DOSSIER N 18 Question : Présenter un choix d exercices sur le thème suivant : Exemples de mise en oeuvre du calcul matriciel dans la série ES. Consignes de l épreuve : Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les fiches mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces fiches interviendra dans l appréciation de votre épreuve. Le terme exercice est à prendre au sens large ; il peut s agir d applications directes du cours, d exemples ou contreexemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d autres disciplines. Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez la pertinence des différents outils mis en jeu. Cet exposé est suivi d un entretien (20 minutes minimum). Annexes : Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes ainsi qu une documentation conseillée. Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références au programme ne constituent pas le plan de l exposé. 1
2 ANNEXE DU DOSSIER N 18 Références aux programmes : Extraits de programmes de Première et Terminale ES option math : Contenu Modalités de mise en oeuvre Commentaires Calcul matriciel Vecteurs-lignes ou colonnes, matrices : définition, dimension, opérations. Multiplication d une matrice par un vecteur. Multiplication de deux matrices. Application à la résolution de problèmes faisant intervenir un système linéaire d équations. Vecteurs et matrices seront présentés comme des tableaux de nombres décrivant des situations simples ; les opérations seront introduites à la suite d exemples leur donnant du sens et les justifiant. Les opérations seront d abord réalisées à la main ; on évitera les complications artificielles et on en restera à des dimensions modestes (2, 3, 4 au plus). On posera la question de la recherche de l inverse d une matrice ; on cherchera à résoudre ce problème à la main, sur un ou deux exemples en dimension 2. On interprétera géométriquement les systèmes à 3 inconnues. On exploitera les possibilités offertes par les tableurs et calculatrices. On évitera ici tout formalisme et on privilégiera une présentation intuitive en réponse à des situations concrètes. Le calcul matriciel sera l occasion de calculs numériques simples, ne pouvant aboutir que si l on procède avec ordre et rigueur. La notion de déterminant d une matrice n est pas au programme. On notera la linéarité sousjacente à la multiplication d une matrice A par un vecteur X ; on en donnera la signification à travers les exemples concrets étudiés. On reprendra en termes matriciels la résolution de systèmes au programme de la partie obligatoire. On ne résoudra à la main que des systèmes à 2 inconnues (exceptionnellement 3) on utilisera calculatrices et tableurs pour les dimensions supérieures. Documentation conseillée : Document d accompagement des programmes. Manuels de Première et Terminale ES.
3 Il ne s agit en aucun cas d une correction, mais seulement de mon point de vue sur le sujet. Ce dossier se situe exclusivement en 1ère ES option Math et l on peut s étonner de voir apparaitre le calcul matriciel à ce niveau. Les matrices ne sont en effet abordées qu en premier cycle universitaire, dans le cadre de l algèbre linéaire, et elles sont en général redoutées par les étudiants. On peut donc même s interroger sur la faisabilité de cette introduction au calcul matriciel en 1ère. A n en pas douter, ce sont surement les difficultés rencontrées par les étudiants de Deug de Sciences Economiques et Sociales qui ont pousser le comité des programmes sur cette voie d une introduction précoce du calcul matriciel. Dans la mesure où ils se seront familiarisés avec le calcul matriciel dès la première, les bacheliers de la filière ES seront sans doute moins déroutés face aux espaces vectoriels, vecteurs et bases. Ils pourront, tout du moins, s appuyer sur un certain savoir faire. Mais ceci ne peut-être efficace qu à la condition de ne pas effrayer les les élèves de cette filière, ce qui les pousserait à une fuite massive de l option Math, pour un résultat nul. Il faut donc proposer une introduction des matrices adaptée au public concerné. Le point d entrée proposé par les programmes est le suivant : les élèves de la série ES manipulent fréquemment des tableaux de données numériques. Notons d ailleurs que les notations introduites lors de l étude des tableaux à deux entrées sont partagées, dans une large mesure, avec le calcul matriciel. On introduit ainsi les matrices comme des tableaux de nombres. Mais le plus difficile reste à faire : étendre l addition et la multiplication des réels à ces tableaux de nombres. Pour cela, on s appuie sur les manipulations des données que les élèves ont l habitude de pratiquer et qui ont souvent une interprétation matriciel. Voici, par exemple, les notes obtenues par 10 élèves de Terminale ES spécialité Math aux épreuves du baccalauréat : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Français 19 15 6 6 14 6 19 16 10 11 Sciences 14 7 6 9 10 2 16 19 15 8 Hist.-Geo. 19 2 18 16 11 15 15 13 16 6 Maths 20 12 15 11 13 8 15 18 12 16 Sciences Eco 18 3 14 16 2 15 11 10 6 16 LV1 4 12 10 14 19 14 14 2 5 1 LV2 11 2 6 17 20 12 4 10 10 7 Philo. 10 7 8 12 3 10 14 5 6 11 EPS 13 20 14 14 18 4 9 4 19 16
4 Les totaux obtenus par chacun des candidats sont alors : (420, 369, 317, 446, 426, 424, 400, 521, 372, 426) et peuvent s interpréter comme la combinaison linéaire des vecteurs en ligne affectés des coefficients des différentes matières, (4, 2, 5, 7, 7, 3, 3, 4, 2) ; mais aussi comme le résultat du produit matriciel : ( 4 2 5 7 7 3 3 4 2 ) 19 15 6 6 14 6 19 16 10 11 14 7 6 9 10 2 16 19 15 8 19 2 18 16 11 15 15 13 16 6 20 12 15 11 13 8 15 18 12 16 18 3 14 16 2 15 11 10 6 16 4 12 10 14 19 14 14 2 5 1 11 2 6 17 20 12 4 10 10 7 10 7 8 12 3 10 14 5 6 11 13 20 14 14 18 4 9 4 19 16 Cette interprétation pourra d ailleurs être mise à profit dans le calcul des totaux à l aide du module matriciel d un tableur. On peut multiplier ces exemples à l envie et on peut même revenir, à l aide du calcul matriciel, sur la relation qu il y a entre le tableau des effectifs, les tableaux de fréquences marginales, et les vecteurs représentant les effectifs marginaux. Pour résumer, il s agit, dans cette première partie, de dire à Mr Jourdain qu il fait du calcul matriciel sans le savoir. Cette étape s achève par l explicitation des opérations matricielles : dans ce contexte de manipulations de tableaux de nombres, les mathématiciens ont inventé les conventions opératoires suivantes... La deuxième étape consiste à se familiariser avec ces nouvelles opérations. Il ne faut alors pas hésiter à donner des lignes de calculs. C est d ailleurs ce que le programme suggère dans ses commentaires généraux sur l option Math : Le calcul matriciel offre par ailleurs un terrain favorable à une manipulation motivée, ordonnée et rigoureuse de calculs numériques simples. A cette occasion, on ne manquera pas de souligner les propriétés algèbriques du calcul matriciel (linéarité, associativité, non commutativité). Dans un troisième temps, on propose quelques applications de ce formalisme à des problèmes concrets, et on réinvestit la résolution des systèmes linéaires. Ce qui m a guidé dans le choix des execices que je vous propose, c est précisement l illustration de ces 3 étapes.
5 EXERCICES : Exercice 1 : Examen. Déclic 1ère ES 2001, n 34 page 332 Les résultats à un examen de cinq élèves sont donnés dans le tableau ci-dessous : 1 2 3 4 5 Maths 19 2 20 8 16 Hist.-Geo. 14 9 13 9 11 Sciences Eco 18 14 4 5 17 LV1 4 17 8 2 7 LV2 10 9 12 18 16 Philo. 13 10 5 15 15 Les coefficients de chaque épreuve sont donnés dans le tableau ci-dessous : Maths Hist. Geo. Sci. Eco. LV1 LV2 Philo 7 5 7 3 3 4 1-) Comment obtient-on le total des points du premier élève? du second? (le calcul explicite n est pas demandé. 2-) L obtention des points obtenus par chacun des élèves n est rien d autre que le produit matriciel : [ ] 7 5 7 3 3 4 19 2 20 8 16 14 9 13 9 11 18 14 4 5 17 4 17 8 2 7 10 9 12 18 16 13 10 5 15 15 3-) A l aide de votre tableur préféré, calculer les totaux de chacun des élèves, puis leurs moyennes sur 20. Exercice 2 : Chiffre d affaires. Accompagnement des Programmes Un gestionnaire de quatre stations service a observé le fonctionnement hebdomadaire moyen suivant (les données correspondent au millier de litres vendu par chacume des stations services pour chacun des carburants mentionnés) : Gazole SP98 SP95 1 19 16 8 2 4 9 4 3 20 13 12 4 20 16 16 1-) Il pratique des prix identiques dans les quatre stations : 800 e pour mille litres de Gazole, 1050 e pour mille litres de SP98, 1100 e pour mille litres de SP95.
6 Quel produit matriciel donne les chiffres d affaire hebdomadaire de chacune de ses stations? 2-) Notre gérant hésite entre trois tarifications différentes : 1 2 3 Gazole 875 e 807 e 821 e SP98 1017 e 970 e 1023 e SP95 1060 e 1030 e 1079 e Calculer le produit matriciel suivant : 19 16 8 4 9 4 20 13 12 20 16 16 875 807 821 1017 970 1023 1060 1030 1079 Que représentent les entrées de la matrice ainsi obtenue? Exercice 3 : Commutativité? On considère les deux matrices suivantes : [ ] 0 1 E = 0 0 F = [ 0 0 1 0 Calculer les produits matriciels EF et F E. Que remarque-t-on? Exercice 4 : Gauss-Jordan. On considère les matrices suivantes : [ ] 7 5 A = 4 3 I = [ 1 0 0 1 Nous allons identiquement effectuer sur ces deux matrices une succession d opérations. 1-) On multiplie leur première ligne par 4 et leur deuxième par 7. 2-) A la deuxième ligne, on retranche la première. 3-) A la première ligne, on retranche 20 fois la seconde. 4-) On divise la première ligne par 28. 5-) A l issue de cette série d opérations, la matrice de gauche est devenue, sauf erreur, I et nous notons B la seconde. Calculer AB et BA. 6-) Pourriez-vous mettre en oeuvre une démarche analogue pour les matrices : 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Exercice 5 : Serpents, scorpions et souris Terracher TS, n 78 page 24. Dans un désert, il y a des serpents, des scorpions et des souris ; chaque matin, chaque serpent mange une souris, chaque midi, chaque scorpion pique un serpent et ] ]
chaque soir, chaque souris mange un scorpion. Au bout d une semaine, il ne reste plus qu une souris et on se demande quelle était situation au départ. On note x n le nombre de serpents, y n le nombre de scorpions et z n le nombre de souris à l aube du n-ème jour. 1-) Montrer que : 1 1 1 1 1 0 1 0 1 2-) Plus généralement, montrer que : 1 1 1 1 1 0 1 0 1 x 1 y 1 z 1 x n y n z n = = 3-) Déterminer l inverse de la matrice 1 1 0 1 1 1 1 0 1 x 2 y 2 z 2 x n+1 y n+1 z n+1 (éventuellement à l aide d une calculatrice ou de votre tableur préféré). 4-) Combien y-avait-il de serpents, scorpions et souris en début de semaine? 7