Chapitre 2. Modulation numérique dans un canal AWGN 1 Sujet du chapitre Signaux et types de modulation pour transmettre l information numérique binaire à travers un canal analogique Représentation géométrique des signaux Démodulation dans le cas d un canal corrompu par du bruit AWGN (bruit additif, blanc et gaussien) Performance de la transmission Transmission en bande de base Transmission en bande passante (par onde porteuse) L étude porte sur la transmission d un seul message (oneshot); le cas de messages multiples sera traité plus loin. 2 1
Contenu Modulation numérique binaire et M-aire Signaux orthogonaux et procéedure de Gram-Shmidt Représentation géométrique des signaux Schémas de modulation binaire Polaire Quadrature Démodulation dans un canal AWGN Performance Cas M-aire 3 5.4 4 2
Modulation numérique Associe un signal analogique à chaque valeur de bit ou groupe de bits pour l adapter au canal de communication (qui est analogique) Peut se faire de deux façons : Modulation binaire : permet la transmission bit par bit en utilisant un signal pour 0 et un signal pour 1 Modulation M-aire : permet de transmettre k bits à la fois, en utilisant 2 signaux notés,1. Les signaux sont typiquement des combinaisons linéaires de signaux orthonormaux, 1.. : 1 0 La contrainte d orthonormalité permet de traiter les fonctions comme vecteurs dans un espace pour les représenter par leurs coordonnées 5 Procédure de Gram-Schmidt Permet de construire une base de fonctions orthonormales à partir d un ensemble arbitraire de fonctions Partant d un ensemble de signaux.., On crée un ensemble orthogonal.., N M, comme suit: 1. On pose, où est l énergie de 2. On construit chaque nouveau en soustrayant du correspondant ses projections dans les déjà définis :, 2.. avec Si les s(t) sont linéairement dépendants, on aura = 0 pour certaines valeurs de n, ce qui donnera N < M; sinon N = M 6 3
1., où 2. Itération : Pour 2.. : où : Exemple d application Partant de M=4, on aboutit à N=3 7 Représentation géométrique des signaux de modulation L ensemble 1 formant une base dans l espace des signaux de modulation, on peut écrire chaque signal :, où est la projection de sur :, Alternativement, on peut faire abstraction des fonctions de base et voir chaque comme un point dont les cordonnées sont les projections de sur chacun des axes :,,, 8 4
Techniques de modulation binaire Basées sur un déplacement de valeur d attribut(s) (shift keying) Deux types fondamentaux: Modulation polaire (dite aussi antipodale) Modulation orthogonale On peut en déduire la plupart des modulations courantes : Modulation par Amplitude d Impulsion (MAI; Pulse amplitude modulation ou PAM) Modulation par déplacement d amplitude (MDA; Amplitude Shift Keying ou ASK) Modulation par déplacement de fréquence (MDF; Frequency Shift Keying ou FSK) Modulation par déplacement de phase (MDP; Phase Shift Keying ou PSK) Modulation d amplitude en quadrature (MAQ; Quadrature Amplitude modulation ou QAM) 9 Modulation binaire polaire Le plus simple type de modulation binaire; multiplie un signal p(t) par ±1 en fonction de la valeur de bit 1 et 0 Durée de p(t) = durée de bit (T = ) ; débit 1 Ex. : Modulation d amplitude d impulsion binaire (MAI binaire ou binary PAM) 1 1,0, 1 2 est une impulsion d amplitude A, donnant pour l énergie de et : E 10 5
Représentation géométrique de PAM E donne E Un à énergie unitaires aura une amplitude 1/, d où : ± E pour un signal d énergie E E 1 Fonction de base à énergie unitaire Représentation géométrique des signaux PAM 11 Modulation ASK Variation de PAM où ± p(t) est multiplié par cos 2 : cos 2, 0 cos 2, 0 Si est une pulsation rectangulaire d amplitude 1 et durée T b, la fonction de base à énergie unitaire est cos 2 La représentation géométrique est similaire au PAM 12 6
Modulation ASK Amplitude Shift Keying/On-off keying (ASK/OOK): Pros: simple, efficace en consommation d énergie Cons: bruit de transition à large spectre, susceptible au bruit Usage commun: systèmes sans fil anciens carrier 0 1 0 1 digital data OOK modulation 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 OOK ASK Signal Space Diagram Each axis represents a symbol OOK has two basis functions: sinusoid & no sinusoid OOK has two symbols: carrier & no carrier Distance between symbols predicts BER 13 Modulation binaire orthogonale et sont de même énergie E b, mais orthogonaux Trouver la base orthonormale revient simplement à normer et :, 1,2 Ex. : Modulation binaire par positionnement d impulsion (MPI binaire ou binary PPM binaire) 14 7
Modulation BFSK La modulation binaire par déplacement de fréquence est un autre exemple. Dans ce cas, une impulsion p(t) est multipliée par deux porteuses orthogonales pour former et : cos2, 0 cos2, 0 2, 2 et sont des entiers positifs distincts 15 Modulation BFSK Binary Frequency Shift Keying (FSK): Pros: Moins sensible au bruit Cons: demande un bande passante plus large que ASK en théorie Populaire dans le systèmes récents Fc-df fc Fc+df DIO=low FSK modulation Frequency deviation Frequency separation = 2 x df DIO=high Frequency freq1 carrier freq2 carrier 0 1 digital data FSK mod Signal Space Diagram / Signal Constellation Each axis represents a symbol Each basis function is orthogonal Distance between symbols predicts BER 16 8
Représentation spectrale La modulation PPM est en bande de base La modulation BFSK est en bande passante 17 Modulation BPSK Binary Phase Shift Keying (PSK): Pros: Moins sensible au bruit Demande moins de bande passante que FSK Cons: L exigence de synchroniser la fréquence et la phase complique émetteurs et récepteurs freq1 carrie r freq2 carrie r 0 1 digital data PSK mod Signal Space Diagram / Signal Constellation Each axis represents a symbol Each basis function is orthogonal Distance between symbols predicts BER 18 9
BPSK (M=2) 0 1 s 1 s 2 E b 2 ( t) QPSK (M=4) E b 1 ( t) 2 ( t) 01 00 s2 s1 MPSK 110 s 5 8PSK (M=8) 2 ( t) s 3 011 010 001 s4 s2 E s 000 s 1 1 ( t) E s 1 ( t) 111 100 s6 s8 101 s 7 s3 s 11 10 4 19 Récepteur optimal Modèle de canal : Hypothèse de bruit: Spectre de fréquences à large bande Additif Pas de corrélation avec le signal Loi de probabilité gaussienne Récepteur : Le démodulateur estime les coordonnées du signal reçu, le détecteur décide du correspondant Densité spectrale 2 20 10
Deux types : Démodulateur optimal Par corrélation Par filtrage adapté (Matched filter) 21 Démodulateur par corrélation La sortie du corrélateur à est : étant une variable aléatoire gaussienne avec 0et, l ajout de ne fait que décaler la moyenne de de n vers cette valeur Démodulateur pour signaux binaires antipodaux Démodulateur pour signaux binaires orthogonaux 22 11
Démodulateur par corrélation II La densité de probabilité conditionnelle à la sortie du corrélateur est, pour transmis : Le détecteur pourrait décider lequel de et a été transmis en comparant et Démodulateur pour signaux binaires antipodaux 23 Démodulateur par corrélation III Pour les signaux binaires orthogonaux, le corrélateur génère deux sorties possibles :,, et sont des variables gaussiennes non corrélées, donc indépendantes, due aux fonctions de base orthogonales On obtient alors :, ou, Démodulateur pour signaux binaires orthogonaux Exploitation de, = 24 12
Démodulation par filtre adapté Le corrélateur est remplacé par un filtre linéaire invariant dans le temps, avec :, 0 Signaux binaires antipodaux. On utilise Signaux binaires orthogonaux. On remplace les corrélateurs par deux filtres adaptés Démodulateur pour signaux binaires antipodaux,0,0. Démodulateur pour signaux binaires orthogonaux 25 Démodulation par filtre adapté II La sortie du filtre à est : = (parce que ) Même sortie que pour le démodulateur par corrélation! 26 13
Démodulation par filtre adapté III En fait, l usage de maximise le rapport signalsur-bruit à la sortie du démodulateur On a : Le rapport signal-sur-bruit à est : Pour le terme de bruit : Pour le terme de signal : Finalement, de l inégalité de Schwarz, on tire : E 27 Détecteur binaire optimal Doit décider pour chaque valeur de sortie du démodulateur si elle correspond à s 1 ou s 2 Pour un signal de modulation polaire, la probabilité de prendre la mauvaise décision est: Il faut trouver le seuil qui minimise En posant 0, on obtient : E ln 0 ) x α Zones de probabilité de mauvaise décision 28 14
Performance de transmission binaire 29 Modulation M-aire La séquence à transmettre est divisée en blocs de même taille (k bits) et même durée ( ), dits symboles Chacun des 2 symboles possibles est représenté par un signal de modulation différent Le taux de transmission de symboles est Le récepteur comprend toujours un démodulateur et un détecteur 30 15
Le démodulateur M-aire Puisque, il faut N démodulateurs, un pour chaque Démodulation par corrélation Démodulation par filtre adapté 31 Signal M-aire avec bruit AWGN À l entrée du récepteur:, 1,,;0 AWGN de moyenne 0 et 2 À la sortie des corrélateurs : Sous forme vectorielle :, Les étant non corrélés, / L ajout de déplace la moyenne de de 0 vers 32 16
Signal M-aire avec bruit AWGN La densité de probabilité conditionnelle du corrélateur pour transmis est, 1,2,, où, 1,2,, Fonction de densité de probabilité conditionnelle pour PAM avec M=4 (k=1 dans ce cas) 33 Signal M-aire avec bruit AWGN Pour un signal reçu dont seul un composant est non nul : 1 / ; / ;, 1,2,, Fonction de densité de probabilité conditionnelle marginale pour dans un système de modulation orthogonale avec M=4 et 0pour 34 17
Le détecteur optimal La vecteur de sortie du démodulateur comprend le signal transmis, mais aussi du bruit gaussien Nuage sphérique autour du signal dont 2 =N 0 /2 détermine l étalement (écart-type petit ou large) Pour détecter le signal transmis, on peut se fier à la vraisemblance que le vecteur observé correspond bien à Exemple de vecteur d observation et de vecteur de bruit, N = 3, M = 4, s 1 est transmis 35 Le détecteur MAP Un mécanisme de détection relativement simple est obtenu en appliquant le théorème de Bayes à : On choisit le message qui maximize la probabilité a postériori (détection MAP) ne dépend pas de et est ignoré Pour des signaux équiprobables, on peut ignorer, ce qui revient à évaluer La détection MAP devient une détection par vraisemblance (détection ML) 36 18
Détecteur ML dans un canal AWGN Repose sur la maximisation de L usage d une notation logarithmique permet de simplifier les calculs, en posant : log log est maximum lorsque minimum Maximiser revient à minimiser est 37 ML dans un canal AWGN On choisit le message dont le point est le plus proche de celui du message démodulé y (détection par minimum de distance) On a aussi : 2 2 E d où une manière alternative de choisir : On choisit le message qui maximise (détection par corrélation) E 38 19
Régions de décision ML L imputation de au y observé introduit une probabilité d erreur de décision : 1 En partitionnant l espace des vecteurs y en M régions disjointes, on peut minimiser par un choix judicieux des frontières des régions Un vecteur d observation y sera alors dans la région R m si est maximum pour m Permet de décider partout sauf si y correspond à la frontière entre deux régions; on tranche au hasard dans ce cas. 39 Probabilité d erreur Il y a erreur lorsque le vecteur d observation est dans une région de décision différente de celle associée au signal émis. La probabilité d erreur moyenne est: 1 pour ML 1 pour MAP Pour des signaux polaires, on a vu que qu en est-il pour des signaux M-aires?, 40 20
La borne union sur la probabilité d erreur Méthode simple de borner la probabilité d erreur dans un système M-aire à messages équiprobables Exploite la propriété Prob{A B} = Prob{A}+Prob{B} Prob{A B} Prob{A} + Prob{B} Soit l événement que le détecteur choisisse lorsque est transmis ( ), la probabilité d erreur est : = Prob{, excluant } En prenant, la distance minimum entre deux messages, alors et 1 41 Modulation PAM M-aire Généralisation de la modulation PAM binaire où :, 1, 2,,, de durée T, et peut être une pulsation rectangulaire avec / E, d où E Comme les ne diffèrent que par leurs amplitudes, ils appartiennent à un espace de signaux à 1 dimension; par contre, ils sont d énergies différentes : E E L énergie moyenne par message est E E 42 21
Modulation PAM M-aire Pour éviter la composante DC, on répartit symétriquement les composantes d amplitude : 21, 1,, (A est un facteur de valeur arbitraire) L énergie moyenne est alors : E E 2 1 2 2 E 2 1/3 On définit la distance E pour représenter la modulation PAM géométriquement. 43 Modulation ASK M-aire Pour transmettre le signal PAM dans un canal à bande passante, on le multiplie par un signal sinusoïdal: cos2, 1, ASK M-aire: cos2, 1, Le cosinus divise l énergie du signal par 2 et les fonctions de base sont E cos 2 La démodulation peut se faire par corrélateur ou filtre adapté, et la détection par PAM ou ML Le bruit est dans ce cas cos 2 2 44 22
Probabilité d erreur du PAM M-aire On obtient une erreur lorsque l amplitude du bruit dépasse d On a, pour la probabilité d erreur moyenne En terme d énergie E / 45 Probabilité d erreur du PAM M-aire 2 1 6E 2 1 E 46 23
Modulation PSK M-aire Modulation par déplacement de phase (PSK) cos2,0,1 1 peut être une pulsation rectangulaire en bande de base Les signaux ont la même énergie E et, d où E cos2, 0 0 0, 1, 1 47 Exemple de 4 PSK 48 24
Modulateur MPSK Utiliser l identité trigonométrique cos cos cos sin sin 49 Représentation géométrique E cos, E sin Les fonctions de base auront pour amplitude 1/ E L affectation des bits à transmettre aux symboles suit souvent un code de Gray Minimise le taux d erreur par bit car deux symboles voisins auront au plus un bit de différence. 50 25
Constellation MPSK E cos 2, E sin 2 Distance entre symboles : 2E 1cos La distance minimale correspond à deux symboles adjacents : 2 E sin 51 Démodulation et détection MPSK À la réception, on utilise deux corrélateurs pour obtenir : E cos 2, E sin 2 Le détecteur affecte y au symbole le plus proche en termes de distance ou de phase Problème potentiel si les phases des porteuses changent! La probabilité d erreur est 1 Expression difficile à évaluer analytiquement, estimée numériquement 52 26
Probabilité d erreur pour PSK pour différentes valeurs de s/b 53 Modulation QAM Modulation MPSK avec la contrainte de même énergie pour les signaux retirée Permet de créer des constellations dont les points peuvent être situés ailleurs que le long d un cercle Permet une distribution plus uniforme des distances entre symboles Constellation QAM avec M = 16 54 27
Modulation QAM 55 28