne : q électron = e = 1,610-19 C m électron = 9,110-31 kg Réponses : a) 1,2410 4 V ; b) 4,6710 7 m/s ; c) 6,1910 4 V/m ; d) 4,5510-19 J ; 2,84 ev ; e) 5 cm: 9,2910 3 V ; 9,2910 3 ev