1. ASPECTS MATHÉMATIQUES

LE PROGRAMME ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS NATURELS 1. ASPECTS MATHÉMATIQUES 1.1. Rappels 1.1.1. Les nombres entiers Définitions et propriétés Ensemble des nombres entiers naturels 15 On note! l ensemble des entiers positifs ou entiers naturels :! = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} L ensemble! contient une infinité d éléments : - chaque nombre entier naturel n a un successeur unique noté n + 1 ; - tout naturel sauf 0 est le successeur d un naturel ; - l ensemble! est totalement ordonné : on peut toujours comparer deux nombres naturels ; - entre deux nombres entiers, il existe un nombre fini d éléments. Ces propriétés sont importantes à retenir car certaines ne sont pas vérifiées, par exemple, pour les nombres décimaux. En effet, entre deux nombres décimaux, il existe une infinité de nombres. Ensemble des nombres entiers relatifs On note " l ensemble des nombres entiers relatifs. L ensemble " (@GL.) est composé de tous les nombres de! et de leurs opposés. " = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }

1.1.2. Notion de système de numération Un système de numération est un ensemble de règles d utilisation des signes et des mots permettant de dire, lire et écrire des nombres. Notre système de numération est un système en base 10 (voir le paragraphe 1.2.). Il est représenté par deux systèmes régis par des règles différentes : le système de numération écrite et celui de numération orale. ASPECTS MATHÉMATIQUES romaine (@DOC. La numération romaine) ; numération maya (@AI. Numération maya) ; - les systèmes de numération dans d autres bases que la base 10 (@AI. Base décimale ; @AI. Conversion experte ; @AI. Conversion d un nombre exprimé dans une base non décimale). 16 1.2. Numération écrite des entiers (@GL.) Notre système de numération chiffrée permet d écrire tous les entiers naturels. C est un système décimal de position (on dit aussi système en base 10), ce qui signifie plusieurs choses : - on utilise 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 pour écrire les nombres ; - chaque chiffre possède une valeur différente selon la position qu il occupe dans l écriture du nombre ; - on fait des groupements réguliers : 10 unités d un certain ordre forment une unité de l ordre immédiatement supérieur. Ainsi, le nombre 2 563 peut s écrire : - sous forme de décomposition additive (@GL.) 2 563 = 1 000 + 1 000 + 500 + 60 + 3 - sous forme de décomposition canonique (@GL.) 2 563 = 2 1 000 + 5 100 + 6 10 + 3 1 2 563 = 2 10 3 + 5 10 2 + 6 10 1 + 3 10 0. Désignons par mcdu un nombre de quatre chiffres m, c, d et u : u est appelé chiffre des unités, d chiffre des dizaines, c chiffre des centaines, m chiffre des unités de mille. Le nombre mcdu pourra alors s écrire : mcdu = m 1 000 + c 100 + d 10 + u 1 = 1 000 m + 100 c +10 d + u mcdu = m 10 3 + c 10 2 + d 10 1 + u 10 0. Cette décomposition de mcdu, dite canonique, fait souvent l objet d exercices lors du concours (@METH.). Attention! Il ne faut pas confondre chiffres et nombres. Considérons le nombre 257. La réponse à la question «Quel est le chiffre des dizaines de ce nombre?» est 5. La réponse à la question «Quel est le nombre de dizaines de ce nombre?» est 25. (@AI. Distinguer les notions de chiffre et de nombre ; @AI. Échanges). D autres systèmes de numération existent : - les systèmes de numération anciens : numération égyptienne (@DOC. La numération égyptienne avec les hiéroglyphes ; @AI. Numération égyptienne) ; numération Exercice (d après sujet CRPE d Aix-Marseille 2001) Voici deux propositions concernant des nombres donnés en écriture décimale. Dire pour chacune d elles si elle est vraie ou fausse et justifier. Proposition A Si l écriture d un nombre entier se termine par 2, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 4. Proposition B Si l écriture d un nombre entier se termine par 4, alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 16. Solution Proposition A Elle est vraie. Solution 1 : d après l algorithme classique de la multiplication, le chiffre des unités du produit est celui du produit des chiffres des unités des deux facteurs. Solution 2 : tout entier naturel qui se termine par 2 est de la forme 10n + 2, où n est un entier naturel. n est le nombre de dizaines contenues dans l entier naturel considéré. Son carré est alors : Proposition B (10n + 2) 2 = (10n) 2 + 2 10n 2 + 4 = 100n 2 + 40n + 4 Or 100n 2 est un entier qui se termine par deux zéros et 40n est un entier qui se termine par un zéro. Donc (10n + 2) 2 se termine par le chiffre 4. Elle est fausse. Un contre exemple suffit pour le prouver : 14 2 = 196 et 196 ne se termine pas par 16. 1.3. Numération orale des entiers naturels (@GL.) Il existe des mots qui permettent de dire et de lire les nombres. Avec les mots «un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, cent» et le mot «et», on peut lire et écrire tous les nombre entiers de 1 à 999. 17

ASPECTS MATHÉMATIQUES Avec un mot de plus («mille»), on peut énoncer tous les nombres entiers jusqu à 999 999. Avec un mot de plus («million»), on peut énoncer tous les nombres entiers jusqu à 999 999 999. Avec un mot de plus («milliard»), on peut énoncer tous les nombres entiers jusqu à 999 999 999 999. Le mot «zéro» sert à désigner le nombre 0, mais lorsqu on énonce un entier naturel, on ne l entend jamais. Un groupe de trois chiffres forme une classe. On les nomme : classe des unités simples, classe des mille, classe des millions, classe des milliards. Lorsqu on écrit un nombre en chiffres, on sépare les classes par un espace : 1 320 432. 1.4. Notions de rang et d ordre, comparaison, intercalation Ordre (@GL.) Lorsqu on dispose des objets les uns à la suite des autres de différentes façons, on obtient différents «ordres». Par exemple, a, b, c, d est un ordre mais b, a, d, c est un autre ordre sur les mêmes lettres. Dans le domaine de la numération orale, l activité de base consiste à apprendre l ordre des premiers mots-nombres, par exemple à l aide de comptines. Dans le domaine de la numération écrite, l activité de base consiste à apprendre à écrire les entiers naturels et à faire la correspondance entre l écriture chiffrée et le mot-nombre, à l aide de la bande numérique (voir le paragraphe 2.1.4.). Rang (@GL.) 18 Lorsqu on lit un nombre, on le décompose en tranches de trois chiffres en partant de la droite et on prononce le nom des classes (sauf celui de la classe des unités simples) : «un million trois cent vingt mille quatre cent trente-deux». De même, on dit «mille trentedeux» et non «un mille trente-deux». Classe des milliards Classe des millions Classe des mille Classe des unités simples c d u c d u c d u c d u c d u Notons, tout de suite, la complexité de ce double-système : - dans le système de numération orale, la valeur du regroupement par dix est donnée par le terme qui le désigne (cent, mille,..) tandis que dans le système de numération écrite en chiffres, elle est donnée par la position du chiffre dans le nombre (valeur positionnelle) ; - le système d écriture décimale en chiffres est parfaitement régulier, tandis que le système oral des nombres jusqu à cent est irrégulier pour les mots-nombres compris entre onze et seize et pour les noms des dizaines (dix, vingt, trente, ). Le rang indique la position dans un ordre : le premier, le second... le numéro 1, le numéro 2... Par exemple, les numéros des feuilles d un classeur permettent de retrouver l ordre initial des pages si elles ont été dispersées. Autres exemples : les numéros dans une rue, la date, etc. Dans l exemple ci-dessus, d est le 4 e dans l ordre a, b, c, d et le 3 e dans l ordre b, a, d, c. Lorsque les nombres sont utilisés pour représenter un ordre, on parle d aspect ordinal du nombre. Comparaison des nombres Savoir comparer des nombres a et b, c est être capable de dire si l on a : a = b, a > b ou a < b. a > b se lit «a plus grand que b», a < b se lit «a plus petit que b». Le terme mathématique correct est «supérieur à» (ou «inférieur à») mais les programmes de 2002 préconisent l emploi des expressions «plus grand que» (ou «plus petit que») car les élèves les utilisent avec plus de facilité. Les programmes 2008 n apportent, quant à eux, aucune précision à ce sujet. 19 Les deux systèmes comportent des opérations «cachées». Ainsi, dans 243, il y a des multiplications et des additions, c est-à-dire des juxtapositions et des énumérations, la juxtaposition étant une addition implicite, et l énumération, une multiplication implicite. Prenons un exemple : pour le nombre «cent quatre», il y a juxtaposition de «cent» et de «quatre» dans l écriture, mais la valeur du nombre correspond à l addition de 100 et de 4. On peut juxtaposer des étiquettes mots-nombres «cent» et «quatre», mais pas les étiquettes de nombres «100» et «4». En quelque sorte, on n écrit pas toujours ce qu on entend, et on ne dit pas toujours ce qu on écrit. Un travail important à l école portera donc sur l articulation entre les deux types de désignation des nombres. (@AI. Associer écritures en lettres et en chiffres ; @AI. Maîtriser les différentes écritures d un nombre ; @AI. Petits problèmes de numération). Intercalation Intercaler un nombre entier entre deux autres nombres n est pas toujours possible. C est le cas lorsque les deux nombres sont consécutifs. Propriétés des inégalités Règle 1 On peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d une inégalité. Si a < b alors a + c < b + c. Règle 2 On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d une inégalité de même sens. Si a < b et c > 0 alors a c < b c.

ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS NATURELS Exemples d exercices sur la numération écrite Exercice 1 Combien écrit-on de chiffres si l on écrit tous les nombres de 1 à 100? Souligner la bonne réponse. 2. 100 150 190 192 200 Solution 100 150 190 192 200 De 1 à 9, il y a neuf chiffres. De 10 à 99, il y a 180 chiffres, et pour 100, il faut trois chiffres, soit en tout 192 chiffres. 20 Exercice 2 Yann a écrit un livre et décide de le paginer. Il constate qu il faut 11 chiffres pour toutes les pages jusqu à la page numéro 10, 13 chiffres jusqu à la page numéro 11. Yann note que, pour l ensemble du livre, il a fallu 261 chiffres. Combien de pages possède ce livre? Solution 2.1. Apprentissages numériques en maternelle Dès la maternelle, les apprentissages numériques concernent l approche globale du nombre, la numération écrite et la numération orale. Il s agit, dans un premier temps, de prendre en compte les principaux usages des nombres. Question préliminaire : à quoi servent les nombres? 21 De 1 à 9, il y a neuf chiffres. De 10 à 99, il y a 180 chiffres, soit 20 chiffres par dizaine, soit un total de 189 chiffres. À partir de la page 100, chaque numéro de page est formé de trois chiffres. De 189 à 261, on compte 261 189 = 72 chiffres. Il faut donc 72 chiffres pour écrire les numéros de 3 chiffres, donc on a paginé 72 : 3 = 24 pages après 99. Ce livre possède 99 + 24 = 123 pages.! On peut mettre en évidence deux grandes classes d usage des nombres : - les nombres permettent de conserver la mémoire de la quantité, en dénombrant les éléments d un ensemble (aspect cardinal du nombre) ou en repérant et exprimant le rang dans une suite ordonnée (aspect ordinal du nombre). Ils permettent de comparer deux quantités ou deux positions ; - les nombres permettent d anticiper le résultat de certaines actions sur les quantités, sans avoir à réaliser les actions elles-mêmes. Exemples d actions : ajouter, soustraire, avancer, reculer, partager, distribuer S agissant de l aspect cardinal du nombre, les tâches habituellement proposées aux élèves sont essentiellement de quatre types et permettent de donner du sens au concept de nombre : - dénombrement (@GL.) d une collection donnée ; - constitution d une collection de cardinal (@GL.) donné ; - comparaison de deux collections du point de vue des quantités ; - constitution d une collection équipotente (@GL.) à une collection donnée.

2.1.1. Notion de quantité, aspect cardinal du nombre (@DOC. Le nombre comme mémoire de la quantité) La quantité est une propriété des collections. C est la propriété commune aux collections qui ont autant d éléments, c est-à-dire qui peuvent être mises en correspondance terme à terme. 2.1.2. Dénombrement Trouver le nombre d objets d une collection ainsi que le problème inverse, réaliser une collection ayant un nombre donné d objets, sont les activités de base dans les problèmes mettant en jeu des quantités. Certaines activités peuvent même regrouper ces deux types de tâches dans le but de modifier une collection pour qu elle ait autant d objets qu une collection donnée. (@DOC. Activités de dénombrement en maternelle). Quelques apports théoriques Les travaux de R. Gelman 5 ont montré que la connaissance de la comptine numérique (voir le paragraphe 2.1.4.) était un préalable dans l activité de dénombrement. Cinq principes régissent ces activités de dénombrement : 22 Par exemple, la correspondance terme à terme entre les deux collections de gommettes représentées ci-dessus est matérialisée par des liens : les deux collections ont autant d éléments, elles ont la même quantité d éléments (4). Si les collections sont manipulables, cette correspondance terme à terme peut être matérialisée par la juxtaposition des éléments, leur superposition, etc. Lorsque les nombres sont utilisés pour représenter des quantités, on parle d aspect cardinal du nombre. On dit alors que les collections ont le même cardinal ou qu elles sont équipotentes. Un enfant a compris qu un nombre représente une quantité lorsqu il a pris conscience que ce nombre fait référence à la globalité, ce qui se traduit par des formulations du type «les cinq» en montrant l ensemble de la main. Ou encore lorsqu il a compris que si deux collections ont, par exemple, 7 éléments, elles ont «autant» d éléments : on peut les mettre en correspondance terme à terme. Cet apprentissage est lié au développement psychologique de l enfant, et notamment à ce que les psychologues appellent la conservation des quantités. De quoi s agit-il? Quand on dispose d une collection d objets, il y a plusieurs manières de transformer cette collection : on peut y ajouter ou en enlever des objets, on peut aussi les déplacer, on peut aussi remplacer certains éléments par d autres plus gros ou plus petits, etc. Un enfant est dit «conservant pour les quantités» lorsqu il est capable de distinguer, parmi les transformations effectuées sur une collection sous ses yeux, celles qui modifient le cardinal de la collection et celles qui ne le modifient pas. Ainsi, le fait que le nombre d objets d une collection ne varie pas si on rapproche les objets ou si on les éloigne les uns des autres, ce qui est une évidence pour l enseignant adulte, n en est pas nécessairement une pour les élèves de maternelle. - le principe d adéquation unique : à chaque objet dénombré correspond un mot-nombre ; - le principe cardinal : le dernier mot-nombre énoncé correspond au cardinal de la collection dénombrée ; - le principe d abstraction : la nature, la forme, l hétérogénéité des objets n ont aucun effet sur le résultat du dénombrement ; - le principe de la non-pertinence de l ordre : l ordre dans lequel on parcourt la collection n a aucun effet sur le résultat ; - le principe d ordre stable : la suite des nombres ne varie pas. Des recherches récentes ont permis d affiner ces principes. D après Joël Briand 6, pour réussir une activité de dénombrement d une collection, l élève doit : 1. être capable de distinguer deux éléments différents d un ensemble donné ; 2. choisir un premier élément de la collection ; 3. énumérer un mot-nombre pris dans la comptine ; 4. déterminer un successeur de l ensemble des éléments non déjà choisis ; 5. attribuer un mot-nombre successeur de celui déjà prononcé ; 6. conserver la mémoire des choix précédents ; 7. recommencer les étapes 4, 5, 6 en les synchronisant ; 8. savoir que l on a choisi le dernier élément ; 9. énoncer le dernier mot-nombre ; 10. savoir que le dernier mot-nombre correspond au nombre d éléments de la collection. Les propositions 1, 2, 4, 5 et 7 relèvent d une organisation spatiale et pas uniquement numérique. Elles constituent une tâche spécifique d inventaire, au cours 5 R. Gelman & E. Mek, «Premiers principes et conceptions du nombre» (1991), in J. Bideaud, C. Meljac & J.P. Fischer, Les chemins du nombre, Presses Universitaires de Lille, pp. 211-234. 6 J. Briand et alii, L enseignement de l énumération en moyenne section de l école maternelle, IREM de Grenoble, 2000, pp. 7-20 23

de laquelle il s agit de passer en revue, une fois et une seule, tous les éléments d une collection finie. Cette tâche caractérise une connaissance non enseignée que J. Briand appelle «énumération». L «énumération» est ainsi l action de structuration d une collection qui permet de la parcourir d une façon ordonnée et contrôlée (ordonnée car on choisit un premier élément et son successeur ; contrôlée car on conserve la mémoire des choix précédents et on sait que l on a parcouru toute la collection.). Quelques apports théoriques a. Vision globale Difficultés de mémorisation : les élèves mémorisent une suite de mots sans signification avec une première partie exacte et stable (par exemple un, deux, trois), une deuxième partie inexacte mais stable (par exemple cinq, sept, huit) et une dernière partie instable où l enfant prononce des mots de façon assez aléatoire. Difficulté à synchroniser le pointage des objets et l énoncé des mots de la comptine. Certains objets sont omis, d autres peuvent être comptés plusieurs fois. Si l on veut aider les élèves, on peut le faire en séparant les rôles : le maître pointe les objets, l élève récite la comptine ou l inverse. On peut aussi leur demander de déplacer les objets au fur et à mesure qu ils les comptent. 24 Les élèves sont capables de reconnaître directement de très petites quantités (de 1 à 3). Par exemple, un élève de quatre ans à qui l on a montré trois gommettes peut dire instantanément qu il y en a trois, simplement en regardant la collection. b. Perception visuelle La perception visuelle consiste aussi à reconnaître globalement les quantités. C est un terme plus général que l on emploie dans le cas où l élève peut reconnaître la quantité sans la compter, le plus souvent parce que la collection est organisée (disposition spatiale). Par exemple, un élève peut reconnaître 5 en présence de la constellation sur la face d un dé (dessin a) ou si les cinq objets se présentent dans la même configuration spatiale (dessin b) ou si les cinq objets sont disposés en un groupe de quatre et un objet un peu séparé (dessin c). Dans ce dernier cas, l élève reconnaît 5 parce qu il sait que 5, c est 4 et 1. Difficulté à distinguer les objets comptés de ceux qui ne le sont pas encore : si les objets sont «déplaçables», les élèves peuvent faire deux tas. Si ce n est pas le cas, ils peuvent marquer les objets comptés, ils peuvent aussi énumérer les objets en respectant un ordre spatial, par exemple l un après l autre en suivant une ligne. Impossibilité d extraire le dernier mot cité. L élève, à la question «Combien?», ne sait répondre que «un, deux, trois, quatre, cinq». Toute nouvelle question «Combien?» à propos de la même collection déclenche le comptage même si l élève vient déjà de le faire. Enfin l élève peut savoir effectuer le comptage mais ne pas comprendre que le dernier mot prononcé représente une quantité. Soit par exemple un élève qui vient de dénombrer cinq chevaux en matière plastique posés devant lui. On lui demande d aller chercher sur une étagère autant de cavaliers que de chevaux, un pour chaque cheval. Il se peut qu il n en apporte pas cinq mais une poignée. On fait alors l hypothèse que bien qu ayant dénombré les chevaux, il ne s est pas servi de ce qu il a trouvé (5) pour apporter les cavaliers. Il ne fait pas le lien, dans cette activité, entre le résultat de son comptage et le nombre de cavaliers. 25 c. Comptage un à un Dans cette dernière activité, on peut aussi faire l hypothèse que l élève a oublié le nombre en cours de route ; il lui faut, en effet, aller vers l étagère. On peut aussi penser que l élève envisageait de faire plusieurs allers et retours entre la collection des chevaux et l étagère des cavaliers. Ce problème est beaucoup plus difficile à régler. Faire prendre conscience que les nombres représentent des quantités nécessite un long apprentissage qui s effectue pendant les trois années de maternelle. Le comptage (@GL.) consiste à pointer successivement tous les éléments d une collection et à réciter parallèlement la comptine des nombres. Un comptage est donc la mise en correspondance des objets d une collection et de la suite ordonnée des nombres. Le résultat d un comptage est le dernier mot prononcé. Difficultés rencontrées dans le domaine du comptage et du dénombrement Pour les enfants, des difficultés se rencontrent dans les activités de dénombrement de collections. 2.1.3. Représentation des quantités Collections témoins Une collection témoin est une collection matérielle éventuellement dessinée ou photographiée, pouvant servir de référence pour représenter un nombre ou une quantité, par exemple des petits sacs transparents contenant 1, 2, 3... objets ou des colliers avec 1, 2, 3... perles. Il est intéressant d en avoir plusieurs. Les doigts des mains, réelles ou celles

dessinées sur des affiches, sont les exemples les plus courants et les plus parlants pour les élèves : pour commander trois gommettes autocollantes, on peut montrer sa main avec trois doigts levés. Configurations, constellations Il est difficile, même pour un adulte, de reconnaître la quantité correspondant, par exemple, à six jetons disposés au hasard : Mais s ils sont groupés par trois, on peut voir plus facilement qu il y en a six. Les jetons sont disposés selon une configuration particulière : s appuie souvent sur des comptines chantées, par exemple : «Un, deux, trois, nous irons au bois ; quatre, cinq, six, cueillir des cerises». En maternelle et au début du CP, les élèves apprennent à réciter la comptine jusqu à 30 au moins. Mais ils n étudient pas les règles de notre système de numération orale. Ils ne voient pas nécessairement que vingt-trois, c est vingt et trois et encore moins que c est «deux dix» et trois. Cet apprentissage est long car les noms de nombres ne présentent aucune régularité jusqu à «dix-sept», «dix-huit». En revanche, à partir de «vingt-et-un», «vingt-deux», les élèves de GS et surtout de CP s appuient sur le mécanisme de formation des noms de nombres pour poursuivre la récitation sans trop de peine jusqu à «vingt-neuf». «Trente» fait alors barrière et constitue un nouveau palier à franchir. Savoir lire et écrire les nombres Différents matériels sont proposés aux élèves pour les amener peu à peu à savoir associer le nombre dit avec le nombre écrit. On présentera ici l exemple de la bande numérique : 26 27 Dans le cas d une configuration de points, on parle de constellation (@GL.). Par exemple, les points dessinés sur les faces d un dé forment des constellations. Les doigts de la main permettent de réaliser des configurations (5 et 1, 5 et 2, 5 et 3...) qui sont intéressantes car elles fournissent des informations à la fois visuelles et tactiles, et montrent des décompositions des nombres 6, 7, 8, 9, 10 qu il sera bien utile de connaître quand on commencera à mémoriser, en cours de CP, des éléments des tables d addition. Les configurations sont bénéfiques pour l apprentissage de la notion de quantité car la quantité est perçue globalement. Il est nécessaire, cependant, de pratiquer parallèlement le comptage des objets un à un pour que les élèves fassent le lien avec les nombres. 2.1.4. Désignation des nombres Savoir dire les nombres : la comptine numérique (oral) Réciter la comptine des nombres, c est réciter la suite ordonnée des mots : «un, deux, trois, quatre, cinq...». C est une des premières activités numériques pratiquées par les élèves. L apprentissage de la comptine numérique débute dès la petite section et La bande numérique permet aux élèves d associer l écriture chiffrée et le mot-nombre correspondant : si par exemple, un enfant sait qu il y a quatre élèves absents et qu il doit afficher cette information, mais qu il ne se souvient plus très bien comment on écrit ce nombre, il pourra facilement le retrouver en établissant la correspondance terme à terme entre les mots de la comptine «un, deux, trois» et les écritures sur la bande numérique : «1, 2, 3». Pour cela, il devra évidemment connaître la comptine numérique par cœur, mais aussi savoir faire la correspondance terme à terme sans erreur, c est-à-dire qu il doit savoir prononcer un mot de la comptine en même temps qu il met son doigt sur une et une seule case de la bande numérique. 2.1.5. Procédures utilisées par les élèves dans les activités de comparaison Procédure non numérique : les relations «autant que», «plus que», «moins que» Les premières activités en maternelle consistent à comparer des collections d objets et non des nombres.

Pour comparer deux collections du point de vue de la quantité, on peut comparer des collections représentant ces nombres. Il suffit d essayer de mettre ces collections en correspondance terme à terme, par exemple en alignant leurs éléments côte à côte. Trois cas peuvent se rencontrer : Les décompositions additives des nombres On peut dire, par exemple, que 8 est supérieur à 5 parce que 8 = 5 + 3, ou encore que 24 est inférieur à 28 car 24 = 20 + 4 et 28 = 20 + 8. La comparaison des nombres est facilitée par une bonne maîtrise des quantités. L analyse d activités mathématiques en maternelle suppose de pouvoir les distinguer et les décrire. (@DOC. Activités numériques pour la maternelle). 2.1.6. Résolution de problèmes : utilisation des nombres pour anticiper le résultat d une action Si, par exemple, je me demande combien on obtiendrait de billes en réunissant un sac contenant trois billes et un autre contenant 5 billes, il n est pas indispensable d effectuer l action et de recompter l ensemble des billes pour savoir qu il y en a 8. On peut aussi : Dans le premier cas, les collections ont autant d éléments. - surcompter (@GL.) à partir de 3 : 4, 5, 6, 7, 8 ; - surcompter à partir de 5 : 6, 7, 8 ; - savoir que 3 + 5 = 8 ou que 5 + 3 = 8. 28 Dans le deuxième cas, on peut dire que 5 est plus grand que 3 parce qu il existe des éléments de A qu on n a pas pu mettre en correspondance avec des éléments de B. Autre exemple : s il y a 3 absents dans une classe de 25 élèves, il n est pas nécessaire de recompter l ensemble des élèves présents pour savoir qu il y en a 25. On peut aussi : 29 Dans le troisième cas, on peut dire que 3 est plus petit que 4 parce qu il existe des éléments de B qui n ont pas pu être mis en correspondance avec des éléments de A. - décompter (@GL.) à partir de 25 : 24, 23, 22 ; - savoir que 25 3 = 22. La correspondance terme à terme est le procédé qui permet de donner du sens aux relations «plus grand» et «plus petit» (sens cardinal). La correspondance terme à terme peut être utilisée pour comparer des quantités que l on ne sait pas dénombrer. C est fréquent en maternelle. Une estimation visuelle permet parfois de comparer des collections dont le nombre d éléments est suffisamment distinct. 2.2. Apprentissage de la numération au cycle 2 2.2.1. Les enjeux de la numération au cycle 2 Comme nous venons de le voir, en maternelle, la connaissance des suites chiffrées et orales est plutôt globale, ces suites sont apprises, fréquentées jusqu à 30 environ sans qu elles soient vraiment analysées. Mais au CP, l apprentissage des suites orales et écrites s appuie sur les régularités que l on peut observer à l oral comme à l écrit : jusqu à 100 au CP, jusqu à 1 000 au CE1. Les enjeux de la numération dans ces classes sont nombreux. Procédure numérique : les relations «est avant», «est après» Prenons l exemple du nombre 37. En classe de CP, les élèves devront savoir : Pour comparer deux nombres, on peut s appuyer sur les relations «est avant» ou «est après». Par exemple, 8 est plus grand que 6 car lorsqu on récite la comptine, on prononce le mot «huit» après le mot «six» : 8 est situé après 6 dans la suite ordonnée des nombres. Cette procédure, la plus fréquemment utilisée, est employée très tôt par les élèves. Elle correspond à un autre sens des relations «plus grand» et «plus petit» : le sens ordinal. - réciter la file des nombres au moins jusqu à 37, à partir de n importe quel nombre inférieur ou égal à 36 ; - situer 37 par rapport aux autres nombres déjà connus ; - passer de l écriture chiffrée 37 à l écriture littérale et inversement ; - dénombrer des collections de 37 objets manipulables ou dessinés, ces collections pouvant être pré-groupées par dix ou non ; - construire une collection de 37 objets ;

- représenter le nombre 37 à l aide de matériels de numération ; - représenter 37 ou 37 centimes avec de la monnaie ; - associer 37 à diverses écritures décomposées, par exemple 10 + 10 + 10 + 7, 30 + 7, 7 + 30, 20 + 10 + 7, 10 + 7 + 10 + 10, 3 dizaines et 7 unités, 7 unités et 3 dizaines, etc. On voit donc que l enseignement de la numération doit chercher à construire des liens entre des quantités, des matériels et des désignations orales et écrites très variées des nombres, ce que nous avons schématisé dans le dessin ci-après : augmente. (@ DOC. Apprentissage de la numération au cycle 2). 2.2.2. Exemple de progression La progression adoptée dans le domaine de l apprentissage des nombres aux cycles 1 et 2 devrait être la suivante : Première phase : Une approche globale et d abord orale Cette phase débute en GS et se poursuit au CP. On passe des mots isolés aux mots ordonnés : l élève apprend la suite des mots-nombres dans un sens, dans l autre et à partir d un certain nombre. Il compte et décompte de 2 en 2, puis de 10 en 10. Il repère les régularités de la suite orale et les irrégularités. 30 On passe ensuite à la suite écrite avec la bande numérique qui a un triple rôle : - visualisation de l ordre ; - représentation de l amplitude de l écart entre les nombres ; - perception de l infinitude de la suite. Deuxième phase : Étude de l aspect algorithmique de l écriture chiffrée La bande numérique individuelle permet de découvrir les régularités qui n apparaissent pas toujours sur les noms des nombres. Elle permet de faire la correspondance entre le mot-nombre et l écriture chiffrée. Cette phase débute en GS et se poursuit au CP et au-delà. L utilisation des tableaux de nombres permet de découvrir les régularités dans la formation des écritures chiffrées et de prendre conscience du rôle différent joué par les chiffres dans l écriture d un nombre. Par exemple, dans une colonne, le chiffre des unités est le même, le chiffre des dizaines croît de 1 en 1 quand on descend dans la colonne, les nombres progressent de 10 en 10 etc. Des observations similaires peuvent être faites dans une ligne. Ces activités permettent aux élèves de pouvoir prolonger ou compléter une suite de nombres, même s ils ne savent pas dire ces nombres. 31 Les élèves doivent savoir passer de l écriture d un nombre à celle de son suivant. En numération chiffrée, pour passer d un nombre au nombre suivant, il faut augmenter de 1 le chiffre des unités. Le point difficile est le passage des dizaines. Par exemple, après 49 vient 50. Le chiffre des unités revient à 0, le chiffre des dizaines augmente de 1. Ces règles ne vont pas de soi et au CP, on peut voir des élèves qui pensent qu après 22 vient 33 et qu après 33 vient 44. Ils n ont pas compris à quel moment le chiffre des dizaines «avance» et adoptent une solution simpliste : faire avancer les deux chiffres en même temps. Au CE1, les enjeux restent les mêmes mais le domaine des nombres utilisés 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

32 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 L enfant ne peut découvrir des régularités que si le domaine des nombres utilisés est relativement important. Troisième phase : Le groupement par 10 Cette phase commence au cycle 2. L idée principale est de : - faire prendre conscience aux élèves de l intérêt des groupements par 10 pour dénombrer une collection d objets ou pour constituer une collection d objets. Il s agit de leur permettre de commencer à comprendre la signification des chiffres en fonction de leur position dans l écriture d un nombre : ainsi dans 23, il y a 20 et 3 ou 10, 10 et 3. Le 3 de 32 n a pas la même valeur que le 3 dans 23 ; - découvrir qu un nombre peut être exprimé à l aide d une décomposition additive : 23 = 10 + 10 + 3 ou 10 + 10 + 3, c est 23. Ainsi le problème donné en CE1, avant tout travail sur la multiplication, «Combien de carnets de 10 timbres faut-il acheter pour timbrer 254 enveloppes?» peut être résolu, à ce niveau, en utilisant des connaissances en matière de numération. En effet, il consiste à rechercher le nombre de dizaines qui constituent le nombre 254, soit 25. Il suffit ensuite de rajouter un carnet supplémentaire pour les 4 enveloppes restantes. d autres systèmes de numération, par exemple le système des Égyptiens de l Antiquité, afin d en dégager les ressemblances ou les différences (voir le point 1.2.) ; - prolonger au-delà de 10 000 les procédures de comparaison des nombres ; - savoir utiliser les propriétés de notre système de numération pour résoudre des problèmes. Au cours du cycle 3, on peut mettre en place de nombreuses activités utilisant du matériel de numération ou des tableaux de numération. (@DOC. Activités sur la numération au cycle 3). 2.4. Difficultés des élèves sur la numération aux cycles 2 et 3 Dans le travail sur la numération, la maîtrise du double système de notation écrit des nombres (écriture littérale et écriture chiffrée) est indispensable à la lecture et l écriture des nombres. La compréhension et la maîtrise des règles de la numération écrite constituent des conditions d accès aux règles de comparaison et aux algorithmes de calculs mental et écrit. De nombreux travaux ont mis en évidence les difficultés persistantes des élèves à passer d un système de désignation à l autre, ne serait-ce que parce que les deux systèmes comportent des symboles écrits différents avec des règles de composition différentes d un système à l autre 7. Nous les rappelons dans le tableau ci-dessous : 33 2.2.3. Matériels de numération Il existe beaucoup de sortes de matériels didactiques pour représenter des quantités : des bouliers aux cubes emboîtables en passant par les bûchettes d autrefois. Ils ont pour fonction de faire apparaître le rôle particulier joué par certains groupements : la dizaine mais aussi parfois, les groupements par cinq. Ils servent donc essentiellement pour la compréhension du principe positionnel de notre numération chiffrée et l élaboration des premiers procédés de calcul de sommes ou de différences. Ces aspects sont surtout pris en charge par l enseignement au CP. (@DOC. Matériels de numération). 2.3. Apprentissage de la numération au cycle 3 Symboles chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Symboles mots-nombres Unités Dizaines Mots particuliers Dizaines complexes Autres puissances de 10 Un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf Dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante Onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize Soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix Cent, mille, million En entrant au cycle 3 (CE2), les élèves connaissent les nombres jusqu à environ 1 000. Au cours de ce cycle, ils vont aborder les nombres allant jusqu à la classe des millions. Le travail sur les nombres consiste principalement à : - comprendre les règles de notre système de numération orale au-delà de 10 000 ; - étendre aux nombres supérieurs à 10 000 la compréhension de notre système de numération écrite (elles sont déjà connues des élèves pour des nombres inférieurs à 10 000). Pour cela on peut comparer notre système de numération de position avec Les difficultés portent, d abord, sur l ensemble des particularités propres aux deux systèmes de codage : les symboles de base (chiffres et mots-nombres), les règles de composition dans les systèmes verbal et chiffré, les relations somme et produit du système verbal, la présence de zéros intercalaires dans le système chiffré. Par ailleurs, le mot «zéro» est utilisé dans la numération orale pour désigner le nombre 0. Ces particularités sont à l origine de difficultés dans les activités de passage d un système à l autre. 7 X. Séron et alii, in J. Bideaud et alii, Les chemins du nombre, Presses universitaires de Lille, 1991.

34 Les erreurs courantes portent généralement sur les suites verbales à plusieurs éléments : - les dizaines complexes : ex. quatre-vingt(s) écrit 420 où l élève code séparément les mots-nombres entendus ; - les suites verbales contenant «cent» : les relations «somme» sont souvent moins bien maîtrisées que les relations de type «produit». Ainsi, «sept cents» conduit bien à 700, mais «cent» suivi d un mot-nombre particulier (sept cent treize) ou d une dizaine complexe (sept cent quatre-vingts) peut poser des problèmes à certains élèves. En effet, certains élèves ne considèrent pas le nombre comme un tout, mais juxtaposent certains éléments (ex. sept cent treize écrit «70013») en considérant des mots-nombres comme isolés. Ce qui fait dire à certains auteurs que les élèves ont conservé une conception «collection» de l écriture des nombres où chaque symbole entendu rend compte d une collection d unités 8. D autres élèves écrivent 7013. Cette erreur semble liée au fait qu ils se sont créé des règles de construction des nombres de type centaine-unité. 701-702- 703 où il suffit de rajouter une unité au dernier chiffre énoncé, en conservant toujours le groupe 70x, et en considérant x isolément. - les suites verbales contenant «mille» conduisent à des constats similaires. Les relations de type produit (deux mille, trois mille ) sont généralement mieux maîtrisées que les relations de type «somme» : mille deux, mille trois. Ici aussi, soit les élèves considèrent des mots-nombres isolés, soit ils se construisent des règles erronées dès qu il s agit d ajouter des nombres supérieurs aux unités (20010 comme suite logique de 2009). Ces erreurs peuvent persister lorsque la taille des nombres augmente. D autres erreurs concernent la compréhension de l aspect groupement et échanges. Ainsi, pour 37 unités et 13 dizaines, il n est pas rare de trouver : - une simple juxtaposition de chiffres : 3713 ; - une compréhension lacunaire du rôle de la dizaine («on écrit les dizaines avant les unités») : 1337. Les apprentissages au cycle 3 ont donc pour but de consolider les acquis du cycle 2 dans un champ numérique plus grand, notamment sur les diverses écritures d un nombre, les règles de la numération écrite et orale, la comparaison des nombres. Le rôle de la droite numérique pour comparer ou intercaler des nombres est à renforcer, aspects qui seront repris lors de l étude des nombres décimaux, et retravaillés en liaison avec le calcul.! (@AE.) (@BIB.) 8 B. Dufour-Janvier, N. Bednarz (sous la direction de), Construction des savoirs, obstacles et conflits, éd. Agence d Arc, Montréal, 1989.