Bases de la mécanique newtonienne Sommaiire Introduction. ------------------------------------------------------------- -I- Raisonnement pour aborder une situation en mécanique. --------------------- 1. Schéma. --------------------------------------------------------------. Système Centre d inertie. ----------------------------------------------- 3. Référentiel. ----------------------------------------------------------- 4. Repère. -------------------------------------------------------------- 3 5. Date. ---------------------------------------------------------------- 3 6. Inentaire des forces extérieurs. ------------------------------------------ 3 -II- Le ecteur position d'un point. ---------------------------------------3 -III- Le ecteur itesse d'un point. --------------------------------------3 1.1. Vitesse moyenne. ------------------------------------------------------------- 3.1. Vitesse instantanée. ---------------------------------------------------------- 3 3.1. Vecteur itesse. -------------------------------------------------------------- 4 4.1. Composantes et coordonnées. --------------------------------------------------- 4 -IV- Vecteur accélération. -----------------------------------------------4 -V- Composantes tangentielle et normale. -----------------------------------5 -VI- Quelques mouements. ----------------------------------------------5 1. Mouement d un point. --------------------------------------------------- 5. Mouement d'un solide indéformable ---------------------------------------- 5 -VII- Vitesse angulaire -------------------------------------------------6 otions et contenus : emps, cinématique et dynamique newtoniennes. Description du mouement d un point au cours du temps : ecteurs position, itesse et accélération. Compétences attendues : Extraire et exploiter des informations relaties à la mesure du temps pour justifier l éolution de la définition de la seconde. Choisir un référentiel d étude. Définir et reconnaître des mouements (rectiligne uniforme, rectiligne uniformément arié, circulaire uniforme, circulaire non uniforme) et donner dans chaque cas les caractéristiques du ecteur accélération. j f L ignorance, c est comme la science, ça n a pas de bornes. 1/6
Bases de la mécanique newtonienne Enoyer une sonde dans l espace ou étudier l efficacité d un freinage d une automobile nécessitent une bonne préision du mouement d un corps. Quelles lois Physiques rendent possibles ces préisions. Introduction. La mécanique à pour objet l étude des mouements de corps. La cinématique s intéresse aux caractéristiques du mouement (trajectoire, itesse, accélération, ) sans se préoccuper des causes qui le prooque. La dynamique s intéresse aux relations entre les caractéristiques du mouement et les forces qui le produisent. Mécanique = Cinématique + Dynamique -I- Raisonnement pour aborder une situation en mécanique. 1. Schéma. En mécanique, on commence toujours par faire un schéma de la situation en faisant apparaître tous les paramètres interenant dans l'étude.. Système Centre d inertie. Définir un système, c'est faire l'inentaire des corps matériels qui le constituent. Un solide est un système matériel indéformable. Solide indéformable: objet matériel dont la distance entre deux points quelconques ne arie pas au cours du temps. Centre d'inertie d'un solide en mouement: point de ce solide dont le mouement est le plus simple. On le note G. Exemple: Mobile muni d'un éclateur central A et d'un éclateur périphérique B. Lorsque le mobile est en mouement, le point A décrit une trajectoire plus simple (rectiligne) que celle des autres points. Le point A est le centre d'inertie du mobile. Solides de formes géométriques simples : Dans le cas où le solide est homogène et où il présente un centre de symétrie, le centre d'inertie est confondu aec ce point. 3. Référentiel. Pour étudier le mouement d un corps, il faut se donner un solide de référence. Le plus souent ce solide est la erre (référentiel terrestre). Les caractéristiques du mouement dépendent du référentiel choisi. Exemples : laage automatique des oitures, trains côte à côte, Référentiel: objet par rapport auquel on étudie le mouement d'un point. Remarques : Pour décrire le mouement, il est nécessaire de choisir un référentiel d'étude. Pour qu un référentiel soit complet, on lui associe un repère d espace (O, i, j, k) et un repère de temps (horloge qui donne la date). Le mouement dépend du référentiel utilisé. j f L ignorance, c est comme la science, ça n a pas de bornes. /6
4. Repère. La position du système est repérée par ses coordonnées dans un repère lié au référentiel. Repère: système de repérage dans l'espace associé au référentiel. 5. Date. Un éénement est repéré par sa date. Une durée est l'interalle de temps séparant deux dates. Il est important de donner les Conditions Initiales c est-à-dire les conditions à t = 0s. 6. Inentaire des forces extérieurs. Une fois le système défini, on fait l inentaire des forces extérieurs appliquées au système. Un système est pseudo-isolé quand l'ensemble des forces extérieures se compensent. Exemple: Attention : e pas confondre les forces intérieures et les forces extérieures. Force extérieure : toute force exercée sur le système par un objet n'appartenant pas au système. Force intérieure : une force exercée par une partie du système sur une autre partie du système. -II- Le ecteur position d'un point. Le ecteur position se note à chaque instant t: x(t) OM(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = y(t) z(t) -III- Le ecteur itesse d'un point. 1.1. Vitesse moyenne. La itesse moyenne d'un solide ponctuel est le quotient de la distance parcourue par le solide par le temps mis pour la parcourir. Mouement rectiligne Mouement curiligne.1. Vitesse instantanée. La itesse instantanée d'un solide ponctuel à la date t est la itesse moyenne du solide pendant une brèe durée autour de la date t. Remarques : La itesse du mobile dépend du référentiel utilisé. La itesse instantanée est la aleur indiquée par le tachymètre (indicateur de itesse) d'un éhicule. Le mouement est dit uniforme si la aleur de la itesse instantanée reste constante. Le mouement est dit accéléré si la aleur de la itesse instantanée augmente au cours du temps. Le mouement est dit décéléré si la aleur de la itesse instantanée diminue au cours du temps. j f L ignorance, c est comme la science, ça n a pas de bornes. 3/6
3.1. Vecteur itesse. A un instant de date t, le mouement d'un mobile est déterminé par: La position du mobile. Le ecteur itesse du mobile caractérisé par: son point d application : le centre d inertie G (ici M). sa direction: la tangente à la trajectoire. son sens : celui du mouement. sa aleur: la itesse instantanée du mobile. illustration Dans un référentiel donné, la itesse d un mobile M est la dériée par rapport au temps du dom ecteur position OM : = Coordonnées : ceux sont les dériées des coordonnées du ecteur position : OM dom dx x dérie = x = = x dy y y = = y dz z z = = z ( t) = ( t) + ( t) + ( t) ou x y z Composantes du ecteur itesse -IV- Vecteur accélération. 4.1. Composantes et coordonnées. i ( t) = ( t) + ( t) + ( t) x y z j Coordonnées du ecteur itesse On appelle ecteur accélération du centre d'inertie G d'un solide à la date t le ecteur : k Dans un référentiel donné, le ecteur accélération ag,d un point mobile à l instant t, est la dériée, par rapport au temps, du ecteur itesse ou la dériée seconde, par au temps, du ecteur position à chaque instant : d d OM a = = G Coordonnées : ceux sont les dériées des coordonnées du ecteur itesse ou les dériées secondes des coordonnées du ecteur position: dx d x ag ax = = dy d y ay = = dz d z az = = Remarque: Soit t la projection du ecteur accélération sur la tangente à la trajectoire: j f L ignorance, c est comme la science, ça n a pas de bornes. 4/6
Si t et G sont de même sens, le mouement est accéléré. Si augmente alors le mouement est accéléré. Si t et G sont de sens opposé, le mouement est décéléré. Si diminue alors le mouement est retardé (ralenti). Si t=, le mouement est uniforme. Si t et G ont même direction, le mouement est rectiligne. a est toujours ers l intérieur de la courbe (dans le cas d un mouement parabolique). -V- Composantes tangentielle et normale. Dans le cas d un mouement curiligne, l accélération est toujours constituée de deux composantes : d angentielle : a = ormale : a = aec R le rayon de courbure R le ecteur normale à la courbe. a( t) = a ( t) + a ( t) a Le repère de Frenet : Il est constitué de ecteurs unitaires : M a normal à la trajectoire en M orienté ers la concaité de celle-ci a tangent à la trajectoire en M et orienté dans le sens du mouement -VI- Quelques mouements. 1. Mouement d un point. Mouement rectiligne uniforme : Le ecteur itesse est constamment le même : = cste Mouement circulaire uniforme : cste mais = cste d a = = 0 => a = a = R. Mouement d'un solide indéformable a) rajectoires. (Voir Exercices) La trajectoire d'un mobile est l'ensemble des positions successies de ce mobile au cours du temps. Le mouement d'un objet est dit curiligne si sa trajectoire est une courbe. Le mouement d'un objet est dit rectiligne si sa trajectoire est une droite. Le mouement d'un objet est dit circulaire si sa trajectoire est un cercle. illustration j f L ignorance, c est comme la science, ça n a pas de bornes. 5/6 a
b) Mouement de translation Un solide possède un mouement de translation si tout segment du solide reste parallèle à lui même au cours du mouement. c) rajectoires dans un mouement de translation ranslation curiligne: out segment du solide se déplace en restant parallèle à lui même et le mouement de chaque point est curiligne. ranslation rectiligne: out segment du solide se déplace en restant parallèle à lui même et le mouement de chaque point est rectiligne. ranslation circulaire: out segment du solide se déplace en restant parallèle à lui même et le mouement de chaque point est un cercle. d) Solide en rotation autour d'un axe fixe Un solide possède un mouement de rotation autour d'un axe fixe si le mouement de chacun de ses points est un cercle centré sur l'axe de rotation. -VII- Vitesse angulaire a) itesse angulaire ω m moyenne: La itesse angulaire ω m moyenne est le quotient de l'angle dont a tourné le solide par le temps mis pour effectuer cette rotation. ω θ t 1 = θ m 1 t ω m en en rad.s -1 θ et θ 1 en radians (rad) t et t 1 en secondes (s) b) Vitesse angulaire instantanée ω: La itesse angulaire instantanée ω d'un solide à la date t et la itesse angulaire moyenne du solide pendant une brèe durée autour de la date t. Aec t t 1, on a : ω= θ t V: itesse linéaire en m.s -1. c) Relation entre V et ω: V = R. ω R: rayon de la trajectoire en m. ω: itesse angulaire en rad.s -1 d) Mouement de rotation uniforme. Lorsqu un solide est animé d un mouement de rotation uniforme : La itesse angulaire ω est constante ; Chaque point du solide décrit un mouement circulaire uniforme aec une itesse : = R.ω ; Pour effectuer un tour, la durer est constante. Π Période du mouement : = ω s exprime en seconde (s) et ω s exprime en rad.s -1. Fréquence f du mouement : f = 1 F s exprime en Hertz (Hz) qui correspond à des s -1. j f L ignorance, c est comme la science, ça n a pas de bornes. 6/6