Mathématiques Groupe d'expérimentation Pédagogique Titre : Introduction à la notion de fonction(bis) Sommaire : Présentation de la séquence.... page 2 Organisation de la séquence.....pages 3-4 Document élève....pages 5-6 - 7 Commentaires et variantes de la séquence...page 8 Fichiers joints... pages 9 GEP Mathématique Page 1 sur 9
Introduction à la notion de fonction Présentation Niveau Seconde Titre : Niveau(x) d enseignement concerné(s) : Introduction à la notion de fonction 2 nde Objectifs : Réaliser une construction géométrique réinvestissant les connaissances sur les transformations étudiées au collège, Démontrer en utilisant les propriétés des transformations, Dresser un tableau de valeurs numériques et en chercher une interprétation fonctionnelle, Approcher la notion de représentation graphique d une fonction, Définir une fonction par une formule et le vocabulaire associé, Effectuer des changements de cadre de résolution : géométrique, numérique, graphique, algébrique. Scénario : Réaliser une construction géométrique. Démontrer en utilisant les propriétés des transformations. Dresser un tableau de valeurs numériques et en chercher une interprétation fonctionnelle. Approcher la notion de représentation graphique d une fonction. Définir une fonction par une formule et le vocabulaire associé. Apports des TICE : Découverte et prise en main du logiciel GEOPLAN, Changements de cadre au sein d une même activité : construction géométrique, calcul numérique, représentation graphique d une fonction numérique, Variation d un paramètre de la figure (longueur d un segment) pour conjecturer. Place de la séquence dans la progression : Activité d introduction du chapitre «Fonctions». Prérequis : Connaissances des définitions et propriétés des transformations étudiées au collège. Cadre d utilisation : Cours ou modules Modalités : Salle informatique Prolongements possibles : Travailler sur le pas de déplacement d un objet de la figure et sur la précision des affichages de données numériques. Durée : 2 séances de 1 heure Logiciel(s) utilisé(s) : Géoplan Utilisateur(s) : Niveau de maîtrise des logiciels requis : Le professeur. familiarisé Les élèves.. débutants GEP Mathématique Page 2 sur 9
Introduction à la notion de fonction Organisation de la séquence Niveau Seconde 1 ère séance I. Mise en route ( 10 min ) Les élèves se placent en binôme à chaque poste et disposent chacun de la page 1 du document élève. Le professeur donne les consignes de travail de la séance : Chaque groupe doit mener en parallèle le travail à faire avec Géoplan et le travail à faire sur feuille, Chaque groupe devra remettre à la fin de la séance, le travail effectué sur feuille qui sera évalué. ( si cela est possible, il peut demander l impression de la figure réalisée avec Géoplan ) II. Recherche ( 30 min ) Les élèves travaillent par deux. Le professeur est à leur disposition pour répondre à leurs questions concernant le maniement du logiciel, les guider si besoin dans leur recherche. III. Compte-rendu Les élèves remettent au professeur le travail effectué sur feuille. IV. Synthèse ( 10 min ) Mettre en évidence les apports du logiciel par rapport au «papier-crayon» : Possibilité de faire varier rapidement un paramètre de la figure sans changer les propriétés initiales de la figure, Emettre des conjectures plus sures en comparant des figures ayant les mêmes propriétés, Mettre en évidence la nécessité de la preuve et du travail à faire sur feuille. GEP Mathématique Page 3 sur 9
Introduction à la notion de fonction Organisation de la séquence Niveau Seconde 2 ème séance I. Mise en route ( 10 min ) Les élèves se placent en binôme à chaque poste et disposent chacun de la page 3 du document élève et du travail remis sur feuille lors de la 1 ère séance. Le professeur donne les consignes de travail de la séance : Chaque groupe doit mener en parallèle le travail à faire avec Géoplan et le travail à faire sur feuille, Chaque groupe devra remettre à la fin de la séance, le travail effectué sur feuille qui sera évalué. ( si cela est possible, il peut demander l impression de la figure réalisée avec Géoplan ) II. Recherche ( 20 min ) Les élèves travaillent par deux. Le professeur est à leur disposition pour répondre à leurs questions concernant le maniement du logiciel, les guider si besoin dans leur recherche. III. Compte-rendu Les élèves remettent au professeur le travail effectué sur feuille. IV. Synthèse ( 20 min ) Reprendre avec l ensemble de la classe les différentes phases de l activité et conclure. Apport par le professeur des définitions, du vocabulaire, des notations : fonction, ensemble de définition, variable, image d un nombre, représentation graphique. GEP Mathématique Page 4 sur 9
Introduction à la notion de fonction Document Élève Niveau Seconde Introduction : Lire l énoncé ci-dessous. Introduction à la notion de fonction Enoncé : [DK] est un segment de longueur 6. A est un point mobile sur le segment [DK]. F est l image de K par la rotation de centre A et d angle 90 dans le sens contraire des aiguilles d une montre. B est le symétrique de A par rapport à F. C est l image de D par la translation qui transforme A en B. E est l image de F par la translation qui transforme A en K. 1) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Le démontrer. 2) Montrer que AB = 2AF. 3) Quelle est la nature du triangle AEB? Le démontrer. Effectuer le travail demandé dans chacune des quatre parties suivantes : il s agit de répondre aux questions posées dans l énoncé puis d étudier l aire du polygone EADBC en fonction de la position du point A sur [DK]. Première partie : Construction d une figure Travail à faire sur feuille Soit [DK] un segment de longueur 6. A est un point mobile sur le segment [DK]. F est l image de K par la rotation de centre A et d angle 90 dans le sens contraire des aiguilles d une montre. B est le symétrique de A par rapport à F. C est l image de D par la translation qui transforme A en B. Questions : 1) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Le démontrer. 2) Montrer que AB = 2AF. E est l image de F par la translation qui transforme A en K. Question : Quelle est la nature du triangle AEB? Le démontrer. Travail à faire avec GEOPLAN Créer les points D(0 ; 0) et K(0 ; 6) en utilisant le menu Créer/Point/Point repéré dans le plan. Tracer le segment [DK] en utilisant le menu Créer/Ligne/Segments. Créer le point A en utilisant le menu Créer/Point/Point libre/sur un segment. Créer le point F en utilisant le menu Créer/Point/Point image par/rotation(angle mesuré). Attention : ne pas oublier de sélectionner le degré comme unité d angle. Créer les points B et C en utilisant le menu Créer/Point/Point image par. Tracer le quadrilatère ABCD en utilisant le menu Créer/Ligne/Polygone. Créer le point E. Tracer le triangle AEB. Cliquer avec le bouton gauche de la souris sur le point A et le déplacer. La figure obtenue possède-t-elle toujours les propriétés démontrées sur feuille? Enregistrer la figure en utilisant le menu Fichier/Enregistrer la figure sous (le professeur indiquera le nom à donner au fichier et le répertoire dans lequel l enregistrer) GEP Mathématique Page 5 sur 9
Introduction à la notion de fonction Document Élève Niveau Seconde Introduction à la notion de fonction Deuxième partie : Calcul de l aire du polygone EADBC. Variation de cette aire quand le point A varie sur le segment [DK]. On désigne par x la longueur AK et par a l aire du polygone EADBC. Travail à faire sur feuille 1) Quelles sont les valeurs possibles de x? 2) Si a 1 est l aire du triangle AEB et a 2 l aire du triangle ABC, exprimer a en fonction de a 1 et a 2. Travail à faire avec GEOPLAN Le logiciel GEOPLAN permet de déterminer directement les longueurs des segments et les aires de triangles en utilisant le menu Créer/Numérique/Calcul géométrique. Définir ainsi x, a 1 et a 2. En utilisant le menu Créer/Numérique/Calcul algébrique, définir a. En utilisant le menu Créer/Affichage/Variable numérique, afficher les valeurs de x et de a. Relever dans un tableau 10 valeurs de x et les valeurs de a correspondantes. Faire varier le point A sur [DK] Troisième partie : Représentation graphique du tableau de valeurs. Travail à faire sur feuille Dans un repère orthogonal du plan avec pour unités : 1 cm en abscisses, 0,5 cm en ordonnées, placer les points dont les coordonnées (x ; a) figurent dans le tableau précédent. Travail à faire avec GEOPLAN Ouvrir le fichier contenant la figure réalisée lors de la séance précédente. Avec le bouton gauche de la souris, cliquer sur Fichier/Nouvelle figure puis sur Fenêtre/Mosaïque. Faire apparaître dans cette nouvelle fenêtre le repère en y cliquant sur le bouton repère x, puis en maintenant le bouton droit de la souris enfoncé déplacer ce repère pour amener l origine dans le coin inférieur gauche de la fenêtre. Cliquer enfin plusieurs fois sur le bouton < pour réduire le pas de graduation des axes du repère. Avec la commande Créer/Numérique/variable réelle libre définir la variable x puis la variable a. Cliquer sur Piloter/Importer. Avec la commande Créer/point/Point repéré/dans le plan, créer le point M d abscisse x et d ordonnée a. Pour observer la trace du point M lorsque le point A varie sur [DK] : cliquer sur Afficher/Sélection trace sélectionner le point M, puis cliquer sur le bouton T (ce bouton sera actif s il est rouge). faire varier ensuite le point A sur [DK] à l aide de la souris et observer le point M. GEP Mathématique Page 6 sur 9
Introduction à la notion de fonction Document Élève Niveau Seconde Introduction à la notion de fonction Quatrième partie : Expression de a en fonction de x. Travail à faire sur feuille 1) Montrer que pour x [0 ; 6], a = - x 2 + 12x. Travail à faire avec GEOPLAN Dans la fenêtre où se situe le point M, cliquer sur le bouton T pour désactiver la trace de M. Avec la commande Créer/Numérique/fonction numérique, créer la fonction f de variable x donnant l'aire a en fonction de x. Avec la commande Ligne/Courbe/Graphe d'une fonction prédéfinie, construire la courbe C représentative de la fonction f. Faire varier A sur [DK]. 2) Que peut-on dire du point M lorsque A varie sur [DK]? GEP Mathématique Page 7 sur 9
Introduction à la notion de fonction Commentaires Niveau Seconde Le découpage minuté de chaque séance est donné à titre indicatif et peut être modulé suivant le niveau des élèves. Le professeur ayant à sa disposition les deux fichiers Géoplan «Introf1bis» et «Introf2bis» peut, pour des élèves ayant pris du retard sur le déroulement de la séance, charger sur leur poste de travail le fichier nécessaire à la poursuite de l'activité. Lors de la première séance, le professeur peut dans la deuxième partie sensibiliser les élèves sur la précision des affichages et choisir de piloter le point A au clavier (menu : Piloter/Piloter au clavier) avec un paramètrage de pilotage (menu : Piloter/Modifier paramètres de pilotage au clavier) permettant d obtenir des valeurs de x avec un pas donné. Dans la troisième partie, la représentation graphique demandée aux élèves à partir de leur tableau de valeurs peut être faite à la maison avant d aborder la deuxième séance. Les comptes rendus peuvent être remis au professeur à l'issue de chaque séance, mais ils peuvent également faire l'objet d un devoir maison qui devra comporter les travaux à faire sur feuille dans les deux séances ainsi qu une synthèse de l'ensemble de l'activité. Si le nombre de micro-ordinateurs le permet, il est préférable de faire travailler chaque élève de manière individuelle face à un appareil. L'organisation de la séquence portant sur la première séance peut aussi se concevoir dans une classe équipée exclusivement d un chariot informatique avec un vidéo-projecteur ou avec une interface permettant une sortie sur téléviseur. Le professeur disposant du fichier Géoplan «Introf1bis» présente la figure aux élèves en faisant varier le point A. Les élèves ont alors à construire sur leur feuille la figure en précisant la chronologie de la construction et les transformations utilisées. Le professeur donne ensuite la possibilité aux élèves de relever 10 valeurs de x et valeurs de a en choisissant un pas approprié pour les valeurs de x. GEP Mathématique Page 8 sur 9
Introduction à la notion de fonction Fichiers joints Niveau Seconde Figure Géoplan : introf2bis.g2w Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, dessiné x réel libre a réel libre M point de coordonnées (x,a) dans le repère Roxy f fonction: x ->-x^2+12x Cf graphe de f sur [0,6] (100 points, repère Roxy) Objet libre actif au clavier: x Sélection pour trace: M Importation active Fin de la figure Figure Géoplan : introf1bis.g2w Numéro de version: 2 Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, non dessiné D point de coordonnées (0,0) dans le repère Roxy K point de coordonnées (0,6) dans le repère Roxy A point libre sur le segment [DK] Segment [DK] F image de K par la rotation de centre A et d'angle 90 (degré) B image de A par la symétrie de centre F C image de D par la translation transformant A en B rect polygone ABCD E image de F par la translation transformant A en K tri polygone AEB x longueur du segment [AK] (unité de longueur Uoxy) a1 aire du triangle AEB (unité de longueur Uoxy) a2 aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy) a = a1+2a2 Af0 affichage du scalaire x (2 décimales) Af1 affichage du scalaire a (2 décimales) Angles en degrés par défaut Fin de la figure GEP Mathématique Page 9 sur 9