[MONTAGE 16 : REGIMES TRANSITOIRES EN ELECTRICITE]

2012-2013 Master 2 MEF PC Université Versailles-Saint Quentin BAILLET Yohann [MONTAGE 16 : REGIMES TRANSITOIRES EN ELECTRICITE]

Table des matières Introduction... 2 I. Circuit du 1 er ordre : RC... 4 1) Etude de la charge du condensateur... 4 2) Etude de la décharge du condensateur... 8 3) Influence de différents paramètres... 10 4) Application : mesure d une capacité... 13 II. Circuit du 2 nd ordre : RLC... 15 1) Différents régimes d oscillations... 15 a) Régime apériodique... 15 b) Régime pseudo-périodique... 17 2) Etude de la charge du condensateur... 18 Conclusion... 23 Annexe : Utilisation d un amplificateur opérationnel (AO)... 24 Bibliographie... 25

Introduction En physique, le régime transitoire correspond au régime qui précède l établissement du régime permanent d un système. Il décrit alors l état intermédiaire d un système évoluant entre deux états permanents stables. Il est alors indispensable de connaître ce régime transitoire car il est rencontré dans la plupart des systèmes chimiques et cette connaissance permet alors de mieux anticiper ce régime et donc l adapter au système. Afin de caractériser ce régime, il est possible d utiliser différentes grandeurs qui dépendront du système étudié : facteur de qualité, taux d amortissement, temps de relaxation, taux de dépassement, retour à l équilibre par exemple. Avant de commencer le montage, nous allons réaliser une expérience permettant de mettre en évidence la notion de régime transitoire. Pour cela, nous allons réaliser le montage suivant : On réglera la valeur de la résistance de telle sorte qu elle soit égale à celle de la résistance interne de la bobine de telle sorte que l éclairement des deux lampes soit égal. En fermant l interrupteur, on observe que l ampoule en série avec la résistance s allume avant celle en série avec la bobine.

Ceci est dû au régime transitoire de l intensité dans la branche de la bobine et sachant que l ampoule a une intensité seuil pour pouvoir s allumer. Il est aussi bon de noter qu il existe un deuxième régime transitoire dans l ampoule qui correspond à celui de l échauffement de l ampoule. Mais en choisissant des ampoules «identiques», on considèrera que ce régime transitoire est identique pour les 2 ampoules et donc que le retard à l allumage est uniquement dû à l établissement du courant dans les 2 branches du circuit. Dans ce montage, nous allons étudier deux systèmes électriques différents que sont le circuit RC et le circuit RLC. Dans une première partie, nous allons étudier le circuit RC, notamment la charge du condensateur et mesurer une des grandeurs caractéristiques du régime transitoire de ce système : le temps de relaxation. Puis dans un second temps, nous étudierons le circuit RLC avec l étude notamment des différents régimes d oscillations possibles ainsi que de différentes grandeurs : taux de dépassement, décrément logarithmique, facteur de qualité, temps de retour à l équilibre.

I. Circuit du 1 er ordre : RC Nous allons d abord étudier un montage du 1 er ordre : un circuit RC. Dans cette partie, nous allons étudier la charge et la décharge du condensateur. L étude portera sur une grandeur caractéristique du régime transitoire : le temps de relaxation (constante de temps τ). Puis nous étudierons différents paramètres pouvant influencer ce temps de relaxation pour finir par déterminer une capacité inconnue à partir de la valeur du temps de relaxation. Deux méthodes pour faire le circuit se présentait : - Utiliser un signal créneau 0V/E de période > 10τ - Utiliser une alimentation stabilisée avec un interrupteur. Le choix s est porté sur un GBF émettant un signal créneau car celui-ci est plus facile à mettre en place car l interrupteur devant être double et celui disponible en TP ne convenait pas car faisait quelques perturbations. Le créneau comme il a été dit ne doit pas être symétrique par rapport à une tension nulle mais ayant pour valeur minimale 0V. 1) Etude de la charge du condensateur Pour étudier la charge d un condensateur dans un circuit RC, le montage suivant a été réalisé : L équation différentielle correspond à ce circuit est : La solution est alors : ( ) ( )

On négligera la résistance interne du GBF (50 Ohm) devant celle dans le circuit (10 kohm). Ainsi la valeur théorique de la constante de temps est : Une étude préalable à l oscilloscope est réalisée afin de vérifier que tous les paramètres et conditions nécessaires sont réunis dont notamment le fait que le régime transitoire soit terminé. Une fois toutes ces vérifications faites, le branchement via l interface EUROSMART est effectué de telle sorte d observer : - La tension aux bornes du condensateur - La tension délivrée par le générateur. Sachant qu ici uniquement la charge est réalisée, nous nous intéresserons seulement à la partie où la tension délivrée par le GBF (réglé en créneau) est maximale. Cela correspond à une étude de la réponse d un circuit à un échelon de tension. Une fois le branchement effectué, il faut régler le logiciel LATIS Pro afin d effectuer la meilleur acquisition possible : - Voie(s) concernée(s) par l acquisition - Durée de l acquisition - Nombre de points - Déclenchement : Voie, sens et seuil. Sachant qu ici on étudie la charge du condensateur, on réalisera le déclenchement sur la voie «du GBF», en sens montant avec un seuil de 100 mv. On étudiera la valeur de la constante de temps(τ) à l aide de différentes méthodes : - A l aide d une modélisation - Intersection entre la tangente à l origine et la valeur de la tension lors du régime permanent - Durée à laquelle la tension est égale à 63% de la tension lors du régime permanent - Entre 10% et 90% de la valeur finale de la tension, il s est écoulé une durée de 2,2τ. Commençons par la modélisation. Il faut d abord choisir la voie sur laquelle on souhaite effectuer la modélisation puis ensuite définir le modèle. Une fois toutes ces étapes effectuées, voici les résultats obtenus :

La modélisation nous donne comme valeur comme expression de la tension aux bornes du condensateur : ( ) Par identification avec la valeur théorique, on notera que la valeur de la constante de temps est 0,98ms. Cette valeur est cohérente avec la valeur de constante de temps attendue aux incertitudes de mesure près. Une autre façon de mesurer la constante de temps est relever la durée au bout de laquelle la tension est égale à 63% de la valeur finale de la tension. Cela provient de : ( ) ( ) ( ) Avec la modélisation, E est égale à 8,309, donc 63% de cette valeur correspond à une tension de 5,24V. A l aide d un réticule, on relève la durée pour laquelle cette valeur de tension est atteinte :

On relève une constante de temps égale à 1,01 ms. Encore une fois, cette valeur est cohérente avec la valeur de constante de temps attendue. Une autre mesure est de regarder la durée que met le signal pour passer de 10% à 90% de la valeur finale et cette durée correspond à 2,2τ. Par lecture graphique, on a :

La dernière méthode consiste à relever le point d intersection entre la tangente à l origine de la tension aux bornes du condensateur avec la tangente à l infini de cette même tension. L abscisse de ce point d intersection correspond à la valeur de la constante de temps. Par lecture graphique, on trouve : On constate que toutes les valeurs de constantes de temps trouvées pour la charge du condensateur sont cohérentes avec la valeur de la constante de temps attendue aux incertitudes de mesures et de matériel près. 2) Etude de la décharge du condensateur Nous allons maintenant réaliser la décharge du condensateur avec le même circuit afin de vérifier si la constante de temps trouvée lors de la charge est identique lors de la décharge. Pour cela, nous allons réaliser le montage suivant :

L équation différentielle correspond à ce circuit est : La solution est alors : ( ) On négligera la résistance interne du GBF (50 Ohm) devant celle dans le circuit (10 kohm). Ainsi la valeur théorique de la constante de temps est : Une étude préalable à l oscilloscope est réalisée afin de vérifier que tous les paramètres et conditions nécessaires sont réunis dont notamment le fait que le régime transitoire soit terminé. On ne réalisera ici que l étude de la constante de temps avec une des méthodes décrites précédemment. On utilisera la méthode de la tangente à l origine même si cette dernière n est pas la plus précises mais il s agit de celle nécessitant le moins de calcul.

Par lecture graphique, on trouve une constante de temps égale à 1,02 ms ce qui correspond aux incertitudes de mesures et de matériel près la valeur attendue. De plus, il est possible de constater que la valeur de la constante de temps pour la charge ou pour la décharge (avec les mêmes valeurs de composants évidemment) est la même. 3) Influence de différents paramètres Nous allons maintenant étudier l influence des différents paramètres sur la valeur de la constante de temps. Il s agira ici que d une étude qualitative. Pour cela nous allons d abord faire varier la valeur de la résistance, puis la valeur de la capacité puis pour finir l amplitude de notre échelon de tension. De plus l étude ne portera uniquement sur la charge car il a été vu que la valeur de la constante de temps était indépendante de la charge ou décharge. Pour étudier l influence de la résistance, nous allons réaliser l enregistrement de la tension aux bornes du condensateur pour 3 valeurs de résistances différentes en réalisant le montage suivant :

Les 3 signaux sont ensuite reportés sur Régressi : On constate que lorsque la valeur de la résistance diminue, la valeur de la constante de temps diminue car la tangente a l origine a un coefficient directeur qui augmente. Analysons maintenant l influence de la capacité sur le régime transitoire en réalisant le montage suivant :

Une fois les 3 acquisitions réalisées, étudions l influence via Régressi : On constate que lorsque la valeur de la capacité augmente, le temps de relaxation augmente également car on observe que le coefficient de la tangente à l origine diminue. Terminons l étude de l influence des paramètres par la valeur de l échelon de tension en réalisant le montage suivant :

Pour 3 valeurs d échelon de tension différentes, on obtient les courbes suivantes : On constate que la valeur de l échelon de tension n a pas d influence sur la constante de temps mais influe sur la valeur de tension lors du régime permanent. 4) Application : mesure d une capacité Lors des études précédentes, nous avons pu observer que le temps de relaxation était fonction notamment de la valeur de la capacité. C est pour cela qu il est alors possible de déterminer la valeur d une capacité en mesurant la valeur du temps de relaxation de la charge du condensateur.

Pour cela, nous allons réaliser le montage suivant : Voici le signal que l on observe lors de l acquisition sur LATIS PRO : On constate que la valeur de la constante de temps est égale à 1,34 ms. La valeur de la capacité prise étant de 133 nf, on constate que cette méthode est correcte compte tenu des différentes incertitudes possibles que sont sur la résistance ou sur le logiciel LATIS Pro par exemple.

II. Circuit du 2 nd ordre : RLC Nous allons nous intéresser maintenant à un circuit du 2 nd ordre. Dans cette partie, nous nous intéresserons qu à la charge du condensateur. Dans un circuit du 2 nd ordre, les grandeurs caractéristiques du régime transitoire sont différentes que ceux étudiées pour un circuit du 1 er ordre. Nous étudierons ici dans un premier temps les différents régimes d oscillations pour ensuite étudier en détail la charge d un condensateur. 1) Différents régimes d oscillations Le montage suivant a été réalisé : L équation différentielle de ce circuit est le suivant : D où la période propre du circuit égale à : L équation caractéristique permettant la détermination est la suivante : a) Régime apériodique Intéressons-nous d abord au régime apériodique critique. Ce régime correspond au régime de passage entre le régime apériodique et pseudo-périodique.

Ce régime est obtenu lorsque le discriminant de l équation caractéristique définie précédemment est nul et la résistance trouvée correspond à la résistance critique : ( ) ( ) Pour observer ce régime, nous avons choisi une résistance dans le circuit voisine de celle de la résistance critique pouvant être calculée avec les valeurs des différents composants. Voici l acquisition obtenue via LATIS Pro de la tension aux bornes du condensateur (EA1): On observe bien ici, que l on est à la limite des oscillations. Lorsque la résistance augmente, on se trouve alors dans le régime apériodique. Le discriminant est alors positif : ( ) ( ) Pour observer ce régime, nous avons choisi une résistance dans le circuit supérieure à celle de la résistance critique pouvant être calculée avec les valeurs des différents composants. Voici l acquisition obtenue via LATIS Pro de la tension aux bornes du condensateur (EA1):

On constate bien ici que le régime transitoire ne comporte aucune oscillation d où le nom d apériodique. b) Régime pseudo-périodique En revanche, lorsque la résistance est inférieure à celle de la résistance critique, nous nous situons en régime pseudo-périodique. Le discriminant de l équation caractéristique sera négatif : ( ) ( ) Pour observer ce régime, nous avons choisi une résistance dans le circuit inférieure à celle de la résistance critique pouvant être calculée avec les valeurs des différents composants. Voici l acquisition obtenue via LATIS Pro de la tension aux bornes du condensateur (EA1):

On constate très bien que le régime périodique est constitué d oscillations amorties au cours du temps jusqu à l établissement du régime permanent. 2) Etude de la charge du condensateur Dans cette partie, nous allons étudier en détail la charge du condensateur dans le circuit précédent. On a vu précédemment que dans ce régime : L équation caractéristique étant : ( ) On constate alors que les solutions de cette équation caractéristique seront des nombres complexes sous la forme : ( ) Les solutions générales sans second membre de l équation différentielle seront alors sous la forme : ( ) ( ) La pseudo pulsation des oscillations sera alors :

D après ce calcul, la pseudo-pulsation doit donc être inférieure à la pulsation propre du circuit et donc que la pseudo-période sera supérieure à la période propre du circuit. Calculons dans un premier temps la valeur de la période propre du circuit : Regardons si maintenant l& valeur de la pseudo-période : On a d après cette courbe : Cette valeur est bien conforme aux attentes faites un peu plus haut car la valeur de la pseudo-période expérimentale est bien supérieure à la valeur de la période propre du circuit. Une des grandeurs caractéristique de ce type de régime transitoire est le décrément logarithmique. En physique, le terme décrément logarithmique désigne la mesure logarithmique de la décroissance périodique d'une grandeur pseudo-oscillatoire. Il se calcule de la façon suivante :

( ) ( ) Calculons dans notre cas la valeur du décrément logarithmique à l aide de : La valeur théorique du décrément logarithmique est :

On constate que la valeur du décrément logarithmique expérimental est voisine de la valeur du décrément logarithmique théorique aux incertitudes près (mesure + composants). Une autre grandeur est le facteur de qualité. Al aide de l équation différentielle, on obtient : De façon à le déterminer expérimentalement, nous allons utiliser le décrément logarithmique. On a : On constate que les deux valeurs sont assez proches. De plus, en première approximation, le facteur de qualité correspond au nombre d oscillations observables lors du régime transitoire avec l amplitude supérieure à 5% de l amplitude maximale des oscillations. En observant la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps, on observe 5 oscillations donc le facteur de qualité doit être voisin de 5 ce qui est le cas en faisant le calcul. Finissons par la détermination d une dernière grandeur qu est le taux de dépassement (il existe bien évidemment d autres grandeurs mais qu on n étudiera pas ici). Le taux de dépassement correspond dans notre cas à :

Ce taux de dépassement peut être utile si l on a affaire à un matériel pouvant être rompu si le taux de dépassement est trop important.

Conclusion Durant ce montage, nous avons étudié différents circuits permettant de mettre en évidence certaines caractéristiques des régimes transitoires comme par exemple le temps de relaxation pour le circuit du premier ordre RC, ou pour le circuit du second ordre la détermination du décrément logarithmique, facteur de qualité ou taux de dépassement par exemple. La connaissance du régime transitoire d un système est indispensable afin de bien exploiter le système considéré. Suivant les applications voulues du système, le régime transitoire peut-être plus ou moins souhaité. Le régime transitoire peut-être par exemple souhaité lors d un montage afin d effectuer une démodulation d amplitude par détection d enveloppe. La première partie est un montage redresseur. La diode ne laisse passer le courant que dans un seul sens. Cela élimine la partie négative de la tension. En y ajoutant un condensateur C, on élimine les variations rapides de la tension dues à la porteuse. Le condensateur initialement déchargé se charge tant que u e croît jusqu'au maximum, avec une constante de temps τ quasi nulle. Lorsque u e décroît, u C > u e, la diode est bloquée, le condensateur se décharge dans la résistance avec une constante de temps τ. Lorsque u e atteint de nouveau u C, la diode est à nouveau passante et le condensateur se charge. Plus le point C est proche du sommet de la crête, meilleur est le détecteur. Ainsi, au aura comme condition : En revanche, le régime transitoire peut ne pas être recherché comme cela pourrait être le cas dans un circuit RLC série. Dans ce cas-là, le régime transitoire (oscillations amorties) est dû aux pertes par effet Joule de la résistance. Afin de compenser ces pertes-là, on utilisera un montage dit «à résistance négative» réalisé à l aide d un A.O qui permettra d obtenir au final un signal périodique. Les régimes transitoires ne sont pas rencontrés qu en électricité. En effet, en mécanique cela se rencontre comme par exemple les amortisseurs d une voiture. Le souhait serait que le régime transitoire soit le plus court possible. La modélisation de ce système est une analogie du circuit RLC. Pour que ce régime transitoire soit le plus court possible, il faudra alors faire en sorte que l on se trouve en régime apériodique critique qui correspond au régime où le retour à l équilibre est le plus court.

Annexe : Utilisation d un amplificateur opérationnel (AO) L'amplificateur opérationnel est un circuit intégré qui permet d'amplifier (de multiplier ou de diviser) une tension, de faire d'autres opérations mathématiques sur des tensions (addition, soustraction, dérivation, intégration). Il peut comparer deux tensions et se placer, selon leur valeur relative, dans 2 états uniques et bien distincts (état haut ou état bas). Il est constitué de 8 bornes réparties de la façon suivante : - Entrée non inverseuse - Entrée inverseuse - Alimentation +15V - Alimentation -15V - Masse - Entrée non connectée - 2 réglages internes de l AO actif. L alimentation en +15/-15V est indispensable pour l utilisation car l AO est un composant Les différentes bornes sont repérées grâce à un «rond» situé sur l AO qui permet de reconnaître la borne 1 de l AO. La correspondance entre les bornes et le rôle de chacune sont notés dans les «datasheets». Voici un exemple de repérage pour un AO du type AD 620 : Dans un montage avec un GBF, il est très important de suivre la marche à suivre suivante pour l allumage et l extinction des différentes sources : - Allumage de l alimentation symétrique +15/-15V pour l AO - Allumage du GBF - Extinction du GBF - Extinction de l alimentation symétrique +15/-15V de l AO. Si cette procédure n est respectée, l AO pourra être détérioré.

Bibliographie [1] : Roger DUFFAIT, Expériences de Physique CAPES de sciences physiques, 2008, Bréal [2] : Jean-Paul BELLIER, Montages de physique : Electricité, électromagnétisme, électronique, acoustique 2 ème édition, 2004, Dunod [3] : Lucien QUARANTA, Dictionnaire de physique expérimentale Tome IV, 1996, Pierron [4] Nicolas BILLY, CAPES de sciences physiques Tome I, 2008, Belin