Fondements de la technique des pistes en sudoku

Fondements de la technique des pistes en sudoku Par Robert Mauriès 1. Introduction L'objet de ce document est de présenter et de démontrer les propriétés de la théorie globale que j'ai appelée "technique des pistes" permettant de résoudre toutes les grilles de sudoku. Cette technique des pistes est expliquée d'un point de vue pratique, dans mon livre "Technique des pistes en sudoku". La suite de ce document suppose acquise de la part du lecteur les règles, les définitions et les techniques simples de résolution des grilles de sudoku. 2. Terminologie et conventions Précisons le sens donné à certains termes que l on retrouvera dans la suite du document. - R désigne les Règles du sudoku, supposées connues. - Une zone (sous-entendu zone sudoku) est une ligne, une colonne ou un bloc formant la grille sudoku. - Un candidat (sous-entendu candidat potentiel) noté A i est un des nombres 1, 2 9 pouvant être disposés dans une case de la grille sudoku qui n'est pas encore résolue en respectant R (les règles du sudoku). Deux candidats sont différents dès lors qu'ils ne sont pas dans la même case, ou s'ils sont dans la même case n'ont pas la même valeur. On désigne par G={A i, i=1.., N) l'ensemble de ces candidats pouvant être disposés dans les différentes cases de la grille, avec N<(81-K)x9 où K est le nombre de candidats pré-disposés (dévoilés). Un candidat est repéré par sa valeur et sa position (ligne-colonne) dans la grille. Par exemple 5L2C6 désigne le candidat de valeur 5 dans la case située à l'intersection de la ligne 2 et de la colonne 6. - Placer un candidat sur une grille est l opération consistant à disposer ce candidat seul dans une case de la grille. 1

- Eliminer un candidat sur une grille est l opération consistant à supprimer ce candidat d une case de la grille. - Deux candidats forment une paire, s'ils sont les seuls à occuper une case, ou s'ils ont la même valeur et sont les seuls de cette valeur dans une zone sudoku (ligne, colonne ou bloc). - Une solution d une grille sudoku, si elle existe, est l ensemble S={A i, i=i 1, i 2,, i p, p=81-k} des candidats placés dans toutes les cases de la grille de telle manière que R (les règles du sudoku) soient respectées. Une grille peut avoir une solution, plusieurs solutions S k ou aucune solution. - Un candidat solution est un candidat appartenant à S. - Une technique de résolution est une démarche (raisonnement) logique qui permet de placer ou d'éliminer des candidats sur une grille en respectant R (les régles du sudoku). Parmi les techniques les plus simples figurent : la recherche des candidats uniques par balayage des zones (ligne, colonne et bloc), la recherche des alignements et la recherche des ensembles fermés. L ensemble de ces trois techniques constitue les techniques de base, en abrégé TB. - On désigne par E={A k, k=k 1, k 2,, k m }, où m < N, un ensemble de candidats qui forme un sous-ensemble quelconque de l'ensemble G. 2. Piste et antipiste d'une grille Définitions 2-1 : 1) Une piste P(A k ) issue d un candidat A k est l ensemble des candidats A i G que l on placerait avec les TB si A k était placé. P(A k ) ={A i G : A i placés par TB si A k placé}. 2) Une antipiste P (A k ) issue d un candidat A k est l ensemble des candidats A i G que l on placerait avec les TB si A k était éliminé de la grille. P (A k ) ={A i G : A i placés par TB si A k éliminé}. On dit que P (A k ) est l antipiste de la piste P(A k ). 2

3) Une piste P(E) issue d un ensemble de candidats E est l ensemble des candidats A i G communs à toutes les pistes issues de tous les candidats A k E. P(E) = E P(A k ) ={A i G : A i P(A k ), A k E, k} On a évidemment : P(E) P(A k ) k. Si E est la réunion de plusieurs ensembles E1, E2, Ep, on a évidemment P(E) = E P(E k ). 4) Une antipiste P (E) issue d un ensemble de candidats E est l ensemble des candidats A i G que l on placerait avec les TB si on éliminait tous les candidats A k E. P (E) ={A i G : A i placés par TB si A k E éliminé k }. On dit que P (E) est l antipiste de la piste P(E). On a évidemment : E P (A k ) P (E) Convention : P(E) et P'(E) sont l'une et l'autre des pistes au sens large, seul leur mode de construction diffère. Aussi et sauf précision expresse, sauf si la distinction des deux est nécessaire, on utilisera dans la suite le terme de piste P aussi bien pour une piste que pour une antipiste. 3. Invalidité et validité d une piste ou d'une antipiste Définitions 3-1 : 1) Une piste P est invalide lorsque le placement des candidats qui la composent conduit à une incompatibilité avec R. On dira que P est R- incompatible. 2) Une piste P est valide si et seulement si elle n est composée que de candidats solutions. Cette notion de validité doit être comprise relativement à une solution S k de la grille si il y a plusieurs solutions, on devrait écrire S k -valide, ce qui est donc sous-entendu ici. Une piste valide P est donc composée des éléments de S k et une fois la piste totalement construite on aura P= S k. Une grille ayant plusieurs solutions peut donc avoir plusieurs pistes valides différentes. Propriété 3-1 : Une piste est forcément valide ou invalide, mais ne peut pas être les deux à la fois, elle a donc l un ou l autre des deux statuts. 3

En effet, si une piste n était ni valide ni invalide, nous pourrions affirmer que le placement de ses candidats respecte R (ni invalide) tout en contenant au moins un candidat qui n est pas solution (ni valide), ce qui est absurde. De même, si une piste était à la fois valide et invalide, nous pourrions affirmer que tous ses candidats sont solutions alors que leur placement ne respecte pas R, ce qui est absurde aussi. Note : dans le cas d une grille qui n a pas de solution, aucune piste ne peut être valide, en conséquence toutes les pistes que l on peut construire sont forcément invalides. Propriété 3-2 : Soient P1 et P2 deux pistes telles que P1 P2, alors : - P2 valide => P1 valide - P1 invalide => P2 invalide En effet, - P2 étant valide, tous les candidats de P2 sont solutions par définition, donc les candidats de P1 qui sont des candidats de P2 par hypothèse sont aussi tous solutions, c est dire que P1 est valide par définition. - P1 étant invalide, si P2 était valide on en déduirait d après l assertion précédente que P1 serait valide, ce qui est en contradiction avec l hypothèse P1 invalide. Donc P2 est invalide. Propriété 3-3 : - Si P(E) est invalide, aucun des candidats de E n est solution et tous les candidats de E peuvent être éliminés. - Si un candidat de E au moins est solution, P(E) est valide. En effet : - Si un candidat A k de E était solution, la piste P(A k ) issue de ce candidat serait par construction et définition une piste valide, c est à dire que tous les candidats qui la composent seraient solutions. Comme P(E) P(A k ), P(E) serait aussi une piste valide, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse P invalide. Donc aucun des candidats de E n est solution, ils peuvent tous être éliminés. Second point de la propriété, - Si un candidat A i de E est solution, la piste P(A k ) issue de ce candidat est par construction et définition une piste valide. Comme P(E) P(A k ), P(E) est valide. 4

Propriété 3-4 : - Si P (E) est invalide, un au moins des candidats de E est solution. - Si aucun des candidats de E n est solution, P'(E) est valide. En effet : - Si aucun des candidats de E n était solution, tous les candidats de l antipiste P'(E) seraient solutions par définition et construction de l antipiste, donc l antipiste serait valide, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse P'(E) invalide. Donc un au moins des candidats de E est solution. Second point de la propriété, - Cela résulte de la définition et de la construction même d'une antipiste. 4. Pistes conjuguées Définition 4-1 : Deux pistes P1 et P2 sont conjuguées lorsqu elles ne peuvent pas être toutes les deux invalides. Si P1 est invalide, P2 est valide. Si P2 est invalide, P1 est valide. Une conséquence de cette définition est que deux pistes conjuguées peuvent être toutes deux valides. Théorème 1 : Une piste P(E) et son antipiste P (E) sont des pistes conjuguées. En effet cela résulte des propriétés 3-3 et 3-4: - Si P(E) est invalide, aucun des candidats de E n est solution, donc l antipiste P (E) est valide. - Si P (E) est invalide, un candidat A i de E au moins est solution, donc P(E) est valide. Théorème 2 : E étant la réunion de deux ensembles E1 et E2 distincts, si P (E) est invalide, alors les pistes P(E1) et P(E2) sont conjuguées. En effet : L hypothèse P (E) invalide signifie que l un au moins des candidats de E est solution. Dès lors, - Si P(E1) est invalide, alors aucun des candidats de E1 n est solution, c est donc un au moins des candidats de E2 qui est solution, donc P(E2) est valide. 5

- Si P(E2) est invalide, alors aucun des candidats de E2 n est solution, c est donc un au moins des candidats de E1 qui est solution, donc P1 est valide. A noter que si E1 et E2 doivent être distincts, ils ne doivent pas être nécessairement disjoints. 5. Propriétés des pistes conjuguées Définitions 5-1 : - On dit qu'un candidat A i voit un candidat différent A r lorsque les deux candidats A i et A r sont dans la même case, ou ont la même valeur et sont dans la même zone sudoku. - On dit qu un candidat voit une piste P lorsqu'il voit un candidat faisant partie de la piste P. A noter que si P(E) est une piste issue d un ensemble E de candidats A k, un candidat qui voit chacune des pistes P(A k ) voit P(E). Il en va de même si E est la réunion de plusieurs ensembles E i, un candidat qui voit chacune des pistes P(E i ) voit P(E). Propriété 5-1 (élimination) : Un candidat qui voit deux pistes conjuguées n'est pas un candidat solution et peut être éliminé. Soient P1 et P2 les deux pistes conjuguées, et A n un candidat qui voit P1 et P2. A n voit donc un candidat A i de P1 et un candidat A r de P2 Si A n était solution, A i et A r ne seraient pas solutions en vertu de R. Cela implique que P1 et P2 ne seraient valides ni l'une ni l'autre, ce qui est impossible pour des pistes conjuguées dont l'invalidité de l'une entraîne obligatoirement la validité de l'autre. A n n'est donc pas solution et peut être éliminé. Propriété 5-2 (validation) : Un candidat commun à deux pistes conjuguées est un candidat solution. Cette propriété est une conséquence de la propriété 5-1, puisque tous les autres candidats de la case contenant un candidat commun aux deux pistes conjuguées voient les deux pistes et peuvent donc être éliminés de la case dans laquelle ne subsiste plus que le candidat commun aux deux pistes. 6

Propriété 5-3 : Si une piste P est invalide, tous les candidats d une piste conjuguée de P sont solutions. En effet, cela résulte de la définition même des pistes conjuguées. 6. Application L'application de ces propriétés est un outil puissant de résolution des grilles sudoku, car il est toujours possible de construire des pistes conjuguées sur une grille. Parmi les plus évidentes des pistes conjuguées possibles, citons les pistes issues respectivement de deux candidats formant une paire. Mais il y en a bien d'autres que le théorème 2 peut mettre en évidence comme par exemple les pistes issues de deux ensembles distincts formant une partition d une case ou des candidats de même valeur d une zone. En pratique, les candidats d'une piste peuvent être marqués sur la grille par des symboles (. / *) ou des couleurs comme dans l'exemple qui suit. Sur la grille de la figure 1 que l'on ne peut résoudre avec les seules techniques de base (TB), on choisit E={2L7C9, 3L8C1, 9L8C1}. L antipiste P'(E) est marquée avec la couleur verte. Elle est construite en supposant que les 3 candidats de E sont éliminés. La piste P(E) issue de E comprend les candidats communs de la piste bleue issue du 2L7C9 et de la piste jaune issue de l'ensemble {3L8C1, 9L8C1} qui forme un ensemble fermé jaune avec la paire {3L8C9, 9L8C9}. P(E) est formée de tous les candidats jaune entourés d'un carré bleu. L'interaction de ces trois pistes permet donc d'éliminer tous les candidats barrés d'un trait rouge car ils voient à la fois P(E) et P'(E) qui sont conjuguées. Mais si on poursuit la construction de l'antipiste P'(E) on aboutit à une contradiction (affirmation laissée à votre vérification), ce qui rend cette antipiste invalide, et par conséquent rend la piste P(E) valide. Tous les candidats de P(E), c'est à dire tous les candidats jaunes entourés d'un trait bleu, sont solutions de la grille qui se termine alors facilement par les techniques de base. 7

Fig 1 : croisements piste et antipiste 7. Pistes conjuguées et pistes opposées Dans ce pargraphe il est nécessaire de préciser à quelle solution S k on s intéresse lorsqu une grille a plusieurs solutions. Ainsi une piste P valide sera qualifiée, comme il convient, de piste S k -valide si tous ses candidats sont des candidats de S k. 8

Propriété 7-1: Si faire l hypothèse P1 est S k -valide entraîne que P2 est S k -valide, alors P2 P1. Ce résultat provient du mode de construction d une piste. Supposer (hypothèse) ou constater qu une piste est S k -valide revient à placer les candidats de la piste sur la grille par les TB comme si ils étaient solutions (voir définition d une piste). Si de placer ceux de P1 permet de dire aussi que l on peut placer ceux de P2, alors c est que P2 est un prolongement de P1 par définition. Donc P2 P1. Définition 7-1 : Deux pistes Q1 et P1 sont opposées lorsqu un candidat de Q1 voit un candidat de P1 et réciproquement. Note : en général, deux pistes opposées ne sont pas forcément conjuguées. Propriété 7-2: Deux pistes Q1 et P1 opposées ne peuvent pas être toutes les deux S k -valides. En effet, soient A i et A r deux candidats respectifs de Q1 et P1 qui se voient. Si Q1 est S k -valide et P1 est S k -valide, les candidats de Q1 et de P1 étant tous des candidats de S k, A i et A r sont des candidats de S k. S k est dans ce cas une solution qui contient deux candidats A i et A r qui se voient (même case ou même valeur dans une zone), ce qui est impossible, une solution n ayant qu un candidat par case ou un seul candidat de même valeur dans une zone. Q1 et P1 ne peuvent donc pas être S k -valides toutes les deux. Théorème 3 : Si Q1 est une piste opposée à une piste P1, toute piste P2 conjuguée de P1 est incluse dans Q1 (P2 Q1). En effet, P1 et P2 étant conjuguée, il existe une S k telle que une des deux pistes est S k -valide. Si Q1 est S k -valide, alors P1 qui lui est opposée ne peut pas être S k - valide, c est donc P2 qui est S k -valide. Faire l hypothèse Q1 S k -valide entraînant P2 S k -valide, on a donc P2 Q1 d après la propriété 7-1. 9

Corollaire 3-1 : Si deux pistes conjuguées Q1 et Q2 sont opposées à une même piste P1, toute piste P2 conjuguée de P1 est valide. En effet, Si Q1 et Q2 sont opposées à P1, pour une piste P2 conjuguée de P1 on a P2 Q1 et P2 Q2, donc P2 est constituée des candidats communs à Q1 et Q2 qui, d après la propiété 5-2 sont tous solutions, ce qui rend P2 valide. Corollaire 3-2 : P1 et Q1 étant deux pistes opposées, deux pistes P2 et Q2 respectivement conjuguées de P1 et Q1 sont conjuguées. En effet, d après le théoreme 3, on a P2 Q1 et Q2 P1. Si P2 est invalide alors Q1 est invalide aussi (propriété 3-2), donc Q2 conjuguée de Q1 est valide. De même, si Q2 est invalide alors P1 est invalide aussi, donc P2 conjuguée de P1 est valide. P2 et Q2 ne pouvant pas être toutes les deux invalides sont conjuguées par définition. 8. Application Voici une exemple d application de ces notions liées aux pistes conjuguées et aux pistes opposées. Sur la grille de la figure 2, on trace une jeu de pistes conjuguées bleue/jaune issue de la paire 4B1 et un jeu de pistes conjuguées verte/violette issue de la paire 6B3. Les deux pistes verte (Q1) et violette (Q2) sont opposées à la piste jaune (P1), pour Q1 dans C1 et pour Q2 dans B8. On peut donc, en vertue du corollaire 3-1, valider les 3 candidats de la piste bleue. La grille peut-être de cette manière entièrement résolue et pour cela nous vous renvoyons à la solution donnée sur cette page web : http://www.assistant-sudoku.com/grille_resolue.php?rid=303 10

Fig 2 : interactions de pistes opposées et conjuguées 11

9. Bifurcation d une piste Sur les grilles très difficiles, la représentation d une piste P se limite généralement à quelques candidats. Pour poursuivre sa construction on doit faire appel à une ou des bifurcations de cette piste. Définitions 9-1 : Une P-piste est une piste P1 construite selon les définitions données au pargraphe 2, mais en supposant de surcroît que les candidats de P sont déjà des candidats de P1. - Si P1 est une piste issue d un candidat A k, on dira que P1 est une P- piste issue de A k, ce que l on écrira P-piste(A k ). - Si P1 est une piste issue d un ensemble de candidats E, on dira que P1 est une P-piste issue de E, ce que l on écrira P-piste(E). - Si P1 est une antipiste issue d un ensemble de candidats E, on dira que P1 est une P-antipiste issue de E, ce que l on écrira P-antipiste(E). La construction d une P-piste est faite sur une supposition, rien ne prouve donc que ses candidats sont effectivement des candidats de P. Définitions 9-2 : - Une P-piste (ou une P-antipiste) est P-invalide lorsque le placement des candidats qui la composent conduit à une incompatibilité avec R. - Une P-piste est P-valide si et seulement si tous ses candidats sont effectivement des candidats de P. De ces définitions découlent les propriétés suivantes. Propriété 9-1 : - Si la P-piste(E) est P-invalide, aucun des candidats de E n est un candidat de P. - Si un au moins des candidats d un ensemble E est un candidat de P, la P-piste(E) est P-valide. En effet, - si un candidat A k de E était un candidat de P, tous les candidats de P(A k ) seraient aussi des candidats de P, ce qui ferait de P(A k ) une P- piste. Ainsi, la P-piste issue de E étant par définition l intersection de toutes les P-pistes issues de tous les candidats de E, tous les candidats de la P-piste issue de E seraient des candidats de P(A k ) et seraient donc aussi des candidats de P. Cela reviendrait donc à dire que l on construit la piste P avec des candidats qui conduisent à ne pas recpecter R, ce qui est en contradiction avec la définition même de la construction d une piste à l aide des TB. 12

Aucun des candidats de E n est donc un candidat de P. - si un candidat A k de E est un candidat de P, tous les candidats de P(A k ) sont des candidats de P, ce qui fait de P(A k ) une P-piste. Ainsi, la P-piste issue de E étant par définition l intersection de toutes les P- pistes issues de tous les candidats de E, tous les candidats de la P- piste issue de E sont aussi des candidats de P. La P-piste issue de E est donc P-valide. Propriété 9-2 : - Si la P-antipiste(E) est P-invalide, un au moins des candidats de E est un candidat de P. - Si aucun des candidats d un ensemble E est un candidat de P, la P-antipiste(E) est P-valide. En effet, - si aucun des candidats de E n était un candidat de P, tous les candidats de la P-antipiste issue de E seraient des candidats de P par définition et construction de la P-antipiste. Cela reviendrait donc à dire que l on construit la piste P avec des candidats qui conduisent à ne pas recpecter R, ce qui est contradiction avec la définition même de la construction d une antipiste à l aide des TB. Un des candidats de E au moins est donc un candidat de P. - si aucun des candidats de E n est un candidat de P, tous les candidats de la P-antipiste issue de E sont des candidats de P par définition et construction de la P-antipiste. La P-antipiste est donc P- valide. Définition (bifurcation) : Deux P-pistes P1 et P2 forment une bifurcation de P si elles sont telles que la P-invalidité de l une entraîne la P-validité de l autre. P1 et P2 sont P-conjuguées et sont appellées les branches de la bifurcation de P. De cette définition découlent trois propriétés utiles au prolongement d un piste bloquée dans sa construction. Propriété 9-3 : Un candidat qui voit les deux branches d une bifurcation d une piste P n est pas un candidat de P. En effet, soient P1 et P2 les branches d une bifurcation de P, et A n un candidat qui voit P1 et P2. A n voit donc un candidat A i de P1 et un candidat A r de P2 13

Si A n était un candidat de P, P1 (cf. P2) serait P-invalide en vertu de R, donc P2 (cf. P1) serait P-valide et A r (cf. A i ) serait un candidat de P qui voit un autre candidat de P, ce qui est en contradiction avec R. A n n'est donc pas un candidat de P. Propriété 9-4 : Un candidat commun aux deux branches d une bifurcation d une piste P est un candidat de P. En effet, cette propriété est une conséquence de la propriété 9-3, puisque tous les autres candidats de la case contenant un candidat commun aux deux branches de la bifurcation de P voient les deux branches, et en conséqence, ne sont pas des candidats de P dans cette case. Ne subsiste donc plus dans cette case comme candidat pouvant être un candidat de P que le candidat commun aux deux branches de P. Propriété 9-5 : Si une branche d une bifurcation d une piste P est P-invalide, tous les candidats de l autre branche sont des candidats de P. En effet, cela résulte de la définition même d une bifurcation. Etablissons deux théorèmes importants qui permettront de trouver des bifurcations d une même piste P. Théorème 4 : La P-piste(E) et la P-antipiste(E) forment une bifurcation de P. En effet cela résulte des propriétés 10-1 et 10-2 : - si la P-piste issue de E est P-invalide, aucun des candidats de E n est un candidat de P, donc la P-antipiste issue de E est P-valide. - si la P-antipiste issue de E est P-invalide, un au moins des candidats de E est un candidat de P, donc la P-piste issue de E est P-valide. Théorème 5 : E étant la réunion de deux ensembles distincts de candidats E1 et E2, si la P-antipiste(E) est P-invalide, alors la P-piste(E1) et la P- piste(e2) forment une bifurcation de P. En effet, si la P-antipiste issue de E est P-invalide, un au moins des candidats de E est un candidat de P. Dès lors, - Si la P-piste issue de E1 est P-invalide, alors aucun des candidats de E1 n est un candidat de P, c est donc un au moins des candidats de E2 qui est un candidat de P, donc la P-piste issue de E2 est P-valide. 14

- Si la P-piste issue de E2 est P-invalide, alors aucun des candidats de E2 n est un candidat de P, c est donc un au moins des candidats de E1 qui est un candidat de P, donc la P-piste issue de E1 est P-valide. 10. Application Voici une exemple d utilisation d une bifurcation permettant de débloquer une grille par prolongement d une piste. Reprenons la grille de la figure 2 pour la traiter autrement. Pour prolonger la piste bleue P qui ne compte que 3 candidats, on utilise une bifurcation de P formée des deux P-pistes verte issue du Fig 3 : Bifurcation d une piste 15

4L4C4 et violette issue du 4L6C4 (figure 3). Ces deux P-pistes forment bien une bifurcation de P, puisque (théoreme 5) la P-antipiste issue de l ensemble E={4L4C4, 4L6C4} est visiblement P-invalide sur C4. Ou, dit autrement, les deux P-pistes forment une bifurcation de P car (théorème 4) la P-piste violette est la P-antipiste de la P-piste verte. Les deux branches de la bifurcations ayant en commun le 1L4C3 celui-ci est donc un candidat de la piste bleue, laquelle se développe alors très significativement au point de couvrir la grille pour fournir une solution (affirmation laissée à votre vérification). 11. Conclusion Les propriétés énoncées et démontrées permettent de venir à bout de toutes les grilles de sudoku. D un point de vue pratique, la technique est présentée et illustrée par de nombreux exemples dans mon livre "Technique des pistes en sudoku" et sur le site internet qui l'accompagne www.assistantsudoku.com. Toulouse octobre 2015, mise à jour novembre 2016, janvier 2017 Toute reproduction interdite sans l'accord de l'auteur. 16