EXAMEN PROFESSIONNEL Adjoint technique territorial de ère classe MATHEMATIQUES TRAVAUX NUMÉRIQUES ère partie Nombres entiers Nombres décimaux Fractions Opérations de Base TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page /
Nombres entiers,, 2, 3,, 5, 6, 7, 8 et 9 sont les dix chiffres qui permettent d écrire tous les nombres entiers, de même que les lettres de A à Z permettent d écrire tous les mots. 5 est un nombre de quatre chiffres ; 7 est un nombre d un seul chiffre. 9658723 s écrit 9 658 723. On peut également utiliser un tableau. Tranche des milliards Tranche des millions Tranche des milliers Tranche des unités C D U C D U C D U 9 6 5 8 7 2 3 Ce nombre se lit donc : un milliard quarante neuf millions six cent cinquante-huit mille sept cent vingt-trois. Centaines Dizaines Unités 3 est le chiffre des unités 2 est le chiffre des dizaines 7 est le chiffre des centaines 8 est le chiffre des unités de mille 5 est le chiffre des dizaines de mille 6 est le chiffre des centaines de mille 9 est le chiffre des unités de millions est le chiffre des dizaines de millions est le chiffre des centaines de millions est le chiffre des unités de milliards Nombres décimaux Les dixièmes Quand on coupe une unité en parties égales, on obtient des dixièmes. Un dixième se note :. Dans l unité, il y a dixièmes donc : =. représente 3. représente 2 8 = 28 = 2,8. TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page 2/
Les centièmes Quand on coupe une unité en parties égales, on obtient des centièmes. Un centième se note :. Dans l unité, il y a centièmes donc : =. représente 2. 32 = 3 représente 275 = 2 75 = 2 7 5 = 2,75. Les millièmes Quand on coupe une unité en parties égales, on obtient des millièmes. Un millième se note :. Dans l unité, il y a millièmes donc : =. Un nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction décimale (dont le numérateur est un nombre entier et le dénominateur est,,,...) est un nombre décimal. Il peut aussi se noter en utilisant une virgule, c'est son écriture décimale qui est composée d'une partie entière et d'une partie décimale. On considère le nombre décimal 35,82. 3 5, 8 2 partie entière partie décimale On peut également utiliser un tableau. Partie décimale Partie entière Dixièmes Centièmes Millièmes Dix-milièmes Centmillièmes Millionièmes 3 5, 8 2 3 est le chiffre des centaines est le chiffre des dizaines TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page 3/
5 est le chiffre des unités 8 est le chiffre des dixièmes Remarque : 2 est le chiffre des centièmes est le chiffre des millièmes Un nombre entier est un nombre décimal particulier. En effet, 25 peut s'écrire avec une virgule (25,) ou sous la forme d'une fraction décimale 25. Repérage sur une règle graduée Sur une règle graduée, un point est repéré par un nombre appelé son abscisse. B A 2 3 5 6 B =,3 A = 3,2 Comparaison de deux nombres décimaux Comparer deux nombres, c'est trouver lequel est le plus grand (ou le plus petit) ou dire s'ils sont égaux. Pour comparer deux nombres décimaux écrits sous forme décimale : on compare les parties entières ; si les parties entières sont égales alors on compare les chiffres des dixièmes ; si les chiffres des dixièmes sont égaux alors on compare les chiffres des centièmes ; et ainsi de suite jusqu à ce que les deux nombres aient des chiffres différents. Pour comparer 8,357 et 8,36 : on compare d'abord les parties entières des deux nombres ; elles sont égales donc on compare les chiffres des dixièmes ; ils sont égaux donc on compare les chiffres des centièmes ; 5 6 donc 8,357 8,36. Rangement de nombres décimaux Ranger des nombres dans l ordre croissant signifie les ranger du plus petit au plus grand. Ranger des nombres dans l ordre décroissant signifie les ranger du plus grand au plus petit. Pour ranger les nombres 25,32 ; 253,2 ; 25,23 ; 235,2 ; 25,32 par ordre croissant, on repère le plus petit puis le plus petit des nombres qui restent et ainsi de suite jusqu'au dernier. On obtient donc : 25,23 25,32 25,32 235,2 253,2. TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page /
Fractions La fraction a est le quotient de a par b. b a est le numérateur de la fraction et b est le dénominateur. Soit a b = a b. 8 5 = 8 5 =,6 Un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme fractionnaire. 5,2 = 52. Valeurs approchées d'une fraction Un nombre en écriture fractionnaire n'a pas toujours une écriture décimale exacte. 3 n'a pas d'écriture décimale exacte car la division de 3 par 7 ne s'arrête jamais. 7 3 7 = 3 7 =,2857... On ne peut en donner que des valeurs décimales approchées.,2 est une valeur approchée par défaut au centième de 3 7. On écrit 3 7,2.,29 est une valeur approchée par excès au millième de 3 7. On écrit 3 7,29. TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page 5/
Opérations de base Opérations entre des nombres entiers Addition Les nombres que l'on additionne s'appellent les termes. Le résultat d'une addition s'appelle la somme. Pour calculer 856 32 525, on place les chiffres les uns sous les autres en commençant par le chiffre des unités. 2 8 5 6 3 2 5 2 5 3 Les nombres 856, 32 et 525 sont les termes de l'addition. Le résultat 2 3 est la somme. Dans une addition, on a le droit de : regrouper les termes ; changer des termes de place. 6 37 5 63 (6 5) (37 63) 2 Soustraction Les nombres que l'on soustrait s'appellent les termes. Le résultat d'une soustraction s'appelle la différence. 2 3 3 6 7 6 6 Les nombres 233 et 67 sont les termes de la soustraction. Le résultat 66 est la différence. Remarque : On ne peut pas changer les termes de place dans une soustraction. TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page 6/
Multiplication Les nombres que l'on multiplie s'appellent les facteurs. Le résultat d'une multiplication s'appelle le produit. 8 9 8 3 7 5 8 8 3 3 7 Les nombres 83 et 7 sont les facteurs de la multiplication. Le résultat 9 7 est le produit. Dans une multiplication, on a le droit de : regrouper les facteurs ; changer des facteurs de place. 56 25 = ( 25) 56 = 56 = 5 6 Division dividende 8 9 3 3 diviseur 7 8 6 8 3 quotient 9 reste 893 = (3 68) 9 avec 9 3 Dans une division euclidienne, on a toujours : dividende = (diviseur quotient) reste avec reste diviseur. Un fleuriste a reçu 26 roses. Il prépare des corbeilles de 2 roses chacune. Combien de corbeilles peut-il préparer? On cherche combien de fois il y a 2 dans 26 : 26 = (2 2) 8 avec 8 2. Il pourra donc préparer 2 corbeilles de 2 roses mais il lui restera 8 roses. TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page 7/
Multiples et diviseur d un nombre entier Après avoir effectué la division euclidienne de 3 577 par 9, on obtient : 3 577 = 9 73. Le reste étant nul, 3 577 est un multiple de 9 (et de 73 aussi!). On dit également que 3 577 est divisible par 9 ou que 9 est un diviseur de 3 577 ou que 9 divise 3 577. Critères de divisibilité Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est, 2,, 6 ou 8. Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est ou 5. Un nombre entier est divisible par si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est un multiple de. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. On considère le nombre 23 928. Son chiffre des unités est 8 donc 23 928 est divisible par 2. Son chiffre des unités n'est ni ni 5 donc 23 928 n'est pas divisible par 5. Le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est 28 qui est divisible par donc 23 928 est divisible par. La somme de ses chiffres est 2 3 9 2 8 soit 2 qui est divisible par 3 donc 23 928 est divisible par 3. La somme de ses chiffres est 2 3 9 2 8 soit 2 qui n'est pas divisible par 9 donc 23 928 n'est pas divisible par 9. TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page 8/
Opérations entre des nombres décimaux Addition et soustraction de nombres décimaux Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, on place les nombres de sorte que les virgules soient alignées verticalement. 5, 2, 3, 5 7 2 8 2 8 7 7 5, 2, 5 7 Pour poser l'opération 2 6,7, on place les nombres correctement et on ajoute un zéro pour que les deux nombres aient le même nombre de chiffres dans leurs parties décimales (en effet, 2 = 2,). 2, 6, 7 5, 3 Addition bien posée Addition mal posée Multiplication et division d'un nombre décimal par ; ;... Pour multiplier par : on décale la virgule de : rang vers la droite. 2 rangs vers la droite. 3 rangs vers la droite.,7 =,7 35 = 35, = 3 5 9,82 = 9,82 = 9 82 Pour diviser par : on décale la virgule de : rang vers la gauche. 27 = 27, = 2,7 2 rangs vers la gauche. 56,5 =,565 3 rangs vers la gauche.,3 =,3 =,3 Multiplication par, ;, ;, Multiplier par : c'est diviser par :, car, =. 78, = 7,8, car, =. 3,5, = 3,5, =,35, car, =. 56,2, = 56,2, =,562 TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page 9/
Multiplication de deux nombres décimaux Pour effectuer la multiplication de deux nombres décimaux, on effectue d'abord la multiplication sans tenir compte des virgules ; puis on place la virgule au produit. 2 2, 2, 3, 2 6 8 3 8 8 2 2 2 3 2 6 8 3 8 8 On effectue la multiplication de 23 par 2 sans tenir compte des virgules. 23 est fois plus grand que 2,3 et 2 est fois plus grand que,2. Le produit 2,3,2 est donc fois plus petit que 2 88. Pour obtenir le résultat, on effectue donc 2 88. Finalement 2,3,2 = 2,88. 2, 3, 2 6 8 2 décimales décimale Le facteur 2,3 a deux chiffres après la virgule. Le facteur,2 a un chiffre après la virgule. 2 2, 3 8 8 3 décimales au produit On doit donc placer la virgule au produit de telle sorte qu'il y ait 2 3 chiffres après la virgule. Division d'un nombre décimal par un nombre entier Effectuer une division décimale de deux nombres, c'est trouver la valeur exacte ou une valeur approchée du quotient de ces deux nombres. D U 7 5, 8 D U Dès que l'on abaisse, 9 U le chiffre des dixièmes du dividende, 3 5 8, 9 5 on place la virgule au quotient. 9, 5 3 8 2 U 9 Le reste de cette division décimale est nul. On a donc l'égalité : 75,8 = 8,95 et 75,8 8,95. Le nombre 8,95 est la valeur exacte du quotient de 75,8 par. Le reste de cette division décimale est millièmes. On a donc l'égalité :,9 = (9,5) et,9 9,5. Le nombre,5 n'est qu'une valeur approchée au millième du quotient de,9 par 9. Ordre de grandeur Un ordre de grandeur d'un nombre est une valeur approchée simple de ce nombre. Remarque : Calculer un ordre de grandeur permet de vérifier mentalement la cohérence d'un résultat. déterminer un ordre de grandeur de 56,3 52. TRAVAUX NUMERIQUES - Nombres Entiers / Nombres Décimaux / Fractions / Opérations de base page /