TRAAM 2011/2012 «Formation au calcul et résolution de problèmes» Des tables de multiplication aux expressions littérales Introduction Le constat Le constat est unanime : «Les élèves ne connaissent plus leurs tables de multiplication, enfin, moins qu avant». Laurent Lafforgue (Médaille Fields de Mathématiques, 2002) lui-même en fait le constat : «Un professeur me dit : «Dans mon collège, 80 % des élèves ne connaissent pas leur table de multiplication, et au lycée, en 1ère S, la moitié des élèves ne savent pas que 7 x 8 = 56.» Source : http://www.ihes.fr/~lafforgue/textes/informationsouvrieres.pdf Et pourtant Les programmes de 2008 (école primaire et collège) mettent bien l accent sur le calcul mental, posé ou instrumenté A l école primaire hors-série n 3 du 19 juin 2008 CYCLE DES APPROFONDISSEMENTS - PROGRAMME DU CE2, DU CM1 ET DU CM2 La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision. Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d apprendre à résoudre des problèmes. Il renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d études au collège. Le calcul : - mental : tables d addition et de multiplication. L entraînement quotidien au calcul mental portant sur les quatre opérations favorise une appropriation des nombres et de leurs propriétés. - posé : la maîtrise d une technique opératoire pour chacune des quatre opérations est indispensable. - à la calculatrice : la calculatrice fait l objet d une utilisation raisonnée en fonction de la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves. La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement. Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 1
Au collège Bulletin officiel spécial n 6 du 28 août 2008 Introduction L apprentissage des techniques opératoires est évidemment indissociable de l étude des nombres. Il s appuie sur la mémorisation des tables, indispensable tant au calcul mental qu au calcul posé par écrit. Extrait du programme de la classe de sixième Nombres et Calculs En continuité avec l'école élémentaire les problèmes doivent permettre aux élèves d'associer à une situation concrète un travail numérique, de mieux saisir le sens des opérations figurant au programme. Les problèmes proposés sont issus de la vie courante, des autres disciplines ou des mathématiques. Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approché sous ses différentes formes, souvent utilisées en interaction : calcul mental, calcul à la main ou instrumenté. À la suite de l école primaire, le collège doit, en particulier, permettre aux élèves d'entretenir et de développer leurs compétences en calcul mental notamment pour la perception des ordres de grandeur. La place du calcul instrumenté (calculatrice, ordinateur) Faut-il avoir peur des nouvelles technologies?... «Lorsque le stylo à bille est apparu dans les écoles, cela déclencha aussi des tollés, des polémiques sans fin entre les partisans du Bic et ceux de la plume Sergent Major» «Ce sont les méthodes d enseignement qui ont le plus d effets sur les élèves, devant les curriculum et les moyens technologiques. Par ailleurs, n oublions pas que les TICE font désormais partie de nos vies et que les élèves d aujourd hui sont nés dans l ère numérique. Cela fait aussi partie du rôle de l école que de les initier à ces pratiques afin qu ils en aient une connaissance éclairée» Source : http://veille-education.org/2010/03/05/faut-il-avoir-peur-des-nouvelles-technologies-a-l-ecole/ La tâche finale Elle consiste en la réalisation d une tâche complexe extrait de la banque d exercices proposés lors des tests PISA en 2003 : «La meilleure voiture». Voir Annexe 1. Partie 1 Dans cette première partie, on amènera l élève à mobiliser les tables de multiplication travaillées jusqu alors. On privilégiera ici le calcul mental : table de 5, table de 4 (le double du double) et table de 2 (le double). L occasion aussi de réinvestir ce qui aura été fait sur les enchaînements d opérations. On pourra lancer l activité par un débat au sein de la classe et aboutir à la note totale de la voiture Ca ou faire travailler les élèves par groupes. Partie 2 Cette partie sera moins guidée. Elle doit amener l élève à décider de la pertinence du passage au calcul instrumenté (calculatrice ou tableur) afin de modifier facilement les coefficients. Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 2
Avec le tableur Avec la casio fx-92 Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 3
Programme et Socle Commun Points du programme de cinquième abordés 1. Organisation et gestion de données, fonctions 1.2. Expressions littérales Utiliser une expression littérale. 2. Nombres et Calculs La résolution de problèmes a pour objectifs : d entretenir et développer la pratique du calcul mental, du calcul à la main et l utilisation raisonnée des calculatrices d assurer la maîtrise des calculs d expressions numériques sur les nombres décimaux positifs 2.1. Nombres entiers et décimaux positifs : *Enchaînement d opérations. - Effectuer une succession d opérations donnée sous diverses formes (par calcul mental, à la main ou instrumenté), uniquement sur des exemples numériques. - Écrire une expression correspondant à une succession donnée d opérations. Compétences du socle travaillées Rechercher, extraire et organiser l information utile Observer, recenser des informations : extraire d un document, d un fait observé, les informations utiles. Organiser les informations pour les utiliser : Suivre un protocole, un programme (de construction ou de calcul). Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes Calculer, utiliser une formule. Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer Proposer une démarche de résolution : proposer une méthode, un calcul, un algorithme, une procédure, une expérience (protocole), un outil adapté ;faire des essais ; choisir, adapter une méthode, un protocole. Nombres et calculs maîtriser de manière automatisée les tables de multiplication «dans un sens ou dans l autre» pour effectuer un calcul mental simple, un calcul réfléchi, un calcul posé portant sur des nombres de taille raisonnable. mener à bien un calcul instrumenté (calculatrice, tableur). conduire un calcul littéral simple. Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 4
Progression Etapes Objectifs Etape 0 Toute première heure de cours Là où il reste quinze minutes une fois toutes les formalités de rentrée effectuées Un lanceur : un message codé Annexe 2 Travail sans outil. Réaffirmer sans le dire l importance des tables. Aborder cette notion par le jeu. Etape 1 Dans les deux premiers Devoirs Maison (Septembre) «Poser des multiplications autrement» et «Les tables et message codés» Annexe 3 Travail a priori sans outil. On peut imaginer utilisation du tableur pour créer soit même une table de Pythagore avec d autres caractères spéciaux pour la tâche complexe. Prolongement : «Créer un message codé en anglais pour le professeur d Anglais» en cas de besoin d autres lettres : la table de 10 Etape 3 Chapitre : Enchaînements d opérations (Septembre) «Les programmes de calcul» Annexe 4 Pour introduire les priorités opératoires. Sans outil : réinvestissement des tables de multiplication. Avec outil : programmation de la calculatrice, ou le tableur. Etape 4 Chapitre : Introduction au calcul littéral (Décembre) Activité d introduction : «La meilleure voiture» Annexe 1 Extrait de Pisa 2003 Partie 1 : calcul mental Partie 2 : utilisation tableur ou calculatrice Et tout au long de l année Dès que cela est possible : remobiliser les tables de multiplication. Exemples sans outil : - Calculs d aires de figure - Calculs de volume (prisme droit et cylindre de révolution) - Exemples avec outil : - Tester une égalité - Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 5
Annexe 1 La meilleure voiture Une revue automobile utilise un système de notation pour évaluer les nouvelles voitures et décerner le label «Voiture de l année» à la voiture dont la note totale est la plus élevée. Cinq nouvelles voitures viennent d être évaluées, et les notes qu elles ont obtenues figurent dans le tableau ci-dessous. Partie 1 Pour calculer la note de chaque voiture, la revue automobile utilise le mode de calcul suivant qui est une somme pondérée des diverses notes obtenues : Note totale = 5 S + 4 C + 2 E + T Calculer la Note Totale obtenue par chaque voiture. Partie 2 Le constructeur de la voiture «Ca» estime que la règle utilisée pour calculer la Note Totale n est pas équitable. Proposer une règle de calcul de la Note Totale qui permettrait à la voiture «Ca» de gagner. La règle doit inclure chacune des quatre variables. Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 6
Extraits de travaux d élèves pour la Partie 1 Extrait 1 L élève a additionné les notes obtenues par chaque voiture sans tenir compte des coefficients. Extrait 2 L élève a fait la somme de toutes le notes des différents critères d appréciation des voitures (bas du tableau) puis a utilisé la formule avec les bons coefficients. Après discussion au sein de la classe, l élève a bien lu la consigne «Note Totale» mais semble n avoir pas pris en compte la fin de la consigne «par chaque voiture» Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 7
Extrait 3 L élève a utilisé correctement la formule mais n a pas respecté «les priorités opératoires». Pour Ca : 5 x 3 = 15 puis 15 + 4 = 19 puis 19 x 1 = 19 puis 19+ 2 = 21 puis 21 x 2 = 42 enfin 42 + 3 = 45. Extrait 4 L élève a mené à bien tous les calculs sans outil. Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 8
Annexe 2 Table à distribuer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 21 24 4 4 8 16 20 24 28 32 36 5 5 10 20 25 30 35 40 45 6 6 12 30 36 7 7 21 35 49 63 8 8 16 24 40 64 72 9 9 18 27 36 54 72 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 9
Message codé à distribuer X 2 3 4 5 6 7 8 9 2 F U D G R P I L 3 U P R B L O E L 4 D R I T E I A O 5 G B T S S R Q C 6 R L E S O M U E 7 P O I R M A N T 8 I E A Q U N N C 9 L L O C E T C M 32 14 9 12 24 64 8 35 54 18 54 30 20 49 15 27 24 25 8 24 81 6 27 20 28 9 18 16 45 32 63 16 21 56 24 64 20 12 32 28 56 54 81 24 64 63 12 24 10 6 18 16 24 12 Source : IREM Paris Nord Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 10
Annexe 3 Devoir Maison n 1 (extrait) pour le sujet complet : http://promath.webs.com/ Exercice 2 «La multiplication per gelosia» ( 4 points ) 1. Lire la fiche annexe. 2. A l aide de cette technique, effectuer les produits suivants : 17 x 34 et 69 x 48 Fiche annexe Cette merveilleuse technique nommée aussi italienne ou grecque qui nous vient d'orient est utilisée au XVème siècle par le mathématicien arabe Al-Kashi. Mais on la trouve beaucoup plus tôt chez les arabes aux alentours du XIII e siècle. Elle serait dans un ouvrage de Fibonacci de 1202... A la fin du Moyen-Age la technique fut surnommée "per gelosia" en allusion aux "fenêtres à jalousie" sur lesquelles le soleil marquait une ombre diagonale, et à travers lesquelles les femmes et surtout les maris jaloux pouvaient voir sans être vus. Cette technique a fini par donner notre algorithme de multiplication. 1. Dessinez tout d abord un carré, et placez les nombres à multiplier ainsi : 2. Tracez ensuite les diagonales des cases : 3. On remplit ensuite chaque case par le produit des nombres correspondants, ici 4 3 : 4. On remplit de même les autres cases : 5. On additionne maintenant les nombres à l intérieur de chaque diagonale (en commençant par la «diagonale des unités» : en bas) et on écrit les résultats en regard à l extérieur du tableau : Le résultat est donc : 24 x 35 = 840. Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 11
Devoir Maison n 2 (extrait) pour le sujet complet : http://promath.webs.com/ Exercice 1 «Message codé» ( 4 points ) Cet exercice est à faire sans calculatrice. 1. Lire attentivement les indications données ci-dessous pour décoder le message secret. x 3 5 6 2 8 9 7 4 1 4 codage des lettres 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 24 9 8 K Q X L N B I M. A E Y D C Z E S 6 5 25 27 28 30 32 35 36 40 42 45 48 49 54 56 63 64 72 81 T! O P ' : E R T G V J W, U H Z 1 + 3 7 2 Message à trouver + L 2. Créer un message secret pour le professeur. Exercice 4 ( 4 points ) Pour construire un escalier, on empile des cubes comme le dessin ci-contre le montre. Le nombre de cubes utilisés dépend du nombre de marches que l on veut obtenir. 1. Combien de cubes faut-il pour réaliser 5 marches? 2. Combien de cubes faut-il pour réaliser 10 marches? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 12
Annexe 4 Des programmes de calcul PROGRAMME 1 Choisir un nombre. Multiplier ce nombre par 5. Diviser le produit obtenu par 4. Donner le résultat. nombre de départ 6 résultat PROGRAMME 2 Choisir un nombre. Ajouter à ce nombre son triple. Donner le résultat. nombre de départ 10 résultat 1. En choisissant 6 comme nombre de départ, faire fonctionner le programme et écrire le résultat dans le tableau. 2. Faire fonctionner le programme avec deux autres nombres. 3. Ecrire les calculs effectués en ligne. PROGRAMME 3 Choisir un nombre. Ajouter 6 à ce nombre. Multiplier la somme obtenue par 3. Soustraire 2 à ce produit. Donner le résultat. nombre de départ résultat 1. En choisissant 10 comme nombre de départ, faire fonctionner le programme 2. Faire fonctionner le programme avec deux autres nombres. 3. Ecrire les calculs effectués en ligne. 4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir 56? PROGRAMME 4 Choisir un nombre.. nombre de départ résultat 1. Faire fonctionner le programme avec deux nombres. 2. Ecrire les calculs effectués en ligne. 3. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir 46? 1. Faire fonctionner le programme avec deux nombres. 2. Ecrire les calculs effectués en ligne. 3. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir? Franck Verdier, Académie de Lille TRAAM 2011/2012 Page 13