Les pourcentages Cette séance est dédiée à l étude des pourcentages. Bien comprendre cette séance s avère être un passage obligé si vous souhaitez aborder de manière sereine les séances concernant les statistiques et les probabilités. Bien que les notions étudiées soient différentes, les méthodes de raisonnement se ressemblent beaucoup. Cette séance se divise en trois temps : - Apprentissage du cours (40 minutes) - Exercices d application directe du cours (45 minutes) - Exercices «Pour aller plus loin» (25 minutes) 1) Le cours A) Tout d abord, quelques notions de base à maîtriser 1- Comment calculer le pourcentage d un nombre? x % d un nombre s obtient en multipliant ce nombre par x 100. Prenons un exemple : Votre professeur de mathématiques de 1 ère L vous annonce que 80% des élèves de votre classe ont obtenu plus de 15 au dernier devoir surveillé. Votre classe compte 35 élèves. Pour connaître le nombre d élèves de votre classe ayant eu plus de 15 au dernier devoir surveillé, il suffit de calculer : 80 35 = 28 100 28 élèves ont eu plus de 15 au dernier devoir surveillé. 1
2- Comment déterminer une proportion? Soit A un sous-ensemble (ou partie) de E. La proportion p de A dans E est : p = nombre d éléments de A nombre d éléments de E Remarque : p est un nombre réel compris entre 0 et 1. Reprenons notre exemple : Imaginons que A soit le sous-ensemble : «élèves ayant eu plus de 15 au dernier devoir surveillé» ; et E : «élèves de la classe». A l inverse de l exemple précédent, on connaît le nombre d élèves ayant eu plus de 15 (28 élèves) mais on ne sait pas quelle proportion de la classe cela représente. On a alors : p = 28 35 = 0,8 On peut donc affirmer que 80% des élèves ont eu plus de 15 au dernier devoir surveillé. 3- Comment déterminer le tout connaissant une partie? Pour déterminer le «tout» lorsque l on connaît une «partie», on peut penser à introduire comme inconnue l effectif du «tout». Reprenons l exemple précédent : On sait que 80% des élèves de votre classe ont eu plus de 15 au dernier devoir surveillé. On sait également que 28 élèves ont eu plus de 15. On cherche donc le nombre total d élèves de la classe. 0,8 = 28 x D après les règles de calculs que l on connaît, on peut écrire : La classe compte donc 35 élèves. x = 28 0,8 = 35 2
4- Comment calculer un taux de TVA? La TVA se calcule sur le prix hors taxe. Prenons un exemple pour bien comprendre la situation : Le radiateur de votre classe s est cassé. Le réparateur envoie sa facture à l établissement. Sur cette facture, on observe les deux lignes suivantes : Prix TTC des réparations..358,8 Dont TVA.58,8 Pour calculer le taux de TVA appliqué, il faut d abord calculer le prix Hors Taxes des réparations exprimé en euros. Celui est de : 358,8 58,8 = 300. Soit x % le taux de TVA appliqué. Le taux de TVA appliqué est donc de 19,6 %. x 300 = 58,8 100 x = 58,8 3 = 19,6 % B) Qui dit pourcentages dit évolutions 1- Comment exprimer une variation en pourcentages? Dans toute cette sous-partie, on considère une quantité passant de la valeur initiale V 1 à la valeur finale V 2. Quelques notions à connaître : - La variation absolue est la quantité V 2 V 1. - Le coefficient multiplicateur, noté CM, est le nombre par lequel il faut multiplier V 1 pour obtenir V 2. On a donc : V 2 = CM V 1 soit CM = V 2. V 1 - La variation relative est le quotient : V 2 V 1. V 1 - Le pourcentage d évolution, également appelé taux d évolution, est la variation relative exprimée en pourcentage. Ainsi, pour une évolution de t % (t > 0 s il s agit d une augmentation et t < 0 s il s agit d une diminution), on a : t 100 = V 2 V 1 V 1 3
Prenons un exemple : Vous venez d acheter un téléviseur UHD (Ultra Haute Définition). Son prix, au 1 er janvier 2014, était de 1790. Au 1 er janvier 2015, son prix était de 1290. - La variation absolue du prix du téléviseur est de : 1290 1790 = - 500 - Le coefficient multiplicateur est : CM = 1290 0,72 1790 - La variation relative est de : 1290 1790 = 500 0,28 1790 1790 - Le taux d évolution du prix du téléviseur est de : - 0,28 = 28, soit -28%. Le prix du téléviseur a donc baissé de 28% entre le 1 er janvier 2014 et le 1 er janvier 2015. 100 2- Existe-t-il un lien entre le pourcentage d évolution et le coefficient multiplicateur? Deux propriétés sont à connaître : - Augmenter une quantité de x % revient à la multiplier par CM = 1 + x - Diminuer une quantité de x % revient à la multiplier par CM = 1 100 x 100 Deux petits exemples afin de bien comprendre cette notion : - Vous êtes gérant(e) d un magasin de vêtements. Vous augmentez le prix d un pull, initialement à 40, de 10%. Le prix du pull est désormais de : 40 (1 + 10 100 ) = 44. - Pendant les soldes, vous avez repéré un pantalon. Le prix de celui-ci, initialement de 50, a baissé de 20%. Le prix du pantalon est désormais de : 50 (1 20 100 ) = 50 (1 0,2) = 50 0,8 = 40. Remarques importantes : - Lorsque l on diminue une quantité de x %, le pourcentage de variation de cette quantité est de x %. - On peut avoir des augmentations de plus de 100% mais pas de diminution de plus de 100%. 4
3- Qui dit évolutions dit indices On utilise souvent les indices pour prendre connaissance de l évolution d une valeur à partir d une date fixée. Indice année n = Valeur de l année n Valeur de l année de base 100 Remarque : L année de base est également appelée «année de référence». Cette année a pour indice 100. C) Certes mais quel type d évolution? 1- Evolutions successives Lors de deux évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient : CM 1 Si V 0 CM 2 V 1 V 2 Alors CM global = CM 1 CM 2 Prenons un exemple : Avant le début des soldes, vous aviez repéré un pantalon. Son prix était de 70. Lors de la 1 ère démarque, une remise de 20% fut exercée sur ce prix. Lors de la 2 ème démarque, une remise de 15% fut exercée sur le prix soldé. Beaucoup font l erreur de dire que le pantalon est «soldé» à 35%. Ce qui est faux. La remise est de : 0,8 0,85 = 0,68. La réduction est de 32% par rapport au prix initial. Et si l on réfléchit bien, cela nous paraît logique : la première démarque s effectue sur le prix initial, certes. Mais la deuxième démarque s effectue sur le prix trouvé après première démarque (soit un prix inférieur au prix initial). 5
2- Evolutions réciproques Le taux de pourcentage x % compensant une évolution (hausse ou baisse) de x % est appelé taux d évolution réciproque. Pour le déterminer, il suffit de trouver la valeur de x pour laquelle le produit des coefficients multiplicateurs correspondants à ces évolutions est égal à 1. Ainsi, on cherche x tel que : (1 + x 100 ) (1 + x 100 ) = 1 Les coefficients multiplicateurs de deux évolutions réciproques sont donc inverses l un de l autre. Reprenons l exemple précédent : Avant le début des soldes, vous aviez repéré un pantalon. Son prix était de 70. Lors de la 1ère démarque, une remise de 20% fut exercée sur ce prix. Cependant, la vendeuse de ce magasin semble avoir fait une erreur et souhaite revenir au prix initial du vêtement. Quel est le coefficient multiplicateur permettant cette opération? On cherche donc x. On sait que : (1 + x 100 ) = 1 (1 + x 100 ) = 1 1 0,2 = 1 0,8 = 1,25 La vendeuse doit donc augmenter son nouveau prix de 25 % pour combler la réduction de 20 % sur le prix initial du pantalon. 6
2) Les exercices d application directe du cours Exercice n 1 : Le tableau suivant donne les résultats au bac dans un lycée lillois. Année 2012 2013 2014 Nombre de candidats 342 358 372 Nombre de reçus 302 338 356 1) Calculer le taux d accroissement du nombre de candidats entre 2012 et 2014. 2) Calculer le taux de réussite au bac chaque année pour ce lycée. 3) Calculer le taux d évolution du pourcentage de réussite au bac sur la période 2012-2013 puis sur la période 2013-2014. Exercice n 2 : En période de soldes, notre magasin de vêtements consigne l ensemble des opérations qu il effectue sur les prix des produits qu il vend dans un tableau. Recopier et compléter le tableau suivant : Prix initial 70 45 29 Nouveau prix 50 14 Coefficient multiplicateur 0,75 Evolution en % -20% -50% Exercice n 3 : 1) La société «La Box Educative» compte aujourd hui (comprendre en 2015) 1377 élèves. Cette société prévoit une forte croissance de son nombre d élèves et espère en compter 5500 d ici 2016. Quel est le pourcentage d augmentation du nombre d élèves pour la société sur la période 2015-2016? 2) Une société concurrente, «Cocodonia», compte aujourd hui (comprendre en 2015) 27 753 élèves. Pour autant, les prévisions sont mauvaises et on annonce pour cette société une baisse de 15% de son nombre d élèves d ici 2017. Combien comptera cette société d élèves en 2017? 3) Une troisième société, «SBRA», concurrente des deux autres, va connaître une baisse de son nombre d élèves dans les années à venir. Cette baisse devrait être de 22%. En 2017, la société ne comptera plus que 1345 élèves. Combien compte cette société d élèves aujourd hui (comprendre en 2015)? 7
Exercice n 4 : Le ministère de la culture s intéresse de plus près à l industrie du cinéma. Les études menées fournissent les chiffres suivants indiquant tous les dix ans les effectifs de la population fréquentant les salles de cinéma et le nombre moyen d entrées achetées chaque année par ces personnes. 1980 1990 2000 2010 1 entrée/an 857 000 954 000 968 754 986 465 2entrées/an 1 897 400 1 957 000 1 986 879 2 024 262 3 entrées/an 3 546 293 3 576 430 3 587 352 3 667 342 Plus de 3 entrées/an 3 265 879 3 567 987 4 135 765 4 765 946 Total 9 566 572 10 055 417 10 678 750 11 444 015 1) Déterminer les indices base 100, en utilisant comme année de référence 1980, des effectifs des personnes allant au cinéma. 2) Calculer la proportion, pour chaque décennie, des personnes allant au cinéma plus de 3 fois par an parmi ceux allant au cinéma au moins une fois chaque année. 3) Comparer l évolution de cette part pour chaque décennie. Que peut-on conclure? Exercice n 5 : En période de soldes, la concurrence est rude pour les magasins de vêtements. En effet, ces derniers doivent écouler leurs stocks le plus vite possible et mettent alors en place certaines stratégies de vente. Les magasins «Galeries Lafillette» et «Automne» vendent le même pull. Ce pull est initialement au prix de 79. 1) Le magasin «Galeries Lafillette» baisse son prix de 30% lors de la première démarque. Le magasin «Automne» baisse son prix de 25%. Dans quel magasin le pull est-il le moins cher? 2) Lors de la deuxième démarque, le magasin «Galeries Lafillette» baisse son nouveau prix de 10%. Le magasin «Automne» le baisse de 20%. Dans quel magasin le pull est-il le moins cher? 3) De combien (en pourcentage) chaque magasin doit augmenter son prix pour revenir au prix initial de 79? 8
3) Les exercices «Pour aller plus loin» Exercice n 1 : La société «La Box Educative» est une société en pleine croissance. Son chiffre d affaires a augmenté de 13,2% au cours de l année 2015 dont 7,5% au cours du premier semestre. 1) Quel a été le taux d augmentation (arrondi au millième) du chiffre d affaires de la société au cours du second semestre 2015? 2) Si, en 2016, le chiffre d affaires de la société baisse de 3%, quelle sera l évolution globale du chiffre d affaires sur la période 2015-2016? 3) Pour combler ce recul de 3% en 2016, de combien le chiffre d affaires de la société devrait augmenter en 2017? Exercice n 2 : 1) En juin 2014, le nombre de clients utilisant en France un service mobile fourni par un opérateur était de 59 234 345. De juin 2014 à juin 2015, ce nombre a augmenté de 3,26%. Quel était alors le nombre de clients en juin 2015? 2) En juin 2014, la population française était estimée à 65 765 768 habitants. En juin 2015, celle-ci était estimée à 65 976 676 habitants. Déterminer pour ces deux années le pourcentage du nombre de clients utilisant un service mobile dans la population française. 3) En juin 2015, on comptabilisait les SMS échangés en France à 25 635 736 milliers d unités. De juin 2014 à juin 2015, ce nombre a augmenté de 52,85%. Quel était le nombre d unités de SMS échangés en France en juin 2014? 9
Correction des exercices : Partie 1 : Exercices d application directe du cours Exercice n 1 : 1) Calculons le taux d accroissement du nombre de candidats au bac entre 2012 et 2014. Ce lycée compte 342 candidats en 2012 et 372 candidats en 2014. D après le cours, on calcule : 372 342 342 0,088 8,8% Le taux d accroissement du nombre de candidats au bac dans ce lycée lillois entre 2012 et 2014 est de 8,8%. 2) Calculons le taux de réussite au bac chaque année pour ce lycée. En 2012, on a : t = 302 0,883 88,3% 342 En 2013, on a : t = 338 0,944 94,4% 358 En 2014, on a : t = 356 0,957 95,7% 372 3) Calculons le taux d évolution du pourcentage de réussite au bac sur la période 2012-2013, puis sur la période 2013-2014. On note x 1 le taux d évolution du pourcentage de réussite au bac sur la période 2012-2013. x 1 = 94,4 88,3 88,3 0,069 6,9% On note x 2 le taux d évolution du pourcentage de réussite au bac sur la période 2013-2014. x 2 = 95,7 94,4 94,4 0,014 1,4% 10
Exercice n 2 : Prix initial 70 45 29 28 Nouveau prix 50 33,75 23,2 14 Coefficient multiplicateur 0,714 0,75 0,8 0,5 Evolution en % -28,6% -25% -20% -50% Exercice n 3 : 1) Indiquons le pourcentage d augmentation du nombre d élèves pour la «La Box Educative» sur la période 2015-2016. On note x le pourcentage d augmentation du nombre d élèves pour la société sur la période 2015-2016. x = 5500 1377 1377 2,99 299% 2) Indiquons le nombre d élèves que comptera la société «Cocodonia» en 2017. On note n le nombre d élèves de la société «Cocodonia» en 2017. n = 27 753 (1 0,15) 23 590 La société «Cocodonia» comptera environ 23 590 élèves en 2017. 3) Indiquons le nombre d élèves de la société «SBRA» en 2015. On note n le nombre d élèves de la société «SBRA» en 2015. Pour comprendre comment trouver n, il suffit de tracer le tableau suivant : 1345 1-0,22 = 0,78 n 1 Donc, on a : n = 1345 0,78 1724 La société «SBRA» comptait en 2015 environ 1724 élèves. 11
Exercice n 4 : 1) Déterminons les indices base 100 en prenant comme année de référence 1980 des personnes fréquentant les salles de cinéma. On a, d après le cours : indice année 1990 = indice année 2000 = indice année 2010 = Valeur année 1990 Valeur année 1980 Valeur année 2000 Valeur année 1980 Valeur année 2010 Valeur année 1980 10 055 417 100 = 100 105,1 9 566 572 10 678 750 100 = 100 111,6 9 566 572 11 444 015 100 = 100 119,6 9 566 572 2) Calculons la proportion, pour chaque décennie, allant au cinéma plus de 3 fois par an parmi ceux allant au cinéma au moins une fois chaque année. On note p 1, p 2, p 3 et p 4 la proportion des personnes allant au cinéma plus de 3 fois par an parmi ceux allant au cinéma au moins une fois chaque année pour les décennies 1980, 1990, 2000 et 2010 respectivement. On a, d après le cours : p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = 3 265 572 9 566 572 0,34 3 567 987 10 055 417 0,35 4 135 765 10 678 750 0,39 4 765 946 11 444 015 0,42 3) Comparons l évolution de cette part pour chaque année et tentons d aboutir à une conclusion. On observe que la proportion des personnes allant au cinéma plus de 3 fois par an parmi ceux allant au moins une fois au cinéma chaque année augmente. On peut donc en conclure que parmi les personnes allant au cinéma, celles-ci ont tendance à fréquenter de plus en plus les salles de cinéma. 12
Exercice n 5 : 1) Indiquons le magasin dans lequel le pull est le moins cher. On note, dans tout l exercice, p 1 et p 2 le prix du pull dans les magasins «Galeries Lafillette» et «Automne» respectivement. p 1 = (1 0,3) 79 = 0,7 79 = 55,3 p 2 = (1 0,25) 79 = 0,75 79 = 59,25 Sans réelle surprise, le prix du pull est moins élevé aux «Galeries Lafillette». 2) Indiquons le magasin dans lequel le pull est le moins cher. p 1 = (1 0,1) 55,3 = 0,9 55,3 = 49,77 p 2 = (1 0,2) 59,25 = 0,8 59,25 = 47,4 Le prix du pull est désormais moins élevé dans le magasin «Automne». 3) Indiquons de combien chaque magasin doit augmenter son prix pour revenir au prix initial de 79. Pour bien comprendre la situation, dessinons le tableau suivant :? 79 1 49,77 1 47,4 Par produit en croix, on obtient :? galeries lafillette = 79 49,77 1,59 Les «Galeries Lafillette» doivent réaugmenter leur prix d environ 59% pour retrouver le prix initial de 79. Et :? automne = 79 47,4 1,67 Le magasin «Autome» doit réaugmenter son prix d environ 67% pour retrouver le prix initial de 79. 13
Partie 2 : Exercices «Pour aller plus loin» Exercice n 1 : 1) Indiquons le taux d augmentation du chiffre d affaires de la société «La Box Educative» au cours du second semestre 2015. On note x le taux d augmentation du chiffre d affaires de la société au second semestre de l année 2015. 1,075 (1 + x) = 1,132 1 + x = 1,132 1,075 1,053 x = 0,053 = 5,3% Le taux d augmentation du chiffre d affaires de la société au second semestre de l année 2015 est de 5,3%. 2) Indiquons l évolution globale du chiffre d affaires de la société sur la période 2015-2016. On note y l évolution globale du chiffre d affaires sur la période 2015-2016. 1 + y = 1,132 0,97 1,098 Ainsi, on peut affirmer que, sur la période 2015-2016, le chiffre d affaires de la société a augmenté de 9,8%. 3) Calculons l augmentation du chiffre d affaires nécessaire en 2017 pour combler le recul de 2016. Soit z le taux d augmentation nécessaire du chiffre d affaires en 2017pour combler e recul de 2016. 1,098 (1 + z) = 1,132 1 + z = 1,132 1,098 1,031 Le chiffre d affaires doit augmenter de 3,1% en 2017 pour combler le recul de 2016. 14
Exercice n 2 : 1) Indiquons le nombre de clients du service mobile en juin 2015. On note n le nombre de clients du service mobile en juin 2015. n = 59 234 345 1,0326 61 165 385 2) Calculons, pour les années 2014 et 2015, le pourcentage du nombre de clients utilisant un service mobile dans la population française. On note, p 1 et p 2 les pourcentages des années 2014 et 2015 respectivement. p 1 = p 2 = 59 234 345 65 765 768 0,90 61 165 385 65 976 676 0,927 3) Calculons le nombre de SMS échangés en France en juin 2014. On note n le nombre de SMS échangés en France en juin 2014. n = n 1,5285 = 25 635 736 25 635 736 1,5285 16 771 826 Ainsi, environ 16 771 826 SMS étaient échangés en France en juin 2014 ; 15