Gestion de Projets Daniel DE WOLF

UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D OPALE Master 1 Economie et Gestion de l Environnement et du Développement Durable Gestion de Projets Daniel DE WOLF Dunkerque, Janvier 2007

Table des matières I Techniques de gestion de projets 7 1 Introduction 9 1.1 Objectifs du cours... 9 1.2 Plan du cours... 9 1.3 Définition de la gestion de projets... 11 1.3.1 Définition du projet... 11 1.3.2 Définition des objectifs du projet... 11 1.3.3 Notion de tâches d un projet... 12 1.3.4 La définition de la gestion de projets... 12 1.4 Exercice... 15 2 L ordonnancement de projets 17 2.1 Introduction... 17 2.2 Formulation du problème... 19 2.3 Représentation graphique du problème... 20 2.3.1 Graphe de la méthode du potentiel... 20 2.3.2 Représentation des autres types de contraintes... 21 2.3.3 Condition d existence d une solution... 22 2.4 Classement des activités par niveaux... 23 2.5 Calcul de l ordonnancement... 27 2.5.1 Ordonnancement au plus tôt... 27 2.5.2 Ordonnancement au plus tard... 28 2.6 Chemin critique et calcul des marges... 29 2.6.1 Notion de tâche critique... 29 3

4 Table des matières 2.6.2 Notion de marge libre et de marge indépendante d une tâche 30 2.7 L ordonnancement par la méthode PERT... 32 2.8 Programmation effective du projet... 34 2.9 Présentation des résultats... 36 2.10 Prise en compte des contraintes disjonctives... 36 2.11 Cas de contraintes cumulatives... 38 2.11.1 Critère de minimisation de la durée d achèvement du projet 38 2.11.2 Critère de lissage de charge des ressources utilisées... 40 2.12 Exercices... 41 3 Analyse du projet 47 3.1 Définition du projet... 47 3.1.1 Structuration hiérarchisée du projet... 47 3.1.2 Les phases du projet... 50 3.1.3 Utilité del ingénierie concourante... 52 3.1.4 Gestion simultanée de plusieurs projets... 52 3.2 Définition technique des tâches et de leurs relations... 53 3.2.1 Les relations entre tâches... 54 3.2.2 Les caractéristiques de la tâche... 56 3.3 Le coût du projet... 58 3.3.1 Analyse des coûts sur la durée de vie d un produit... 58 3.4 Analyse économique du projet... 60 3.4.1 L appel à l actualisation... 60 3.4.2 Un exemple de choix de capacité... 62 3.5 Exercices... 67 4 Lesuivi du projet 71 4.1 Introduction... 71 4.2 Le suivi de la programmation... 71 4.3 Le suivi des coûts... 73 4.3.1 Les données de références... 73

Table des matières 5 4.3.2 Les données révisées à date t... 73 4.3.3 Les grandeurs à comparer... 75 4.3.4 Analyse de l écart de planning... 76 4.3.5 Analyse de l écart de coût... 78 4.4 Exercice... 79 5 Laprise en compte du risque 83 5.1 Introduction... 83 5.2 L approche quantitative du risque... 84 5.2.1 Distribution statistique de la durée d une tâche... 84 5.2.2 L approche classique... 89 5.2.3 L approche simulatoire... 92 5.2.4 Limites de l approche quantitative du risque délai... 96 5.3 L analyse qualitative du risque... 97 5.3.1 Les risques internes encourus en phase d élaboration du projet... 97 5.3.2 Les risques externes encourus en phase d élaboration du projet... 98 5.3.3 Les risques relatifs àlaprévision d utilisation des ressources 99 5.3.4 Les risques encourus en phase d exécution du projet...100 5.4 La prise en compte du risque...101 5.4.1 La diminution du risque en phase d élaboration...101 5.4.2 Organisation de la réactivité...102 5.5 Exercices...103 A Formulaire pour la gestion de projets 105 A.1 Notion de marge libre et de marge totale...105 A.2 Calcul d annuités...105 A.3 Définition de l écart de planning...106 A.4 Définition de l écart de coût...106 A.5 Distribution de probabilité...107 A.6 L approche classique du risque...110

6 Table des matières B Table de nombres au hasard 111 C Table de la loi normale centrée réduite 113

Partie I Techniques de gestion de projets 7

Chapitre 1 Introduction 1.1 Objectifs du cours Le but de ce cours de gestion de projets est double. Il s agit, d une part, de donner aux étudiants les bases pour la formulation de problèmes de gestion de projets et, d autre part, d introduire les techniques de résolution de ces problèmes. On présentera les techniques d ordonnancement, d analyse de projets, de suivi de projets et de gestion du risque. Comme référence principale, nous utiliserons le livre de Giard Gestion de projets, [2]. Des études de cas illustrant les concepts vus au cours pourront être trouvées dans les les ouvrages suivants : Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, [1], Robert HOUDAYER, Evaluation financière des projets [4], Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques [6] J.R. MEREDITH et al, Project Management [7]. 1.2 Plan du cours Le cours est divisé encinq chapitres. Chapitre 1 : Introduction. Dans ce chapitre, nous donnerons une définition de la gestion de projets que l on rencontre aussi bien pour les problèmes de type série unitaire (construction d ouvrages d art,..) que pour le lancement de nouveaux produits (lancement d un nouveau modèle automobile 9

10 Chapitre 1. Introduction par exemple). On présentera les objectifs de respect de la qualité, de respect des délais et de respect des coûts. Onprésentera brièvement la direction de projet qui relève des décisions stratégiques (définition des objectifs, des ressources à mettre en œuvre et appréciation des risques) et le contrôle de projet qui, lui, relève des décisions tactiques (estimation préalable de la durée et des coûts des tâches, respect des délais et des coûts durant la réalisation du projet). Chapitre 2 : L ordonnancement de projets. Dans ce chapitre, nous présenterons les deux principales techniques de planification de projets, à savoir la méthode du potentiel et la méthode PERT. Pour chacune de ces deux méthodes, nous verrons comment représenter le problème à l aide d un graphe, comment calculer les dates de début au plus tôt et au plus tard des tâches ainsi que la manière de calculer le chemin critique. Nous verrons également comment tenir compte de contraintes additionnelles telles que les contraintes disjonctives (un équipement à partager) ou de lissage de charge des ressources utilisées. Nous verrons également comment l analyse du chemin critique peut être utile pour réduire la durée du projet. Chapitre 3 : L analyse du projet. Lors de la définition du projet, il convient de donner une définition précise des phases du projet, une définition fine des tâches du projet et de leurs relations ainsi qu un calcul des coûts de réalisation des tâches du projet. Ons intéressera également dans ce chapitre à l élaboration du plan d investissement nécessaire à la réalisation du projet et à l analyse économique du projet. Chapitre 4 : Le suivi de projets. Dans ce chapitre, nous présenterons les deux principales techniques de contrôle d un projet, à savoir le suivi de la programmation (suivi de l exécution des tâches) et le suivi des coûts (contrôle budgétaire du projet). On analysera les écarts de planning et les écarts de coût et on présentera les indicateurs à mettre en œuvre àfindedétecter ces écarts. Chapitre 5 : La prise en compte du risque. Dans ce chapitre, nous présenterons les deux principales approches de prise en compte du risque. Dans l approche quantitative du risque, on utilise une distribution statistique de la durée ou du coût de réalisation d une tâche. On peut alors faire des simulations. Dans l approche qualitative du risque, on présentera les différentes techniques de réduction des risques encourus aussi bien dans la phase de définition du projet (mauvaises prévisions) que dans la phase d exécution (rencontre d aléas externes).

Section 1.3. Définition de la gestion de projets 11 1.3 Définition de la gestion de projets 1.3.1 Définition du projet Comme l indique Giard [2], un projet est défini et mis en œuvre pour élaborer une réponse au besoin d un utilisateur, d un client et il implique un objectif et des actions à entreprendre avec des ressources données. Cette définition implique que l on mette en œuvre une organisation spécifique et temporaire durant la préparation et la réalisation du projet. A titre d exemples, on peut classer ce qui peut faire l objet d un projet sous les quatre rubriques suivantes : La production de type série unitaire qui se définit comme la mobilisation de toutes les ressources de l entreprise pour la réalisation d un projet de production sur une durée assez longue. Les exemples classiques sont la construction navale de très gros bateaux (type France ou Queen Mary II), les grands ouvrages de génie civil (tels que le Tunnel sous la manche). Les activités de gestion non répétitive correspondant à un enjeu technicoéconomique important pour l entreprise. Les exemples classiques sont le lancement d un nouveau produit, le changement de système informatique, un investissement important dans de nouveaux outils de production. Même dans les industries de production de masse,la gestion de projet est utilisée pour raccourcir de manière importante l intervalle de temps qui sépare la décision de créer un produit de sa production en série. Un exemple classique est le lancement d un nouveau modèle automobile. Enfin, programmes d aide aux pays en voie de développement sont souvent ordonnées et contrôlés avec les techniques d ordonnancement et de contrôle de projets qui seront présentées dans ce cours. 1.3.2 Définition des objectifs du projet Dans tout projet, on peut identifier trois catégories d objectif qui sont souvent antagonistes : Les objectifs de performance technique relatifs au respect des spécifications fonctionnelles et des caractéristiques techniques du produit. On se définit ainsi un niveau de qualité en ce qui concerne, par exemple le respect de tolérance, la fiabilité duproduit, la facilité d usage,...etc

12 Chapitre 1. Introduction Les objectifs de délai sont un composante très importante pour le client. Ainsi, il ne sert à rien de livrer un stade olympique 3 mois après la fin des jeux olympiques. D autre part, dans un marché concurrentiel, tel que celui des produits pharmaceutiques, être le premier à mettre sur le marché un nouveau vaccin ou un nouveau médicament peut représenter un effet de monopole et des gains substantiels pour le premier arrivé sur le marché. Les objectifs de coût sont primordiaux, notamment dans le cadre d un contrat à prix non révisables ou dans le cas d un projet interne. Ces trois catégories d objectif sont fortement liées. Par exemple, il est plus facile de respecter des objectifs techniques si le délai imparti est plus grand ou si les ressources mises en œuvre sont plus nombreuses et donc plus onéreuses. 1.3.3 Notion de tâches d un projet Un projet est constitué d un ensemble de tâches ou encore d activités. Chaque tâche du projet : est identifiée par son rôle à jouer dans l exécution du projet, se caractérise par un début et une fin, consomme des ressources qui ont un coup d utilisation et sont disponibles en quantité limitée, est souvent reliée aux autres tâches du projet par des relations d antériorité qui impliquent qu une tâche ne peut débuter avant qu une autre ne soit préalablement terminée (bien qu un certain recouvrement des tâches soit possible dans certains cas comme nous le verrons). On résumera utilement (voir cas de l exercice à la section 1.4) la liste des tâches, de leurs ancêtres et de leur consommation de ressource par un tableau tel que celui présenté en2.7. 1.3.4 La définition de la gestion de projets Le management de projet comporte deux fonctions bien différentes : La direction de projet qui s intéresse aux décisions stratégiques (décisions à long terme mettant en jeu l avenir de l entreprise).

Section 1.3. Définition de la gestion de projets 13 Tâche Durée Ancêtres Remarques coût (keuros) 1-Démolition 10 jours - 300 (1er jour) -2-Permis 3- Terrassement 4- Fondations 5.1- Gros-oeuvre 1 5.2- Gros-oeuvre 2 6-Toitures 7.1 Placoplâtre 7.2 Electricité 1 7.3 Electricité 2 7.4 Peinture murs 7.5 Peinture sol 8-Démontage 9-Remontage 10.1 - Commande 10.2 - livraison 10.3 - Essais 11 - Inauguration Tableau 1.1: Descriptions des tâches du projet

14 Chapitre 1. Introduction la gestion de projet qui s intéresse aux décisions opérationnelles (décisions à court terme de gestion des équipements et du personnel). La direction de projet est assurée par un chef de projet assisté parfois d une équipe. La mission de cette direction de projet est quadruple : 1. fixer les objectifs du projet en terme de délais, de performances techniques (notamment le choix des solutions techniques), 2. définir les moyens à mettre en œuvre en ce qui concerne les ressources matérielles et humaines. Ce qui implique directement d attribuer un budget àlaréalisation du projet. 3. d apprécier les risques encourus et de mettre en œuvre des procédures de surveillance (par exemple, définir des indicateurs de tenue des délais et des coûts), 4. d animer les hommes qui travaillent sur le projet en coordonnant leurs activités, en faisant des évaluations régulières qui conduisent parfois àréviser les objectifs du projet. La gestion de projet est assurée par un contrôleur de projet. Elle a pour objectif d apporter àladirection de projet les informations relatives à l avancement de l exécution du projet, au respect de ses objectifs et de ses coûts. Durant la phase de préparation, la gestion de projet permet une estimation rapide de la durée des tâches et des moyens à mobiliser et donc des coûts induits. Ceci permet de préparer l ordonnancement. Durant l exécution du projet, lagestion de projet vise la maîtrise des délais et des coûts en utilisant des tableaux de bord. Alafinduprojet, on fait un bilan final du projet qui permet de tirer des enseignements pour l avenir. Dans ce cours, nous allons présenter un certain nombre d outils qui relèvent de la gestion de projets : par exemple, les techniques d ordonnancement qui seront présentées au chapitre 2, les techniques de suivi budgétaire qui seront présentées au chapitre 4. Nous présenterons également un certain nombre de techniques relevant de la direction de projets : par exemple, l analyse économique du projet qui fera l objet du chapitre 3 ainsi que les techniques de gestion du risque qui feront l objet du chapitre 5.

Section 1.4. Exercice 15 1.4 Exercice 1.1. Cas de l entreprise BURBOX. La société BURBOX est une société spécialisée dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d édifier une nouvelle usine à la place d un entrepôt inutilisé afin de répondre à l accroissement de sa demande. Les tâches àexécuter sont les suivantes : 1) La démolition de l ancien entrepôt et l enlèvement des gravats par la société DUPOND a une durée estimée à10jours ouvrables. L opération est facturée 300.000 euros le premier jour de l exécution de la tâche. Le permis de démolition est déjà accordé. 2) L obtention du permis de bâtir pour le nouveau bâtiment devrait prendre 25 jours. 3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent débuter avant que le permis ne soit accordé, sont prévus pour une durée de 5 jours. Le coût est de 180 euros par m 3 et on estime qu il y a 5.000 m 3 à enlever. Le paiement est fait pour moitié audébut et pour moitié àlafindelatâche. 4) Les travaux de fondation du nouveau bâtiment durent 10 jours pour un coût prévu de 370.000 euros. 5) Le gros œuvre est scindé endeux tranches : 5.1 La première tranche débutant après les fondations est prévue pour une durée de 18 jours et un coût prévisionnel de 478.000 euros qu il est prévu de payer en trois fois (20 % au début, 40 % le 10ème jour et le solde àlafindugros œuvre 1); 5.2 La seconde tranche, qui peut débuter 5 jours avant la fin de la première tranche, doit durer 7 jours et a un coût prévu de 140.000 euros (50 % au début, 50 % àlafin). 6) La toiture devrait pouvoir être faite en 10 jours au prix de 340.000 euros et peut débuter 5 jours avant la fin de la seconde tranche du gros œuvre. 7) La tâche de finition du bâtiment consiste en les cinq tâches suivantes : 7.1 La pose de panneaux industriels de plâtre par la société MARTIN pour une durée de 6 jours et un coût forfaitaire de 150.000 euros; 7.2 La première phase d électrification du bâtiment consiste en l installation successive de 3 transformateurs. Elle est effectuée par la société LAMBERT pour 500.000 euros (versement initial de 200.000 euros, versement de 100.000 euros àlaréception de chaque transformateur). L installation et la réception d un transformateur nécessite 5 jours (15 jours au total pour la tâche);

16 Chapitre 1. Introduction 7.3 La seconde phase d électrification est prise en charge par le personnel des services généraux de la société BURBOX qui comptent 5 agents. Le travail est estimé à 320 heures de travail (coût horaire de 150 euros). Les fournitures à acheter coûtent 15.000 euros. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la première phase d électrification. Les travaux d électrification doivent être terminés avant la peinture. 7.4 Le travail de peinture des murs est estiméà 200 heures et est pris en charge par les services généraux de BURBOX. 7.5 Le travail de peinture du sol est estiméà 120 heures et doit aussi être pris en charge par les services généraux. Les deux phases de peinture peuvent être effectuées en parallèle avec un maximum de 4 agents pour la peinture du sol. Ces deux phases de peinture doivent être achevées avant l installation des machines. 8) Le démontage des anciennes machines dure 2 jours et sera effectué par les 5 employés des services généraux. On programmera cette tâche au plus tard avec une marge de 5 jours. 9) Le remontage des machines dure la même période et mobilise les mêmes ressources. Il faut que les travaux de peinture (mur et sol) soient finis. Le remontage est programmé auplus tard. 10) L acquisition de nouvelles machines pour un montant de 2.580.000 euros (moitié àlacommande, moitié àlafindes essais) comporte les tâches suivantes : 10.1 1 jour pour passer la commande; 10.2 la livraison dure 1 jour et est effectuée 21 jours après la commande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie. 10.3 3 jours d essai du matériel. 11) L inauguration des nouvelles installations à l issue du remontage et des essais dure 1 jour. On demande (a) de réfléchir àladurée des travaux confiés aux services centraux en : calculant la durée de la tâche 7.3; imaginant une organisation du travail de peinture (7.4 et 7.5) ayant pour objectif d immobiliser au minimum l équipe de 5 agents. (b) d établir un tableau récapitulatif des tâches avec leur désignation, la liste de leurs ancêtres, leur durée, leur coût et les observations quant à leur programmation. On complètera ainsi le tableau 2.7.

Chapitre 2 L ordonnancement de projets 2.1 Introduction Lors de tout projet de grande envergure (construction d un bateau, d un avion, d un bâtiment,...), un problème crucial qui se pose est celui du calendrier d exécution des tâches. Le problème est de déterminer dans quel ordre doivent s enchaîner les diverses tâches de manière à minimiser le temps total d exécution du projet. Prenons un exemple. Onveut construire un nouveau bâtiment de manière à pouvoir déménager au plus tôt. Certaines tâches ne peuvent s exécuter qu après que d autres soient terminées. Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondations sont terminées. D autres tâches peuvent s exécuter simultanément. Par exemple, les travaux d électricitéetdeplomberie peuvent être menés de pair. Les données sont reprises au tableau 2.1 pour cet exemple. No tâche durée (jours) préalables 1 terrassement 5-2 fondations 4 1 3 colonnes porteuses 2 2 4 charpente toiture 2 3 5 couverture 3 4 6 maçonnerie 5 3 7 plomberie, électricité 3 2 8 coulage dalle béton 3 7 9 chauffage 4 8et6 10 plâtre 10 9et5 11 finitions 5 10 Tableau 2.1: Construction d un bâtiment On doit tenir compte, dans les problèmes d ordonnancement, de divers types 17

18 Chapitre 2. L ordonnancement de projets de contraintes. Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d une tâche dans le temps : une tâche ne peut commencer avant une telle date, ou après une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques). Les contraintes de succession temporelle expriment les relations d antériorité entre les tâches : une telle tâche ne peut commencer avant la fin d une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n est pas fini). Les contraintes cumulatives imposent la prise en compte de la disponibilité de ressources non stockables, par exemple des heures de travail en personnel ou d équipement dont on peut disposer au cours d une période et qui sont perdues si elles ne sont pas utilisées durant cette période. Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tâches ne peuvent avoir lieu en même temps sans que l on puisse dire laquelle doit être effectuée avant l autre (par exemple, une même grue est utilisée sur deux chantiers). Le problème d ordonnancement avec des contraintes de localisation temporelle et de succession temporelle seulement est appelé problème central d ordonnancement. Ils agit donc de déterminer le calendrier de début de chacune des tâches de manière à terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles. Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa résolution, ce problème utilise la notion de graphe. On peut, en effet, représenter le problème sur un graphe et, ensuite, résoudre le problème graphiquement. De plus, la présentation du résultat de calcul (l ordonnancement des tâches) sera beaucoup plus claire sur ce graphique que sur un tableau de chiffres. Il existe deux méthodes de résolution pour ce problème, àsavoir : la méthode du potentiel développée en France dans les années 60 et qui associe à chaque tâche un nœud du réseau, tandis que les relations d antériorité sont représentées par des arcs entre les tâches (voir figure 2.1); la méthode PERT développée parallèlement aux Etats Unis d Amérique et qui, elle, associe chaque tâche à un arc du réseau, et chaque relation d antériorité àunnœud (voir figure 2.2). Algorithmiquement, les deux méthodes de résolution sont équivalentes, mais la méthode du potentiel permet d écrire le graphe de réseau de manière systématique (sans ajouter d arc fictif).

Section 2.2. Formulation du problème 19 tâche i i d i i avant j tâche j j Figure 2.1: Graphe de la méthode des potentiels. i avant j i, d i j, d j tâche i tâche j 2.2 Formulation du problème Figure 2.2: Graphe de la méthode PERT. Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tâches àexécuter, indicées i =1,...n. Utilisons également la notation d i pour désigner la durée d exécution de la tâche i (qui est ici une donnée). Les variables du problème sont les suivantes : t i note le temps de début d exécution de la tâche i,ett f note le temps de fin de chantier. L objectif est de minimiser le temps de réalisation du chantier : min z = t f t 0 où t 0 note la date de début de chntier que l on fixe à t 0 =0. Les contraintes du problème sont de trois types : Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tâche i ne peut commencer avant le début de chantier : t i t 0, i =1, 2,...n (2.1) Les contraintes de succession temporelle expriment que la tâche j ne peut débuter avant que toute tâche i préalable à j ne soit finie : t i + d i t j, tâche i antérieure àlatâche j (2.2) Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tâche i doit être finie avant la fin de chantier : t i + d i t f, i =1, 2,...n (2.3) Remarquez que vu la présence des contraintes de succession temporelle (2.2), il suffit d écrire (2.1) pour toute tâche n ayant pas de prédécesseur et (2.3) pout toute tâche n ayant pas de successeur.

20 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 2.3 Représentation graphique du problème 2.3.1 Graphe de la méthode du potentiel On associe donc au problème central d ordonnancement un graphe dont les sommets représentent les diverses tâches du problème d ordonnancement. On ajoute un nœud 0 qui correspond àladate de début de chantier et un nœud f = n +1 qui correspond à la fin de chantier. Les arcs du réseau représentent les diverses contraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante t i + d i t j On peut construire systématiquement le graphe associé auproblème d ordonnancement de la manière suivante (voir figure 2.3) : 2 2 3 4 5 4 2 3 0 5 10 0 1 2 6 10 11 5 4 4 3 3 7 8 9 Figure 2.3: graphe associé. 5 12 1. On relie d abord toutes les tâches sans préalable (la tâche 1 dans le cas de l exemple) au nœud 0, début de chantier par un arc de longueur nulle. Remarquez qu il s agit de la représentation des contraintes (2.1). 2. Ensuite, on prend une tâche déjà dans le graphe et on examine si elle précède d autres. Par exemple, la tâche 1 doit précéder la tâche 2. Ondoit donc avoir t 1 + d 1 t 2. On trace le nœud 2 et on relie le nœud 1 au nœud 2 par un arc de longueur d 1.Onfait de même pour représenter toutes les contraintes de type (2.2). 3. Pour les seules tâches sans successeur, on les relie au nœud fin de chantier, avec un arc de longueur égale àladurée de la tâche. Ici, seule la tâche finition est dans ce cas. Il s agit ici de représenter les contraintes du type (2.3). Lors de la construction du graphe d un problème réel qui peut comporter plus d une centaine de tâches, une méthode plus systématique de construction du graphe doit être utilisée, méthode faisant appel au classement des activités par niveaux (voir section 2.4).

Section 2.3. Représentation graphique du problème 21 2.3.2 Représentation des autres types de contraintes Disons un mot de la représentation des trois autres types de contraintes : 1. Supposons d abord que la tâche 3 ne puisse commencer avant 10 : t 3 10 t 3 t 0 +10. Ceci se représente en joignant les nœuds 0 et 3 par un arc de longueur 10 (voir figure 2.4). 2. Ensuite, supposons que la tâche 5 doive être commencée avant 40 : t 5 40 t 0 t 5 40. Ceci se représente en joignant les nœuds 5 et 0 par un arc de longueur -40. 3. Enfin, supposons que la tâche 9 doive commencer au plus tard 5 jours après le début de la tâche 8 : t 9 t 8 +5 t 8 t 9 5. Ceci se représente en joignant les nœuds 9 et 8 par une arc de longueur -5. -40 10 2 2 3 4 5 4 2 3 0 5 10 0 1 2 6 10 11 5 4 4 3 3 7 8 9 5 12 Figure 2.4: Trois autres types de contraintes. -5

22 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 2.3.3 Condition d existence d une solution Avant de voir l algorithme qui permet de résoudre le problème d ordonnancement, nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce problème est réalisable. En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et être incompatibles entres elles. Supposons que nous ayons la situation suivante. La tâche 1, qui dure d 1 jours, doit être terminée avant que la tâche 2 ne commence. La tâche 2, qui dure d 2 jours, doit être terminée avant que la tâche 3 ne commence. La tâche 3, qui dure d 3 jours, doit être terminée avant que la tâche 1 ne commence. tâche durée préalable 1 d 1 3 2 d 2 1 3 d 3 2 Il est clair qu un tel problème va conduire à une impossibilité. 2 d 1 d 2 1 d 3 3 Figure 2.5: Circuit de longueur positive. Cette situation est représentée à la figure 2.5. On voit ici que le graphe contient un circuit (cycle avec tous les arcs dans le même sens) dont la somme des longueurs des arcs est positive. Écrivons les contraintes correspondantes : t 1 + d 1 t 2 t 2 + d 2 t 3 t 3 + d 3 t 1 En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante : On peut montrer le résultat suivant. d 1 + d 2 + d 3 0 Lemme 2.1 Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seulement si le graphe associé ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) strictement positive.

Section 2.4. Classement des activités par niveaux 23 Remarquez qu un cycle avec une somme des longueurs négative ne pose pas de problème. Par exemple, àlafigure 2.4, la tâche 8 de longueur 3 doit être finie avant que ne commence la tâche 9 et la tâche 9 doit commencer endéans les 5 jours de début de la tâche 8 : t 8 +3 t 9 t 9 5 t 8 Ceci se représente, comme vu ci-dessus, par une flèche de 8 vers 9 de longueur 3 et une flèche retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de problème, la somme des longueurs étant négative. 2.4 Classement des activités par niveaux Le niveau d une tâche correspond au plus grand nombre de tâches rencontrées sur un même itinéraire depuis le début du projet, plus un. Pour déterminer le niveau des tâches, on procède comme suit. On place au premier niveau les tâches qui n ont aucun ancêtre et on raye ces tâches de la liste des tâches. On continue comme suit : Étape 1 : on raye, dans la colonne des ancêtres, les tâches qui viennent d être affectées au dernier niveau analysé; Étape 2 : les tâches du nouveau niveau sont les tâches non rayées de la colonne des tâches qui n ont plus d ancêtre; après affectation au nouveau niveau, ces tâches sont rayées dans la colonne des tâches; Étape 3 : s il reste des tâches non rayées dans la colonne des tâches, on repart à l étape 1. Sinon le processus est terminé. Par ailleurs, cette étape permet de détecter des antériorités redondantes parce que ne portant pas sur des ancêtres immédiats. Cette étape permet également de mettre en évidence des incohérences du type A a pour ancêtre B, B a pour ancêtre C, lequel a pour ancêtre A. L application de la méthode à l exemple introductif est illustrée aux tableaux 2.2, 2.3 et 2.4. On peut alors construire le graphe de la méthode des potentiels en visualisant chaque niveau par une bande verticale et en plaçant, dans chaque niveau, les tâches de ce niveau, puis en visualisant les contraintes d antériorité par des flèches dont l origine est à gauche et l extrémité à droite. Le début et la fin sont représentés par des traits verticaux. On fait partir du trait vertical DEBUT des flèches qui aboutissent aux tâches de niveau 1 et des tâches sans descendant

24 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Itération 1 Étape 1 Étape 2 Ancêtres Tâche Niveau 1-1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 Ancêtres Tâche Niveau 1-1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 Itération 2 Étape 1 Étape 2 Ancêtres Tâche 1 2 Ancêtres Tâche 1 2-1 1-1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5 4 5 3 6 3 6 2 7 2 7 7 8 7 8 8,6 9 8,6 9 9,5 10 9,5 10 10 11 10 11 Itération 3 Étape 1 Étape 2 Ancêtres Tâche 1 2 3-1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 Ancêtres Tâche 1 2 3-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 Tableau 2.2: Classement des tâches par niveaux

Section 2.4. Classement des activités par niveaux 25 Itération 4 Étape 1 Étape 2 p i i 1 2 3 4-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 p i i 1 2 3 4-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 3 6 6 2 7 7 7 8 8 8,6 9 9,5 10 10 11 Itération 5 Étape 1 Étape 2 p i i 1 2 3 4 5-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 3 6 6 2 7 7 7 8 8 8, 6 9 9,5 10 10 11 p i i 1 2 3 4 5-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 3 6 6 2 7 7 7 8 8 8, 6 9 9 9,5 10 10 11 Itération 6 Étape 1 Étape 2 p i i 1 2 3 4 5 6-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 3 6 6 2 7 7 7 8 8 8, 6 9 9 9, 5 10 10 11 p i i 1 2 3 4 5 6-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 3 6 6 2 7 7 7 8 8 8, 6 9 9 9, 5 10 10 10 11 Tableau 2.3: Classement des tâches par niveaux (suite)

26 Chapitre 2. L ordonnancement de projets Niveaux 1 2 3 4 5 6 7 Début 1 2 3 4 5 7 6 10 11 Fin 8 9 Figure 2.6: Classement par niveaux. Itération 7 Étape 1 p i i 1 2 3 4 5 6 7-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 3 6 6 2 7 7 7 8 8 8, 6 9 9 9, 5 10 10 10 11 Étape 2 p i i 1 2 3 4 5 6 7-1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 3 6 6 2 7 7 7 8 8 8, 6 9 9 9, 5 10 10 10 11 11 Tableau 2.4: Classement des tâches par niveaux (fin)

Section 2.5. Calcul de l ordonnancement 27 (qu elles appartiennent au dernier niveau ou non) partent des flèches vers le trait de FIN. On obtient le schéma de la figure 2.6. Outre la facilité detracé dugraphe de la méthode du potentiel, la méthode de classement par niveaux permet de repérer des relations d antériorité inutiles. En effet, supposons (voir figure 2.7) la situation suivante : la tâche A précède les tâches B et C et la tâche B précède C. Comme on peut le voir sur le graphique, la relation A précède C est inutile et peut être omise sur le graphique. B d A d B A C d A Figure 2.7: Relation d antériorité inutile. 2.5 Calcul de l ordonnancement 2.5.1 Ordonnancement au plus tôt Nous allons maintenant voir un algorithme de calcul de l ordonnancement au plus tôt. L ordonnancement au plus tôt détermine les dates de début au plus tôt des différentes tâches, notées t i,enpartant du nœud de début de chantier. Illustrons les choses sur l exemple. La tâche 1 peut commencer au plus tôt en 0 puisqu elle est reliée au au nœud 0, début de chantier, par un arc de longueur nulle. La tâche 2 peut commencer dès la fin de la tâche 1, c est-à-dire t 2 = t 1 + d 1 =5 et ainsi de suite, on marque t 3 =9, t 4 =11, t 5 =13,... Lorsqu un sommet (comme le sommet 9) a plus d un prédécesseur (8 et 6), on détermine la date au plus tôt par un maximum : t 9 = max {t 6 + d 6,t 8 + d 8 } =16. Il faut, en effet, que les deux tâches précédentes soient finies avant de pouvoir débuter la tâche 9. On arrive ainsi àdéterminer la durée totale minimum qui est ici de 35 jours (voir figure 2.8 où letemps de début au plus tôt est indiqué audessus des nœuds).

28 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 9 11 13 3 4 5 2 2 0 0 5 4 2 3 20 30 11 0 1 2 6 10 11 0 5 10 4 5 9 12 16 4 7 8 9 3 3 Figure 2.8: Ordonnancement au plus tôt. 2.5.2 Ordonnancement au plus tard 5 35 12 Certaines tâches sont telles que si on retarde leur date de début, cela aura des répercussions sur la date de fin de chantier. Par exemple, si on retarde la date de début de la tâche 11 (finition), cela va directement retarder la date de fin de chantier. De même, si on retarde la tâche 10 (plâtre), cela va retarder la date de début de la tâche 11 (finition) qui elle-même retarde la date de fin de chantier. Par contre, si on retarde le début de la tâche 5 (couverture), cela n aura pas de répercussion, car ce n est pas à partir de ce nœud que son successeur (10) a été marqué mais bien à partir du nœud 9. On voit donc que l on peut retarder la date de début de la tâche 5 sans conséquence sur la date de fin de chantier jusqu à un certain point. En effet, t 5 =13, t 10 =20,etd 5 =3. Autrement dit, la date de début de la tâche 5 peut être retardée jusqu à lavaleur : t 10 d 5 =20 3=17 sans retarder la date de début de la tâche 10. Ondit que 17 est la date de début au plus tard de la tâche 5. C est-à-dire que la tâche 5 peut être commencée à cette date au plus tard sans allonger la durée totale minimale des travaux. On notera une date de début au plus tard par t i.onpeut calculer l ordonnancement au plus tard de la manière suivante (voir figure 2.9). Partant du nœud fin, pour lequel la date de début au plus tard coïncide avec la date de début au plus tôt t 12 = t 12 =35, on retranche àladate au plus tard la durée de la dernière tâche. On détermine ainsi la date de fin au plus tard de la tâche 11 : t 11 = t 12 d 11 =35 5=30. On marque ensuite à rebours les nœuds 10, 5,...

Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges 29 9 11 13 2 2 3 4 5 4 3 9 15 17 0 0 5 2 20 30 0 5 11 10 0 1 2 6 10 11 4 5 0 0 5 11 20 30 9 12 16 4 3 3 7 8 9 10 13 16 Figure 2.9: Ordonnancement au plus tard. 5 35 12 35 Lorsqu un nœud a plusieurs successeurs, on ne peut marquer ce sommet que si tous ses successeurs directs sont marqués. Prenons, à titre d illustration, le cas du nœud 3. Dans ce cas, il faut prendre le minimum : t 3 = min{t 4 d 3, t 6 d 3 } = min{15 2, 11 2} =9, sans quoi on retarderait la date de fin de chantier. 2.6 Chemin critique et calcul des marges 2.6.1 Notion de tâche critique On voit directement que l on a deux sortes de tâches. Les tâches critiques sont celles qui servent à marquer de proche en proche le sommet n +1à partir du sommet 0. Elles forment ce que l on appelle le chemin critique qui donne l ensemble des tâches à surveiller en premier si l on veut respecter le délai minimum de réalisation du projet. Le chemin critique, illustré enhachuré àlafigure 2.9, peut être déterminé delamanière suivante. Partant du nœud n +1,onneretient, en partant à rebours, que les sommets correspondant à des tâches critiques jusqu a joindre le nœud 1. Il s agit, dans l exemple, des nœuds 12,11,10,9,6,3,2,1 et 0. Notez qu il peut y avoir plusieurs chemins critiques. Pour toutes les autres tâches, c est-à-dire les tâches non critiques, onpeut déterminer la marge d une tâche comme la différence entre son temps de début au plus tard et au plus tôt : m i = t i t i (2.4)

30 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 9 0 11 13 2 2 4 3 4 5 4 9 15 4 17 3 0 0 5 2 20 30 0 5 11 10 0 1 2 0 6 0 10 11 4 5 0 0 0 5 11 0 20 30 0 9 12 16 4 3 3 7 8 9 10 1 13 1 16 0 Figure 2.10: Calcul des marges 5 35 12 35 et donc la marge m i est strictement positive pour les tâches non critiques tandis qu elle est nulle pour les tâches critiques. i 4 5 7 8 m i 4 4 1 1 2.6.2 Notion de marge libre et de marge indépendante d une tâche Nous venons de définir la notion de marge totale d une tâche comme la différence entre sa date de début au plus tard et sa date de début au plus tôt : m i = t i t i Remarquons cependant que la marge réellement disponible dépendra de la programmation effective des prédécesseurs de la tâche. Prenons l exemple de la tâche 5 qui a une marge de 4. Si son prédécesseur direct, la tâche 4 est programmée au plus tard, c est-à-dire en 15, la date de début au plus tôt de la tâche 5 devient 17 et donc la tâche 5 voit sa marge s annuler. Dès qu on utilise la marge de la tâche 4, elle réduit donc celle de 5. Par contre si on utilise la marge de la tâche 5 en la programmant au plus tard (en 17) cela ne réduit pas la marge des autres tâches du projet. On peut donc utiliser librement cette marge de 4 unités de la tâche 5 Définition 2.1 On définit la marge libre comme la partie de la marge totale que l on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs. Si l on considère que les ancêtres et les descendants de la tâche sont programmés au plus tôt,ondéfinit ainsi la marge libre comme la différence entre :

Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges 31 La date de début au plus tôt du descendant (ou la plus précoce de ces dates si la tâche a plusieurs descendants); la date de fin au plus tôt de la tâche. L application à notre exemple donne les marges libres suivantes : i 4 5 7 8 marge totale 4 4 1 1 début au tôt du descendant 13 20 12 16 fin au plus tôt de la tâche 11 + 2 13 + 3 9+3 12 + 3 =13 =16 =12 =15 marge libre 0 4 0 1 L utilisation de la marge libre d une tâche non critique n affecte pas la marge totale des tâches non critiques dont elle est l ancêtre. Iln en n est cependant pas de même pour les tâches non critiques dont elle est le descendant direct et indirect. Si on programme d abord la tâche 5 en l affectant au plus tôt, c est-à-dire en 13, la date de début au plus tard de 4 devient 11 et la tâche 4 n a plus de marge. On définit ainsi un second concept. Définition 2.2 On définit la marge indépendante comme la partie de la marge que l on peut utiliser sans affecter la marge des prédécesseurs et des successeurs. Si l on considère que les ancêtres de la tâche sont programmés au plus tard (et non au plus tôt) et ses descendants au plus tôt,ondéfinit la marge indépendante comme la différence 1 entre : la date de début au plus tôt du descendant (ou la plus précoce de ces dates si la tâche a plusieurs descendants); la date de fin au plus tard de son ancêtre (ou la plus tardive de ces dates, si la tâche a plusieurs ancêtres) augmentée de la durée de la tâche. L application à notre exemple donne les marges indépendantes suivantes : i 4 5 7 8 marge totale 4 4 1 1 début au plus tôt du descendant 13 20 12 16 fin + tard de l ancêtre + durée de la tâche (9 + 2) +2 =13 (15 + 2) +3 =20 (5 + 4) +3 =12 (10 + 3) +3 =16 marge indépendante 0 0 0 0 1 Il est à remarquer que si le résultat obtenu est négatif, la marge indépendante est considérée comme nulle, une marge ne pouvant jamais être négative.

32 Chapitre 2. L ordonnancement de projets La marge indépendante de la tâche 5 est de 0 alors que sa marge libre est de 4. Cette marge indépendante est moins utilisée que la marge libre, dans la mesure où la programmation des tâches s effectue souvent par ordre croissant de niveau. 2.7 L ordonnancement par la méthode PERT La méthode PERT (pour Program Evaluation Review Technique) s est développée, parallèlement àlaméthode du potentiel, aux Etats-Unis en 1958 pour la planification de la construction des sous-marins Polaris. Elle se distingue de la méthode du potentiel par le fait que les tâches ne sont plus associées aux nœuds mais bien aux arcs du réseau. L algorithme de résolution est très semblable à celui de la méthode du potentiel. La différence majeure réside donc dans la construction du graphe : le graphe de la méthode PERT est souvent plus difficile à construire que celui de la méthode du potentiel car on peut être amené à introduire des arcs fictifs qui ne correspondent à aucune tâche. Dans la méthode PERT, chaque tâche est donc associée àunarc du graphe. La longueur de l arc correspondant àladurée de la tâche en question. Les sommets sont utilisés pour traduire les relations de succession temporelle. Ainsi, si la tâche j doit suivre la tâche i, l extrémité terminale de l arc représentant la tâche i coïncidera avec l extrémité initiale de l arc représentant la tâche j. Ceci permet de tracer le graphe pour l exemple déjà considéré pour la méthode du potentiel. Ceci est fait àlafigure 2.11 où l on a noté, àcôté dechaque arc, d une part, le numéro correspondant àlatâche, d autre part, la durée de la tâche. 4, 2 1, 5 2, 4 3, 2 7, 3 8, 3 6, 5 5, 3 9, 4 10,10 11, 5 Figure 2.11: Graphe associé pour la méthode PERT. Si, sur cet exemple, le graphe de la méthode du potentiel et celui de la méthode PERT sont très proches, il n en va pas toujours de même. La construction du graphe PERT pose divers problèmes qui amènent à ajouter des arcs fictifs qui ne correspondent à aucune tâche.

Section 2.7. L ordonnancement par la méthode PERT 33 Illustrons ceci sur un exemple. En effet, supposons que la tâche 1 précède les tâches 2 et 3 et que la tâche 4 précède la tâche 3. tâche prédécesseur 1 2 1 3 1, 4 4 On pourrait tracer le graphe de la figure 2.12. Mais ce graphe introduit une cont- 1 2 4 3 Figure 2.12: Introduction d un contrainte. rainte supplémentaire qui dit que la tâche 4 doit précéder la tâche 2. Pour résoudre la difficulté, il faut à nouveau ajouter un arc fictif de longueur nulle entre l extrémité de la tâche 1 et le début de la tâche 3. Ceci est illustréàlafigure 2.13. 1 2 4 3 Figure 2.13: Arc fictif. L ordonnancement se calcule ainsi. D abord, on détermine les dates de début au plus tôt des nœuds, que nous noterons t i. Ceci est fait par marquage des nœuds à partir de l origine comme dans la méthode du potentiel. On additionne au temps du nœud précédent le temps de la tâche. En cas de plusieurs prédécesseurs, on prend le maximum. Remarquez que ces dates aux plus tard aux nœuds ne correspondent pas toujours aux dates au plus tard des tâches situées après le nœud. Ainsi la date au plus tard 9 est la date au plus tard de la tâche 3 mais pas de la tâche 7, pourtant les

34 Chapitre 2. L ordonnancement de projets deux tâches sont situées à droite du même nœud. Pour contourner cette difficulté de la méthode PERT, il convient de procéder en deux temps. D abord, on détermine les dates au plus tard des nœuds, notées t i, par marquage à partir de la fin, en soustrayant au temps du nœud suivant le temps de la tâche. En cas de plusieurs successeurs, on prend le minimum. Ensuite, on calcule la marge de la tâche (i, j) entre les nœuds i et j comme : m ij = t j (t i + d ij ) Autrement dit, la marge est calculée comme la différence entre la date de fin au plus tard de la tâche et la date de fin au plus tôt de la tâche. On obtient alors les dates au plus tard des tâches en additionnant àladate au plus tôt du nœud de départ, la marge de la tâche. Les résultats sont indiqués au tableau ci-dessous. Tâche 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Date au plus tôt 0 5 9 11 13 11 9 12 16 20 30 Marge 0 0 0 4 4 0 1 1 0 0 0 Date au plus tard 0 5 9 15 17 11 10 13 16 20 30 Un chemin critique peut alors se construire à partir du nœud de fin en ne retenant que les arcs critiques. L application à l exemple donne l ordonnancement illustré àlafigure 2.14. 11 4, 2 13 3, 2 11 4 17 5, 3 0 1, 5 5 2, 4 9 0 4 6, 5 20 30 35 10,10 11, 5 0 0 0 0 5 9 7, 3 9, 4 20 0 30 0 35 1 12 8, 3 16 0 13 1 16 Figure 2.14: Ordonnancement par la méthode PERT. 2.8 Programmation effective du projet L existence de tâches non critiques implique qu il existe de multiples solutions donnant le même temps total minimum de réalisation du projet. La programmation

Section 2.8. Programmation effective du projet 35 définitive du projet s effectuera en fonction des deux principes de prudence et d économie : Le principe de prudence incite à programmer au plus tôt les tâches non critiques pour que la programmation conduise à des marges totales les plus grandes possibles pour absorber d éventuels aléas dans l exécution des tâches. Ce principe conduit parfois à qualifié detâches subcritiques les tâches de marge totale faible par rapport aux aléas susceptibles de se produire. Nous verrons au chapitre 5 comment on peut affiner ce principe en calculant, pour chaque tâche, la probabilité d être critique. Ce qui peut conduire àdéfinir comme subscritique une tâche qui a au moins 90 % de chances d être critique. Le principe d économie incite à programmer au plus tard les tâches non critiques. En effet, l exécution des tâches nécessite l acquisition de certaines ressources. Ainsi, si on engage des ressources humaines qui seront conservées à l issue de l exécution de la tâche, la programmation au plus tôt génère des dépenses inutiles; si on achète des ressources matérielles, ilpeut y avoir un coût d opportunité liéàunachat précoce (intérêts bancaires, par exemple). La préoccupation d économie incitera donc aussi à programmer au plus tard les tâches non critiques. Les points de vue de prudence et d économie sont donc largement antinomiques et le gestionnaire du projet devra arbitrer entre ces deux principes. Souvent le principe d économie prévaut pour une tâche non critique. Dans la pratique, on a intérêt à mutualiser les risques et donc à chercher à partir d estimation de durées plutôt optimistes puis à: mettre un tampon entre la date de fin des tâches sans descendant et la date de fin du projet. Ce tampon correspondant à la mutualisation des risques sur les tâches du chemin critique, à considérer chaque chemin non critique en mettant un tampon entre le dernier descendant non critique du chemin et son propre descendant qui est une tâche critique, ce tampon correspondant à la mutualisation du risque du chemin non critique.

36 Chapitre 2. L ordonnancement de projets 2.9 Présentation des résultats Le graphe de la méthode des potentiels est l instrument privilégié pour le calcul le d ordonnancement des tâches. Une fois l ordonnancement décidé, il vaut mieux transmettre les décisions prises sous forme d un graphique de Gantt. Ledia- gramme de Gantt est l outil classiquement utilisé engestion de production pour visualiser l utilisation des machines. On met horizontalement la ligne du temps et à chaque machine correspond une ligne horizontale. Les différentes tâches effectuées sur la machine sont représentées par un segment de longueur proportionnelle àladurée de la tâche, le passage d une machine à l autre étant visualisé par une flèche (voir figure 2.15 où5tâches sont programmées dans l ordre 5, 1, 3, 4et2en passant successivement sur les machines A et B). machine A 5 1 3 4 2 Z machine B Z 5 1 3 4 2 1 2 3 4 5 Temps Figure 2.15: Diagramme de Gantt-Ressources (atelier) En gestion de projets, le diagramme de Gantt est également caractérisé par une ligne horizontale pour le temps mais chaque ligne horizontale correspond cette fois à une tâche. Les flèches correspondent cette fois à des relations d antériorité. On obtient le diagramme à barres de la figure 2.16. 2.10 Prise en compte des contraintes disjonctives Venons-en maintenant au troisième type de contraintes générales : les contraintes disjonctives. Onveut pouvoir indiquer que deux tâches ne peuvent avoir lieu en même temps sans que l on puisse dire, à priori, laquelle doit être effectuée avant l autre. C est le cas lorsque l on partage une même ressource entre plusieurs chantiers. Par exemple, une même grue. Considérons les tâches i et j, dont on note t i et t j, leurs dates respectives de début d exécution. On peut écrire la relation d exclusion sous la forme : soit { ti + d i t j si i est réalisée avant j t j + d j t i si j est réalisée avant i (2.5)

Section 2.10. Prise en compte des contraintes disjonctives 37 0 5 9 11 12 13 16 20 30 35 1 Temps 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Figure 2.16: Diagramme de Gantt-Tâches (projet) Si on n a qu une seule contrainte disjonctive, on peut évidemment résoudre deux problèmes d ordonnancement : un où l on impose que i soit réalisée avant j, l autre où l on impose que j soit réalisée avant i. Ensuite, on prend le temps d exécution le plus court. Mais cette méthode d énumération explicite de toutes les possibilités devient vite impraticable lorsque le nombre de contraintes disjonctives croît. On peut alors le résoudre le problème grâce au recours àlaprogrammation en nombres entiers. En effet, pour chaque disjonction entre les tâches i et j,onintroduit la variable binaire x ij qui vaut 1 si la tache i est réalisée avant la tâche j et 0 si latâche j est réalisée avant la tâche i. Onvaalors remplacer (2.5) par les contraintes suivantes { ti + d i t j + M(1 x ij ) (2.6) t j + d j t i + Mx ij avec M une borne supérieure sur la date de fin des travaux. Vérifions que ce système avec la contrainte supplémentaire que x ij est binaire (0/1) exprime exactement la disjonction. Considérons d abord le cas x ij =1.Le système (2.6) devient { ti + d i t j t j + d j t i + M La première inéquation exprime bien que la tâche i doit être finie avant que ne débute la tâche j. Laseconde est toujours vérifiée, vu la définition de M. Considérons maintenant le cas x ij =0.Lesystème (2.6) devient { ti + d i t j + M t j + d j t i