Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1989-90

Progress in Mathematics Volume 102 Senes Editm J. Oesterl6 A. Weinstein Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1989-90 Sinnou David Editor Birkhauser Boston. Base1. Berlin

Sinnou David Département de Mathkmatiques Université de Paris-Sud Centre d'orsay F-91405 Orsay Cedex France "ne Library of Congress has catalogued this serial pblication as follows:"... Sgninaye Delange-Pisot-Poitou. Saninaire de théorie des nombres/saninaire Delange-Pisot- Poitou. - 1979-80- - Boston: Birkhauser. 1981- v.; 24 cm. - (Progress in mathematics) Annuai. English and French. Continues: Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Séminaire Delange-Pisot-Poitou: [expésl 1. Numbers, Theory of - Periodicals. 1. Titie. II. Series: Progress in mathematics (Boston. MUS.) QA 24.S37a 512'.7'05dc19 85-648844 Library of Congress [8510] AACR 2 MARCS CLP-Kuntitielaufnahme der Deutschm Bibliothek Séminaire de théorie des nombres: Séminaire de théorie des nombres. - Boston ; Basel ; Beriin : Birkhauser Teilw. auf d. Haupttitels. auch : Séminaire Delange- Pisot-Poitou 19891'90. Paris 1989-1990. -1991. (Progress in mathematics ; Vol. 102) ISBN 3-7643-3622-6 (Basel...) ISBN 0-8176-3622-6 (Boston...) NE: GT Printed on acid-free paper. @ Birkhauser Boston 1992. AU rights reserved. No part of this pubiication may be reproduced, stored in a retrieval system. a transmitted. in any fom or by any means. electronic, mechanical, photocopying, recording. or otherwise, without prior permission of the copyright owner. Pedssion to phot&py for intemal or pers& use of specific clients is granted by Birkhiuser Boston forlibraries and otherusers registered with the Copyright ClearanceCenter (CCC),pmvided thatthe base feeof.~0.00perc~~,~lus$0.20per~a~eis~aid &tly toc~c.21 ~on~ress~tr~t,~alan.~~01970, U.S.A. Special requests should be addressed directly to Birkhauser Boston. 675 Massachusetts Avenue, Cambridge. MA 02139, U.S.A. ISBN 0-8176-3622-6 ISBN 3-7643-3622-6 Camera-ready copy prepared by the editor using Tex. Printed and bound by Edwards Brothers. Inc., Ann Ahr. Michigan. Printed in the U.S.A. Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 Contents Une remarque à propos des cycles de Hodge de type CM... 1 Y. ANDRÉ Galois representations and cohomology of GL(n, Z)... 9 A. ASH Modular forms and abelian vaxieties... 23 D. BLASIUS Sommes de Kloosterman généralisées : 1 'équation fonctionnelle... 31 M. CARPENTIER On the hermitian structure of Galois modules in number fields and Adams operations..... 53 B. EREZ Searching for Solutions of z3 + y + z3 = k... 71 R. HEATH-BROWN Une généralisation d'un théorème de Terjanian... 77 Y. HELLEGOUARCH Lnteger points in a domain with smooth boundary... 93 M.N. HUXLEY Estimates for coefficients of L-functions. III... 113 W. DUKE and H. IWANIEC Principe de Hasse cohomologique....121 u. JANNSEN Classes des corps surcirculaires et des corps de fonctions... 141 J.-F. JA ULENT et A. MICHEL Ideal Class Groups and Gaiois Modules... 163 W.C. W. LI Propriétés arithmétiques des substitutions......177 C. MAUDUIT

Galois theoretic local-global relations in nilpotent extensions of algebraic number fields..... 191 K. MIXAKE La racine 12-ième canonique de A(L)E:~II~~... 209 G. ROBERT Pz dans les petits intervalles... 233 J. WU Les textes qui suivent sont pour la plupart des versions écrites de conférences données pendant l'année 1989-90 au Séminaire de Théorie des Nombres de Paris. Ce séminaire est organisé par la S.D.I.6180 du C.N.R.S. qui regroupe des arithméticiens de plusieurs universités et est dotée d'un conseil scientifique et éditorial. Ont été aussi adjoints certains textes dont la mise à la disposition d'un large public nous a paru intéressante. Les articles présentés ici exposent soit des résultats nouveaux, soit des synthèses originales de questions récentes ; ils ont en particulier tous fait l'objet d'un rapport. Ce recueil doit bien sur beaucoup à tous les participants du séminaire et à ceux qui ont accepté d'en réviser les textes. Il doit surtout à Monique Le Bronnec qui s'est chargée du secrétariat et de la mise au point définitive du manuscrit: son efficacité et sa très agréable collaboration ont été cruciales dans l'élaboration de ce livre. Pour le Conseil éditorial et scientifique S. DAVID

Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 Une remarque à propos des cycles de Hodge de type CM Yves AND* 1. Introduction Dans sa preuve 121 du fait que la notion de cycle de Hodge sur une variété abélienne complexe est absolue (invariante par automorphisme de ê), P. Deligne s'appuie sur deux principes : (A) les cycles invariants sous le groupe qui fixe les cycles de Hodge absolus sont tous de Hodge absolus, plate. (B) la notion de cycle de Hodge absolu est invariante par déformation En outre cette méthode met en évidence des compatibilités aux classes de cohomologie étale, et à cette liste de résultats sont venues s'ajouter des propriétés p-adiques (D. Blasius, A. Ogus, J.-P. Wintenberger). La stratégie est la même : on remplace la notion de cycle de Hodge absolu par la notion enrichie pour laquelle on prouve (A) et (B); d'ailleurs, lorsqu'il ne s'agit que de compatibilités cohomologiques, (A) s'avère souvent formel. Si l'on cherche à aborder par ce biais la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes (les cycles de Hodge seraient combinaison linéaire de classes fon- damentales de sous-variétés ; ce qui expliquerait naturellement leurs mirifiques propriétés), on dispose de résultats partiels en direction de (B): ainsi d'après S. Bloch (11, les cycles algébriques dits "semi-réguliers" se deforment. En revanche, on ne peut guère espérer prouver un principe (A) pour les cycles algébriques. Le but de cette note est de montrer comment l'on peut se passer de ce principe.

REMARQUE A PROPOS DES CYCLES DE HODGE DE TYPE CM 3 En effet celui-ci n'est utilisé dans (21, via un argument "tannakien", que pour déduire du résultat que certains cycles dits "de Weil" sont absolument de Hodge (résultat acquis au moyen de (B), le fait que tous les cycles de Hodge sur une uariété abélienne X de type CM le sont absolument. Nous montrons beaucoup plusdirectement que tout cycle de Hodge surx est combinaison linéaire d'images inverses (via -Y --+ YJ) 11.2 cycles de Weil sur diverses variétés abéliennes YJ de type CM (construites à partir de X). En particulier, l'algébricité des cy- cles de Weil entraînerait la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes de type CM. Ceci ramène donc cette conjecture à trouver un représentant algébri- que déformable pour les cycles de Weil sur des variétés abéliennes convenablement choisies, par exemple comme au 3 ex. 1 ci-dessous (mais une difficulté supplémentaire apparaît du fait que les cycles de Weil, orthogonaux à une puis- sance de la polarisation, n'admettent aucun représentant effectif. Quoique A. Weil présente plutôt s/ces cycles 191 comme des contrexemples potentiels, on pourra noter les résultats positifs de C. Schoen 171 en petite codimension). 2. Structures de Hodge de Type CM Soit V une Q-structure de Hodge : V @ ê = $ V P ~ Q = VqJ', ~ ; le poids p+q=n n étant fixé, une telle décomposition équivaut à la donnée d'un morphisme 1% du groupe du cercle S1 dans GL(V@W). L'adhérence de Zariski de l'image de S1 est le groupe de Hodge de V (encore appelé groupe de Murnford-Tate spécial), noté G(V). Les invariants de G(V) dans V et dans les espaces de tenseurs mixtes sur V coïncident avec les éléments de type (p,p): on les appelle cycles de Hodge. Les conditions suivantes sont équivalentes ([SI 16.1) : i) G(V) est un tore compact, ii) G(V) est abélien, et V est polarisable. Lorsqu'elles sont satisfaites, V est dite de type CM. Toute structure de Hodge de type CM est somme directe de sous-structures irréductibles. Supposant maintenant V de type CM et irréductible, et soit E le centre de l'algèbre de ses endomorphismes. Parce que G(V) est abélien, il est naturellement contenu dans le tore rationnel TE associé à E. Par irréductibilité de V, on en déduit que EndHodge V = E et que V E E comme E-espace vectoriel. Parce que G(V) est en outre compact, il est trivial ou bien se déploie sur un certain corps CA1 F C ê, qu'on peut choisir égal à la clôture galoisienne de E si E # Q. On voit donc que E est ou bien Q, ou bien un corps CM. Le cas E = Q ne correspond d'ailleurs qu'à des structures de Tate Q(n). La décomposition de Hodge est donnée par : cp étant une fonction sur S telle que p(s) + cp(7) = (constante) 12. De façon équivalente, le complexifié de h : S1 --t (2cp(s) - n ) < s 1, TEIW est le caractère où (< s I),E~ désigne la base duale de la base naturelie SES S des caractères de TE. Ainsi cp et V (qu'on note aussi V,) se déterminent mutuellement. L'irréductibilité de V se traduit de la manière suivante : faisons agir Gal(F/Q) sur cp par (ucp)(s) = cp(su-l) pour tout s E S; alors "V, irréductible" équivaut à (*) "le sous-groupe de Gal(F/Q) laissant cp invariant fixe E". Grâce à la relation V,++ i, V, @E V+, on voit aisément qu'on obtient tous les V+ (par produit tensoriel et twist à la Tate ou dualité) à partir de structures "type", pour lesquels 9 prend ses valeurs dans {O, 1). c'est-à-dire est l'un des 21E:Q112 types CM de E. Un tel V, est le H1 rationnel d'une variété abélienne (simple, pour cp satisfaisant à (*)) à multiplications complexes par E, bien déterminée à isogénie près. On en déduit que toute structure de Hodge V de type CM de poids pair 2p,.. avec V2J = O pour i < O ou j < 0, est facteur direct du HZP = A2PH1 d'une variété abélienne à multiplications complexes (non nécessairement simple). Nous montrerons au paragraphe 4 comment se déduisent les cycles de Hodge dans H~~ des cycles spéciaux introduits par Weil. 3. Cycles de Weil (déployés) Soit E un corps CM formé d'endomorphismes d'une Q-structure de Hodge V de Spe (1, O) + (O, 1). On dit que V est de Weil (relativement à E) si la condition suivante est réalisée : (**) il existe une forme E-hermitienne 4 sur V, admettant un sous-espace totalement isotrope de dimension p = dim V, et il existe un élément purement imaginaire de E, soit (, tel que treiq(()d définisse une polarisation de V.

REMARQUE A PROPOS DES CYCLES DE HODGE DE TYPE CM 5 2P On vérifie alors aisément que les éléments de A V (dont le E-vectoriel sous- E jacent est une droite) sont des cycles de Hodge, appelés cyles de Weil. D'après un résultat de Landherr (cf. e.g. 161 voir aussi 121 prop. 4.2). la condi- tion (**) détermine l'espace hermitien associé à 4. De plus. on peut naturelle- ment paramétrer les structures de Weil relativement à E de dimension 2p par [E/Q]/2 copies du domaine hermitien symétrique standard {U E Mp(ê), t ~ > Ü I), cf. 181. Exemple 1 (Weil) Soit Ifo de type (1,O) + (0,1), de rang 2p, muni d'un polarisation $0 (cône de formes alternées), et soit Wo un sous-espace isotrope maximal. On pose V = 1; @ E, avec bigraduation de Hodge induite de Vo @ ê via V 8 ê Y (Vo @3 ê)'. Q Q Par extension de Go à V par E-linéarité puis composition avec la trace, on définit une polarisation $ de V, qui s'écrit automatiquement sous la forme tr~~~(c)4 avec C, comme en (**) (Wo@ E est un sous-espace isotrope de dimension p pour 4) cf. 121. 131. Ecrivons Vo = H1(Xo, Q) pour une variété abélienne Xo à isogénie près. On a V = H1(Xo @ E,Q). Lorsque G(Vo) est un ResKIQ sp~(k) on a un ResK/Q Ur,-(Vo) pour un K c End Vo convenable, un argument de théorie des invariants 141, joint au théorème de Lefschetz, montre que les cycles de Weil sur T l sont algébriques. Exemple 2 (Shimura-Deligne) Soient pl,..., pz,, des types CM attachés à E, tels que C y, = constante sur S := Hom(E, ê) (cette constante est nécessairement p). Alors V = evqi est de Weil (121 p. 69). Le calcul des périodes des cycles de Weil correspondants conduit aux fameuses relations de périodes monomiales découvertes par G. Shimura 181. Remarquons que d'après le résultat de Landherr mentionné ci-dessus, l'exemple 2 peut être "déformé" sur l'exemple 1. 4. Cycles de Hodge "de type CM" THÊORCME. - Soient 13 un entier positif et V une Q-structure de Hodge de type (1,O) + (0, l), de type CM. Alors il existe un corps CM E, des structures de Hodge Vj de type CM de Weil (relativement à E) en nombrefini, et des morphismes de structures de Hodge Vj -+ V, tels que tout cycle de Hodge < E A V soit somme d'images de cycles Q 2 y de Weil < j E h Vj. Q Remarques : a) Si le centre de EndHodge V est le produit de corps E; (nécessairement CM), on peut prendre pour E le compositum des clôtures galoisiennes des E; dans ê. Il ne faut toutefois pas s'attendre à ce que les morphismes Vj --+ V soient Ei-linéaires. b) En interprétant V := H1(X, Q), A V := H2p(X, Q), Vj := H1(YJ, Q), Q et les VJ -+ V comme provenant de morphismes de variétés abéliennes Ar -t Yj (pour X convenablement choisi dans sa classe d'isogénie), le théorème se traduit en l'énoncé sur les variétés abéliennes figurant dans l'introduction. Preuve du théorème : Ecrivons V = BIG avec EndHodge = Ei. Quitte à substituer $V, cg E Q au facteur direct V pour E galoisien comme dans la remarque a) ci-dessus, on se ramène immédiatement au cas où E, = E. Ecrivons alors V = $ V,, iei &DE= @ V,,,, de sorte que VVi,, ê soit la composante de s S=Hom(E,ê) Hodge de type (pi(s), pi(?)). On a 2~ Le tore Ti agit sur A V en commutant à G(V): cette action étendue par E- Q linéarité se diagonalise dans les DV:;~. On en déduit que tout cycle de Hodge 2P 2P 2P [ EA V s'écrit J = C X jq où J décrit l'ensemble des suites (di,s)(;,s)e~x~ avec Q di,se{0,1).~di,,=2p,et0ùx, te,qje D v~~:~'.g(v)~q~=q~. d;,. J Remarquons ensuite que pour tout automorphisme u de E, les structures de Hodge V,; sont canoniquement isomorphes; l'isomorphisme ne respecte pas

REMARQUE A PROPOS DES CYCLES DE HODGE DE TYPE CM 7 l'action de TE mais envoie V,,,, sur Vu,i,,,. Posons Vj =. I / > ~, ~ z v::;: (avec (di,s) J := s-lyi), de sorte que via ces isomorphismes, on obtient un morphisme de structures de Hodge de type CM Vj --+ V et que 8 provient d'un élément ZP J E @ c ( A VJ) BQ E, invariant sous G(VJ),~ (pour alléger. on a écrit j.j E 4, au lieu de $i,, lorsque j est l'élément de J d'indice (2, s)). Notons d'autre part Ij, s > (resp. < j, S I ), (j, s) décrivant J x S. la base naturelle des caractères (resp. cocaractères) de TE^. Si Cj est non nul, il engendre le caractère : de TE3. En outre, d'après le 5 2. la structure de Hodge VJ est donné par le cocaractère : Alors le fait que Cj soit invariant sous G(Vj),,y se traduit par la nullité de J,j < ahlj, 1 > pour tout a E Gal(E/Q). CjE En développant cette expression, on trouve : et puisque j = 2p : jej j $. - constante p, C' 3 - j J ce qui entraîne (5 3, exemple 2) que Vj est une structure de Hodge de Weil. De plus (J := [E : QI-' Au(: E$ Vj est un cycle de Weil. et ( est ueg4eiq) somme des images des (J via Vj -+ V puisque ( = [E : QI-1 Au6:. uegakeiq) Remerciements : cet article a été rédigé lors d'un séjour a Bonn au Max- Planck-Institut für Mathematik avec le support de la fondation von Humboldt; l'auteur remercie vivement ces institutions. ZP BIBLIOGRAPHIE 111 S. BLOCH. - Serni-regularity and de Rham cohomology, Inv. Math. 17, (19721, 51-66. 121 P. DELIGNE. - Hodge cycles on abelian varieties, notes by J. Milne, Springer Lecture Notes 900, 1982. 131 S. LANG. - Complex multiplication. Springer Verlag, 1983. [4] K. mem. - Hodge classes on certain types of abelian varieties, Proceedings of a conference in honor of A. Weil. [51 N. SCI-IAPPACHER. - Periods of Heclce characters, Springer Lecture Notes 1301, 1988. 161 W. SCI-IARLAU. - Quadratic and hermitian forms, Springer Verlag. 1985. 171 C. SCHOEN. - Hodge classes on self-products of a variety with an automorphism, Comp. Math. 63, (1988). 3-32. 181 G. SHIMURA. - Automorphic forrns and the periods of abelian varieties, J. Math. soc. Japm 31, (1979), 561-592. 191 A. WEIL. - 1977 c. in auvres Scientifiques, Springer Verlag, (3 volumes), 1980. Yves AND& I.H.P. 11, rue Pierre et Marie Curie 75231 PARIS CEDEX 05 Manuscrit reçu le 7 novembre 1990

Séminaire cle Théorie des Nombres pa.ris 1989-90 Galois representations and cohomology of GL(n, Z) Amer ASH' Since Serre [Se31 first conjectured the possibility of attaching Galois repre- sentations to higher weight modular forms for GL(2), and Deligne [Dl proved it, this notion has been expanded to apply to a large class of automorphic forms on more general reductive groups. Clozel [Cll], foliowing Langlands [La], has given a precise conjecture for GL(n). recailed below. 1 shall refer to it as the "central conjecture". Further discussion of the history, which should be traced backwards at least to work of Eichler, Shimura, and Weil, may be found in the 1st section of [Se31 and the introduction to [Cll]. One should add the remark that Serre [Se41 seems to have been the first to propose that al1 L-functions of motives might be L-functions of automorphic forms. In this survey lecture 1 would like to substitute "cohomology class" for "automorphic form". 1 have two reasons for doing mis : 1) Cohomology sometimes is a more concretely cornputable object. Over ê, it provides a set of automorphic representations which satisfy the hypotheses of the central conjecture, so that with them one can attempt to test the Conjecture. 2) Cohomology has an integral structure, so that an analogous conjec- ture can be made integrally, or modulo a prime. We can then try to prove cases of this new conjecture, which is of interest in itself and may also shed light on the centrai one. In outlining what is known about the central conjecture, we will see the importance of the notion of "selfduality". Then 1 wili present an experimental result [AFT] which contains the only evidence (albeit tiny) known to me of the

10 A. ASH GALOIS REPRESENTATIONS AND COHOMOLOGY OF GL(n, Z) 11 validity of the conjecture in the non-selfduai case. In the second part of the lecture, 1 will present my version of the conjecture "inodp" together with a discussion of the cases in which it is known to hold true. In the remainder of this introduction 1 will review the definition of the Hecke algebra and its action on cohomology classes. An adelic approach to the Hecke algebra is not adequate for our purposes, for the restriction map from the cohomology of a congruence group with modp coefficients to that of a subgroup need not be injective. Fix an integer IL > 1. A "Hecke pair" is a pair (r, S) with l? a subgroup of GL(n, Z), S a sub-semigroup of Gl(n, Q), and r c S. Two Hecke pairs (r, S) and (rr, Sr) are said to be compatible if ~lthough one might think (1) should be enough for our purposes, counterexam- ples in [A21 show that (2) is also needed. For example, define So(N;n) = {y E SL(n,Q) fi M(n,Z)I top row of (*,O,...,O) mod N) and ro(n; n) = So(N; n) n SL(n, Z). Then (ro(n; n), y So(N; 12)) is a congruence Hecke pair of level N. So is (r(n), SN(N)), of course. Given G and Gr any two groups, with right modules M and Mr respectively and a morphism a from (G, M) to (Gr, Mr), we denote the pull-back on coho- mology a* : H*(Gr, Mr) -t H*(G, M). When cu is an injective map of groups with cofinite image, we denote the transfer a, : H*(G, Ml) -4 H*(Gr, M'), where Adr is given the structure of G-module via the map a. Now we define the action of H(r, S) on cohomology. Let A be a ring, and M a right AS-module. For any s E S, set r(s) = s-lrs n r. We have two morphisms i, j of the pair (r(s), V) into (r, V) given by i(x) = x, i(v) = v; and j(z) = sxs-l. j(v) = us. For each,b E H*(I', M), define : TdP) = i,j*(p). The Hecke algebra of integral linear combinations of double cosets rsr, s E S will be denoted H(r, S). We shall use the notation T, for the double coset rsr in H(r, S). Define its degree by deg(t,) = [I' : r n s-'rs] = number of single cosets rx contained in the double coset rsr. If (r, S) and (rr, S') are compatible, there is naturally defined an injective map of algebras from H(rl, Sr) to H(r, S). See [AS] for more details. For natural numbers N and M, we make the following definitions : r(n) = {g E SL(n,Z)lg I(mod N)); GSnf(N) = {g E Ad(n,Z)lg = diag(l,l,...,1, *)(mod N) Snf(N) = {g E GSn.r(N)l det(g) > O). and det(g) is prime to M); We cal1 (r, S) a "congruence Hecke pair of level N" if Set H(N) = H(GL(n, Z), Gs~(1)). For any congruence Hecke pair (r, S) of level N and AS-module M. we let H(N) act on H*(r, M) by the formula above, via the injective algebra morphism H(N) + H(r, S). Note that if we increase the level N without changing r, this has the effect of throwing away the Hecke operators involving the finite set of new primes entering into the level. 1) Complex cohomology of congmence subgroups of GL(n, Z) The central conjecture [Cl 1, conjecture 4.51 would attach a mouve to each cuspidal automorphic representation II of GL(n) over a number field, as long as the infinity type of II is "algebraic". If II arises from a cuspidal cohomology Hecke-eigenclass cu of a congruence subgroup r of GL(n, Z) with coefficients in a complex rational representation M of GL(n, ê), then it satisfies this algebraicity condition. It is a fact that II is deterrnined up to isomorphism by the system of Hecke eigenvalues of a. From the motive, we get n-adic representations of Gq (the absolute Galois group of Q). Thus conjecture A below is a speciaiization of the central conjecture. Recall that H(N) is a polynomial ring over Z generated by the elements T(e, k) = rdiag(1,..., 1, l,...,e)r, with k Ps, where e runs over al1 primes not dividing AT and k = 1,..., IL

12 A. ASH GALOIS REPRESENTATIONS AND COHOMOLOGY OF GL(n, Z) 13 Suppose a # O and T(e, k)a = ~ (e, k)a. Then the Hecke polynornial attached to a at e is defined to be Also, for each & unramified in an extension E of Q, we write Frobe for the geometric Frobenius element in the Galois group of E/Q (defined up to conjugacy). Thus robe' acts on the residue field of a prime above e by raising to the [-th power. CONJECTURE A. - Let (I', S) be a congruence Hecke pair of level N, p a prime. Let.4 be the ring of integers of a numberfield F c ê, and.rr a prime in A above 13. Let M be an AS-module such that M @ a3 is a rational finite dimensional representation of CL(?%, ê). Suppose a E ~"(r, M) is a cuspidal eigenclass for the action of the Hecke algebra H(N), with eigenvalues a(e, k) E A. Cuspidality here means that a is not a torsion class and the automorphic representation II corresponding to a in H~(I', M @ ê) is cuspidal Then : (1) There exists afinite extension E off with ring ofintegers B, such that Jor any prime x in B abovep there exists a semisimple, continuous representations p : Gq + GL(n, B,) unramijled outside pn such that for al1 E not dividing pn lion. (2) p(c) is conjugate to diag(1, -1,1, -1,...), where c is complex conjuga- (3) For evey ram~ed prime q of Q, the conductor of p at q equals the conductor of II,. Remarks : acl(2) : the last entry is $1 if n is odd because p(c) must be the (n - 1)st symmetric power of diay(1, -1). ad(3) : the conductor of II, is defined in [JPSS]. As a step towards proving this conjecture, we have the following (where 1 have altered the notation to conform to this lecture) : THEOREM (Clozel,[C121). - Let II be a cuspidal, algebraic, regular and selfdual representation of G L(12, Aq). Suppose there exists a prime b such that xi, is square-integrable. If n r 2(mod4), we suppose there is another prime c # b such that xc is also square-integrable. Let F be an imaginary quadraticfield, Split at b and at c ifn = 2(inod 4). Then there exist : i) a numberfield E ii) afinite set S of prime numbers iii) a positive integer a iv) a compatible system W = (W,,r,) of x-adic representations of G~~(F/F), unramfied outside the places dividing S,.rr running over al1 the places of E, such lhat $tu is not in S and T does not divide w, one has for evey place v of F dividing W. and for eue y 172 > O, trace (~,(Fsob,)~) = a x trace (t,)rnq$n-l). Here, q, is the number ofelements of the residuefield at v, and t, is the Hecke matru at v of the base-change of II to F. This theorem is a ver- important step in the right direction, but note that it fails to verify the conjecture, even given its hypotheses, in two ways. First, the result holds only after the base change from Q to F. Second, only the a-th power of the desired Galois representation is being constructed, and we don't know if we can take a equal to 1. But the most important limitation of this theorem is that it only applies in the case that II is selfdual. For when II is selfdual, Clozel can deduce the x-adic representations from some motive associated to a Shirnura variety. The other hypotheses may be viewed as "technical". However, if II is not selfdual, even after allowing base change and twisting by a character, 1 don't know even a conjectured method of finding the conjectured motive or Galois representations. Such problematical representations are known to exist for GL(3)lQ. They anse from the cuspidal cohomology of congruence subgroups of Gl(3, Z) as follows : In [AGGI, the cuspidal cohomology H&(ro (N; 3), 43) was computed, for Prime values of N < 113. The cuspidal cohomology vanished except it was 2- dimensionai for N = 53,61,79,89. Unpublished computations of P. Green show that the next prime level with cuspidal cohomology will be 223.

14 A. ASH GALOIS REPRESENTATIONS AND COHOMOLOGY OF GL(n, Z) 15 Let's concentrate on the exarnple N = 61. From pp. 433-434 of [AGG] we find that the field generated by the Hecke eigenvalues is Q(w), with w = (1 + 0 )/2, and for some choice of Hecke- eigenclass a in H~u,,(I'o(61; 3), ê), we have the following table, with a! = eigenvalue of T(P, 1) : e ae a! mod J-3 ap - e mod J-3 2 1-% O 1 3-5+b O O 5-2f4w O 1 7-6w O - 1 11-2+2w - 1 O 29 3+& 1-1 / The reasons for adding the last two columns will become clear later. In [APT] we show that for each e, P(a, e) is determined by ap. In fact we have P(a, e) = 1 - aex + Gex2 - e3x3. We also show that because the ap's are not ali real, the automorphic representation Il corresponding to oc is not selfdual. In fact for any base-change II of T to a finite extension of Q, I1 is not selfdual, even up to a twist. We remark that if there really is a motive underlying these eigenvalues, then P(a, e) should have roots of absolute value l/e for all e prime to N. This is in fact the case. If conjecture A holds for a, we can reduce the representation p mod T and use the fact that any representation of a finite group over a finite field can be realized over the field generated by its traces. We obtain then as a logical consequence of Conjecture A the following conjecture. CONJECTURE a. - Let q be a rational prime. Let a E H3(I'o(q; 3), M) be a cuspidal eigenclass for the action of the Hecke algebra H(q), with eigenvalues ae = a(@, 1) E A, a ring of integers. Let p be a rational prime and T a prime in A aboue p. Then : (1) There exists a semisimple, continuous representation p : Gq -+ G L(3, illa) unrarnijled outside pq such that P(a, L') = 1 - aex + &ex2- e3x3 = det(i - p(~robe)-l~) (mod T) for al1 e not diuiding pq. p-group. (2) p(c) is conjugate to diag(l,l, -1). (3) if @ # q. and Iq denotes the inertia subgroup at q, then p(i,) is a In [APT] we seek to test this conjecture for q = 61 and a = J-3. We obtain an extension of Q which, as far as Our data on the Hecke eigenvalues goes, appears to be attached to the given cuspform modulo T. TNs extension is uniquely, indeed, highly overdetermined by the data. In this way we obtain a rnicroscopic, but positive, confirmation of this part of Langlands' philosophy in the non-selfdual case. We find, a posteriori, that there should be a congruence mod T between our form of level 61 and an Eisenstein series build from a Maass form on GL(2). We see no way ol predicting its existence a priori, nor indeed to prove the congruence ; i.e. to show that al1 the Hecke eigenvalues (not just those computed in [AGG]) match properly with the traces of Frobenius elements. 1 shali sketch bnefly the method used in [m. Assume a representation p exists as in the conjecture a, then the characteristic polynomial of the Frobenius element at e wili be determined by ap. In this way, the splitting of @ in the fixed field M of Ker(p) will be controlled by the value of at. Also, we have the ramification information as laid out in the conjecture. This behavior of the primes in Q determines the fked field of I<er(p) uniquely (assuming p exists and is semisimple). Using the given data on the a,'~, we first proved that p is isomorphic to its contragredient and then that p preserves an alternating form. It follows that for some choice of coordinates, Im(p) c SL(2, Fa) x GL(1, F3). Hence p = o x w, where a : Gq --+ SL(2,F3) and w = det p rnust be the c~clotomicharacter. So finding p is equivalent to finding the representation in the following conjecture : CONJEWRE. - Let a be a cuspidal eigenclass for ro(61; 3) with Hecke eigenvalues ae. Then :

1 G A. ASH GALOIS REPRESENTATIONS AND COHOMOLOGY OF GL(n, Z) 17 (1) There exists a semisimple, continuous representation a : Gq -+ SL(2, IF3) unram$ed outside 3.61 such that for al1 l # 3,61. (2) p(c) = 1. ti- a(frobe)-' = ae - C (mod a) (3) ) is a 3-group, hence has order 1 or 3. It's not hard to see that if a exists as in conjecture 3.4, it must be surjective. - There is a filtration on SL(2, IF3) with successive quotients SL(2,F3) 4 PSL(2, F3) N A4 C3. Correspondingly. assuming that a exists, and M is the fixed field of Iier(a), we obtain a diagram of fields : M 1 c2 ramified outside 3 L Il' 1 c2 X cz ramified outside 3 1 c3 ramified outside 3 and q Q Moreover, each of Il', L and M are Galois over Q, with Galois groups C3, A4 and SL(2, F3) respectively. The splitting of finite primes in the fields is conditioned by (1) in the conjecture. The fields must be totally real by (2) of the conjecture. The indicated ramification data is dictated by (3) of the conjecture. We find IC, L and M in succession. We begin by looking for a Galois cubic extension K of Q, unramified outside 3 and 61, such that the splitting of primes in I< is compatible with (1) of the conjecture. Let e = 11. Then from the table we see that tra(frobl1)-l = al1-11 = O (mod a). If we list al1 the conjugacy classes of SL(2, IF3). we find that those with trace O al1 have even order. Therefore, a(frobll) must have even order, and hence must be / trivial when restricted to Il'. In other words, 11 must split in K. This determines h' uniquely to be the Galois cubic extension of Q ramified only at 61. kom [Gr] we gathered useful information about K. We relied on the computer algebra system REDUCE to find L and M. In fact, there exists a unique Cz x C2 extension L of K, unrarnified outside 3, and L/Q Galois. Now we seek a totally real quadratic extension M = L(6) such that M/Q is Galois, with Galois group SL(2, F3). unrarnified outside 3. A theorem of Serre [Se21 gives a criterion for an A4-extension L of Q to be liftable to an SL(2, F3) extension, and Crespo Kr1 gives an explicit procedure for constructing al1 such SL(2, F3) extensions, should any exist. Applying this procedure, we do in fact obtain M. which is uniquely determined. At this point the integers involved in the computations, for instance the coefficients of the irreducible polynomial of S2 over Q, have dozens of digits. Finally we check that the splitting of primes < 29 in M/Q indeed behaves according to conjecture a. - II) Mod p cohomology of congruence subgroups of GL(n, Z) Let p be a prime number and F a finite field of characteristic p. Let (r, S) be a congruence Hecke pair of level N. An "admissible" FS-module of level N is a finite-dimensional right IFS-module on which the elements of S with positive determinant act through reduction mod N. We consider the H(N)-action on the cohomology of r with coefficients in an admissible ES-module and try to attach modular Galois representations to eigenclasses. Counterexamples in [A21 show that adrnissibility is necessary here. In this context, 1 have modified conjecture A as follows [A21 : CONJEC~URE B. - Let (r, S) be a congruence Hecke pair of level N, p a prime and let M be an admissible IFS-module. Suppose P E H'(I', M) is an eigenclass - for the action of the Hecke algebra H(N), with eigenvalues a([, k) E F. Then there exists a semisimple continuous representation p : GQ GL(n, F) unramfied outside pn such that for al1 C not dividing pn.

18 A. ASH GALOIS REPRESENTATIONS AND COHOMOLOGY OF GL(n, H) 19 If conjecture A holds for an a, then conjecture B will hold for /3 = reduction of a(mod T), by reducing the Galois representation mod T. The main extra content of conjecture B consists of what it says about p's which are the reductions mod T of torsion classes in the cohomology. Conjecture B alm rnakes no reference to cuspidality, which no longer rnakes sense modp. When n = 2, by reducing modp a theorem of Eichler and Shimura [Sh, 7.111 in weight 2 and one of Deligne [Dl in higher weight, we see that this conjecture holds true. (Men n = 2, there are not many torsion classes and they can be dealt with directly.) Conversely, by a conjecture of Serre [Se]. ali odd irreducible representations of Gq into GL(2, F) are supposed to arise this way. In [A21 1 showed that conjecture B holds in the following cases : (1) i =Oor 1; (2),û is a topological Chern class or Euler class; (3) p is an étale Chern class and p is a regular prime. (4) 12 = p - 1, i > (p- 3)/2, and /3 restricts non-trivially to Nr(P) for some p-group P c r. In (1)-(3). p may be taken to be a sum of characters of Gal(Q(CP)/Q) twisted by a character of Gq. In (4). p is induced from a character 5 : Gal(E/I<) + IFX of the Galois group of the class field of I< = Q(&) corresponding to the ideal classes prime to N modulo principal ideals generated by elements congruent to 1 inod N. Comment on the scope of (4) : By the last theorem in [Br], if a E Ha(GL(p - 1, Z), M) and a restricts non-trivially to the Tate-Farrell co- homology of GL(p - l, Z), then a restricts non-trivially to mme Nr(P). In particular, this applies to every a if i > virtual cohomological dimension of GL(p - 1, Z) = p(p - 1)/2, and also to very many a's for smaller i, by [AMI. Moreover, using [Al], one sees in the case M = IF that every 5 does arise. We also have a version of the principle "modp, ail modular forms are weight 2." In our context this translates into "modp, ail systems of Hecke eigenvalues occur in cohomology with 1-dimensional coefficients." In fact. let (r, S) be a congruence Hecke pair of level N. For any character a : (Z/N) + IF ', we define the ES-module E(a) to be IF with S acting via a O det O (reduction mod N). We have the foliowing theorem which reduces to "weight 2" : / THEOREM. - Let (r, S) a congruence Hecke pair of level N. M an admissible FS-module. Let Q> be a system of H(N)-eigenvalues occuring in H~(I', M). Then for some character a : --+ IFX, and some j 5 i. Q> occurs in ~j(r(n,, IF(&)) with respect to the Hecke pair (I'(N), SN(N)). 1 conclude with some more details on (1)-(4) while interspersing remarks on the other p-torsion classes of which 1 know. Certain "trivial" Hecke actions, which remind one of Eisenstein series, occur fkequently : a cohomology class /3 is said to be punctual up to a twist if there is a character a : (Z/N)X --+ IFX such that for aii s E S. Ts/3 = a($) deg(ts)/3. Denote by w : Gq -+ IFX the cyclotomic character of conductor p. LEMMA. - Let (r, S) be a congruence Hecke pair of level N, M an admissible FS-module and /3 E H*(r, M). if@ is an eigenclass for H(N), punctual up to twisting by the character E : (ZIN) -+ EX, then conjecture B holds for p. The representation p may be taken to be (1 $ w $ w2 $... $un-') 8 E. Al1 eigenclasses in Ho are punctual up to a twist. The same is not true for Hl, although we end up with a similar result when n > 2, after some work : THEOREM. - Suppose n > 2. Let (r, S) be a congruence Hecke pair of level N. and M an admissible OF S-module. Then conjecture B holds for any H(N)- eigenclass in H1(r, M). The representation p may be taken to be (1 $ w $ w2 $.. $un-') @ S, for some character II, : Gq -+ FX of conductor diuiding N2. Of course, when n = 2, the Galois representations attached to eigenclasses in H1(r, M) are those stemrning from modular curves, and are much more complicated than those in this theorem. Let (F, S) be a congruence Hecke pair of level N. Suppose /?' is a topological Chern class or the Euler class of r. It is known that /3 is a torsion class in the cohomology with trivial Z-coefficients and its annihilator in Z was computed in [EM]. Any such /3 is punctual. So are the Chern classes of Grothendieck, as studied by Soulé ISo21, when p is a regular prime. 1 don't know how the Hecke algebra acts on the more exotic Chern classes that arise when p is irregular. The 3-torsion in the cohomology of SL(3, Z) computed in [Sol] consists of characteristic classes. and hence is ail punctual. 1 don't know about the 2- torsion.

20 A. ASH GALOIS REPRESENTATIONS AND COHOMOLOGY OF GL(n, Z) 21 The proof of (4). presented in [A2], is lengthy, and (to me at least) interesting. It involves the classification of subgroups of order p in GL(p - 1, Z) via the class group of Q((,) and an interpretation of Frobe acting on class groups via rational matrices of C-power determinant acting on the subgroups of order p by conjugation. Again, the case n = 3 allows some interesting explicit computations. Theo- rem 3.5.3 of [AS] shows that H3(r, M) contains in general many p-torsion Hecke eigenclasses for certain r and M. The reduction modp of each of these eigen- classes satisfies conjecture B. The corresponding Galois representations are symmetric squares of those attached to cusp forms of weight g + 2 for the classical modular group SL(2, Z). Unpublished computations of Philiip Green in 1986 on an IBM PC, using the methods of [AGG], have shown the existence of nontrivial p-torsion in H3(ro(N; 3), Z) in the following cases : p = 3, N = 127,137,151,193,211; p = 5, N = 136,197,211; p = 7, N = 167. Unfortunately, he did not compute the action of the Hecke operators. This should be done, and then conjecture B for the reductions modp of these classes should be investigated. There is also an additional 11-torsion class whenever p divides N - 1. These latter classes come from the boundary of the Borel-Serre compactification. It should not be hard to verify Conjecture B for their reductions modp, but 1 haven't checked this yet. REFERENCES [AI] A. A ~H. - Farrell cohomology of GL(n, Z), brael J. 67, (1989). 327-336. [A21 A. AsH. - Galois representations at tached to modp cohomology of GL(n, P), preprin t. [&G] A. ASH, D. GRAYSON and P. GREEN. - Computations of cuspidal cohomology of congruence subgroups of SL(3, Z), J. Number Th. 19, (1984), 412-436. [AM] A. ASH and M. Mc CONNELL. - Mod p cohomology of SL(n, Z), to appear in Topology. [APT] A. ASH, R. PINCH and R. TAYLOR. - An Â4 extension of Q attached to a nonselfdud automo~phic form on GL(3), preprint. [AS] A. ASH and G. STEVENS. - Cohomology of arithrnetic groups and congruences between systems of Hecke eigenvalues, J.f.d. reine u. angew. Math. 365, (1986), 192-220. [Br1 K. BROWN. - Cohomology of Groups, Springer, New York, 1982. [Cl11 L. CLOZEL. - Motifs et formes automorphes : applications du principe de foncto- fiaté, in Automorphic Forms, Shimura Varieties and L-functions, Proceedings Manuscrit reçu le 13 septembre 1990 of the Ann Arbor Conference, L. Clozel and J.S. Milne eds, Academic Press 1, (1990), 77-159. [Cul L. CLOZEL. - Représentations gdoisiennes associées aux représentations automorphes autodua.les de GL(n), preprint. * p. 9 : Itesearcli partially supported by NSF Grant No DMS-8701758 and a grant froin SERC (UK). [Cr] T. CRESPO. - Explicit construction of type fields, J. Alg. 127, (1989). 452-461. ID] p. DELIGNE. - Formes modulaires et représentations 1-adiques, Séminaire Bourbaki 1968169, no 355, and Lecture Notes in Math., Springer-Verlag 179, (1971), 139-186.

22 A. ASH [EM] B. ECKMANN and G. MISLIN. - Galois action on algebraic matrix groups, Chern classes, and the Euler class, Math. Ann. 271, (1985). 349-358. [Gr] M. GRAS. - Méthodes et algorithmes pour le calcul numérique du nombre de classes et des unités des extensions cubiques cycliques de Q, J.f.d. reine u. angew. Math. 277, (1975), 89-1 16. [JPSS] H. JACQUFT, 1.1. PIATETSKY-SHAPIRO and J. SHALIKA. - Conducteur des représentations des groupes linéaires, Math. Ann. 256. (1981), 199-214. [La] R. LANGLANDS. - Automorphic representations, Shimura varieties and motives, Ein MGchen, Proc. Symp. Pure Math. 33, part 2, (1979), 205-246. [Sel] J.-P. SERRE. - Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gd@/&), Duke J. 54, (1987), 179-230. Ise21 J.-P. SERRE. - L'invariant de Witt de la forme Tr(x2), Comm. Math. Helv. 59, (1984), 651-676. [Se31 J.-P. SERRE. - Une interprétation des congruences relatives a la fonction T de Ramanujan, Serninar Delange-Pisot-Poitou 1967/68, no 14 ; # 80 in Collected Works, Volume II, 498-51 1. [Se41 J.-P. SERRF,. - Résumé des cours de 1966-1967; # 78 in Collected Works, Volume II, 470-47 1. [Shl G. SHIMURA. - Introchction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Princeton University Press, 1971. [Sol] C. SOULB. - The cohomology of SL(3, Z), Topology 17, (1978), 1-22. [So2] C. SOULÉ. - Ii-théorie des anneaux d'entiers de corps de nombres et cohomolo- gie étale, Inv. Math. 55, (1979), 251-295. Amer ASH The Ohio State University Department of Mathematics 231 West 18th Avenue Columbus, Ohio 43210-1 174 USA Séminaire de Théorie des Nombres paris 1989-90 1. Introduction. Modular forms and abelian varieties Don BLASIUS* 1.1. In this article we prove a theorem concerning the relation between the Galois representations associated to modular forrns of higher weight and those defined by the étale cohomology of abelian varieties. 1.2. To describe the result, let f be a holomorphic newform of weight k > 2. Let p be a rational prime and let i : for aii. Let r a, be an embedding, fixed once and P, : Gal(Q/S) --+ GL(Sp) be the p-adic representation defined by f (see (2.1) below). Let X, : Gd(Q/Q) -+ Zp be the p-adic cyclotomic character. 1.3 THEOREM. - Suppose that f is not of CM tuve (see (2.2) below). Then there does mt exist any abelian variety A demed over Q such that for sorne Pair (n, j) E Z x Z the GL~(Q,) representation pf @ X; is isornorphic to a sub-gal@/q)-module of H~(A) @ a,, where H~(A) is the j-th p-adic étale cohornology group of A x Q. 1.4. For example, the representation pa attached to the Ramanujan A func- Uon cannot occur inside any Tate twist (i.e. $-twist) of the cohomology of an abeiian variety. So far as we are aware, this theorem provida the first exam- Ples of motivic Galois representations which do not arise from abelian varieties. On the other hand, it is well known that the Galois representations attached to modular forms of CM type as weli as those attached to holomorphic forms of weight one always occur in the cohomology of abelian varieties.

24 D. BLASIUS MODUIAR FORMS AND ABELIAN VARIETIES 25 1.5. That such a result as (1.3) rnight hold was conjectured independently by J.-P. Serre. The present argument was found in conversation with A.J. Scholl. 1 thank him warrnly for his interest and help. 1 also thank the Institute for Advanced Study for its hospitality in 1989-90 when this work was done. 1.7. The paper is organized as follows. In the next section we very briefly recail the connection between newforms and Galois representations, and introduce the Tannakian language ((DM]) which is natural for our proof. In the third section we recail some notions of Hodge-Tate theory and compute the group attached by Tannakian duality to a non-cm newform. This result is probably weil-known. In section 4 we prove the main result. In the last section we give some complements and an open question. 2. Preliminaries 2.1. Recall ([Dl) that attached to a holomorphic newform Cp vector spaces. Since pf is irreducible, @pf is semisimple. Let Gf = ~ut@(w,) be the algebraic group over Cp consisting of the tensor compatible automorphisms of the usual fiber functor w, : @pf --+ Cp-vector spaces which sends a representation to its underlying space. Since @pf is semisimple. G is reductive. Since @pf is generated by pf, Gf rnay be regarded as a reductive subgroup of GLz(Cp). 3. Hodge-Tate theory. 3.1. Let Dl C Gal(Q/&) be the subgroup consisting of all a for which LO a O L-' extends continuously to C,. If x E Cp we w~ite simply az for the image of z under this extension of a. Let L C Cp be a finite extension of Q,, and let DLtL = Dl n Aut(c,/~). 3.2. Let V be a finite dimensional vector space over L endowed with a continuous L-linear action of DL,L. For n E Z, let V(n) be the module with underlying space V on which a E Dl,L acts by sending v E V to x;(a)a(v). Let of weight k 2 1 is a p-adic representation pf as in (1.2) such that for al1 but finitely many primes pl ;(a,, = Trace (PAF,, 1) where F,, E G~~(Q/Q) is a Frobenius element for pl. It is well-known that pf is irreducible and adrnits the closure i(tf) of i(tf) as a field of definition, where Tf is the number field generated by the an (n 2 1). 2.2. We Say that f is of CM me if either of the following equivalent conditions holds : Here u E Dl,L acts on v @ z by a(v @ z) = ~,"(a)u(v) @ a(z). We Say that V is Hodge-Tate if relative to the evident rnap. If W is a Cp [DL] module such that W is isomorphic as a Dl module to one of the form V @L Cp with a field L and a space V as just above, we put a) some conjugate of the image of pf in GL~(~,) is contained in the normalizer of the diagonal matrices. b) there exists a quadratic character E of Gal(G/Q) such that pf @ E is isomorphic to pf. 2.3. Let Cp be a completion of g,. Let @pf be the Tannakian category gen- erated by pf, regarded as a GL2(Cp)-valued representation. Thus, the ob- jects of @pf are the tensor products of subquotients of the tensor powers (Pf n)@(p;!)@ni, and the morphisms are just the Galois equivariant maps of these Then is independent of the choice of the auxiliary field L, and we Say that W is Hodge-Tate if the identity (3.2.1) holds for W. Let ww : Z + N be defined by ww(n) = dim% w(,).

26 D. BLASIUS MODULAR FORMS AND ABELIAN VARIETIES 27 We cal1 ww the Hodge-Tate tyl?e of W (rel. DL). 3.3. Now let W/Cp be a finite dimensional Gal(Q/Q)-module which is Hodge- Tate relative to DL. Let @W be the Tannakian category generated by W as Gal(Q/Q)-module. Then (3.2.3) defines a canonical functor from @W to the category of graded Cp-vector spaces. Dualizing, if Gw is the automorphism group of the usual fiber functor w, on @W. we have a morphism which is defined by the properiy that for V E @W and the representation pv of Gw on w,(v) = V, we have Thus, k is odd and pf (1-k)/2 @ X, has finite image. Thus, L( f, s + (k- 1)/2) is an Artin L-function. One concludes by comparing the Artin functional equation of (k-1)/2 L(pf @XP, s) with that of L( f, s + (k- 1)/2). The compatibility of r-factors forces k = 1. 4. Proof of the theorem. 4.1. Suppose now that there exists an abelian variety A defined over Q such that a representation isomorphic to pf occurs in @(HP(A) @ Cp). Such an isomorphism can be extended to a fuuy faithful functor of @pf into @(HP(A)@ G). Identifying @pf with this image and letting GA denote the group defined by Hi (A) @ Cp by Tannakian dualiiy, we obtain a surjection Especially, recall that pf is Hodge-Tate and let pf : G, -+ GL2(Cp) be the cocharacter defined in this way for the Hodge-Tate module pf ([FI). 3.4 LEMMA. - Suppose that f is not of CM type and has weight k 2 2. Then Gf E GL2. 3.5 Proof. Let Gf be the connected component of G f. Then Gf is a reductive subgroup of GL2. Hence it is isomorphic to 1, G, (central in GL2), G,, (non- central in GL2), GE,, 5'12, or GL2. If Gf is isomorphic to G,, noncentrally embedded, then pf is reducible. If Gf is isomorphic to G&, then f is of CM type. If Gf is isomorphic to G, centrally embedded, then there exists a finite extension L of & such that p I L takes values in CP. l2 c GL2(Cp). On the other hand, the Hodge-Tate type of pf is supported on exactly the set {O, k - 1). Thus,if (z) is equivalent to the diagonal matrix diag (1, xk-j). Since Im(p f) C Gi. this case cannot occur, and neither can Gf = (1). Thus, Gf = SL2 or GL2. But A2p is a one-dimensional representation of infinite order. Thus G and hence Gf has a surjective homomorphism to G,. Hence G = Gf = GL2. Q.E.D. 3.6 REMARK : we can conclude this proof globally without resort to Hodge-Tate theory. If Gf 1 G,,. centrally embedded, then for some finite extension L of Q, pf 1 L is the p-adic representation attached to an algebraic Hecke character of L. For L large enough, the square of this character is the (1- k)-th power of x,. 4.2. Let : G,, -+ GA be the cocharacter defined by the Hodge-Tate splitting of Hj (A) @ Cp. Let y.4 : GA -t GL(H; (A) @ Cp) be the tautological representation. Then 9.4 O p~ and pf o PA = pf define the Hodge-Tate splittings on Hj (A) @ Cp and the space of pf, respectively. Note that the Hodge-Tate weight of H,'(A) @Cp is supported on {O, 1) and wh1 (0) = whi (1) = dim A. 4.3. Since pf sux-jects GL2, the Lie algebra g~ of GA is of the form : - where 8 is the Lie algebra of the center of g ~ gr, is semisimple, and Dv g'. Also. D ~ factors A as DPA = (P', PZ, pal. O on Note that since D(y O pa) = Dp diagonalizes to the map Dp (z) = Diag((k - 1)~,0),~2 diagonalizes to PZ(Z) = Diag((k - 1)/2 z,(1 - k)/2 z). Let $ be an irreducible component of which is non-trivial on the given se2 factor of BA. Then $ is isomorphic to a representation of the form with irreducible representations $' : gr -+ GL(X),$2 : sez + GL(Y) and : 8 + Z = C,. In particular, if a,,l3, and y denote respectively eigenvalues of

28 D. BLASIUS MODULAR FORMS AND ABELIAN VARIETIES 29 $'opl(l), $20p2(1), and $30pd(l). then cu+p+y is aneigenvalue of D(p~op~)(l). But D (~A O pa)(l) has only the two eigenvalues 1 and O. Hence G2 O pz has 2 eigenvalues whereas 4' O p' and $ O p each have one eigenvalue. Thus, $2 is the standard 2 dimensional representation of s12. and the eigenvalues which occur are require that the weight of the holomorphic newform be i) at least 2 at each infi- nite place of F, and ii) greater that 2 for at least one such place. The details are left to the reader. See [BR] for the result that the pf in this case are Hodge-Tate. 5.6. Let Hc be the Tannakian categoiy made from HQ by replacing Hom(Xl Y) with Y) 8 C. Let Mc(f) E Hc be the element defined by Since E is contained in {O, 1). we see at once that k = 1 or k = 2. Q.E.D. 4.4. The above proof, while elementary, is not the most general. In particular, one may also conclude in the following ways : -1101 ll or 1) by using the obvious fact that AdG, O p~ can only have coweights 2) by arguing more generally, as in [D2], that for any Hodge-Tate p : Gal(g/~) -t C;L,(C,) with associated group GO, and cocharacter p,,, the action AdG; O p, can only have weights among -1,0, and 1 (if p occurs inside some twist of the cohomology of an abelian variety). 5. Complements 5.1. Let L be a finite extension of Q. Then the conclusion of the theorem holds with pf replaced by pf I L and abelian varieties over Q replaced by those over L. 5.2. Let Ha be the Tannakian category generated by all irreducible Gal(a/ Q)- modules W of Hodge-Tate type ww where ww (n) # O implies w w(n * j) # O for some j with 1 5 j < a. Then the above argument shows that pf doesn't belong to Ha provided i) f is not of CM type and ii) the weight of f is at least a + 2. Thus, the category of representations attached to modular forms cannot be generated by any category of representations whose Hodge-Tate types belong to a finite list. where MB(f) is the Betti realization of the Grothendieck motive attached to f by Scholl ([Schl). Consider @Mc(f) and let be the associated group. 5.7 CONJECTURE. - IJ f is not of CM type and has weight k 2 2, then Gc.r 7 GL2. If this conjecture is true, then Mc( f ) is not contained in the subcategoiy of Hc generated by the H"S of abelian varieties. This follows by an evident variant of our argument above. This conjecture is, of course, simply the assertion that MB( f) is not a Hodge-structure of CM type. However, 1 don't know any example for which it is known to hold. ('1 p. 23 : Partially supporteci by NSF grant No # DMS90-01878. Manuscrit reçu le 28 septembre 1990 5.3. The theorem has little to do with modular forms; the pf can be replaced by any 2-dimensional, irreducible non-cm p whose Hodge-Tate type does not belong to H2. However, modular forms provide the only known supply of such representations. 5.4. The result extends easily to the p-adic representations associated to holomorphic Hilbert modular forrns attached to a totally real field F. Here we only

D. BLASIUS Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 REFERENCES [BR] D. BLASIUS and J. ROCAWSKI. - Galois representations for Hilbert modular forms, Bull. AMS. July 1989. [Dl P. DELICNE. - Formes modulaires et représentations 1-adique Séminaire Bour- baki 355, Springer- Verlag, New York SLN 179, (février 1969). 139-172. [D2] P. DELIGNE. - La conjecture de Weil pour les surfaces K3, hv. Math. 15, (19721, 206-226. [FI G. FALTINCS. - Hodge-Tate structures and modular forms. Math. Ann 278, (1987). 133-149. [DM] P. DELICNE and J. MILNE. - Tannakian categories. In : Hodge Cycles, motives and Shimura varieties, Springer-Verlag. 1982. Introduction Sommes de Moosterman généralisées : l'équation fonctionnelle Michel CARPENTIER Soit VT la variété définie sur F, par l'équation 3;' x... x 3n = Ç, ou gl,..., g, sont des entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble. Dans un travail précédent [2], nous avions construit la cohomologie p-adique associée aux sommes exponentielles : Don BLASIUS University of California, Los Angeles (U.C.L.A.) CALIFOFNA 90024-1555 U.S.A. où XI,..., xn sont des caractères multiplicatifs et O un caractère additif non trivial de F,. Cette construction nous avait permis d'obtenir de bonnes estimations pour le polygone de Newton de la fonction L(&, 0, X; T) associée. Le but du présent travail est double : il s'agit à la fois d'étudier la variation de la cohomologie en fonction du paramètre 2, et de calculer l'équation fonctionnelle de la fonction L lorsque p > 5: nous verrons que ces deux question sont étroitement liées. Le résultat principal est alors le suivant : L'application y H qn-l /y est une bijection de l'ensemble des zéros réciproques de L(VF, O, X ; T)(-')" sur ceux de L(1.2, O-', X-l; T)(-')". La première partie est consacrée à l'étude de la cohomologie du point de vue de sa structure cristalline. Soient r le p.p.c.m. des ordres des caractère x;, " G = n Z/,kin et H C G le sous-groupe cyclique engendré par (rgl,..., rg,). i=l la cohomologie se décompose en une somme directe W, = $ W,(E). Dans EEGIH

32 M. CARPENTIER chaque composante W,(Z), la déformation est commandée par une équation différentielle de type hypergéométrique, possédant un point singulier régulier en O, et un point singulier irrégulier à l'infini. Grâce à un argument adapté de 171, nous montrons au 5 3 que la partie uniforme des solutions au voisinage de l'infini converge p-adiquement dans le disque D(m, 1-). Appelons Ç(") la matrice de la connexion agissant sur W, (a)(dans une base appropriée), et soit T= -0... O 1 1 O : O 1 1 O... O- - Le choix du caractère additif O est subordonné à celui d'une racine T de l'équation XP-l = -p. Si l'on dénote par le suffixe "-T" le fait de changer T en son opposé dans la définition des objets correspondants, on a alors la relation : 1. L'équation de déformation Soit O un caractère additif non trivial de F,. Soient XI,..., xn des caractères multiplicatifs de IF: et soit r le p.p.c.m. de leurs ordres. Soient l 1 d, =rk, i {l,..., n} Soit R un corps algébriquement clos et complet contenant Q,. Soit T la racine de l'équation A?-' de? E ff,, onait = -p telle que, si x E R est le représentant de Teichmüller O(F) = exp T (X - xq). Soient tl,..., t,, des indéterminées. Si a = (al,...,an) E Zn on utilisera la notation multi-indicielle ta = trl... trn. Soit H = H(t) = x(c1t$ +... + cnt$) où ci E 0, c:-l = 1. Si i E (1,..., n - 1) on pose De plus, chaque W, (ai) est muni naturellement d'une structure de Frobenius forte : si c(") est une matrice de Frobenius pour w("), il en va de même pour (-75)* TC-, S. Nous utilisons le principe d'unicité du Frobenius (161) pour montrer l'existence d'une constante Ii telle que Si cu E Z1' on pose La dernière partie est consacrée au calcul de la constante I< : les coefficients diagonaux de la matrice da) évalués en x = O sont, à des puissances de T près, des produits des valeurs de la fonction gamma p-adique qui interviennent dans la formule de Gross-Koblitz. On en déduit que K-l = pn-l, d'où la forme précise de l'équation fonctionnelle : Nous tenons à remercier B. Dwork qui nous a suggéré ce travail et nous en a fourni les idées essentielles (voir en particulier [6]), ainsi que S. Sperber. ~(a) = J(a) - Ns(a). Soient h et c deux nombres réels, b 2 O. On définit : L(h, c) = {V = aen" A(a)talA(a) E R et ord A(a) 2 bj(a) + c),

34 M. CARPENTIER A A Soient F(t) = esp~(cltf1 +... + cnt>), F(t) = 9. L(0). Observons toutefois que F(t) E L (2). Soit E = {(Y E ZnIO 5 s(a) < 1). Si y E R on pose : L(y; b, c) = { J = aee F(tP) On a F(tr) = exp H(t) E A(a)talA(a) E R et ord A(a) 2 bu(&) - s(a)ord y + c), Si a, @ E Zn, il existe 6 E E et X E Z uniques tels que a + /3 = 6 + Xa et on pose alors : ta * t@ = yxmt6. Y Cette opération confère à L(yM; b, c) une structure d'algèbre sur R. Soit a' d. A'={a~E~ls(a)<~<s(a)+- V,=1,..., n). ai ai Si a et @ sont deux éléments de A' on pose : arp J(a) = J(P) et Vi, ai = Pi(mod di) Soit i=l D'après 12, Prop. 4.21, WY est un R-espace vectoriel de dimension N n di et on i=l peut prendre pour base de Wy la famille {y-ms(a)tala E a). Si ord y > -%, on peut définir une application linéaire de L(b) dans ~ ( y en posant : dy(tm) = tyl *... * t;". Y M; b) Désormais b = p. Notons &(y, t) l'image de F(tr) par 4,. Si y et zo sont deux éléments de R qui satisfont ord y > -% et ord 20 > -9, on peut définir une application A en posant T,,,, (J) = A * F,, (zo; Tz,,y : L(z,M; 6) --+ L(yM; b) t) * 6. F,(?/,t) Y 20 Le diagramme suivant est commutatif : Y On identifiera A' / R - tantôt au sous-ensemble A de A' obtenu en choisissant, dans chaque classe d'équivalence modulo R, le plus petit élément pour l'ordre lexicographi- que. - tantôt au sous-ensemble AV obtenu en choisissant le plus grand élément pour l'ordre lexicographique. Soient n = {a E Al0 5 s(a) < l), - DPprès 12. Lemma 2.61, carda = cardav = N fi di. Les opérateurs Di agissent sur L(yM; b, c) de la façon suivante : i=l '; b) - Tz,,, L(?JM; 1 Par conséquent T,,, induit une application (encore notée T,,,,): On considère zo comme fixé et y comme variable. Soit O,, l'anneau des germes de fonctions holomorphes au voisinage de zo E 0. Soit Ey = y% ; dans L(yM; b, c) on a t:' *... * t$ = ym et par conséquent l'action de Ey sur ~(y"; b) g O,, est donnée par Y Y b).

36 M. CARPENTIER par contre. si taf(y) E L,(rR; b) (> O,,, on a Soit E, = E, + TMC,?&. Le diagramme suivant est commutatif : Si k E (1,..., n ) soit Uk = (0,...,O, 1,0,...,O) l'élément de Zn dont toutes les composantes sont nulles, sauf la k-ième qui est égale à 1. COROLW~ 1.1. - En tant qu'o,, -module muni de la connexion E,, Wy 9 O,, admet la décomposition : wy 3 Oz, = $ wy(q @ ozo. ZEG/H R De plus, chacun des vecteurs y-m3(p)tp, (P E a r l E) est cyclique pour E,. Fixons une classe N E G/H et soit a(') = (ai1),..., an)) E A un représentant de Zi pour lequel J(a) est minimum. Il existe des indices Al,..., A, tels que Vj {l,..., u}: (1.1) a(j+') = a(j) + dxj UA, est un élément de A. De plus a("+') = a(') + ga. Pour chaque j E (1,..., v ) il existe rj E N, O 5 rj < g tel que ~ ( j = ) a(j) -rja - soit un élément de A. Posons alors LEMME 1.1. - Soit a E A et soit k E (1,..., n) L'unique indice tel que a + dkuk = /3 E A (cf. 12, Lernma 2.31). Alors : La matrice de la connexion E, par rapport à la base {ej):=(=, de W,(ai) est : Démonstration : d'après [2, Lernma 2.31, s(a) = % et l'on a Soit G = n Zldiz et soit H c G le sous-groupe engendré par l'image de 1=1 u = (al,...,an). Pour chaque classe ai E GIH soit Wy (ai) l'espace vectoriel engendré sur R par la familie {y-m3(p)tpi~ E 2 nai). Soit g l'ordre de a dans G n - et soit v = g C 2 = gn. Alors dimn Wy(ai) = v = card(a TiZ). 2=1 - Soient a et p satisfaisant les hypothèses du Lemme 1.1; si de plus a E A alors, ou bien /3 E 2, ou bien B - a E 2 et on a donc le :

38 M. CARPENTIER 2. Structure de Frobenius Soit rn un nombre rationnel tel que mm E N. Si a E Zn et y E Z on pose Un élément Z = (11) de Wy(E) est l'image par Co,, d'un élément de 2" W,,(E) indépendant de y si et seulement si e, Z = O, ou encore si : Soit c E R, soient I< tl,..., tn des indéterminées et soit B(a; y) E R et ord B(a; y) 2 bwm(a; y) + c). Si i, j E (1,..., v) posons : ( s - s ) siisj a, = {ilsj - s, + g ) si i > j. Un calcul simple montre que Zj satisfait l'équation différentielle de type hy- pergéométrique : Cette équation présente un point singulier régulier en y = O et un point singulier irrégulier à l'infini. Les solutions séries formelles au voisinage de l'origine convergent pour y E D(O,ld). En fait, si Z est la solution complète de (1.4; 75) normalisée de façon que Z(0) soit la matrice identité, et si (v), = '(7~~') = v(v + 1)... (v + s - I), alors : r(v) l Soient : Lm (b) = U Lm(b, c) cer Rm(b) = R[[Y]] n Lm(b). Si a,p E Zn on pose ta * tp = yxmmt6, où X E Z et S E Zn sont les uniques éléments satisfaisant y "1 i a+b=s+xa 1 O 5 s(s) < 1. L'opération F", confère à Lm(b) une structure de R,(b)-algèbre. On la notera 1 simplement * lorsqu'aucune confusion ne sera possible. Soit WYm le Rm(b)- I l I module engendré par la famille { ~ - ~ ~ ~ E ( a). ~ ) Les t opérateurs ~ l a D, définis au $1 agissent sur L,,(b) et L,,(b) définit S'il existe /3 E Z" tel que D, * Lm(b) z Wym. Si a E Zn on alors on posera S,,,, (ta) = ~ ~~(~(~)-p~(p))tfl. (ta) = 0. i>,, Sinon, on posera $,, se prolonge en une application linéaire $,, : Lm(b/p) --t LPm(b). D'après [2, Lernrna 1.41 cette application est

40 M. CARPENTIER SOMMES DE KLOOSTERMAN GÉNÉRALISÉES 41 *, +m bien définie. On peut alors définir l'application de Frobenius comme étant la où 7 = T est une racine u-ième de l'unité, et où uj = % satisfait -57 composition : l'équation différentielle +F(tT) l/)ym Fym : Lm(b) 1 Lm(b/p) ---+ Lm(b/p) + Lpm(b). Plus précisément : si. pour E E GIH, Wym (5) est le R,(b)-module engendré par la famille {y-~~"-'~(?)t? Pm (E). Soient : E,, 1 P E 2 n ai) alors Fy rn envoie Wy - (pai) dans Wy Slim = yma- = LyL aym m ay' M EYm a = &yni + -t - E,, a, at, 7 agit sur le quotient Wym (ai) et M d d = Eyni + Eym(H(t)) = Eym +./rgcnztnn. - Si y E R satisfait ord y > -S. on peut définir l'application S, : Lm(b) L ( ~ b) qui ~ envoie ~ ; Y sur y. Fym induit alors : 3. Solutions au voisinage de l'infini Soient 0:') les nombres définis en (1.5) et soient : SI('),..., S ol étant les polynômes symétriques élémentaires en les r(j). Notons en particulier que si Zj est une solution quelconque de (3.1; j) alors erzz''2j est une solution de (3.2; j) avec r = 1. D'après [3], les solutions des équations (3.2; j) convergent au moins pour ord 2 < -5. Nous allons montrer qu'en fait elles convergent dans tout le disque D(m, 1-). Nous utilisons pour cela le raisonnement de [7, 3 51. Soit V l'espace des séries de Laurent infinies à coefficients dans R qui sont solution de (3.2; j = 1) avec T = 1. Notons que V est de dimension finie. Soit F c V le sous-espace des séries [ pour lesquelles il existe des réels c+ et c satisfaisant, et tels que [ converge dans la couronne (3.3) c+ < ordz < -c (cette couronne n'est pas vide puisque p > 5). Soit q une puissance de p telle que qai = E, soit u E F et soit z: un élément de la couronne (3.3) : z1 = Ve-n(r-zq) 0 z - Qst une solution de (3.1; j = 1) au voisinage de 2:. A partir de SI on peut obtenir un vecteur 2 = (?) solution de (1.4) On peut écrire Z = ~(;)e-"(~-'~)z-q h 2" où U = ( ÿ; ) converge dans la couronne (3.3). Dans l'équation (1.6;j) posons zy = Q (;)"TJ~M. L'équation devient alors Soit B(z) la matrice : 1, T(z) = B-'(z)Z(zq) est solution de (1.4) au voisinage de zo. Soit alors Les solutions formelles au voisinage de l'infini s'écrivent : @(Z) = ~-~(z)~(zq)e~('-'o)zq

42 M. CARPENTIER B-'(2) est convergente pour ordz > -:. ainsi que e-"("-"). 4(2) converge dans la couronne Par conséquent C+ C - < ordz < 4 4 Soit y(v) la première composante de @(Z). Comme nous l'avons remarqué plus haut, y(v) est solution de (3.1; j = 1) avec r = 1. y est donc un endomorphisme (injecm de F. Soit c F le sous-espace engendré par v, y(v), p"v),... etc. On a y(ê1;) = et par conséquent v E y"f) pour tout i E N : v converge donc pour ord z < -+ pour tout z E N, c'est-à-dire pour ord z < 0. Q 4. UnicitC du Frobenius Soit E E G/H. Désignons par Xy, sy, ey les objets obtenus en remplaçant - a par -Fi et A par A" dans (1.1).(1.2) et (1.3). Dans ce qui suit, l'indice "-T" indiquera que l'on a remplacé la racine choisie T de l'équation Xp-l = -P son opposé dans la définition de l'objet correspondant. Le lemme suivant est une conséquence des définitions et de [2. Lemma 2.31 : Par Soit C'(")(y) la matrice du Frobenius 7, : W,(pE) + WyP(E). On déduit de (2.1) l'existence d'une matrice constante régulière KI teiie que : De méme, il existe une matrice constante régulière K2 telle que : (4.3) cl,"' (y)~l;~")(y) = s!;")(yp)1~2. (4.4) De (4.1) et (4.3) on tire (-")* TC-, (A* désigne la matrice 'A-'). (/J)Tz(-")(~) = S(")(~~)TI(~T. En comparant (4.2) et (4.4) on voit que l'équation (1.4; ai) possède une double structure de Frobenius, donnée par les matrices Al = ~(")(y) et (4). A:! = TC-, (y)t. Soit B(y) = AT'AI. On sait [2, Prop. 5.11 que B(y) est analyiique au moins dans le disque ord y > -W. Soit ~1;") la matrice de la connexion E~,-,, agissant sur w,,-,(-ai), rapport à la base {ey)y=,. Soit T la matrice (u, u) : par THÉORÈME 4.1. - Les coemients de B(y) sont des fonctions analytiques en y dans R tout entier; saufpeut-étre en L'infini (où il peut y avoir un pôle). Démonstration : Observons d'abord que, d'après (4.2) et (4.4) Il résulte du lemme 4.1 que l'on a : Si 2(") (respectivement 2:;")) est une solution complète de (1.4; E) (respec- tivement une solution de (1.4; -ai)-,) - sorte que ~ ( ~ ) ( y ~ ) = Id (resp t20(yo) au voisinage de y0 normalisée de telle = Id) on a donc : En d'autres termes, 2 H B2 est un endomorphisme de l'espace des solutions de (1.4; 1%). (;") 21 Soit 2 = une teiie solution au voisinage de l'infini. Moyennant le ~, changement de variable zv = Q (:) " ygm et en choisissant i = 1. on peut écrire., 2 sous la forme :

44 M. CARPENTIER ) et soit P(z) = BV. V" D'après les résultats du 3 3, V(z) converge dans le disque D(m, 1-), et par (' Soit ~ ( z = ) - conséquent V(z) converge dans la couronne -9 < ord z < 0. - Si zo appartient à cette couronne, V (Z)~-"(~-~O) est solution de (1.4; pz) au telles voisinage de zo. Par conséquent il existe des constantes wl,..., w, E que : - V ( ~ ) ~ - ~ - Z O ) j=o où T est une racine primitive v-ième de l'unité. = Cwj,yTjz)e--~J (Z-ZO), D'après [5, Lemme 51 on doit avoir wj = O pour j # 1. Par conséquent, si 2 = VeëTAZ est un système complet de solutions de (1.4; pz) avec l'anneau des fractions rationnelles R( y). Ceci entraînerait que les composantes de u sont solutions d'équations différentielles de degré strictement inférieur à v. Or il est clair d'après le 5 3 que l'équation (1.4) est irréductible. Par conséquent B = K. Id. Q.E.D. 5. Evaluation de la constante K : cycles évanescents - Soit nz un entier positif, m' = $. On considère l'application linéaire hm : L,(b, c) L,,,. (A, c) définie sur les monômes par : /%,,,(ta) = t?"' *... *, t"n = ymm4a)tmia-~(a)4 ym' ym Soit IL,,,(b/A4) l'image de Lm(b) par hm. Remarquons que si Pt@ E IL,! (b/ad), alors s(p) = O et en particulier y 2 O. Si i E (1,..., n - 1) soient Hi,M = E ~ H ( ~ ~ ), il existe une matrice constante M telle que BV = V M. Finalement, on trouve que B = VMV-1 est analytique en z dans la couronne ord z < 0. Comme B est analytique en y dans le disque ord y > -y on en déduit que B est analytique en y dans le plan tout entier avec au plus un pôle à l'infini. Q.E.D. Le théorème de Mittag-Lmffler nous permet dès lors d'énoncer : COROLLAIRE 4.1. - Les coefficients de B(y) sont des polynômes à coefficients dans R. THÉORÈME 4.2. - IL existe une constante IC E R telle que Tt c!~")tc(~") = IC. Id. Démonstration : On a vu dans la démonstration du Théorème 4.1 que 2 +-+ B2 est un endomorphisme de l'espace des solutions de (1.4; pz). Soit u un on a : vecteur propre de valeur propre K : (B- IC Id)u = O. Si B # I<. Id, on a obtiendrait alors une relation entre les composantes de u, à coefficients dans 3 D~,M = Ei + H;,M. On a Di,nl O hm = A4hm O Di et l'application hm induit : Les opérateurs di,^ agissent sur Lm,(b/M) et l'image de hm s'identifie à Wmt = Lmt(b/M) Di,~L,r(blM). D'autre part, supposons que a E Zn. - - satisfasse ai = O pour un indice i : Si i < n, alors Ei(ta) = -?ta et, V j # i(ej - Ei)ta = %ta. Si i = 12, alors Ej(ta) = $ta Vi E (1,...,n - 1). Par conséquent, si on pose : a dh(tm) &,M = ti- dti + ti- dt,, i E (1,...,n},

46 M. CARPENTIER Soient : L'image de W,l par l'application So : Y H O est donc contenue dans Plus précisément. l'image de Wm. est 5 WU'), où w:') est l'image de VVO par i=l la spécialisation Ti : ti H O. Les diagrammes suivants sont commutatifs : - Soit :.Fo : L(b/M) - & L(b/pM) L(blpM) Fo induit 3 0 : Wo Wo. Si i E (1,...,n} soit F,(t) = -+. O(cit; ) ~ ( t ~ ' ) -% L(b/M). Soit.di)(b/M) l'image de L(b/M) par l'appiication Ti. Soit -.Fi" induit 3:) : ~470") WLi) et le diagramme suivant est commutatif De plus, les applications ci-dessus commutent (a constante multiplicative près) aux opérateurs différentiels Di et Di,M. Soit : - Fyml induit FY,,,l,M : Wml + Wpml. Soit $ l'application 0-linéaire définie sur les monômes par $(ta) = talp si pla, Vi 'i {l,..., n) O sinon. Soit,f3 E Zn satisfaisant O 5 Pi 5 Md, - 1 Vi et soient P' E Zn, S E Zn définis par les conditions : 105P:IMdi-1 056, <p-1 i E {1,..., n}. ppi - Pi = Si Mdi Si de plus Pj = O pour un indice j, alors Pj = O = Jj et d'après [l] on a : (5.1) O n (i) p' P! (t ) = n(-n)6irp ($J) mod i=l n i=l i M 2)iL(j)(b/~)

48 M. CARPENTIER (r, est la fonction gamma p-adique). Soit C(Y) = (CB,,(Y)) la matrice de Fy : WY(PE) + Wyp(E). Si y E L(pai), ona: S'il existe un indice j tel que yj - di = ajs(y) (ou, de façon équivalente, si J(y) > ~ (p)), alors t"f(y-s(y)a) est nul dans w,(') et donc Cp,y(0) = O. Si, par.-. contre, 7, - cl, < a,s(y), Vj alors y =,B et d'après (5.1) on a : Pour chaque P E &(ai), d'après 12, Lemma 2.81 il existe un unique élément p E qpe) et des entiers SI,...,Sn uniques tels que Il reste à examiner les coefficients Cp,,(0) lorsque : De plus, si l E (1,...,n) alors : &ai) * (i) s(p) = $ u s($) = 5 o 6p = O A (ii) s(,b) = u s(p) = y u 6p = p - 1. PROPOS~ON 5.1. - Il est possible d'ordonner les éléments de qai) et ceux de de telle sorte que les coeficients de la matice C(0) soient nuls, sauf pour des blocs triangulaires inférieurs disposés le long de la diagonale. De plus, les coeflcients diagonaux sont donnés par la formule : Démonstration : d'après la démonstration de 12, Prop. 5.21, Cp,,(0) = O sauf A A - peut-être si yi = pi (inoddi) pour tout i et s(y) = s(,b). Fixons y E A(pE) et appliquons Tt o So O xp à (5.2), en remarquant que l'image de ~ - " ' ~ ~ par ( d t ~ Tt O SO O h, est nulle dans TV:') si s (~) # ou s'il existe un indice j tel que i/j - dj = ajs(~). On obtient : 2 Supposons donc qu'il existe j tel que,bj - dj = ajs(,b). S'il en existe plusieurs, choisissons le plus grand, de sorte que,b - djuj = J E qai) avec s(j) = s(p) = EL. aj - A A Soit y E A(pE) tel que yi r pi Vi, s(y) = s(p) et tel qu'il existe un indice k pour lequel y - dkuk = aks(y) (ici encore on choisit le plus grand tel indice k). Soit 11 = y - dkuk : - F,, =(y-ms(~)t~) = C Cu,,(~)~-~MS(u)to. o ~ a ~ ) Appliquons 13,-,,, aux deux membres de cette dernière équation; grâce à (2.1) on obtient : et, en appliquant le lemme 1.1 : ou p est l'unique élément de L(E) satisfaisant : A,Bi r yi,bi- di < ai@).(pl = 5. (moddi) Vi Vi

50 M. CARPENTIER A A En particulier, si y = /3 on a 77 = E et j = k, de sorte que : - désormais valide quel que soit P E A(pE). D'autre part, si y; - Comme alors r, ("2')~~) = rp(1) = 1. et 6, = p - 1, la formule (5.5) est pour tout i et J(y) > ~(j) (modcl;) on déduit par récurrence que Cp,,(0) = 0. Q.E.D. Démonstration : au vu du théorème 3.2 il suffit d'évaluer l'un quelconque des coefficients diagonaux du produit lorsque y = O. Le résultat est alors une conséquence immédiate de l'équation fonctionnelle de la fonction gamma p- adique 11, (1.3) et (1.9)]. P; Q.E.D. Manuscrit reçu le 2 1 décembre 1990 BIBLIOGRAPHIE [II M. BOYARSKY. - p-adic gamma functions and Dwork cohomology, Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 257, NO 2, 1980. 121 M. CARPENTIER. - Sommes exponentielles dont la géométrie est très belle, Pacific Journal of Math.. Vol. 141, Ff' 2, 1990. [31 D.N. CM. - A note on the p-adic convergence of solutions of linear differentiai equations. Proc. Amer. Math. Soc., 17, 1966. 141 B. DWORK. - On the zeta function of a hypersurface, Publ. Math. IHES, 12, 1962. 151 B. DWORK. - On 11-adic analysis. Belfer Grad. School Yeshiva Univ. Annual Sci. Conf. Proc., Vol. 2, 1969. 161 B. DWORK. - On the uniqueness of Frobenius Operator on differential equations,, Advanced Studies in Pure Mathematics. 17, 1989. 171 S. SPERBER. - p-adic hypergeometric functions and their cohomology, Duke Math. Journal, 44, 1977. Michel CARPENTIER Université Paris VI Mathématiques, Tour 46 4, place Jussieu 75230 PARIS Cedex 05

Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 On the hermitian structure of Galois modules in number fields and Adams operations Boas EREZ Introduction In this paper 1 will present a number of results which have been obtained by several authors on the hermitian structure of Galois modules in number fields, mainly on rings of integers equipped with the trace form. My aim is to give an organic presentation of results, which are scattered over a dozen of different papers, to show how these fit together and also to emphasize the salient features of the different contributions. 1 will only consider tamely ramified extensions and 1 wiil only focus on very recent results since there already exist surveys of related results which 1 do not include here (see [CN], [E2]). This is why the Main Theorem of this paper is the one between Theorems E and F below.. The main body of the paper consists in a discussion of the ideas involved in the proof of the Main Theorem following the work of J. Morales, M.J. Taylor and the author, e.g. the study of unitary determinants, the close analysis of Gauss sum/resolvents quotients and their twisting by an Adams operation, the definition of an appropriate discriminant for hermitian modules over an integral group ring and finally the definition of the "correct" module to which compare the ring of integers to. 1. Statement of results 1.1. The Frohlich Conjectures Galois module theory, as it exists today, depends in large part on the crucial contribution of A. Frohlich. Most of what foilows was inspired by his work and to put the subsequent results in the right perspective 1 shall begin by recalling

54 B. EREZ ON THE HERMITIAN STRUCTURE OF GALOIS MODULES 55 two theorems which together give a positive solution of the so-cailed Frohlich Conjectures. Let N/K be a Galois extension of number fields with Galois group î. We know by the normal basis theorem that for some a in N we can write N = akr, i.e. N is free over Kr. Noether's criterion tells us that for the ring of integers ON of N - or more generally any r-stable O~-ided in N - to be localiy free over OKr it is necessary and sufficient that N/K be tamely ramified (see [F3] Theorem 3 or [E-TI 3.1). THEOREM A (Taylor [Tl]).- Let N/K be a bmely ram~@d Galois extension of nurnberfields with Galois group r. The only obstruction for ON to be stabb isornorphic to OKr over Zr cornesfrorn the signs of the symplectic root nurnbers ( W(X) which appear in thefunctional equation of the ArtUi L-series L(N/K, s, X) attached to the irreducible symplectic characters x ofr). 1 would Uke to emphasize two features of this result. First, a more precise statement of the theorem would consist in an arithmetical description of the class defined by ON in the classgroup Ce(Zr) of locally free Zr-modules in terms of the W(X) This would rnake clear why we get a 'stable" result and not a result on the actual isomorphism class of ON. Second, observe that we do not assert anything on the structure of ON over OKr but instead restrict scalars to the rational integers Z. This is the best one can hope for at the moment. FACT : the Galois structure of ON alone does not determine the signs of the symplectic root numbers (see [F3] Chap. V 5 3 and IF71 Theorem 1). This fact has led Frohlich to consider the additional structure on ON given by the Kr-hermitian form defined on N by : This is the trace forrn; it is hermitian with respect to the canonical involution - of Kr - which sends elements in r to their inverse - because the trace is equivariant under the action of r. THEOREM B (Cassou-Noguès, Taylor). - With the notations of Theorern A. The irreducible symplectic root nurnbers W(X) can be recovered as invariants of the OKr-herrnitian module (ON, tnik). As it stands in [CN-Tl], [CN-T2] the proof of this theorem is not as natural as one would like it to be. In particular it does not reaily give much information on the structure of (ON, tnik). This is the question which will occupy us till the end of the paper. 1.2. Odd degree extensions So we want to know what (ON, tnik) looks like. Now in general even (N, tnik) is not knwon explicitly : one only has informa- tions on its invariants as a h'r-hermitian form (see [C-Pl, [SI, [F6]). However for ail odd degree extensions one has the following refinement of the normal basis theorem. THEOREM C. - If N/K is a Galois extension with Galois group r of odd order; then (N,tNII<) is isornetric to Kr equipped with the multiplication forrn mr(x, Y) = XY, where - denotes the camnical involution on Kr. In other words there exists a in N such that N = akï and tracenik(abay) = 6,, syrnbou. (Kronecker This theorem holds for an arbitrary base field K of characteristic different from 2 and is a consequence of the observation that the map : gives an isometry between (N, tnik) $ N and (Kr, mr) @ N together with K a deeper injectivity result in Galois cohomology (for number fields see [T2] Proposition 5.1.1 and for the general case [B-LI). In what follows we will only consider odd degree extensions of number fields. By Theorem A and by Jacobinski's canceliation theorem we know that if N/K is tame of odd degree, then ON is actuaily isornorphic to O K over ~ Zr : indeed then r does not have any irreducible symplectic characters and QI' satisfies the Eichler condition. However since in general ON is not self-dual with respect to the trace form (because of ramification in N/K) we cannot hope (ON, tnik) to be isornetric to (OK~, mr) in general. So one problem we have to solve to get a grip on (ON, ~NIK) is to find the right comparison module.

56 B. EREZ 1 ON THE HERMITIAN STRUCTURE OF GALOIS MODULES 57 1.3. The comparison module and the square root of the inverse differ- ent The first module which has been considered and which alrnost solved the problem was a generalized Swan module T = T(N/K) which M.J. Taylor constructed in [T2] Section 2. Swan modules had already played a role in Galois module theory and are related to the conductors of tamely rarnified extensions (see [T4], [Cha], [T3]) and [F3] Note 6 to Chapter III). Unfortunately T does not have the right discriminant and so to get a compar- ison result Taylor had to extend scalars from K to a quadratic extension F' of it. However in [T2] Taylor showed how to obtain the wanted comparison result in case the correct module was at hand. Moreover in [CN-T4J it is shown how to use T to get a comparison result for a "hyperbolic sum" of (ON, tnlh.) with itself, without restrictions on the order of the group. Let me digress for a moment. In an odd degree Galois extension N/K of number fields there is a (unique fractional) ideal A(N/I<) whose square is the inverse different of N/K. It is not hard to check that - opposed to ON - A(N/K) is always self-dual with respect to the trace fonn. For A(N/I<) one has the following analogue of Theorem A (see [El]). THEOREM D. - For an odd degree tamely ramfied Galois extension NIK with Galois group r the square root of the inverse dtzerent A(N/KI is isomorphic to OKr over Zr. It is legitimate to ask whether (A(N/K),tNIK) is actually isometric to (OKr, my). As is shown in [E-Ml this is indeed the case for a (tamely rami- fied odd degree) absolutely abelian extension. Moreover in [E-Ml a locally free ideal M(N/K) in OKr is associated to an abelian extension N/K which is such that the following holds. THEOREM E. - Let N/Ii be an odd degree abelian tamely ramfied Galois extension of numberfields with Galois group r. Then with the above notations : (a) A(N/K)M(N/K) = ON (b) (A(N/K), tnik) is isometric to (OK~, mr) #and only #(ON, ~N/J() is isometnc to (M(N/K), mr). Here we do not restrict scalars from OK to Z. l In the last section 1 will give the definition - following [E-Tl - of a right OKr- ideal M(N/I<) in K r which generalizes the module above and which seem to be the correct comparison module in the sense that for it one can prove the Main Theorem below. This ideal will be defined by its locaiizations which will be free on generators whose construction involves the valuation of local resolvents twisted by an Adams operation. 1 postpone the construction because 1 would like to show first how the Adams operations can be seen to come into the picture quite naturaily by studying the square root of the inverse different. 1.4. The Main Theorem The theorem 1 will state now is an integral version of Theorem C and is a refinement of Theorems A and D. Exactly as per Theorem A the Main Theorem involves the use of an appropriate Grothendieck group and works only after restriction of scalars. We shall consider the Grothendieck group KoH(Zr) of locaily free hermitian Zr-modules and we shall write (L, j)q for the hermitian Zr-module obtained from an hermitian OJ(~?-module (L, j) by restricting scalars to Zr and composing j with the linear trace from IC to Q (Scharlau transfer). MAIN THEOREM. - Let N/K be an odd degree tamely rarnijied extension of numberjelds with Galois group r. Then with the notations introduced above : (2) If rnoreover the prime divisors of the degree [N: KI do not ramtfy in N/I<, then (ON,~N/~)Q and (~(~/l<),mr)q define the same ciass in Ko H(Zr). This is the main theorem of [E-Tl. In contrast to part (b) of Theorem E we cannot show that (1) and (2) of the Main Theorem are equivalent - if we were able to do this, then maybe we could have a statement in which no restriction on the extension other than tameness has to be imposed for part (2). However the ingredients that go into the proof of parts (1) and (2) are exactly the same. Remark : since we lack a cancellation theorem for hermitian forrns we are not able to deduce from the Main Theorem that there are actual isometries between

58 B. EREZ the modules involved except in the abelian case. 2. Ideas for the proof of the Main Theorem Let us go over the proof of part (1) of the Main Theorem, that is the one pertaining to the square root of the inverse different A(N/K) (see [E-Tl for more details). One begins by showing that (A(N/K), tnik) is iocally everywhere isometric to (OKr, mr). The generic prime g = (0) has already been taken care of in Theorem C and for every maximal ideal y of OK one shows that there is an isometry between (A(E/F),tEIF) and (OFA,ma) where E/F is the local field extension obtained by choosing any marrimal ideal in ON above y and A is its Galois group (decomposition); this isometry is then induced to get an OFFisometry. The existence of the isometries follows from the fact that every (odd degree) local tamely ramified extension can be embedded into one whose Galois group is the semidirect product of abelian groups and the following result from [E-MI. PROPosrno~. - Let I' be an abelian group of odd order. Euey locally free hermitian OKr-mOduk in (KI', mr) is focaüy eveywhere isometric to (OKI', mr ). so the difference of classes V = [(A(N/K), tnik)] - [(OKr, mr)] lies in the kernel EH(oK~) of the map ON THE HERMITIAN STRUCTURE OF GALOIS MODULES 59 the autometry S, of (LAK, mr) defined by S, = ïï cp;' ~ $ 9 O cpg gives a bijection where for instance ~ (2, mr) denotes the group of autometries of (Z, mr). The discriminant of (B, k) will be the determinant of S,, but to allow for computations we shall not choose the group in which the discriminant lies as being the self- evident one. We begin by interpreting unitary deterrninants as so-called minus homomorphisrns. Observe that U(ICl?,mr) = {x E KrXIxT = 11) (K any local ring). Now let T be a representation of l? over the algebraic closure KC of K in ê (say) and let x be its character. Extend T to K r so that for x in KrX we can let Det(x) gives rise to a homomorphism from the group of virtual characters Rr of I' to ICCX. This homomorphism is invariant under the action of the absolute Galois group ClK of K - in syrnbols The next step is to define a discriminant on for V. 2.1. The discriminant and minus homomorphisms H whose value we can compute What follows was inspired by FrOUch's treatement of the classgroup of locally Eree modules over an arithmetical order (see [FI]). The discriminant of an herrnitian module corresponds to the class of a module in the classgroup. Let (L,mr) be a (locally free) hennitian OKr-module in (KI', mr) and let LI(L, mr ) be the set of isometry classes of hennitian modules everywhere locally isometric to (L,mr), i.e. the modules (B, k) such that for all prime y in OK there exists an isometry cpy : (L, mr)y E (B, k), (this includes y = g = (O)). Let - OK = ïï OKy, AK = OK BoK K, Z = L BoK OK, etc. Then sending (B, k) to Y# g Let us mite Det(KX)- for the group of elements Det(x) which are minus homornorphisms, i.e. the ones with Det(x)(x) =. 1 for every symplectic character x ofr. LEMMA. - ifr is of odd order; then

60 B. EREZ 1 ON THE HERMITIAN STRUCTURE OF GALOIS MODULES 6 1 THEOREM F. - Let l? be a group of odd order and suppose that K is either a numberfield or afinite extension of the p-adic field Q, for sorne prime nurnber p ; then : (a) Det(U(Kr,mr)) = Det(KrX)- (b) If K is a non-ramtfied extension of Q,, then For a proof of this theorem see [T2] Theorem 1, for part (a) also see IF41 Theorem 7 Chapter III. Rernark : no general theorem of this kind is known for groups of even order. According to the theorem we do not lose too much information by letting the discriminant d(l,mr) take values in l I I Rernark : the discriminant defined above is the restriciton to K ~ H of the discriminant defined by Frohlich on Ko H. Both are hermitian refinements of the homomorphism sending the class of a locally free OK~-module to the character function representing it in the classgroup (see (2.3) below). The point is that to compute Frohlich's discriminant we do not need a comparison module, while if we already have a comparison module - which is locally everywhere isometric to the given one - then the definition and the computation of the discriminant become more straightfonvard. To define Frohlich's discriminant of a hermitian module (B, k) - of rank 1 Say - we use the hermitian structure to get an element s in KrX which is symmetric with respect to the canonical involution - of Kr : s is simply k(a, a) where B @ K = akr. Then we observe that for T = Tx a symplectic linear 0 K representation of Ill? : S = T(s) is an invertible rnatrix which is symmetric with respect to a symplectic involu- tion j and thus - since there is only one skew-symmetric form for any given dimension - S is of the form S = PP' for some invertible matrix P. We let (see [T2] for more details). Moreover by letting : >* f '+, f < It is shown in IF41 Chapter II that P fj(s) only depends on the equivalence class x of the symplectic representation T and so we may write where w runs over a set of representatives of CLK Gal(Qc/Q), we have the commutative diagram = Gal(KC/K) in Rq = This defines a homomorphism P f(s) from the additive subgroup Rf. of Rr generated by the symplectic characters into (IP)X (compare (2.1) above). Now we also have for each prime y of OK an element 9, of KYrX which transforms a into a free basis of B @ OKy over OKy r and hence an element e of AKrX. Taking the determinant Det(8) we get a homomorphism from Rr to the idèle group J(Kc) (compare (2.3) below). The hermitian classgroup is defined as where the horizontal maps are given by the discriminants d(~,,,) and d(l,mr)q respectively. It is now clear how to define the discriminant on K-. where

64 B. EREZ ON THE HERMITIAN STRUCTURE OF GALOIS MODULES 65 and NKip ~et(r(~))-'f - E ~ et(s~). So one would like to do the sarne here. But for this f would have to be a minus homomorphism. Now the f 1 had considered was where T * ( ~ = ) is the adjusted Galois-Gauss sum associated to the character x of l? (as in [Tl], IF31 IV (1.7) or IF51 (6.15)) and where $2 is the second Adams operation on Rr. It is easy to check that f is in fact a minus homomorphism! So the computations which 1 had carried out in [El] together with Theorem G and the local considerations also suffice to prove part (1) of the Main Theorem. Rernark : the first reason for introducing the Adams operation was that previous computations indicated that it might have given the right way to twist the Gauss sum to prove Theorem D. Also in [CN-T3] (or see IT31) Cassou-Noguès and Taylor had proven that Det-groups Det(OF I' ) for non-ramsied extensions F of a p-adic field Q, are stable under the Adams operations so that one could use Taylor's results on Galois-Gauss sum/resolvent quotients for the twisted quotient as well. In conclusion what comes out of the above discussion is that there is yet another reason one could invoke to justiq the use of the Adams operation, namely that by twisting the Galois-Gauss sum by it we obtain a minus homomorphism which is strongly related to the hermitian structure of both the ring of integers and the square root of the inverse different. 2.3. The module to compare the ring of integers with The proof of part (2) of the Main Theorem runs exactly parailel to the one of part (1) once the right comparison module - replacing (OKr, mr) - has been found. Following [E-T] 1 will here give the definition of a locally free OKr-ideal M(N/K) in OKI' whose isomorphism class will only depend on the tamely ramified extension N/K; (M(N/K), mr) is locally everywhere isometric to (ON, ~NIIO. Rernark : the domesticity assumption (slightiy stronger than tameness) im- posed on N/K for part (2) of the Main Theorem comes from our inability to solve a technical point in the proof - which in its other parts goes through for every tamely ramified extension. As will be seen, for the definition of M(N/I<) the properties of the extension N/K are used at exactly one point, the rest of the construction is purely algebraic. We will consider modules MY in KYI? one for every maximal ideal y in OK and let M = n ( ~ n, Kr). Y To define My choose a prime p of ON above y and let E = Np. F = Ky and A = Gal(E/F). Next we wiil define an element,b =,By in FA such that with M(E/F) := BOFA. Decompose the group algebra FA into simple components A? one for each F-irreducible character $of A. After having fixed a uniformizing parameter X in OF we can choose an element.irê in Aê such that for any absolutely irreducible character 6 contained in êwe have Then P in FA wiil be written as where es is the indempotent associated to $and where the v($) are integers to be defined. It is for the definition of the v($)'s that we shall idenhfy A as the Galois group of the tamely ramified local extension E/F. Let 6 be any absolutely irreducible character contained in $. Let I denote the inertia group of E/F. Since E/F is tame we know that I is cyclic. It is a consequence of a result in the representation theory of supersolvable groups that there errists a subgroup C of A containing I and an abelian character,y' of C such that A 1 0 = Indc x.

66 B. EREZ ON THE HERMITIAN STRUCTURE OF GALOIS MODULES Let x = xlii. By using local class field theory for the field L in E hed by C we can express x as a power of the character VL defineci as follows : let y~ denote the maximal ideal of OL, then for ali a in Oz we want Write x = ql -'(x)(~-') with q = (OL: yl) and s (~) in [O, 1) n &Z. Then we let and One checks that v(6) is a non-negative integer which only depends on ê, so we A let v(6) = v(6). The link with the Galois structure of the integers and the Adams operation is given by the PROPOSITION. - if OE = a0~a. then v(6) equals the F-valuution of the resoiuent Det (r(c~))(26-42 (6)). (See [E-Tl Proposition 2.9). Manuscrit reçu le 18 septembre 1990 1 IB-LI E. BAYER. H.W. Lw-. - Forms in odd degree extensions and self-dual normal bases, American J. of Math. 112, (1990), 359-373. [CNl Ph. C*ssou-NoeuEs. - Artin roof numbers and herrnitian Galois modules, to 1 appear in the proceedings of a conference on L-functions and arithmetic, at Durham, 1989. CN-Tl] Ph. CASSOU-NoeuEs, M.J. TAYLOR. - Constante de l'équation fonctionnelle de la fonction L d'artin d'une représentation symplectique et modérée, Ann. Inst. Fourier 33, (1983). 1-17. CN-T2] Ph. Cmou-NoeuEs, M.J. TAYLOR. - Local root numbers and herrnitian Galois module structure of rings of integers, Math. Ann. 263, (1983). 251-261. CN-T31 Ph. CASSOU-NoeuEs, M.J. TAYLOR. - Opérations d'adams et groupes de classes d'algèbres de groupe, J. of Algebra 95, (1985). 125-152. CN-~41 ph. cmou-nogui%, M.J. TAYLOR. - The trace form and Swan ~odules. to, IChal S. CHASE. - Ramification invariants and torsion Galois module structure in number fields, J. of Algebra 91, (1984). 207-257. IC-PI P.E. CONNER, R. PERLIS. - A survey of trace forms of algebraic number fields, Singapore : World Scientific, 1984. [El] B. EREZ. - The Galois structure of the square root of the inverse different, to appear in Math. 2.

68 B. EREZ ON THE HERMITIAN STRUCTURE OF GALOIS MODULES 69 [E2] B. EREZ. - A survey of recent work on the square root of the inverse different, to appear in the proceeding of the Journées Arithmétiques 1989 at Luminy. [E-MI B. EREZ, J. MORALES. -The hermitian structure of rings of integers in odd degree abelian extensions, to appear in J. of Number Theory. [E-TI B. EREZ, M.J. TAYLOR. - Hermitian modules in Galois extensions of number fields and Adams operations, to appear in Annals of Math. [Fl] A. FROHLICH. - Locaiiy free modules over arithmetic orders, J. reine angew. Math. 274, (1975). 112-124. IF21 A. FROHLICH. - Arithmetic and Galois module structure for tame extensions, J. reine angew. Math. 286/287, (1976). 380-440. [F3] A. FROHLICH. - Galois module structure of algebraic integers, Ergebnisse der Mathematik, 3. Folge, Bd. 1, Berlin : Springer, 1983. [T3] M.J. TAYLOR. - Classgroups of group rings, London Mathematical Society Lecture Note Series 91, Cambridge : Cambridge University Press, 1984. lt41 M.J. TAYLOR. - On the self-duality of a ring of integers as a Galois module, Invent. Math. 46, (1978). 173-177. Boas EREZ Harvard University Department of Mathematics Science Center One Oxford Street CAMBRIDGE, MA 02138 U.S.A. [F4] A. FROHLICH. - CIass groups and hermitian modules, Progress in Mathematics, Vol. 48, Boston : Birkhauser, 1984. IF51 A. FROHLICH. - Tame representations of local Weil groups and chain groups of local principal orders, Sitzungsberichte der Heidelberger Ak. der Wiss. Abh. 3 (1986) : Springer, 1986. IF61 A. FROHLICH. - Orthogonal representations of Galois groups, Stiefel-Whitney classes and Hasse-Witt invariants, J. reine angew. Math. 360, (1985). 84-123. IF71 A. FROHLICH. - Galois module structure and root numbers for quaternion extensions of degree 2n, J. Number Theory 12, (1980). 499-518. [SI J.-P. SERRE. - L'invariant de Witt de la forme Tr(X2), Comm. Math. Helv. 59, (1984). 651-676, (= CEuvres Vol. III, fl 131, 675-700). [Tl] M.J. TAYLOR. - On Frohlich's conjecture for rings of integers of tame extensions, Invent. Math. 63, (1981), 41-79. [T2] M.J. TAYLOR. - Rings of integers and trace forms for tame extensions of odd degree, Math. 2. 202, (1989). 313-341.

Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 Searching for Solutions of x3 + y3 + z3 = k D.R. HEATH-BROWN Diophantine equations of the form in which k is a given positive integer, and the unknowns x, y, z can be any integers. positive, negative or zero, have been studied by a number of authors. In particular it has been asked whether there are any solutions for k = 3 other than (x, y, z) = (1,1,1) or (4,4, -5); and whether there are any solutions at al1 for k = 30. Computer investigations by Gardiner, Lazanis and Stein [l] in 1964 failed to resolve these questions. The search strates used by Gardiner, Lazarus an( l Stein was essentially the naive one : To find solutions with 1x1, Iy 1, Ir 1 L. N, Say, with k < N, one tries al1 possibilities for x and y and then computes unless 120 1 5 k, so that there wiïi usuaiiy be at most one value of z to try. Indeed it is not hard to check that this algorithm entails investigating O(N') values of (x, y, z), and O(1og N ) steps in computing zo. It should be noted that the method finds solutions for a whole range of values of k simultaneously. The purpose of this note is to give an algorithm which takes instead Ok(N log N ) steps, but works for an individual value of k only. The algorithm

72 D.R. HEATH-BROWN SEARCHING FOR SOLUTIONS OF x2 + y3 + z3 = k 73 has been implemented on a computer, and the results will be presented elsewhere (Heath-Brown, Lioen and te Riele, to appear). The algorithm uses elementary facts about pure cubic fields. AU the necessq algebraic pre-requisites may be found in LeVeque 12 ; Chapters 2& 31. To describe the procedure we shali content ourselves with an examination of the case k = 3. In general there wili be rninor complications when Q(fi) has class number greater than 1, although the underlying strategy is identical. We begin with two elementary observations. Firstly. since We now need to know that b2 - ac and a are coprime. To prove this we write 6 = (b2 - ac, a), and we begin by showing that (6, a) = 1. This we do by contradiction. For if w were a prime factor of both 6 and a, we would have wlb2 - ac, and hence wlb. Moreover wla and aln, whence (w, 8) = 1, since (n, 3) = 1. Thus wla, b and wla yield T I C. It would follow that (a, b, c) # 1. This. howwer, is impossible, since a, which divides z - 8, can have no rational integer factor greater than 1. It foiiows that (6, a) = 1 as required. We now write 6' = (a2 + ab8 + b202, b2 - ac, n) and d = (a3-3b3, b2 - ac, n). x3 + y3 + z3 = 3 (mod 9), we have x = y = z = 1 (mod3). Secondly, if x, y, z are ali of the same sign, then x = y = z = 1. Otherwise we may suppose that x and y, say, have the same sign, and z the opposite sign. Then one easfly finds that lx + Y I > 14 1 1. The basic idea of the method is to write x + y = n and solve (1) z3 E 3 (modn), with z in the range 1 5 lzl 5 In1 and of opposite sign to n. To investigate the congruence (1) we shd work in Q(B). The ring of integers here has unique as a fundamental unit. Since factorization, and has E = û2-2 (where 8 = a) n = x + y = 2 (mod3), we have (n, 3) = 1. It follows that the ideal [n] is a product AB where A = [n, z - 81, and B = [n, z2 + 28 + d2] are coprime. Moreover N(A) = Inl, and N (B) = n2. If A = [a] with a chosen suitably, we have n = N(a) and z = 6' (moda). Let a = a + b8 + c02. Then so that so that 6'laa. Since alz - 0 and dj(a - b8)6', we deduce that 2 dl(a - bb)a(z - 8) = a z - (abz + a2)6 + abq2. It foliows that d la2 z, d la bz + a2 and dla b, whence d la2. However we also have 6 1 6', by (3). and &'Id. Thus 61a2 and, finally, 6 = 1, since (6, a) = 1. We can now return to (2) and write where z = (3c2 - ab)(b2 - ac) (moda), (b2 - ac)(b2 - ac) = 1 (moda). Since aiz - 8 we may take (b2 - ac) to be a rational integer. Now if cu divides a rational integer k say, then al(n, k). Since a = ( z - 8, n) this entails nlk. It therefore follows that where z (3c2 - ab)(b2 - ac) (rnod n), (b2 - ac)(b2 - ac) = 1 (modn). To control the size of a, b and c we merely replace a by an associate of the appropriate sign, satisfying (2) (b2 - ac)z e 3c2 - ab (moda).

74 D.R. HEATH-BROWN SEARCHING FOR SOLUTIONS OF rz + y3 + z3 = k 4. Find and we have and it foiiows that a' = a + MW + c ~ ~ w art ~ = a, + Mu2 + c02w 3c02 = a +war + u2a", If D fs not a non-negauve integer ignore the triple (a, b, c). Otherwise compute d = a. 5. Finally. if d is an integer, one obtains a solution n+d n-d (x,y,z) = (- -,z). 2 ' 2 Of course this process could produce the same solution several times, since the constraints on a, b and c do not prevent more than one associate of a from occuring. It is clear that the algorithm examines o((n'/~)~) triples (a, b, c), and since the Euclidean algorithm takes O(1og N ) steps, the overail running time will be O(N log N). It may also be remarked that the method shows that the number of solutions in the given range is O(N) - a fact not perhaps obvious at first glance. We can now describe the algorithm in practice. Given x and y, and hence n, it is not easy to And a, b and c. However there is no dimculty in scanning al1 possible values of a, b, c and computing the corresponding values of n. So to search for solutions of x3 + y3 + t3 = 3 with lx l, I y l,iz 1 < N, we rnay proceed as follows. Manuscrit reçu le 13 septembre 1990 1. Let a, b, c run over integers satisfying We can restrict a by a = 2 (mod 3), since n = 2 (mod 3), and n = N(a) = a3 + 3b3 + 9c3-9abc. 2. Write n = a3 + 3b3 + 9c3 - gabc, w = b2 - ac and v = 3c2 - ab. Use the Euclidean algorithm to find u> (mod n). If n and w are not coprime ignore the triple (a, b, c). 3. Find z f vïz (modn) with z in the range 1 5 lzl < In1 and having the opposite sign to n.

D.R. HEATH-BROWN Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 Il] V.L. GARDINER. RB. W u s and P.R. STEIN. - Solutions of the Diophanme equation x3 + Y3 = z3 - d, Math. Comp. 18. (19641, 408-413. 121 W.J. LEVEQUE. - Topics in number theory, Vol II. Addison-Wesley. 1958. D.R. HEATH-BROWN Magdalen College OXFORD 0x1 4AU GRANDE BRETAGNE R~UME Une généraiisation d'un théorème de Terjanian Yves HELLEGOUARCH Le premier cas du dernier théorème de Fermat pour les exposants pairs a été prouvé par C. Te rjanian en 1977. Nous donnons une généralisation de cette propriété aux corps de nombres de degré impair qui ont un nombre impair de classes d'idéaux. 1. Introduction et mise en perspective 1.1. Observation Soient un entier naturel r 2 1 et un corps commutatif K, on appellera "ensemble des points triviaux" de l'espace projectif P,(K) l'ensemble T,(K) des points qui admettent un système de coordonnées homogènes dans p(k) U {O), p(k) désignant ici le sous-groupe de torsion du groupe multiplicatif Ii*. Pour tout entier n 2 1, nous désignerons par cp, le morphisme de P, --+ Pr qui associe à un point P de coordonnées homogènes (Xo, XI,..., X,) le point Pn de coordonnées homogènes (Xô, Xî,..., X:). Dire que P E T,(K) revient donc à dire qu'il existe un entier n > 1 tel que cpn(p) admette un système de coordonnées homogènes dans {O, 1). Dans toute la suite la lettre I< désignera un corps de nombres algébriques donné. On sait que l'on peut définir une hauteur sur P,(K) par la formule : l où ( XO, xi,..., x,) désigne un système de coordonnées homogènes de P dans K,

78 Y. HELLEGOUARCH Il est alors facile de voir que : Exemples : 1) Si r = 2, K = Q et si C est la droite : et, puisque qu'un nombre algébrique x E K dont toutes les valeurs absolues lxlv sont 5 1 est dans p(k) U {O), on voit que : on se trouve devant le "dernier théorème de Fermat asymptotique". 2) Si r = 2, K = Q et si C est la conique : En particulier P E Tl(K) équivaut à hl(p) = 1. PROPOSKION 1. - Soit un corps de nombres K. Pour tout entier r > 1 et pour toute partiefinie F et P,(K) il existe une constante C(F, K) telle que n > C(F, K) entraîne : cpn1(~) ri Pr(K) C T,(K). Preuve : i) On sait qu'il existe une constante Cl(K) > 1, ne dépendant que du degré absolu de K. telle que P E Pl (K) et hl(p) < Cl(K) entraînent P E Ti(K). ii) Il en résulte que P E P,(K) et hr(p) < C1(K) entraînent P E Tr(K). En effet si P admet, par exemple, le système de coordonnées homogènes (l,xl,...,x.) on a hl(pi) < Cl(K) pour P, := (l,x,) E Pl(K) et pour tout i. Donc P E TT(K). iii) Soit s := sup{h,(p); P E F) et log S C(F, K) := log Cl(K) la relation (1) entraîne dors que n > C(F, K), ce qui entraîne c p;'(~) C Tr(K). Il 1.2. ConsCquences Soit C une courbe de genre g 2 2 de P,(K). Le théorème de Faltings ([21) et la proposition 1 entraînent que la courbe q~;l(c) ne contient que des points tri% dans P,(K) dès que n est assez grand. Mais lorsque C est de genre g < 2 la question reste ouverte. on se trouve devant le théorème de Fermat pour les exposants pairs. Terjanian 131 a démontré que si p est premier impair et si : avec (a, b, c) E Z, b $ O mod 2, alors p divise c. 1.3. EnoncCs Les énoncés qui suivent se rattachent au théorème de Terjanian qu'ils généralisent de plusieurs manières (au point de sortir même du cadre strictement pro- jectif). Le théorème 1 généralise la partie "difficile" du théorème de Terjanian. THI~ORÈME 1. - Soient K un corps de nombre de degré impair et OK son ordre maximal. Soient a et b dans OK. Si : 1) a et b sont étrangers entre eux 2) a et b sont étrangers d 2 3) a2 E b2 mod40k 4) m est un entier impair 2 1 non carré. Zm-bZrn Alors l'idéal de K engendré par - n'est pas un carré. Le théorème 1 permet d'obtenir deux autres résultats, très proches l'un de l'autre, mais dont le second seul possède une nature projective.

Y. HELLEGOUARCH THEOREME 2. - Soit K un corps de nombres de degré impair et ayant un nombre impair de classes d'idéaux et soit OK son ordre maximal Alors l'équation : a2p - b2p = &4YC2 avec (a, 6, c) E Oh-, a OU b impair, E E 0% et y entier > 1, entraîne quep et c ne Sont pas étrangers dès que l'entier perrnier impair p est supérieur à une certaine constante C(K). THÉORÈME 3. - Dans les mêmes conditions, l'équation : impair ([4] p. 90). d'autre part tous les idéaux de K deviennent principaux dans H. Supposons donc que nous ayons la relation : avec (a, b, c) E O:< et désignons par d un p.g.c.d. de a et b dans H : b c d d dt Posons a' = 2, b' = -, c' = -, alors nous avons : avec (a, b, c) E Oh.. E E (3% et y entier 2 1 entraîne que p et c ne sont pas étrangers dès que l'entier premier impair p est supérieur à une certaine constante C(I{, 7). Remarques : 1) Les conditions p > C(K) (resp. p > C(K, -y)) signifient que l'on veut que p ne divise pas Nq - 1 et (resp.) que p > y ordq(2) pour tous les diviseurs premiers q de 2 dans le corps de Hilbert de K. En particulier les conclusions des théorèmes 2 et 3 sont valables, uni- formtment par rapport à K. lorsque p est assez grand et que le degré et le nombre de classes de I< sont bornés. 2) La conclusion que l'on souhaiterait obtenir est naturellement que c = O (pour d'autres constantes) ce qui entraînerait bien que (a, b, c) E T2(I<), mais ceci est une autre histoire.. 3) Bien que le théorème 3 entraîne immédiatement "le premier cas de Fermat pour les exposants pairs" lorsque K = Q, E = 1 et y = p, on ne plus en dire autant dans le cas d'un corps de nombres général. 2. Dtmonstration des thtorèmes 2 et 3 Notre méthode de démonstration consiste à appliquer le théorème 1 au corps de classes de Hilbert H de K : puisque le nombre des classes d'idéaux de I< est impair et que le degré de h' lui-même est impair, on voit que le degré de H est avec (a', b') E O&, premiers entre eux, et c' E H. Il est clair que ZYc' E OH et que ce qui empêche c' d'être entier est la présence éventuelle, au dénominateur, d'idéaux premiers q au-dessus de 2 dans H. Ceci ne peut pas se produire si a ou b est étranger à 2 (cas du théorème 2). Mais si c est une puissance Prne (théorème 3) on déduit de (2) que : où v désigne la valuation q-adique. Donc si p > yv(2) on voit que v(c) 1 O puisque av(c) est entier (dans Z). On a donc (a', b', c') E O& (pour p assez grand dans le cas du théorème 3) avec a' et b' étrangers entre eux et donc étrangers à 2 (puisque y 2 1). Il reste à voir (pour pouvoir appiiquer le théorème 1) que al2 E bl2 mod 4 0 ~ pour p assez grand. Puisque b' est étranger à 2, on sait que b' OH/~OH. On déduit donc de (2) que : al2 P ( ) 1 rnod lun. est inversible dans l'anneau 12 Il en résulte que est une unité de l'anneau OH/~OH. donc que si p ne divise pas l'ordre du groupe fini (OH/40H)* on a :

Y. HELLEGOUARCH d'où al2 = bt2 mod 40H. On est donc en état d'appliquer le théorème 1 et on en déduit que : k symbole (5) possède une propriété de symétrie qui skxprime dans la loi de réciprocité suivante ([41 p. 111) : ar2p-b'2p n'est pas le carré d'un idéal de OH. Il en résulte que al2 - bi2 et - ne peuvent pas être étrangers (puisque le produit des deux idéaux qu'ils engendrent est un carré). Soit q un diviseur premier commun à ces deux nombres dans H, et, comme a' et b' sont étrangers l'un à l'autre, q divise p. On voit ainsi qu'il existe un idéal premier q au-dessus de p dans H qui divise C' (on utilise la relation (2) et on remarque que q ne peut diviser 2 puisque p est impair). Donc p et c ne sont pas étrangers. 3. Retour sur la loi de rcciprocitt quadratique 3.1. EnoncC Soit K un corps de nombres quelconque et soit OK son ordre maximal. Pour a et p E OK, étrangers à 2 et premiers entre eux, on pose ([4] p. 11 1) : avec : où (y) est le symbole de Hilbert de a et @ en p. c'est-à-dire Remarques : 1 si ax2 + @Y2 représente 1 sur KP -1 sinon. 1) Il est clair que si ploo et si p est complexe le symbole de Hilbert de a et @ est automatiquement 1 : seules les places réelles interviennent dans le second membre de (3). 2) De même si a ou p est primaire, c'est-à-dire congru à un carré modulo 4, les places p qui divisent 2 n'interviennent pas dans le second membre de (3). 3) Il est dangereux de supprimer l'indice K sans précautions. Cela se voit par exemple lorsque l'on choisit a et @ dans Q et K totalement imaginaire : si a ou p est primaire le second membre de (3) vaut toujours 1 alors qu'il n'en est pas de même dans Q. 3.2. Cas particulier Nous dirons qu'un nombre algébrique a E totalement positif ou négatif. possède un signe si a est Si a» O nous écrirons s(a) = 1, si a «O nous écrirons s(a) = -1 (ainsi s(a)a(a) > O pour tout plongement a de Q(a) dans ê). Rappelons encore que a E OK est dit primaire dans K si : i) a est étranger à 2. ii) a est congru modulo 40K au carré d'un nombre de K. Exemple : Lorsque K = Q. (f ) est le symbole de Legendre de a et q et ($) est le symbole de Jacobi de a et P. 0 Supposons maintenant que a et @ suivantes : i) a et p sont étrangers a 2. ii) a et p ont un signe. E OK vérifient les quatre conditions

Y. HELLEGOUARCH iii) a et,b' sont premiers entre eux. iv) o OU,b' est primaire dans K. Alors la loi de réciprocité (3) s'écrit : La condition 2) permet d'intervertir m et n, on peut donc supposer que P = lml- Divisons m par In/ (qui est donc < v) : où r désigne le nombre de places réelles de K. Remarquons pour finir que si le degré de K est impair, r est nécessairement impair et on a : Si r E P, on a (n, r) $ A et, d'après l'hypothèse de récurrence : Exemple : lorsque K = Q, on retrouve la loi de réciprocité quadratique pour les nombres impairs congrus à 1 modulo 4. Donc : 3) f (m, n) = f (Y, n) = Si r $ P. alors -r E P et on a encore : 3.3. Caractérisation du symbole de Jacobi Soient o et,6' primaires dans Z et premiers entre eux. on dit que ($) est le symbole de Jacobi de o et P. Soit P le monoïde multiplicatif des entiers primaires de Z et soit A la partie de P x P formée par les couples (m, n) tels que m et n ne soient pas premiers entre eux. LEMME 1. - Soit f : P x P \A + (1,-1) une application véniant les quatre conditions : 1) f (1,l) = 1, a n - 1 2) f (n, m) = (-l)+' 2 f (m, n), 3) f(m1,n) = f(mz,n) siml = mz modn, 4) f (mi, s n -1 n) = (-1)+ f (m2, n) si ml + mz = O mod n. Alors f (m, n) est le symbole de Jacobi. Preuve : la démonstration est entièrement élémentaire et se fait par récurrence sur p = inf(lm1, Inl). i) Si p = 1, cela résulte de la condition 1). ii) Supposons que p = v et que le lemme soit démontré pour p < v. Exemple d'application Si (m, n) E P x P \ A et si K est un corps de nombres de degré impair, on a : 4. Un peu de calcul différentiel Nous allons introduire des a-dérivations (voir 151 p. 11) dans un anneau "générique" A que nous spécialiserons de diverse manières pour obtenir des lemmes utiles dans la démonstration du théorème 1. La méthode utilisée est une illustration de la technique de [9] en théorie des nombres. mais les lemmes suivants peuvent aussi se démontrer par un calcul direct.

86 Y. HELLEGOUARCH 4.1. Nous désignerons par A l'anneau des polynômes Z [X, Xi, X2,...] et par F son corps des fractions. On munit A de l'endomorphisme a défini par : LEMME 3. - Soient m et n E N de p.g.c.d. kgal à d. Alors si X et sont -- premiers entre eux dans Z, (xd)' est un p.g.c.d. de ml et de (X")' dans Z. Preuve : i) Si m = nq + r, on a : et, d'après le lemme 2 : (X")' = (X' O Xn)'Xr" + xnq(xr)' Alors il est clair que P H PL est une a-dérivation et l'on a, pour P et Q E Z[X] : - avec a := X. ii) L'application (dans N) de l'algorithme d'euclide à m et n donne : Remarques : 1) On écrira parfois P1 à la place de PX lorsqu'il n'y aura pas lieu de préciser la "fluente". 2) Il est essentiel de remarquer ici que : (P E Z[X]) ==+ (PX E A). 4.2. On désignera par A + 2 c Z une spéciaiisation de A dans l'anneau des entiers algébriques et on posera : - Xv2 = C, etc. avec el E N et (ul, V I) E z2. De même on obtient : avec b := X". iii) Comme a et b sont premiers entre eux dans 7, on obtient donc : avec u et v E 7. Remarque : en fait u et v E 7 fi Q(a, b). LEMME 2. - Si P et Q sont dans Z [XI, on a : Preuve : par linéarité il suffit de vérifier le résultat pour P = Xn. Orona: Preuve : cela résulte de la deuxième formule de (5) avec Y = X. O qui est une somme de carrés.

88 Y. HELLEGOUARCH LEMME 5. - Soient n primaire dans Z et P(X) := x21"1. Si a2 = b2 mod4, alors s(n) PX, est primaire dans Q(a, b). Preuve : posons K : = Q(a, b). En spécialisant A dans O K / ~ On ~ obtient K 5. Démonstration du théor%me 1 Pour tout n E P on pose : - [n] = s(n)pi2, avec P(X) = x21nl et les notations du paragraphe 4.2, à savoir : X = a, = b. La méthode de démonstration consiste à appliquer le lemme 1 à la fonction : et comme s(n)ln( = n = 1 mod4uk, on obtient le résultat. LEMME 6. - Soient ml et m2 E N. i) Si ml = nq + mz avec n et q E N et si ii) Siml+m2 =nqauecn etq N,ona: Preuve : cela résulte des conséquences des formules (5) que voici : cas i) : Cas il) : puis de la spécialisation habituelle. Pxz = (Xq O Q)h2Ru + xznq~x2 = xznq R&~ rnod Qh2. PxzRD + PRX2 = (Xq 0 Q)Xz = O modqx2, n i) D'après les hypothèses 2) et 3) du théorème 1 et le lemme 5 on voit que [ml et [n] sont primaires dans K. D'après l'hypothèse 1) du théorème 1 et le lemme 3 on voit que si m et n sont premiers entre eux, [ml et [n] le sont aussi. Il en résulte que f est bien définie sur P x P \ A. La condition 1) du lemme 1 est évidente. Pour démontrer la condition 2) nous allons appliquer la loi de réciprocité (4). Il suffit alors de remarquer que [ml et [n] possèdent les signes (respeciffs) s(m) et s(n) (lemme 4) pour obtenir le résultat. Finalement nous allons démontrer simultanément les conditions 3) et 4) du lemme 1. Si ml et m2 sont de même signe, ces conditions proviennent du lemme 6 et du fait que : (& = ( -1)W. Si ml et nz2 sont de signes opposés alors la partie i) du lemme 6 entraîne 4) et la partie ii) du lemme 6 entraîne 3). En conclusion nous pouvons appliquer le lemme 1 et nous obtenons : ii) On termine ensuite comme dans Terjanian [3]. Si m > 1 est impair et non carré, alors m* := (-l)*m 6 P et n'est pas carré. Il existe donc (théorème de Dirichlet) un entier premier primaire 4! E Z tel que :

90 Y. HELLEGOUARCH d'où : D'après (6) on a : donc l'idéal engendré par [m*] = f [ml ne peut pas être un carré (voir paragraphe 3.1). O Remarques diverses Paragraphe 1.1. a) Soit U l'ouvert de Pr défini par la condition Xo... X, # O. on peut considérer que U est la variété sous-jacente au groupe (6,)' en posant : (Xo,..., X,). (Yo,..., Y,) = (XoYo,..., XTY'). Dans la terminologie de Weil on a une loi de groupe birationnel sur Pr et la notation Pn, du paragraphe 1.l, est donc légitime. Soit C une courbe irréductible de Pr qui rencontre U, alors p;l(c) est irréductible si et seulement si C fi U n'est pas contenue dans un translaté d'un sous-groupe de GL. b) Si l'on normalise (de manière non classique) les valeurs absolues de M(K) en prenant la racine [K : Q]'"~ des valeurs absolues normalisées classiques (qui correspondent au module de la multiplication pour la mesure de Haar locale) on obtient des valeurs absolues sur Q et le logarithme de h,(pq-l) devient un écart invariant e sur G;(q) ; i.e. on a : 1) e(p, Q) 2 O et e(p, P) = 0, 2) e(p, Q) = e(q, 3) e(p, R) I e(p, Q) + e(q, RI9 4) e(pr, QR) = e(p, QI. De plus il induit une distance invariante sur le quotient de GL(~) pour laquelle l'application d(p) I-+ d(p-') est une isométrie. En particulier log hl(sy-') est un écart invariant sur q* qui induit une distance invariante sur Q*lp(Q). par c) Le résultat sur y, a été annoncé dans 161 et démontré (différemment) dans ma thése [7]. J'ai repris ici une démonstration que j'avais donnée lors des Journées de Théorie Analytique et Elémentaire des Nombres de 1980, à Caen. Le cas où le corps K est un corps de fonctions algébriques a été abordé dans 181 et amplement généralisé (dans le cadre de la conjecture a, b, c, etc.) par Mason IlOl. Paragraphe 1.2. Lorsque C est une courbe irréductible de Pr qui rencontre U, alors y;'(~) est irréductible si et seulmeent si C n U n'est pas égal à un translaté d'un sousgroupe de 6% (c'est-à-dire n'est pas du type x~+~ + y ~4Zb = 0). Paragraphe 3.3. On peut faire disparaitre la loi de réciprocité de l'énoncé du lemme 1 et obtenir une caractérisation assez curieuse du symbole de Jacobi : LEMME 1'. - Soit f : P x P \ A + (1,-1) une application uériit les cinq conditions : 1) f(l 1) = 1 2) f(m1,n) = f(m2,n) siml ~ m modn 2 8 n -1 3) f(mi,n)=(-l)+f(mz,n) siml$m2~omodn 4) f (m, ni) = (-1)- *(n1';'(n21 f (m, n2) si nl = n2 mod m );*(nd+l] 5) f (m, ni) = (-1) f (m, n2) si nl + n2 E O mod m. Alors f (m, n) est le symbole de Jacobi restreint à P x P \ A. En particulier les conditions l), 2), 3), 4) et 5) entraînent la loi de réciprocité quadratique pour la fonction f... Remarques diverses Je tiens à remercier le referee pour ses précieuses critiques. Manuscrit reçu le 13 septembre 1990

Y. HELLEGOUARCH Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 BIBLIOGRAPHIE [II S. LANG. - Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer, 1983. 121 L. SZPIRO. - La Conjecture de Mordell, Séminaire Bourbaki, exposé 619, 1983/84. [3] G. TERJANIAN. -Sur l'équation x2~+y2p = z2p, C.R. Acad. Sci. Paris 285, (1977). 973-975. [4] J. NEUKIRCH. - Class Field Theory, Springer, 1980. 151 P.M. COHN. - Skew Field Constructions, Cambridge U.P., 1977. [6] Y. HELLEGOUARCH. - Sur l'équation diophantienne xy +xc = qax~h. C.R. Acad. Sci. Paris 273, (1971). 1194-1196. 171 Y. HELLEGOUARCH. - Courbes elliptiques et équation de Fermat, Thèse, Besançon, 1972. [BI Y. HELLEGOUARCH. - Sur l'équattion diophantienne x: +xc = CX;~, C.R. Acad. Sci. Paris 274, (1972). 1385-1387. [9] Y. HELLEGOUARCH. - Calcul Différentiel Galoisien, Prépublication, no 42, Caen, 1989. 1101 R.C. MASON. - Diophantine Equations over Function Fields, L.M.S. lecture Note Series 96, Cambridge, 1984. h h h h Yves HELLEGOUARCH Département de Mathématiques Université de Caen 14032 CAEN CEDEX 1. Introduction Integer points in a domain with smooth boundary M.N. HUXLEY In the earlier paper [BI we discussed the method of estimating the area A of a domain R in the Euclidean plane by counting squares. A piece of transparent squared paper (with M squares per unit length, say) is placed over the dornain. One counts either QI : the number of squares whose centre lies within R or on its boundary C, or Q2 : the number of vertices of the square lattice which lie within R or on C, or Q3 : the number of squares which lie wholly within 0 plus half the number of squares cut by C. On average (taken over positions of the square paper with respect to the curve) Q1 and Q2 are equal to AM2, whilst if the boundary C is convex, then Q3 exceeds AM2 on average by four half squares. If C is sufficiently smooth, then the root mean square error is 0(M1I2) 113, 51. We showed in [BI that if C is smooth, then the number of squares counted (either QI, Q2 or Q3) is The order of magnitude is up to a constant factor which depends only on C, not on its orientation. The smoothness condition is that C should be composed of pieces Ci for which the radius of curvature exists and is non zero and continuously differentiable.

94 M.N. HUXLEY In the related paper 191 we considered the rounding error problem, which corresponds to finding the area under a curve by counting rectangles which are longer in the X-direction than in the y-direction. The method consists of seven steps. The first step converts the problem to that of estimating exponenüai sums, and the next six provide the bound for exponential sums. Step O. Preparation. The curve is divided into regions on which the direction of the tangent changes by at most ~ /6. In each region Ci we rotate coordinates so that neither the X-axis nor the y-axis lies in the direction of a tangent to Ci. The discrepancy between the number of lattice points and the area is expressed using the Fourier series for the rounding error function p(t) = [t] - t + 112; this is equivalent to Poisson summation in the y-direction. Step 1. Subdivision. The curve is divided into short arcs, which can be approximated by a quadratic polynomial 'spline" in x with rational middle coefficient a/q. Step 2. Poisson Summation in the direction of the tangent. This gives short sums if the denominator q is small (major arcs), long sums if q is large (minor arcs). Step 3. Poisson Summation in the y-direction. This produces a double exponential sum for each minor arc. Step 4. The Large Sieve. The expression inside the exponential in the double exponential sum is approximately the inner product of two four dimensional vectors, one depending on the values of the two integer surnmands, the other contructed from the coefficients of the approximating polynomial, which depend on the minor arc. The large sieve gives a bound for such sums on average over the minor arcs. Step 5. Spacing Problem. Counting approximate coincidences between surns of pairs of vectors corresponding to integer summands. Step 6. Spacing Problem. Counting approximate coincidences between vec- tors corresponding to minor arcs. These give resonances between the short exponential sums on different arcs of the curve. INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 95 In this paper we make the dependence of the estimate on the shape of the curve more explicit. We imprave the estimate (1.1) to where I is an integral involving the intrinsic definition of the curve C in terrns of its arc length s as a function of the tangent angle 4, and M is sufficiently large. We can generalise to a curve defined piecewise by convex and concave arcs. The constant in (1.2) is absolute; the dependence on the shape of the curve is given by the integral I. The improvement in the exponent of the logarithm, which was 47/22 in 181, comes from an improvement in Fourier technique due to Müller and Nowak [ 151, a mollified truncation of the Fourier series for p(t). Müller and Nowak 1151 extended the result [8] to a piecewise smooth curve on which the radius of curvature has poles of finite order. Some arcs of the curve are almost straight, and they behave like straight line segments : the contribution to the discrepancy depends on whether there is a good rational approximation to the gradient. The sarne phenomenon occurs in the work of Branton and Sargos on integer points close to a "feeble curve" [3]. In the analogous problem of estimating a short exponential sum, discussed in 1101, the estimates fail to hold uniformly when the sum is so short that the second derivative of the exponent (corresponding to the gradient of the curve C) is effectively constant. The case of failure is when the second derivative has a good rational approximation. In this paper we divide C into pieces on which the radius of curvature p = ds/dg and its derivative dp/d$ are continuous and of constant order of magnitude. The lower bound for M avoids the case when the gradient is effectively constant on one of these pieces, and then the method fails if the gradient has a good rational approximation. We strengthen the conditions to make the radius of curvature of C nonzero, and twice continuously differentiable. The existence of the second derivative of the radius of curvature could probably be replaced by a Lipschitz condition on the first derivative. The unifonnity allows us to consider integrals over R. Let h(x, y) be a function with smooth contour lines, satiswg O 5 h(x, y) 5 H on R. For each real t let R(t) be the subset of R on which h(x, y) > t, and let C(t) be the boundary of

M.N. HUXLEY INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 97 R(t). By the Riesz interchange point of intersection of the line y = y(qi) with the tangent at Pi (which cannot be parallel to the y-axis). Sirnilarly choose Ti on the line y = y(qi+l) to lie on the arc Ci if possible, otherwise on the tangent at Pi+l (Figure 1). and we can connect the integral with the sum of the values of h(x, y) at integer points, with error involving the radius of curvature of C and of the curves C(t). A sharp estimate for the number of integer points in MO gives an upper bound for the number of integer points on or close to the boundary curve of Mn. The number of these integer points can be estimated directly; see 12, 3, 6, 7, 12, 161. Jarnik's curve [12] contains many integer points, so that the expression I must be large. When we expand Jarnik's curve by a factor M. the results of Bombieri and Pila 121 show that the number of points on the expanded curve is o(m~/~+') for any E > O. Such growth is consistent with (1.2). In section 2 we explain in more detail the method of rotating coordinates that was sketched in section 8 of 181, correcting rninor errors. In section 3 we give the explicit form of the result, and in section 4 we apply this to the ellipse and cardioid by way of example. Besides the Landau O-notation for orders of magnitude, we use x for the relation "of the same order of magnitude", and «for the relation "of lesser or equal order of magnitude". 2. Rotating Coordinates The boundary C of R consists of finitely many arcs Cl,..., Cj, each with a continuously differentiable nonzero radius of curvature. By inserting further points of subdivision if necessary, we suppose that the tangent angle S, changes by at most 7r/6 on each piece. We express the discrepancy as a sum of J rounding error surns. Let the endpoints of Ci be Pi and Pi+l. Since the curve is closed, we have PJ+~ = fi. For convenience we make a change of scaie and consider the lattice squares to be unit squares. For each i, let Qi be the centre of the lattice square containing Pi. We consider the arc Ci. There are two cases. Case 1. Al1 tangents to the arc Ci make an angle at least n/6 with the y-axis. Choose a point Si on the line y = y(qi) as follows. The arc Ci meets this line at most once. Let Si be the point of intersection if it exists. Otherwise let Si be the Figure 1 Case 2. Al1 tangents to the arc Ci make an angle at least 7r/6 with the y-axis. Choose S, and Ti sirnilarly on the lines x = x(q;), x = x(qi+1). In both cases the distances QiSi and Qi+lT, are at most (1 + &)/2. Let Ui be the intersection of the lines x = x(q;), y = Y(Q~+~). When we do this for each arc Ci, then the polygon Q1 Ul Q2U2... QjUj is a union of unit squares with centres at lattice points, so that the area of the polygon equais the number of lattice points inside (the polygon may intersect itself; in this case some unit squares are counted negatively). In case 1 we compare the number of lattice points and the area within the region A bounded by the arc SiTi and the lines QiUi, y = y(&i) and y = y(q,+l). Again, lattice points and area below the base line QiU, are counted negatively. In case 2 the region A is bounded by the arc SiTi and the lines UiQi+l, x = x(qi) and x = x(qi+l). Note that when we fit consecutive arcs Ci and Ci+l together, then Si+l is not the same point as Ti. A bounded region about Pi+1 and Qi+l is overlapped or omitted. This causes a bounded error in the discrep&cy for the whole curve C associated with each point of subdivision of the curve. To avoid bad orientations of the curve Ci (such as horizontal or vertical), we rotate coordinates by an angle B, with a rationai tangent a/q. The angle p must be chosen from some interval I of length S. We need an estimate for r = a2 + q2 in terrns of S. The argument at this point in 181, assertmg that r 5 4 cosec 6, is wrong.

98 M.N. HUXLEY We suppose that 6 5 ~/3. For some integer n and some choice of plus or minus sign, the interval J = 2n~/2 f I is a subinterval of [-~/3,~/3], and the angle y = 2n~/2f B has tan (y) = f a/q or f q/a. The rationai number tan (y) lies in an interval K of length at least 6. Let d = [l/6] + 1. For some integer c, the ratio c/d lies in K. and l I I INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 99 where r is the smaiiest positive angle between a Une of Al and a tangent to the arc. 2. Right angled triangles with two sides paraiiel to the Unes of A, bounding unit squares centred on the points of A. 3. Right angled triangles with two sides parallel to the Unes of Al, bounding squares equai to those of Al, centred on the points of Al. We take a/q to be f c/d or f d/c reduced to lowest terms, so that We have now isoiated a contribution from the i-th arc Ci of the curve. We drop the suffices on Qi (or Qi+l in case 2). Si, Ti and Ui, so that the region A under consideration is bounded by an arc ST and three straight lines QS, QU and UT (or in case 2, three straight lines SU, QU and QT). We rotate coordinates by the angle B. Let A be the integer lattice in the old coordinates. The points of A fa11 into r = a2 + q2 different classes, according to the residue of m + in mod q + ia in the Gaussian integers. Points of A in the same class form a square lattice with sides parallel to the new coordinate axes, length fi. If we superpose the lines of ail the r square lattices corresponding to the different residue classes mod q + ia, then they form the lines of a square lattice Al of side 1 /fi. We pick points Q' and Qk to be centres of squares of Al as close as possible to S and T respectively, and we repeat the previous construction using the directions of Al instead of the old x- and y-directions. We construct points S', Tt on the curve (or on the tangents at the endpoints), and Ut a centre of a lattice square for Al, so that Q'U' makes an angle p with the old x-axis and Ut Qk Tt makes an angle B with the old y-axis (Figure 2). We consider the discrepancy between the number of lattice points of A and the area on the set A' bounded by the arc S'Tt and the lines Q'S', S'Ut and U'T'. Discrepancy is additive on disjoint sets. The new region A' differs from A by the addition and subtraction of a bounded number of regions of three types. 1. Regions about S and T which can be covered by rectangles with one side of length at most 1/&, the other side of length at most (1 + c ot~)/fi, 1 Figure 2 We assume that the interval I containing the angle p has been chosen so that l I T 1 612. The two regions of type 1 contribute «(1 + l/s)/r to the discrepancy. The discrepancy for regions of type 2 is given by a sum of the form the limits of the sum do not affect the upper bound. The discrepancy for regions of type 3 is given by two sums of the form

100 M.N. HUXLEY INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 101 similarly, where b is some integer. As additive groups we have Al 2 A 2 ral, and ral is the lattice of ail multiples of q + ia in the Gaussian integers. The points of A form r cosets of the subiattice ral. We count lattice points in each coset separately. We take U'Q' and U'T' as the new x- and y-axes (so that the ongin is not a point of (e, q) the set Al), and rescaie linearly by a factor 1 14. The lattice points of Al are, where m and n run through the integers. The points of A are a subset of these, and each coset corresponds to a residue class mod q + ia with just one representative (u, v) in the unit square O < x < 1, O < y < 1, given by m = e, n = f, Say. The curve has an equation and we deduce that a(a + bq) z a2 + q2 O(modr), am + qn = -b(qm - an) (mod r). When we sum over the cosets of TAI, then e takes each vaiue mod r once only, and the number of lattice points in the region A' is in the new coordinates. Let QI be the point (O, X). The area of the region A' in these coordinates is X J g(x)dx; O the area in the originai coordinates is r times this integrai. We fix a particular coset with first iattice point (*, y), and we put The number of lattice points takes the form for some N. We note that when we sum over the residue classes, then f + 112 averages to 1-12. We now need the relationship between e and f. The coordinate change is an affine transformation where c and d are odd integers. Since (a, q) = 1. we have (a, r) = 1. Define b modulo r by a b ~ (modr). q l where The first term is the area of the region A' in the originai coordinates, and the second term is again a rounding error sum. 3. The Exponential Sum Theorem We use Theorem 4 of 181. The version stated below differs in two ways from that in [81. First, we include the case M» TI/'. In (81 we assumed that M 5 BT'/', wiîh B a constant depending on the curve C. This will not do here, as we want the dependence on C to be explicit. Secondly, we incorporate the improvement of Müiier and Nowak 1 151. THEOREM 1. - Let F(x) be a realjùnction with three continuous derivatives for 1 < x 5 2; let M and T be large; let C >. 1 be a constant. Suppose that either Case 1 or Case 2 hoidsfor 1 5 x 5 2. Case 1. The derivatives F"(z) and ~ (~)(x) are nonzero, and

M.N. HUXLEY INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY Case 2. The derivatives F1(x), F1'(x) and the expression This gives us an order of magnitude relation are nonzero, and Then for any M2 5 2M (3.5) cos x x 1 COS($ - p) COS($ - p - X)I. If necessary we subdivide the arc Ci into srnalier ar following conditions. itisfying the The irnpüed constant depends on C and on the bounds for the derivatives of the function F. After rotation of coordinates and rescaling, we have new coordinates X, Y in which the curve Ci satisfies 1. The angle $ changes by at most n/6 on Cij, 2. The angle X changes by at most n/12 on Cij, 3. The quantity log p changes by at most log 2 on Cij, 4. The quantity log cos changes by at most log 2 on Cii, There are two cases, depending on the angle A. Case 1. -23~1245 X 5 23~124 on Cij. The set of angles,b modulo 7r/2 on which $ - /3 and $ -,L?- X do not lie within ~ /48 of a multiple of 7r/2 has measure at least n/12 and forrns at most two intervals. We choose P to be an angle in the larger interval with rational tangent alq. By (2.1) with 6 = 7r/24 we have We take M = Mij to be an integer, T = Tij to be real, with where the angle X is defined by for some value po of p on the arc Cij, and mite the equation of Cij as We also have Now we want to choose M and T so that Then the appropriate derivatives of F(x) are bounded ; for example 3(a - 1) 3 sin x/12 - < IF(~)(x)~ 5 12 = 96(& + I ) ~. 8JZ 4 - sin6 7r/12 We also note that M2/T is bounded.

M.N. HUXLEY 1 INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 105 By construction cos on Cij with Case 2. For some S, on Cij we have O < cos X < sin~/24. lies in some range 27 < 2 sin ir/24 < sin ~ /6. Let 5 be the length of Cij. We show that S has order of magnitude at most 7. The change in log p on Cij is l! I = for some value ro of p on the arc Cij, and we mite the equation of the arc Cij as' Then the appropriate derivatives of F(x) are bounded ; for example -- 3 sinir/24 < -- 3 sin7 6OV5 ~/24 5 (3) 4.55 ~/24-4.55 7 5 IF (x)1 < sin 7 < 60(-) sin ir/24 By (2.1) we have Since r < 25/$. 7 «M ~/T =: qr «ilrl, we need both cases in Theorem 1. The relations (3.3) and (3.4) hold with explicit constants in the upper and lower bounds. The conditions (3.1) and (3.2) hold if ' 1 for some constant BI, and this is true if 2710g2 37 55-3 cos ir/6 < T, and the angle X runs through an interval of length at most Hence,$ - B - X runs through an interval of length at most 27 for each fixed B. We choose B so that (3.5) holds with l for some constant B2. This condition is inhomogeneous because we have in- serted the scaling factor M into p. Thus (3.6) implies that M is sufficiently large. When (3.6) holds, then Theorem 1 gives a discrepancy estirnate on the arc CL, of << vzl/zz 7/11 I PO (1% P ~ ) ~ ~ / ~ ~. By (3.6) this bound absorbs the error terms O(&), which are 0(1/7). For the whole arc C,, this term sums over j to give 77yzz 7/11 l PO (log p0)45122+ There is an interval of values of,5! with this property having length at least 7. We take M = Mi to be an integer and T = Tij to be real with

106 M.N. HUXLEY INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 107 where po is now some value on the arc Ci : the term in po is necessary because the integral could be identicaily zero. We have and hold piecewise on each curue Ci. The expression I cannot be compared with the area A, which is given by We can esümate the integral as where k(6) is the kernel function defined by At the start of section 2 we absorbed the scale factor M into the notation. The numbers Mij are proportional to M, and the numbers Tij are proportional to M2. THEOREM 2. - Let 52 be a Euclidean plane domain with area A, bounded by a simple closed cume C composed of pieces Ci which are four tirnes continuously dgerentiable in the following sense. Z'he radius of curuature p is continuous and nonzero on each piece Ci, and p is twice continuously dterentiable with respect to the tangent angle S. Let MR denote the set forrned by qanding R linearly by a factor M. Then for any embedding of MR in the Euclidean plane. the nurnber of integer points in MR is We can think of A as a functional on periodic functions p(6). but A is not a nom. If p(6) is ailowed to become negative, as for the four-cusped hypocycloid with x = -3coslC>-cos3$, y =3sin*-sin34, p= -6sin24, then the area A can be negative. Hence the area is not a positive definite functional, and the error term 1 cannot be bounded above by any power of the area. This can also be seen from certain proofs of the isoperimetric inequaliîy. The first sum in the expression 1 can be replaced by where by the methods of [101, provided that M satisfies a much more complicated set of "sufficiently large" conditions. provided that M is so large that 4. Examples First we consider the domain R bounded by the cardioid curve with polar coordinates T = 1-cos6,

108 M.N. HUXLEY INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 109 and intrinsic equation 4..s> 38 p=-sin-, $=-. 3 3 2 We have dp 4 S d2p - --sin- 4.. = --. P ds = 9C0S3) ds2 27 3 9 The condition (3.9) of Theorem 2 holds for that is, away from the cusp. The cusp itself can be divided into regions on which log p changes by at most log 2, together with a region containing the Up of the cusp, which corresponds to a bounded region of MR. The tip contributes a bounded arnount. For the other regions of the cusp we use the classical bound for the discrepancy : Some calculation now gives The radius of curvature varies from b2/a at the end of the major axis to a2/b at the end of the rninor axis. The conditions (3.8) and (3.9) hold when for some constant Bz. The expression I in (3.7) is dominated by the region around S, = 0, the end of the rninor axis, and we have to quote the form of the upper bound given in [5]. The integral in the expression for I in (3.7) is Thus the number of integer points in MR is Thus the number of integer points in MR is Manuscrit, reçu le 18 septembre 1990 Next we take R to be the interior of the ellipse parametrised by x = a cos 6, y= bsine, witha > b>o. Wehdthat Let b tan0 = -- cos 4. a v = Ja2 sin2 e + b2 cos2 0, w = \/W. -- ds ab dlc, w2 -O=- -=de w ' d0 ab' ds P=-=--- ds, a2b2 w3 '

M.N. HUXLEY INTEGER POINTS IN A DOMAIN WITH SMOOTH BOUNDARY 111 REFERENCES 111 E. BOMBIERI and H. IWANIEC. - On the order of ((112 + it), Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. (4) 13, (1986). 449-472. [2] E. BOMBIERI and J. PILA. - The number of Integral Points on Arcs and Ovals, Duke Math. J. 59, (19891, 337-357. 131 M. BRANTON and P. SARGOS. - Points entiers au voisinage d'une courbe plane à très faible courbure, to appear. 141 S.W. GRAHAM and G. KOLESNIK. - Van der Corput's Method for Exponential Sums, London Math. Soc. Lecture Notes, to appear. [5] M.N. HUXLEY. - The area within a curve, Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 97, (19871, 111-1 16. [6] M.N. HUXLEY. - The fractional parts of a smooth sequence, Mathematika 35, (1988). 292-296. [7] M.N. HUXLEY. - The integer points close to a curve. Mathematika 36, (19891, 198-215. (81 M.N. HUXLEY. - Exponential sums and lattice points, Proc. London Math. Soc. (3) 60, (1990). 471-502. 191 M.N. HUXLEY. - Ex~onentid sums and rounding error, J. London Math. SOC., to appear. Il01 M.N. HUXLEY. - A note on short exponential sums, to appear. i 111 H. IWANIEC and C.J. Mozzoc~i. - On the divisor and circle problems, J. Number Theory 29, (19881, 60-93. Il21 I.V. JARNIK. - über die Gitterpunkte auf konvexen Kurven, Math. Zeitschrift 24, (19261, 500-518. 1131 D.G. KENDALL. - On the number of lattice points inside a random oval, Quarterly J. Math. Oxford 19, (1948). 1-26. l 1141 E. KRATZEL. - Lattice Points, D.V.W., Berlin, 1988. 1 [151 W. MULLER and G. NOWAK. - Lat tice points in planar domains : applications of Huxley's "discrete Hardy-Littlewood method" in Number-Theoretic Analysis III, Springer Lecture Notes in Math., to appear. [16] H.P.F. SWINNERTON-DYER. - The number of latuce points on a convex curve, J. of Number Theory 6, (1974). 128-135. M.N. HUXLEY School of Mathematics University of Wales Coliege of Cardiff Senghenydd Road Cardiff CF2 4AG

Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 Estimates for coefficients of L-functions. III W. DUKE~* and H. IWANIEC~ 1. Introduction In this sequence of papers we investigate Dirichlet series having Euler products and compatible functional equations with the aim of es- timating the coefficients a,. It was shown in [2],[3] by different techniques that if the analytic continuation and the functional equations hold for sufficiently rnany characters then a suitable upper bound for a, is true which is considerably better than that resulting from the absolute convergence of the series. In this instaiiment we combine both techniques to give new results and improve on those of 131 when A(s, X) has an Euler product of degree 3. Let p be an odd prime. We assume that for every non-principal even character x (modp) the foilowing hold : (2) A(s, X) converges absolutely in %es > 1 and has analyüc continuation to an entire function in s-plane, (3) A(s, X) satisfies the functional equation with Icxl = 1 and

114 W. DUKE and H. IWANIEC ESTIMATES FOR COEFFICIENTS OF L-FUNCTIONS. III 115 where aj are positive numbers with Ca = a and pj are complex numbers with aj + 2Repj > O (aj, pj are independent of x and p), Our main interest is in Euler products of degree k = 2a = 3. In this case we have shown in [3] that 03 (10) x ann-2 converges abçolutely in Re s > 1 where + means that the summation ranges over non-principal, even characters. Rernarks : in many cases oi is haif an integer, a = 5 Say, and a, = r k(x)pg. where r(x) is the Gauss sum subject to the above conditions for al1 primitive characters. We shall use (10) to improve on (9) on average with respect to the moduli p. The sign a, of the functional equation does not play a role in [3] nor in the proof of the following. RIEOREM 2. - Suppose (2-4) and (10) holci with a = 312 for prime rnoduli p E P c [l, P] and that (10) is true. Suppose f satisfis (8). We then have In such case Sp(a) can be represented in terms of k-dimensional Moosterman sums. Recisely, we have fir any a > 0, the implied constant depending on a and A only. so (5) follows from the Deligne estirnate [ 11. We shall evaluate the mean-value of an over a short interval of an arithmetic progression to modulus p. Let f be a smooth function supported in [x, x + y] with 2 5 y 5 x such that COROLLARY 1. - Suppose (2-4) and (10) hoià with a = 312 for prime rnoduli of positive density. Moreover suppose that (10) holds and that Then for al1 n > 1 we have for all v 2 0, the implied constant depending on v only. Let (a,p) = 1. Put THEOREM 1. - Suppose (2-5) hold with a 2 112 and that f satisfis (8). For any a f O (modp) we have (9) Df (p; a) «X ~ ( ~ T ) ~ - ~ where T = xy-l and a is any positive numbei; the irnplied constant depending on a and the sequence A = (a,) only. If we apply (13) for the coefficients of the symmetric square zeta-function associated with a Maass cusp form for SL2(Z) as in 131 we conclude that (see cornrnents in [31 about the best known results). COROLLARY 2. - Suppose X(n) are eigenualues of the Hecke operators Tn ofa cusp forrn u(z) for the modular group. We then have

116 W. DUKE and H. IWANIEC ESTIMATES FOR COEFFICIENTS OF L-FUNCTIONS. III 117 2. An application of the functionai equations We have Hence + 9 if a= fl(modp) O otherwise. with any A > 0, the implied constant depending on a, E and A. Moreover by Stirling's formula we have Inserting (18) and (16) with v = 2aa into (14) we get where A~(x> = Tt anx(n)f (n). n The functional equation (3) yields (through contour integration) where M = X-'(~T)~~. Choosing a sufficiently large we conclude that where and f is the Meiiin integral, with any A > 0, the impiied constant depending on E and A. For v < x'm we shail evaluate g(v) asymptoticaiiy by the stationary phase method. First we move the integration to the iine a = 112, next we truncate the integral at the heights f xet controliing the enor term by means of (17) and (16) and change the order of integration giving Combining these relations we obtain with zct 0 1 (4 + it)w-ddt. I(w) = 27~ - z a ~ 0($ - it) By Stirling's formula [for s = a + it with t 2 11 3. Evaiuation of g By repeated partial integration v times we get where a = Res 2 $, the impiied constant depending on a and u. Choosing u sufficiently large we infer that we get 0(S - it) where y = no; J'la and the implied constant depends on ai, B,. Hence

118 W. DUKE and H. IWANIEC ESTIMATES FOR COEFFICIENTS OF L-FUNCTIONS. III 119 where h(t) = 2at log(ltp) - t log W. The saddle point to = $ -wk lies in the range of integration so we have (see 151) (22) I(W) = (ayp)-+~e Cse ( Gwk) + log XI. Inserting (22) to (20) we get Here C «M$+" by the assumption (10). Inserting these estimates into (26) we obtain (11). 6. Proof of Corollaries Let x < e < x + y and f(e) = 1. We have for v < xem. where 6 = 3 - &. 4. Proof of Theorem 1 BY (15). (19) and (23) we obtain Surnming over primes p in a set P c [l, Pl with pfe we get «P(PT~ + Pf T + (xy)f)xc + yxe by (11) and (12) provided x > y > x3i5. Suppose IPl x P(log P)-l. We get where (25) Lp(u) = cp amm-6~p(am)ep(v(m)) m<ze M with cp = 2(p - 1)-'(-iayp)-f x p-9 and v(m) = -2ay-'(um)k. By (2) and (5) we get trivially Lp(u) «X ~~-'M'-~ whence (9) foliows by (24). 5. Proof of Theorem 2 We may assume without loss of generaïity that P c (25) we obtain We choose P = T = x2i7, so y = x5i7 and ali four terms are equal giving ae «x3i7+ which proves (13). To prove Corollary 2 we apply Corollary 1 for the symmetric square zeta- function whose coefficients are defined by The hypothesis (12) follows from the asymptotic formula of Selberg (see 141) For n prime (13) yields X(n)' = X(n2) + 1 = an + 1 «n3i7+' whence X(n) «n3/14+'. This result extends to prime powers by a recursive formula and to ail composite numbers by the multiplicativity. with M = xe-lp3t3 and ~ (m) = -3y-1(um)' for some Cauchy's inequality and by Theorem 2 of [3] we get * u E [x, x + y]. By 12 Manuscrit reçu le 4 mars 1991 < P(M + P'T~ logx) C lam12m-4. m<m p. 113 : Research supported by NSF Grant N" DMS-8902992 * p. 113 : Research supported by the Sloan Foundation

W. DUKE and H. IWANIEC Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 REFERENCES [l] P. DELIGNE. - La conjecture de Weil 1, Publ. Math. I.H.E.S. 43, (1974). 273-307. [2] W. DUKE and H. IWANIEC. - Estimates for coefficients of L-functions. 1 in Automorphic Forms and Analytic Number Theos: CRM Publications, Montreal 1990, 43-47. 131 W. DUKE and H. IWANIEC. - Estirnates for coefficients of L-functions. II (to appear in the Proceedings of Amalfi Conference, 1989). 141 A. SELBERG. - On the estimation of Fourier coefficients of modular forrns, A. M.S. Proc. Symp. Pure Math. Vol. Vm, (1965). 1-15. [5] E.C. RTCHMARSH. - The theory of the Riemann Zeta-finction, Clarendon Press, Oxford, 1951. W. Duke and H. Iwaniec Department of Mathematics Hill Center for the Mathematical Sciences Rutgers University New Brunswick New Jersey 08903 U.S.A. I Principe de Hasse cohomologique Uwe JANNSEN Le principe de Hasse (ou principe local-global) qui nous intéresse ici a pour modèle le théorème de Brauer-Hasse-Noether disant que l'application est injective pour tout corps de nombres K. Ici, Br(F), pour un corps F, désigne le groupe de Brauer, classifiant les algèbres à division sur F (ou, encore, les algèbres centrales simples sur F), v parcourt l'ensemble des places de Ii, Ku est le complété de K en v, et l'application est induite par les restrictions. En combinant ce théorème avec l'injectivité - de I~'*/(I<*)~ I<;J(K;)~ v on déduit le théorème de Hasse-Minkowski, donnant un principe local-global pour les formes quadratiques sur Ii' (\La] Ch. 6.3). Comme corollaire on obtient le théorème de Lagrange-Hilbert-Siegel : toute somme de carrés dans Ii' est somme d'au plus 4 carrés. Dans le même esprit, Kato [Ka] a obtenu le résultat suivant : THÉORÈME 1 (Kato). - Si F est un corps de fonctions d'une variable sur un corps de nombres K, alors i'application induite par les restrictions est injective.

122 U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE 123 Ici, on a posé Q/Z(r) = iimclr7 comme d'habitude et p, désigne le module n galoisien des racines n-ièmes de l'unité dans une clôture algébrique I? de II (c'est Q/Z comme groupe abélien, avec action de Galois par x', puissance r- iéme du caractère cyclotomique). Ici encore, v parcourt l'ensemble des places de K. et K, est comme ci-dessus. Notons la description cohomologique du groupe de Brauer : p = Q/Z(l) étant le module de toutes les racines de l'unité dans K (p - induit un isomorphisme des H2, car r* est uniquement divisible et donc cohomologiquement trivial). Ainsi. on peut reformuler le théorème de Brauer- Hasse-Noether comme l'injectivité de D'autre part, pour F comme plus haut, l'application donner une autre preuve, avec une méthode qui fournit également le résultat suivant : THÉOR~ME 2. - Si F est un corps defonctions en deux variables sur un corps de nombres, alors l'application de restriction est injective. Comme Colliot-Thélène me l'a fait observer. on en déduit encore (en utilisant des résultats de Merkuriev, Suslln, Jacob, Rost) un principe de Hasse pour des formes de Pfister. maintenant à 16 variables, et de là, l'application suivante : COROLLAIRE. - Toute somme de carrés dans F est somme d'au plus 8 carrés. Dans ce qui suit, nous donnons d'abord une démonstration complète, aussi élémentaire que possible, de l'énoncé suivant [où la partie a) découle déjà des résultats de Kato ([Ka] Thm. 0.6)). THÉORRME 1'. - Soient I< un corps de nombres et X/K une courbe üsse, projective, géométriquement intègre, de corps de fonctions K (X) = F. a) On a une suite exacte n'est pas injective en général : si X est une courbe lisse projective sur K. de corps de fonctions F, et si X a un point K-rationnel. le noyau est isomorphe à UI(K, J(X)), groupe de Tate-Safarevit de la Jacobienne J(X) de X. Il n'y a pas (encore) d'interprétation de H3(F,Q/2(2)) analogue à ceile du H2(K, QlZ(1)) en termes du groupe de Brauer. Néanmoins Kato a déduit des applications similaires de son théorème : des principes de Hasse pour les normes réduites de certains corps de quaternions sur F et pour certaines formes quadratiques, à savoir les formes de Pfister en 8 variables. Comme Colliot- Thélène l'a observé, cela suffit pour démontrer que toute somme de carrés dans F est somme d'au plus 7 canés ([Ka], appendice). Pour démontrer le théorème 1, Kato utilise la théorie du corps de classes pour les corps "de dimension 2 2" et la K-théorie algébrique. Nous pouvons en où 1x1 désigne l'ensemble des points fermés de X et l'application C est donnée par la somme. b) Si r E Z, r # 2, alors on a un isomorphisme Nous terminerons en donnant une idée de la démonstration du théorème 2. Preuve du théorème 1' : pour tout ~al(p/f)-module discret de torsion M on a les suites spectrales de Hochschild-Serre E;'~ = H ~ K, E;" HY(FK, induites par le diagramme de corps M)) -4 HP+~F, M), = HP(K,, HY(FK; M)) ==+ Hp+q(FK,, M),

1 U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE identifiant Gal(FI(/F) à Gal(I(/K), G~~(FI(,/FK,) à G~~(I(~/I<,) et G~(F/FF) à G~~(FK,/FF,) respectivement, de sorte que H~(FX, M) E Hq(F~,, M). 11 est bien connu que la dimension cohomologique de FF est cd(fi() = 1 (FX étant le corps de fonctions de y, courbe sur le corps algébriquement clos F). Ainsi H~(FF, M) = O pour q > 1. Si I< est totalement imaginaire, alors cd(i<) = 2 > cd(k,) pour toute place v, et les suites spectrales donnent des isomorphismes l où les applications verticales proviennent des suites spectrales de Hochschild- Serre, les applications horizontales ont même noyau et conoyau. Preuve : puisque Hq(FI(, M) = O pour q # 0,1, il est bien connu que les suites spectrales donnent des suites exactes longues (où nous avons supprimé les coefficients M) Donc l'application restriction f : H (F, M) -+ n H (F Ku, M) s'identifie à l'ap- V plication g : H2(K, H1(FK, M)) 4 n H2(K,, H1(FF, M)). En particulier, f v prend ses valeurs dans la somme directe $C n, puisque c'est vrai pour g. v Pour K un corps de nombres quelconque, on a néanmoins le résultat suivant : I I (cf. [CE1 XV 5.11), jointes par les applications restriction comme indiqué. Le diagramme est commutatif par naturalité. Puisque HP(K,, N ) = O pour v non archimédien et p 2 3, pour tout module (discret) de torsion N, il s'ensuit que l'application f, tout comme g, prend ses valeurs dans la somme directe. Pour tout module de torsion N, on a des isomorphismes LEMME 1. - L'image de f est contenue dans $ H3(FK,, M), et dans le V diagramme cornutatg pour p 1 3 ([Mi 21 14.10). et la flèche

126 U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE 127 est surjective pour p = 1,2 [loc. cit. 1 4.16 pour p = 2, et loc. cit. 1 9.8(b) ou [Neul (6.4) pour p = 1). Par conséquent, Im 89 = Im a et Im d'g' = Im d', et l'assertion du lemme en découle par une chasse au diagramme. Dans tous les cas, pour le théorème 1' il suffit de calculer les noyau et conoyau de l'application restriction Remarque 2 : il est possible de déduire (3) purement en termes de cohomologie galoisienne, par la description bien connue de ~l(ü,q)~~ et TI(X,~~)~~ [ G ~ ~ désignant le quotient pro-abélien maximal d'un groupe pro-fini G). Par exemple, la théorie classique des jacobiennes généralisées ([Sel] V, VI 5 12) fournit un isomorphisme canonique [en particulier, ~ al(k/ K)-équivariant) Le problème est donc encore de prouver un principe local-global pour le corps de nombres K, mais avec, au iieu de Q/P(l), le module plus compliqué H'(F~, Q/Z(r)). Rappelons que F est le corps de fonctions de la courbe pro- jective lisse XII<. De là, où l'on a noté Jm la jacobienne généralisée associée au module m = C P pa\u * et T Jm = @ J, (l?) [n] le module de Tate [total) de Jm [notation : pour un n groupe [ou groupe algébrique) commutatif G nous écrivons G[n] pour le noyau de G 5 G). Rappelons (loc. cit.) qu'il y a une suite exacte où U parcourt l'ensemble des courbes ouvertes U contenues dans X, - U = U BK K. et H1(Ü, Q/Z(r)) = %H~,(Ü, pnr) est la cohomologie étale. n Remarque 1 : de façon plus élémentaire, HI (Ü, Q/Z(r)) = ~ om(~l(ü,q), Q/Z(r)), où xl(ü,q) est le groupe fondamental [algébrique) de Ü avec point base 7j = SpecF, c'est-à-dire ~l(ü,?j) = Gal(Fu/FI?), où Fu est l'extension maximale de F [dans non ramifiée en dehors de X \ U. En ces termes, (2) devient immédiat, compte-tenu de ce que ~al(f1f) = @Gal(Fu/F). U La suite exacte de cohomologie relative pour j : U L, X donne une suite exacte où ~(x) désigne le corps résiduel de x, ~nd:,) le module induit de K(Z) à Ii [c'est-à-dire de Gal(l?/n(z)) à Gal(Z/K)), et tr l'appiication "somme" ou "aug- mentation" évidente. En effet. on a H ~}(X, $/P(r)) = O et H&.}(X, Q/Z(r)) Y HO({T), Q/Z(T - 1)) par pureté, H ~(X, Q/P(r)) --t Q/Z(r - 1) via l'application m trace, et H2(Ü, Q/Z(r)) = 0, car U est affine [[Mil] V 5 2). La description de tr découle de la relation des isomorphismes de pureté et trace avec les classes de cycles. (FX)~ étant le complété de FE en y, et my son idéal de valuation. En particulier. on a une suite exacte où J = Jm=o = Jac(X) est la jacobienne de X. Tous les groupes dans (5) sont divisibles, par conséquent on obtient une suite exacte de modules de Tate = F p n et A est l'application "diagonale" évidente. Par passage n au Q/Z(r)-dual on en déduit la suite (3) - notons que ~om(z(l),q/z(r)) = Q/z(~ L TJ (ie cas où m = O). où f (1) = TT* - 1) et que T~(X,V)~* Posons C = noyau(tr) = conoyau(j*) dans (3). puis B = H'(Ü,Q/z(T)) et A = H I@, Q/P(r)), de sorte qu'on a une suite courte O -+ A + B -t c -+ 0. Nous nous intéressons à l'application dans le cas M = B [après quoi nous passerons à la limite sur tous les U). Nous procédons en six étapes : 1) PA est un isomorphisme pour tout r E P. Cela résulte du th. 3 d) de IJall, parce que A est divisible et que 1 # 2(r - 1).

H2(K, 128 U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE 129 Remarque 3 : rappelons l'argument de poids qui est à la base du théorème cité : par la dualité globale de Tate-Poitou, DA est un isomorphisme si et seulement si HO(K,T) = O = ker(h1(k,t) --t nh1(kv,t)) pour T = 2, Hom(A, p). Utilisant des idées de Serre [Se2], il n'est pas difficile de démontrer qu'il suffit pour cela que T soit pur de poids w # O dans la terminologie rappelée plus bas. Evidemment c'est le cas si et seulement si A est pur de poids w' (= -2 - w) # -2. Dans loc. cit. je renvoie à la preuve de la conjecture de Weil pour le fait que A = H ~(X, Q/Z(r)) est pur de poids 1-2r. Mais pour un H1 il suffit de citer le résultat classique de Weil (cf. [Wei] et [Mu]) sur "l'hypothèse de Riemann" pour les variétés abéliennes. Reformulé en termes de poids, il dit que TJ est pur de poids -1, de sorte que A = ~orn(?j, Q/Z(r)) est pur de poids 1-2r et T = Hom(A, p) 1? ~ (1- r) est pur de poids -3 + 2r (en notant comme d'habitude M(n) = M @ Z(l)@. le twist d'un z[~al(k/~()]-module M). 2) H2(K,, A) = O pour les places v non-archimédiennes, si r # 2. C'est prouvé dans [Jal] Corollaire 7. 3) Si r # 2, alors Bc est un isomorphisme et H~(I~',, C) = O pour vfco. Avec les arguments rappelés dans la remarque 3, la première assertion découle du fait que C est pur de poids 2-2r # -2 (car Q/Z(r - 1) a cette propriété). Si vfco, H2(Kv, C) est dual de H0(KV, T), pour T = Hom(C, p), par dualité locale. En passant à une extension finie de Ku, si nécessaire, on se ramène au fait que H'(K,, HO~(Q/Z(T - l),p)) = ~ '(~,,2(2 - r)) = O pour r # 2, car l'image du caractère cyclotomique x : Gal(KV/~,) --, 2* est ouverte. Voyons comment l), 2) et 3) impliquent la partie b) du théorème 1'. On a un diagramme exact commutatif Par 1). 2) et 3).,BA et,ûc sont des isomorphismes. Mais y~ est bijectif et (YM est surjectif pour tout module de torsion M (cf. la preuve du lemme 1). d'où le résultat par le lemme des cinq. 4) Si r = 2, on a une suite exacte - (7) O + H ~(I~', C) a$ H~(K,,C) --+ $ Q/Z 2 Q/Z O où C est la sommation. 7J ZEX\U Supposons r = 2. Alors par définition nous avons une suite exacte (8) O -+ c --+ $ 1nd5~)p --+p -+ o. z X\U Observons qu'il existe une suite exacte de tores sur Ii' (9) o--,t---+t~+t~~o telle que la suite 8) est obtenue en prenant les sous-groupes de torsion dans la suite exacte de groupes divisibles En effet, on peut trouver la suite (9) comme ceci : où ~ess,) 6, est la restriction à la Weil de ~ (x) à Ii' du groupe multiplicatif G,, sur ~(x), et.7r est la somme des applications normes Res,(,) 6, + 6,. Comme s(x) modulo torsion est uniquement divisible pour tout tore S sur I<, on a HP(II, C) HP(Ii', T ) pourp > 2, sirnilairement pour les Ku, de sorte que (11) induit un diagramme commutatif de suites exactes en cohomologie K 0 + Cû H2(Iiu,C) + $ $ BT(K(x),) 2 $ Br(Kv) -% $ H3(KV,C) zex\uw U v O -+ T 0" T 0' 1 Dtl T C) -+ $ BT(K(x)) + Br(K) + H3(K, C). ZEX\U

130 U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE Ici, w parcourt (pour chaque x) l'ensemble de places de ~ (x), et ~(x), est le complété de K (X) en W. On a des zéros à gauche par le théorème 90 de Hilbert (H1(K,Gm) = O = H l ( Kv76m))- Remarque 4 : rappelons que pour un tore S sur K on a par définition Hp(K, S) = HP(K, s(k)), et que ( ~es5,) G,)(K) = 1nd5,) K*. de sorte que (10) devient (sirnilairement pour les hrv). Pour éviter les tores, on pourrait obtenir le diagramme (12) en prenant directement la cohomologie de (8). Pour déduire les zéros à gauche, on note que l'application @ Hl (K(x), p) + H (If, p) est surjective (similairement pour z X\U les suites locales) : eile est induite par les corestrictions, et pour toute - extension finie L/K l'application corestriction H1 (L, p) + Hl (IC, p) est surjective. En effet, elie s'identifie à l'application norme NL, @ id : L* @ K* @ Q/Z par la théorie de Kummer, et le conoyau de NLIK : L* -) IC* est de torsion. I où l'application en bas est la corestriction. Comme par définition le morphisme X* dans (12) est induit par les corestrictions, on voit que la flèche.rra dans (14) peut être identifiée avec l'application de sommation d'où la description voulue du conoyau (&). Considérons le diagramme (12) : yc est bijectif, et on a Im d = Im db1' (mêmes arguments que dans la preuve du lemme l), de plus B' et Pr' sont injectifs d'après le théorème de Brauer-Hasse-Noether. Ceci fournit l'injectivité de pc et une suite exacte 5) Si S désigne l'ensernblemi des places de K où X a mauvaise réduction, alors H2(KU, A) = O pour v 4 S' = SU {vlm) : 1 C'est prouvé dans IJall 5 7 (la preuve du th. 5 dans loc. cit. vaut aussi pour e = 2). Rappelons d'autre part que le théorème de Brauer-Hasse-Noether dit encore qu'il y a une suite exacte (et des suites analogues pour les ~(x)), où la flèche Br(Kv) -, Q/Z est l'invariant de la théorie du corps de classes. De plus on a un triangle commutatif pour toute place w de ~ (x) au-dessus de v Remarque 5 : la preuve du résultat suivant est plus simple : si, pour un nombre premier e, A{!) désigne la composante I-primaire de A, alors H2 (If,, A{e)) = O pour v 6 S U {v lm) U {vlc) (cela résulte de la dualité locale : H2(Kv, A{[)) = Ho(ICv,TtJ(-l))*, et du théorème de Weil cité dans la remarque 3). Cette version affaiblie de 5) suffit, quand on traite les composantes t-primaires de B une à une - dans ce qui suit. Par 5) la suite O -+ A B --+ C --+ O induit un diagramme commutatif avec des lignes exactes

U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE 133 d'un produit de tores induits, le lemme en résulte (noter que N 8 Q/Z = O pour tout groupe de torsion N). 11 reste à prouver que at est surjectif. Mais la suite (11) induit un diagramme commutatif exact de cohomologie ou PA et YA sont des isomorphismes, ainsi que YB : H3(K, B) -$ H3(KV, B) v qui devrait figurer verticalement à droite du diagramme. Ceci joint à la surjec- tivité de ac, qu'on va prouver dans un moment, implique que noyau(pb) = iloyau(pc) et conoyau(p~) = conoyau(&). Par 4) nous obtenons une suite analogue à (7). avec B = H1(Ü, Q/Z(2)) à la place de C. Compte-tenu de (2). ceci prouve le théorème 1' a), par passage à la limite sur les U. Il reste donc à prouver : 6) a~ est surjectg La théorie de Kummer pour le tore T (c'est-à-dire le système des suites exactes O + C[n,] + T --% T + O) donne un diagramme commutatif exact où l'application K(x); + K,*, pour wlv, est la norme. Comme l'image de cette norme est ouverte d'indice fini dans If;, la surjectivité de CXT découle du théorème d'approximation faible pour K. Esquissons la preuve du théorème 2. Par des considérations similaires mais un peu plus compliquées on montre la généralisation suivante du lemme 1. LEMME 1'. - Soit F un corps de fonctions end variables sur le corps de nombres IC. Les noyaux (resp. conoyawc) des applications restiction et H2(11, H~(FI(, M)) +$ HZ(KV, Hd(FI(, M)) v LEMME 2. - Pour tout ensemblefini S' de places de K et tout tore T sur Ii, l'application de restictwn est surjective. Preuve : c'est clair pour T = Ci, (approximation faible) et donc pour tout "tore induit" R~S; 6, pour L/K une extension finie. Comme tout tore est quotient s'identtfint pour tout G@/F)-module spectrales de Hochschild-Serre. discret de torsion M, via les suites Comme précédemment on choisit une variété projective lisse X sur Ii de corps de fonctions K (X) = F. Pour d = 2, X est une surface. La considération de la limite (2) et de la suite de cohomologie relative (3) est remplacée par la suite spectrale de Bloch-Ogus [BO]

134 U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE 135 pour une sous-variété ouverte V c X convenable. Ici, W(r) est le faisceau (pour la topologie de Zariski sur V) associé au préfaisceau U I-NN-+ Si V est affine et d = 2, on a alors H;,,(v, Hq(Ü, Q/Z(r)). 'H2(r)) = H4(T Q/Z(r>> HSar(V, 'H2(r)) = H3(7, Q/Z(r)) par le théorème de Lefschetz faible [Mil] VI 7.2, et on obtient un diagramme commutatif exact On démontre d'abord un principe de Hasse pour A. utilisant la générdsation suivante du th. 3 de [Ja 21 : THEOREME 3. - Soit K un corps de nombres et e un nombre premier. Si A = (Qe/Pe)m est muni d'une action de Gal(K/K) mixte de poids # -2, alors l'application restriction donne un isomorphisme Rappelons les notions de représentation mixte de ~al(rlk) (cf. [Del 1.2 et 3.4.10) et de mauvaise place. A priori c'est une propriété d'une Qe-représentation V de ~al(??/k) (c'est-à-dire, d'un espace vectoriel de dimension finie sur Qe avec action continue de Gal(K/K)). Nous étendons la définition de façon évidente à un module comme A ci-dessus, ou a un Zc-module libre de type fini T avec action continue de G~~(K/L), en disant que A (resp. T) est pur de poids w ou mixte, si TeA Rn, Qe (resp. T Rn, Qe) l'est, où TeA = @A[en] est le module n de Tate de A. Dkrn~mON 1. - a) V est appelé pur de poids w, s'il existe un ensemble fini S > {vloo} de places de Ii' (l'ensemble des places "mauvaises") tel que V est non-ramtfié en dehors S U {vie) et tel que pour toute place v 6 S, vfe, les valeurs propres cu du Frobenius arithmétique cp, algébriques avec laal = q;? en v agissant sur V sont des nombres où V(" est l'ensemble des points de V de codimension i, et où A, = H~(Y,, Q/Z(r - 1)) pour une courbe lisse projective (non nécessairement géométriquement irréductible) Y, sur K de corps de fonctions ~(x). De plus, on a une suite exacte pour tout plongement a : r ê, où q, est le cardinal du corps résiduel en v. b) V est mixte, s'il possède une$itration avec des quotients purs. Exemples : i) pu opère sur ppm = Qt/Zt(l) comme puissance 9,-ième et multiplication par q, respectivement. De ià, Qe/Ze(l) est pur de poids -2, et Qe/Ze(r) = %p$ est pur de poids -2r. n ii) Selon la preuve de la conjecture de Weil par Deligne, le groupe de cohomologie étale en dimension i :

136 U. JANNSEN l PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE 137 est pur de poids i, si X est une variété lisse et projective sur A' (en utilisant le théorème de changement de base propre, cf. la preuve du lemme 3 de [Jall). iii) Si X est comme dans l'exemple ii) et V c X est le complémentaire d'une hypersurface Esse Y c X, alors H'((V, Qe) est mixte de poids i et i + 1. Cela découle de la suite de Gysin En particulier. si V C X est choisi comme dans l'exemple iii). le module A dans (19) est une limite inductive des modules mixtes de poids 2-2r et 3-2r. Le théorème 3 implique alors le principe de Hasse désiré pour A dans le cas 1- = 3. $ Ensuite on prouve que H2(I<, C) +$ v H2(Kv, C) est injectif et que - H I, ) H1(ICV, C) est surjectif pour n'importe quel ensemble fini,es' S' de places de I<. Pour cela on utilise le fait analogue pour les C, (démontré dans la preuve du théorème 1') et la suite ou bien une suite correspondante de tores. L'idée est que les propriétés de A et C énoncées impliquent comme précédemment l'injectivité de C'est le cas après la modification suivante (nécessaire pour travailler avec des ensembles finies S' de places de I< pour C) : dans le diagramme (19) on remplace la somme $ par des sommes finies $, et tout reste vrai pour z V(') zee est remplacé par la les modules AE et CE ainsi définis (la somme sur x E v(') somme sur x E v(') avec x E (y) pour un y E E). On démontre le principe de Hasse pour les modules BE rendant exacts le diagramme modifié à la place de HZ (FZ), Q/z(~)), et pour H2(FI(), Q/Z(3)) = sur les E. BE par passage à la limite Indiquons brièvement la démonstration des corollaires sur les formes de PBter l l l 1 I I l l et les sommes de carrés Désignons, pour des éléments a, b dans un corps L de caractéristique différente de 2, par < a, b > la forme quadratique ax2 + by2, et, pour al,...,an E L*, par «al,...,an» la forme de Pfister en 2n variables < 1, -al > @ < 1, -a2 >...@ < 1, -a, >. Par un résultat obtenu indépendarnment par Merkuriev-Suslin et Jacob-Rost ([MSI, [JRI) on a «al,..., al»= O (dans l'anneau de Witt de L) si et seulement si al U... U ar = O dans H4(L, p24), où l'on identifie a E L*/(L*)' avec son image par l'isomorphisme de Kummer L*/(L*)' H1(L, pz). En utilisant l'isomorphisme de Merkuriev-Susiin-Rost ([MS] Th. 5.7) I C ~ ( L ) / 2 ~ H3(L, p?") (où IC~(L) désigne le groupe de K-théorie de Milnor), on prouve l'injectivité de H~(L, pf3) L) H4(L, Q2/Z2(3)). Par conséquent, le théorème 2 implique l'injectivité de H4(F, pa4) -$ H4(FI<,, pp), si F est un corps de fonctions en 2 variables sur le corps de nombres Ii (notons l'isomorphisme pf3 N pf4). Combiné avec le résultat précédent cela donne le principe de Hasse : la forme de Pfister sur F «al, az, as, a4» est nulie si et seulement si elle l'est sur Fh', pour tout place v de K. Il est bien connu qu'un élément f dans un corps L comme ci-dessus est somme de 8 carrés si et seulement si O = 8 < 1, - f >=«f, -1, -1, -1» ([LAI Ch. 11 Prop. 1.3). De plus on sait que toute somme de carrés dans les FK, est somme d'au plus 8 carrés (pour le cas non-trivial des places archimédiennes on utilise un théorème de Pfister). Par le principe de Hasse qu'on a prouvé on déduit le même résultat pour F. Remarque 6 : la conjecture naturelle est que l'application restriction est injective pour un corps de fonctions en d variables sur un corps de nombres IC; c'est donc prouvé pour d = 0,1,2, mais pas connu pour d 2 3. Notons que

138 U. JANNSEN PRINCIPE DE HASSE COHOMOLOGIQUE Je remercie Y. André de son aide concernant la version française du texte, et J.-L. Colliot-Thélene pour plusieurs remarques utiles. BIBLIOGRAPHIE Manuscrit reçu le le' février 199 1 [BO] S. BLOCH, A. OGUS. - Gersten's conjecture and the homology of schemes, Ann. Sci. ENS (4) 7, (1979), 181-202. [CEl H. CARTAN, S. EILENBERG. - Homologicai Algebra. Princeton University Press, 1956. [Del P. DELIGNE. -La conjecture de Weil II, Publ. Math. 1H.E.S. 52, (1981). 313-428. [JRl B. JACOB, M. ROST. - Degree four cohomological invariants for quadratic forrns, Invent. Math. 96, (1989). 551-570. [Jall U. JANNSEN. - On the L-adic cohomology of varieties over number fields and its Galois cohomology, in Galois Groups over Q, MSRT Publications, Springer, (1989). 315-360. IJa21 U. JANNSEN. - On the Galois cohomology of L-adic representation attached to varieties over local or global fields, Séminaire de Théorie des Nombres de Paris 1986-6'7, Progress in Math, 75, Birkhaüser, (1989). 165-182. [Ka1 K. KATO. -A Hasse principle for two dimensional global fields, with an appendix by J.-L. Colliot-Thélène, J. reine angew. Math. 366, (1986). 142-183. ILal T.Y. LAM. - The Algebraic Theory of Quadratic Forms, Benjamin, 1973. [Mill J. MILNE. - Etde Cohomology, Princeton University Press. 1980. Mi21 J. MILNE. - Arithmetic Duaiity Theorems, Perspectives in Mathematics 1, Academic Press, 1986. lmsl A.S. MERKURJEV, A.A. SUSLIN. - On the nom residue homomorphism of degree three, LOMI preprint E-9-86, Leningrad, 1986. (Mu1 D MUMFORD. - Abelian Varieties, Tata Institute Studies in Mathernatics, Oxford University Press, 1974., 1Nev1 J. NEUKIRCH. - über das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie,

140 U. JANNSEN Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 [Sel] J.-P. SERRE. - Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, 1959. [Se21 J.-P. SERRE. - Sur les groupes de congruences des variétés abéliennes, Izv. Akad. Naiik. SSSR 28, 1964, 3-18: II, ibid. 35, 1971. 731-737. [Wei] A. WEIL. - Courbes algébriques et variétés abéliennes, Hermann, 1948/ 1971. Classes des corps surcirculaires et des corps de fonctions Uwe JANNSEN Max-Planck-Institut für Mathematik Gottfi-ied-Claren-Strasse 26 5300 Bonn 3 GERMANY Nouvelie adresse : UniversitClt zu K6ln Mathematisches Institut Weyertal86-90 5000 Koln 41 GERMANY J.-F. JAULENT et A. MICHEL On sait, depuis les travaux essentiels d'iwasawa sur les corps cyclotomi- ques, qu'il existe des analogies remarquables entre les e-groupes de e-classes imaginaires des corps surcirculaires~", relatifs à un premier donné e, et les e- groupes de classes de diviseurs des corps de fonctions d'une variable, l'exemple le plus éclairant étant probablement le parallèle formel rigoureux entre la for- mule de translation de Kuz'min-Kida sur l'invariant A- des corps surcirculaires. et le célèbre théorème de Deuring-SafareviE généralisant la classique identité de Riemann-Hurwitz sur le genre des corps de fonctions. Sous leur forme la plus élémentaire, ces deux résultats peuvent, en effet, s'énoncer respectivement comme suit : Formule 1 (Kuz'min [231-Kida 1211). Soit N/K une e-extension cyclique élémentaire de corps surcirculaires à conjugaison complexe (en ce sens que K est une extension quadratique totalement imaginaire d'un sous-corps totale- ment réel I(+, et que N provient par composition avec K d'une e-extension cy- clique élémentaire totalement réelie N+ de K+) satisfaisant la conjecture d'iwa- sawa ( p = ~ p ~ = O). Dans ce cas, les invariants A- attachés aux e-groupes de e-classes imaginaires sont liés par l'identité : où dp = [Np : Kp] désigne le degré local, la sommation portant sur les places de K+ décomposées dans K/K+, et 6 vaut 1 ou O suivant que K contient ou non les racines 2e-ièmes de l'unité.

142 J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 143 Formule 2 (Deuring 131-SafareviEI301). Soit N/K une e-extension cyclique élémentaire de corps de fonctions d'une variable sur un corps des constantes algébriquement clos de caractéristique arbitraire p. Dans ce cas, les codimen- sions A N et A:, et à K sont liés par l'identité : des!-groupes de classes de diviseurs de degré nul attachés à N AO, - S = [N: K](AN - 6) + X(~,(N/K) - l), où dp = [Np : Kp] désigne encore le degré local, la sommation porte sur toutes les places de II, et S vaut 1 ou 2 suivant que la caractéristique p est égale à @ ou non. De plus, d'après D'Mello et Madan (cf. [2]), le même résultat vaut identiquement lorsque le corps des constantes k n'est plus algébriquement clos. mais la Ze-extension d'un corps fini F,. Dans l'un et l'autre cas, les hypothèses faites excluent toute possibilité d'iner- tie (à l'exception notable des places au-dessus de! dans le cas surcirculaire), et les degrés locaux dp se réduisent aux seuls indices d'inertie ep (ce qui redonne les formulations plus traditionnelles de ces résultats), sauf dans le cas surcirculaire où la formule de Kuz'min diffère sensiblement de celle de 8da. pour les raisons exposées dans [ 191 et sur lesquelles nous reviendrons plus loin. Sous cette forme élémentaire, les résultats énoncés contiennent en fait le cas le plus général, puisque toute!-extension (galoisienne) s'obtient évidemment par empilement d'extensions élémentaires. Plus précisément, ils peuvent alors s'énoncer en termes de représentations à la Chevalley-Weil, comme suit : Formule lbis (Iwasawa [13]Jaulent 1191). Soit N/K une!-extension (galoi- sienne) de corps surcirculaires à conjugaison complexe (en ce sens que K est une extension quadratique totalement imaginaire d'un sous-corps totalement réel K+, et que N provient par composition avec K d'une!-extension (galoisienne) totalement réelle N+ de II+) satisfaisant la conjecture dïwasawa = = O). Dans ce cas, le caractère x i de la représentation galoisienne associée au Qp-espace vectoriel Qe &, XN construit sur le Ze-module des formes entières Si = ~om~,(&;, Ze) sur le dual de Pontrjagin &i = Hom., (CI;, Qe/Zp) du!-groupe des!-classes imaginaires du corps N est donné par la formule :,y; - 61G = (AK - S)RégG + ) hddp P - G Augo,, où RégG désigne le caractère régulier du groupe G = Gal(N/IC), lg le caractère unité, 1ndEP Augo, l'induit à G du caractère d'augmentation du sous-groupe de décomposition D ~(~), et la sommation porte sur les places de K+ décomposées dans I(/II+, les indices XE et S étant définis comme plus haut. Formule 2bis (Gold-Madan 161). Soit N/K une e-extension (galoisienne) de corps de fonctions d'une variable sur un corps des constantes algébriquement clos de caractéristique arbitraire p. Le caractère XN de la représentation galoi- sienne donnée par v le Qe-espace vectoriel Qe &, XN construit sur le Zp-module XN = ~omz, (c! g, Zt). où (& N = Hom., (Ce%, QJZt) est le dual de Pon- trjagin du!-groupe Ce% des classes de diviseurs de degré nul attaché à N, est donné par la formule : XN - SIG = (AN - &)Ré& + 1 1ndEp Augo,, P où RégG désigne le caractère régulier de G = Gal(N/K), 1~ le caractère unité, hdgp AugDP l'induit à G du caractère d'augmentation du sous-groupe de décomposition D,,'~), la sommation porte sur les places de K. et AN comme 5 ont la même signification que plus haut. Ici encore, l'identité obtenue vaut iden- tiquement lorsque le corps des constantes k n'est plus un corps algébriquement clos, mais la &-extension d'un corps fini. Nous nous proposons ici d'expliquer pourquoi ces diverses formulations, les unes en termes de codimension, les autres en termes de caractères se déduisent les unes des autres de façon élémentaire en dépit de leur apparente hiérarchie, et d'en donner une démonstration algébrique succinte, qui vaille dans chacun des cas considérés, indépendamment de la parité de e. En appendice, nous montrons comment la preuve proposée vaut encore dans certains cas non galoisiens, mais auparavant, nous commençons par rappeler brièvement l'historique de ces résultats. 1. Un peu d'histoire La situation originelle est évidemment celle des corps de fonctions ou, pour parler le langage de la géométrie, celle des surfaces de Riemann complexes : sous sa forme primitive, le théorème de Riemann-Hurwitz (cf. 191) affirme, en effet, que

144 J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 145 si X est un revêtement à l feuillets d'une surface de Riemann compacte connexe Y. ramifié en d points, disons PI,...,Pd. d'indices de ramification respectifs ep,,..., ep,, le genre gx de X est donné en fonction de celui gy de Y par la formule : 2gx - 2 = e(2gy - 2) + x( epi - 1). Pi Plus généralement maintenant, si N/K est une extension séparable de degré fini e de corps de fonctions d'une variable sur un corps algébriquement clos k, la formule précédente pour les courbes algébriques complètes non singulières, disons X et Y, respectivement associées à N et a K, s'écrit encore : 2gx - 2 = e(2gy - 2) + deg RXI Y, où Rxlr = est le diviseur construit sur le faisceau des P X différentielles relatives fixi Y. et la quantité long(flxl y)p est égale à ep - 1 en tout point où la ramification est modérée, mais strictement plus grande sinon. Lorsque, de surplus, e est un nombre premier différent de la caractéristique p. le double du genre 2g n'est autre que la codimension sur Ze, disons X, du e-groupe Cl0 des classes de diviseurs de degré nul du corps considéré, et, la ramification étant automatiquement modérée, la formule de Riemann- Hurwitz prend bien la forme (2) de l'introduction. Pour e = p. en revanche, la situation se complique du fait des possibilités de ramification sauvage d'une part, et parce que la codimension X du e-groupe Ce n'est plus le double du genre mais l'invariant de Hasse-Witt de la courbe associée. D'autre part dans ce cas, la formule (2) a été établie d'abord par Deuring en 1936 (cf. 131) sans condition sure, mais dans le cas particulier où l'extension N/K est (totalement) ramifiée, puis par Safarevi~ en 1952 pour f? = p dans le cas non ramifié (cf. 1301). Quelque vingt années après, Subrao (cf. 1331) a produit une preuve valable pour e = p indépendamment de la ramification, et, deux ans plus tard, Madan (cf. [251), reprenant les idées de Deuring, a montré que les erreurs manifestes contenues dans son article pouvaient être aisément corrigées pour aboutir à une démonstration unifiée des différents cas. D'un autre côté, l'étude des Ze-extensions de corps de nombres a été inaugurée par Iwasawa dans une longue série de travaux pubiiés entre 1958 et 1973, dont l'article cité (cf. [12]) constitue une première synthèse. Le point essentiel qui nous intéresse ici est que sous la conjecture d'iwasawa (qui postule que les L-rangs des groupes de classes attachés aux étages finis d'une Ze-extension restent bornés lorsqu'on monte la tour), le e-groupe des classes d'idéaux (au sens ordinaire) d'une telle Ze-extension est un ile-module divisible de codirnen- sion finie dont l'arithmétique présente des analogies troublantes avec celle des e-groupes de classes des corps de fonctions. Malheureusement, la conjecture dïwasawa n'est connue à ce jour que pour les Ze-extensions cyclotomiques des corps abéliens (c'est-à-dire, en fait, pour les Ze-corps absolument abéliens ; c'est le théorème de Ferrero-Washington) et l'on sait qu'elle peut être en défaut lors- qu'on considère des Zp-extensions non cyclotomiques, ce qui justifie amplement que l'on se restreigne ici au cas des corps surcirculaires (i.e. des Ze-extensions cyclotomiques de corps de nombres). C'est dans ce contexte que Kida, en 1981, publia une formule reliant les invariants X des [-groupes de classes imaginaires (et cette restriction est essen- tielle, comme nous le verrons plus loin) dans une [-extension (galoisienne) de corps surcirculaires à conjugaison complexe, identique à (1) donnée plus haut, si ce n'est qu'elle ne fait pas intervenir les places au-dessus de 1 (cf. [211 et 1221). Deux ans auparavant. cependant, mais dans un article passé inaperçu (cf. (231). Kuz'min avait produit une formule analogue pour les!-groupes de e- classes (i.e. pour les quotients des e-groupes de classes au sens ordinaire par leurs sous-groupes respectifs construits sur les places au-dessus de e). Ultérieu- rement, Wingberg (cf. 1361) montra qu'un résultat semblable valait encore pour les [-groupes de classes infinitésimales (au sens de 1171) des corps surcirculaires totalement réels. De fait, comme expliqué dans I191, les résultats de Jaulent (cf. [ 181) montrent que les paramètres d'iwasawa attachés à ces différents groupes se déduisent aisément les uns des autres par des formules standard ne faisant in- tervenir que des invariants galoisiens simples des corps considérés. Nous avons choisi ici la formule donnée par Kuz'min, d'une part parce que c'est celle qui préserve le mieux le parallèle avec les corps de fonctions, d'autre part parce que d'autres considérations (notamment l'existence discutée dans 1201 d'un accou- plement de Weil) suggèrent que ce sont bien les e-groupes de e-classes des corps surcirculaires qui correspondent le mieux aux e-groupes de classes de diviseurs de degré nul des corps de fonctions.

146 J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 147 Bien antérieurement à ces travaux sur les corps surcirculaires, la formule de Deuring et &&uevie avait été réinterprétée en termes galoisiens : dès 1934, en effet, Chevalley et Weil avaient déterminé le caractère de l'action du groupe de Galois d'un revêtement sur l'espace des différentielles de première espèce, et généralisé par là-même la formule de Riemann-Hurwitz en un théorème de représentation (cf. Ill). Peu après le résultat de Kida, Iwasawa montra donc dans le même esprit que la formule obtenues par celui-ci pouvait également s'écrire en termes de caractères, ce qui en donnait d'ailleurs une nouvelle démonstration (cf. [13]). Transposée dans le cadre légèrement différent des e- groupes de e-classes, c'est la formule (lbis) telle qu'énoncée par aul lent'^' en 1986 (cf. [ 191). La même année, Gold et Madan montraient qu'il en allait de même dans le cas des corps de fonctions et généralisaient le théorème de Deuring et SafareviE en déterminant explicitement le caractère de la représentation modulaire donnée par le e-groupe des classes de diviseurs de degré 0, ce qui, traduit en termes de représentations e-adiques, conduit à la formule (2biS) (cf. 161). Simultanément, ils produisaient une preuve unifée de l'ensemble de ces formules (cf. [51), très voisine de l'une des deux démonstrations données indépendamment dans 1191. Enfin, tout récemment, Wingberg (cf. [371) a prouvé qu'une identité de représentations analogue s'applique également aux groupes de Selrner de certaines courbes elliptiques à multiplication complexe. Pour compléter ce tour d'horizon, sans doute faut-il dire un mot des méthodes analytiques dont nous avons peu parlé jusqu'ici. Les preuves analytiques de la formule de Kuz'min-Kida reposent évidemment sur la correspondance établie par Iwasawa entre fonctions L et invariants A. La plus ancienne est celle obtenue par Gras (cf. [lo]). pour les corps absolument abéliens, et qui utilise les fonctions L e-adiques de Kubota-Leopoldt. L'étude du cas général est l'œuvre de Sinnot (cf. 1321). et repose sur la notion de pseudo-mesure e-adique introduite par Serre. Tout récemment, Gold et Madan ont appliqué les méthodes de Sinnot dans un cadre non abélien pour généraliser les résultats de Rück sur les corps de fonctions ; nous y reviendrons en appendice. 2. Rkduction algkbrique au cas cyclique tltmentaire Dans chacun des deux cas fondamentaux considérés, des considérations arithmétiques permettent d'associer à chaque corps K un Zp-module divisible de codimension finie, que nous noterons Ce% ou CeK suivant le cas. à savoir : - le e-groupe des classes de diviseurs de degré nul, Ce:, si K est un corps de fonctions d'une variable sur un corps algébriquement clos ou sur la Zp-extension d'un corps fini; - le e-groupe des classes de e-diviseurs (Le. le quotient du e-groupe des classes de diviseurs au sens ordinaire par le sous-groupe construit sur les places au-dessus de e) si Ic est un corps surcirculaire. En fait, dans ce dernier cas, on est amené à se restreindre à la composante imaginaire du e-groupe CI, et cela pour deux exceilentes raisons : d'abord parce que la composante réelle du e-groupe Ce étant conjecturalement nulle, l'intérêt d'une formule de translation pour les classes réelles n'est pas évident: ensuite, et plus concrètement, parce qu'on est de fait incapable d'établir une telle formule, faute de maitriser convenablement la cohomologie des unités. Le cas e = 2 étant particulier, disons un mot rapide sur la définition des groupes Ce- : lorsque le corps considéré admet une conjugaison complexe T 0.e. lorsque K est une extension quadratique totalement imaginaire d'un corps surcirculaire totalement réel K+), celle-ci permet de définir deux idempotents orthogonaux e+ = 3 (1 + T ) et e- = i(1 - T) de l'algèbre Qp[Gal(K/K+)], qui sont à coefficients dans Ze si e est impair, auquel cas tout Ze-module M s'écrit canoniquement comme somme directe de sa composante réelle M+ = Me+ et de sa composante imaginaire M- = Me- = M/M+; si e vaut 2, on pose simplement M- = M/M1+I, ce qui, appliqué avec M = CeK définit dans tous les cas un Ze-module divisible de codimension finie. Cela fait, à chacun des modules Ce;, (respectivement Ce;) on sait associer canoniquement un Qe-espace vectoriel Vi (resp. V;) de dimension finie A; (resp. AI(), et un &-réseau X k (resp. XK) de VK (resp. de Vc) tels qu'on ait : Il suffit en effet de prendre pour XK le module des formes linéaires entières Homn, (C~K,Q~/Z~) de CeK, et pour VK le Qe-espace vectoriel Qe @nt XK engendré par XI{, auquel cas les isomorphismes de dualité donnent comme attendu :

148 J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 149 Si maintenant N/K est une [-extension (galoisienne) de groupe G, le module divisible CeN, et donc l'espace associé VN est canoniquement un module galoi- sien. Plus précisément dans ce cas, l'extension des diviseurs de K à N induit par passage au quotient un morphisme naturel à noyau et conoyau fini du e- groupe des classes CeK dans le sous-groupe des points fixes Ce: de CeN, puis, par la construction précédente un isomorphisme canonique du Qe-espace VK sur le sous-espace fixe V$ de VN, ce qui permet d'identifier VK = VNc à v,$. Autrement dit, les espaces V satisfont la théorie de Galois. Ce point acquis, il est facile de voir que pour calculer le caractère de G associé à VN, il suffit de connaître les dimensions respectives des sous-espaces des points fixes V$ = VN~ pour tous les sous-groupes H et G, c'est-à-dire finalement les codimensions respectives des Ze-modules divisibles CeL pour chaque sous-extension L/K de N/K : en effet, l'égalité de deux caractères se lisant sur les éléments du groupe G, et la valeur d'un caractère en un élément donné de G se calculant dans le sous-groupe cyclique engendré par cet élément, ce n'est pas restreindre la généralité que raisonner dans le cas très particulier ou G est cyclique, disons d'ordre Lm. Or dans ce cas, la décomposition montrent que les m + 1 entiers ni (i = O,..., m) sont entièrement déterminés par les dimensions respectives dimq, Mk = deg XM, des m + 1 sous-espaces Mk (k = O,..., m). Appliqué au problème qui nous intéresse, ce résultat nous dit alors que la validité des formules (lbis) et (2biS) se vérifie en constatant qu'elles conduisent aux bons degrés pour toutes les sous-extensions L/K de N/K, ce qui résulte clairement des formules (1) et (2) par empilement de [-extension cycliques élémentaires. Reste donc à établir les formules (1) et (2) dans le cas cyclique élémentaire. Or, si G est un groupe d'ordre e. on sait par un résultat de Reiner (cf. 1281) que tout Ze[G] module de type fini et Ze-projectif s'écrit de façon essentielle- ment unique comme somme directe de Ze[G]-modules indécomposables sous la forme : MZ 7; @ z ~[G]~ $ Zt[GIY. Une autre façon d'énoncer ce résultat consiste à dire par dualité que tout Ze[G]- module de cotype fini et Ze-divisible s'écrit de façon essentiellement unique comme somme directe de Ze[G]-modules indécomposables sous la forme : de l'algèbre de G comme produit de corps cyclotomiques montre que le caractère régulier Un calcul immédiat montre alors que l'on a : est la somme de m + 1 caractères irréductibles de degrés respectifs deg xi = @'), i = O,..., m. Si donc M = Mm est un Qp[G]-module de caractère., Cr* XM = C ni xi, la décomposition i=o du sous-module Mk = Mmk de ses points fixes par l'unique sous-groupe Gk d'indice ek dans G et l'équation aux dimensions qui en résulte En particulier : et (1:) cu + y = codimn, MG est la codirnension du module des points fixes, (ii),b - a = dimf, H2(G, M) - dimf, H1 (G, M ) = q(g, M) est le quotient de Herbrand dimensionnel du module M. Maintenant, le caractère du Qe[G]-module V associé à M est donné par l'identité : c'est-à-dire finalement :

150 J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 151 d'où, en termes de degrés : codimz, M = e codimz, M~ + (e - l)q(g, M). Revenant alors aux formules de Deuring-Safarevit et de Kuz'min-Kida citées dans l'introduction, et prenant M = CC: (respectivement Ce;), nous voyons que tout le problème consiste finalement à évaluer le quotient de Herbrand dimensionnel q(g, CeN) (resp. q(g, ce;) dans une e-extension cyclique élémentaire, ce qui relève de l'arithmétique des corps de fonctions (resp. des corps surcirculaires). 3. Etude arithmttique du cas cyclique ClCmentaire De façon générale. le calcul du quotient de Herbrand d'un Ze[G]-module repose sur deux lemmes de Herbrand (cf. [8]) que l'on peut énoncer dimensionnellement comme suit : LEMME de HERBRAND. - Soit G un &groupe cyclique élémentaire. Alors : (i) Pour toute suite exacte courte 1 + D + N + Q + 1 de Zp[G]- modules, les quotients de Herbrand des trois termes sont définis dès que deux d'entre eux le sont, auquel cas on a l'identité : (ii) Le quotient de Herbrand (dimensionnei) d'un Ze[G]-modulefini est nul. Du point de vue théorique, ces deux résultats montrent clairement que le quotient de Herbrand d'un Zp[G]-module M ne dépend que de la classe de ce module dans un groupe de Grothendieck convenable que l'on laisse le soin au lecteur de préciser. Du point de vue pratique, l'assertion (i) interprète le quotient de Herbrand d'un quotient Q = NID comme différence des quotients de Herbrand respectifs de son numérateur N et de son dénominateur D; et l'assertion (ii) permet de remplacer. chaque fois qu'on le souhaite, un module donné par un autre qui lui est pseudo-isomorphe (ce qui réduit à néant les difficultés particulières survenant pour C = 2 dans le cas surcirculaire). Or, dans chacun des deux cas fondamentaux qui nous intéressent, le e- groupe des classes étudié se présente de façon naturelie comme un quotient - si N est un corps de fonctions d'une variable (sur un corps des constantes k algébriquement clos ou Ze-extension d'un corps fini), le e-groupe Ce; est, par définition, le quotient du tensorisé De; = Zp @Z D; du groupe des diviseurs de degré nul par celui de son sous-groupe principal PlN = Zp @Z PN ; - si N est un corps surcirculaire à conjugaison complexe r (extension quadratique totalement imaginaire d'un sous-corps surcirculaire totalement réel N+), le!?-groupe des l-classes de diviseurs CeN est lui le quotient du tensorisé DLN = Zp & DlN du groupe des C-diviseurs de N(~) par celui PlN = Z1 @n PlN de son sous-groupe principal et le e-groupe des &classes imaginaires est, par définition, le quotient Cei = CeN/~eyT = lxn/de~'~en. Une observation s'impose ici : si & est impair, 2 est inversible dans Ze, et comme r est l'identité sur DeN+, l'opérateur norme NNIN+ = 1 + r envoie surjectivement DeN dans DCN+ ; si e vaut 2, la montée dans la Z2-extension cyclotomique ayant épuisé toute possibilité d'inertie aux places étrangères à 2. la norme NNIN+ est encore surjective, de sorte que dans les deux cas, il vient : Maintenant, le groupe (PlN n VeN+)/PeN+, qui mesure la e-capitulation dans l'extension NIN+, est fini sous la conjecture d'iwasawa : en effet. son exposant est borné par le degré 2 de l'extension NIN+, et son rang par la codimension de Ce N+ (bien entendu, il est nul pour impair). Raisonnant à pseudoisomorphisme près, nous écrirons donc, sans plus de précaution : Examinons successivement numérateurs et dénominateurs : le' point : Cohomologie des diviseurs. Le calcul du quotient de Herbrand des numérateurs repose tout entier sur le lemme : LEMME 1. - Dans une e-extension cyclique élémentaire L/H de corps surcir- culaire ou de jonctions la cohornologie des!-groupes de diviseurs relatwement au groupe G = Gal(L/ H) est donnée par les formules (i) H1(G, D~L) = 1, dans chacun des deux cas fondamentaux.

152 J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 153 (ii) H2 (G, Dl L) = Fi, où t est soit le nombre de diviseurs premiers ramfiés dans le cas des corps de fonctions, soit le nombre de premiers ram~fiés mais ét~angers à e dans le cas surcirculaire. Preuve : l'assertion (i) est exactement le théorème 90 de Hilbert; l'assertion (ii) résulte de l'isomorphisme H2 (G, DlL) Y Dl: INLIH (Dl L). puisque les hypothèses faites, qui excluent toute inertie (en dehors de l), assurent la surjectivité de la norme NLIH(DIL) = DlH. COROLLAIRE. - Dans les deux cas fondamentaux étudiés, il vient ainsi : (a) q(g, De;) dans N/K. = tnfk - 1. où tnik est le nombre de premiers ram$iés (b) q(g,dl;) = tgl,, où tif, = tn,~ - tn+lli+ est le nombre de premiers de I<+ qui sont étrangers à l. ram@és dans N/K, et décomposés dans Il-/ I<+. Preuve : dans le cas des corps de fonctions, le e-groupe De; des diviseurs de degré nul est le noyau du degré DlN ---H Ze. L'application directe du lemme à l'extension N/I< donne alors le résultat annoncé : Preuve : ici encore l'identité Hl (G, LX) = 1 n'est autre que le théorème 90 de Hilbert. Quant à l'identité H2(G, LX) = 1, elle affirme simplement la surjectivité de la norme HX = NLIH(LX). Dans le cas des corps de fonctions sur un corps algébriquement clos, cette surjectivité résulte du théorème de Tsen (cf. 1341, 1241) : un tel corps est, en effet Cl, ce qui montre que son groupe de Brauer est nul (cf. 1311, $7, prop. 101. Dans les autres cas (celui des corps de fonctions sur un corps des constantes Ze-extension d'un corps fini, comme celui des corps surcirculaires) la surjectivité de la norme se vérifie localement par une manipulation élémentaire sur les symboles de Hasse (cf. 121 lemme 2, ou [19] lemme 4). Cela étant, la suite exacte courte 1 -t UL --+ LX -+ PlL --t 1 qui définit UL montre que la cohomologie des groupes PlL (qui est aussi celie de leurs tensorisés P~L) est bien duale de celle des groupes UL. Reste enfin à présciser la nature des groupes UL. Dans le cas des corps de fonctions, les unités sont tout simplement les constantes non nulles. Il vient ainsi : H~(G,u~) = H~(G, kx) = okx Y IF:-' (où 5 = 2 ou 1, suivant que k contient ou non les racines l-ièmes de i'unité, i.e. suivant que l'on a p f l ou non), d'une part: Enfin, dans le cas surcirculaire, l'application du lemme successivement a Ar/ I< et à N+ / Il-+ donne bien :,fme point : Cohomologie des diviseurs principaux Le point essentiel est ici que la cohomologie des diviseurs principaux est duale de celle des "unités". LEMME 2. - Dans une!-extension cyclique élémentaire L/H de corps surcir- culaires ou de fonctions, le groupe multiplicatiilx est cohomologiquement tivial. Le groupe des "unités" UL et le groupe des diviseurs principaux P ~L = LX/U~ sont donc en dualité cohomologique. d'autre part, et tout est dit. Dans le cas surcirculaire, les choses sont plus complexes : les unités sont les unités de l'anneau des l-entiers de L, c'est-à-dire ce que l'on appelle les l-unités. Et le lemme 2, appliqué successivement avec L = N et L = N+ affirme que le quotient N IN; étant cohomologiquement trivial, la cohomologie de P ~N/P~N+ est duale de celle de UN /UN+. Posons alors 5 = 1 ou O, suivant que N contient ou non les racines 21-ièmes de l'unité, et donc le groupe pem des racines d'ordre!-primaire. Le lemme de Herbrand permet d'étudier séparément le quotient d'une part, le sous-groupe /& nun+ = /2&, d'autre part. Pour le second, un calcul direct donne : dg, PL /2& = q(g, d m ) = 6.

154 J.-F. JAULENT et A. MICHEL Quant au premier, un argument de théorie de Kummer, joint au fait que les places au-dessus de e sont finiment décomposées dans une e-tour cyclotomique, montre que l'on a UN/UN+PLW UN/UN+~~ pour tout corps de nombres fi (de degré fini sur Q) assez gros, contenu dans N (cf. 1191, prop. 7 pour e impair; le cas e = 2 étant sans malice). Associant alors à toute unité x de UN l'idéal principal (x) de Ids, nous définissons un morphisme à noyau et conoyau fini du quotient UN/UN+, UN dans le sousgroupe du quotient IdN/IdN+ construit sur les idéaux au-dessus de b. Du pseudo-isomorphisme obtenu où la première somme porte sur les places de K+ au-dessus de e, décomposées dans K/K+, qui le sont aussi dans N/K, et la seconde sur celles qui ne le sont pas. nous concluons : où LNlK compte le nombre de places au-dessus de e dans K+, qui sont décomposées dans K/ K+, mais non dans NI K. Résumant l'ensemble de cette discussion, nous pouvons ainsi énoncer le résultat attendu : THEOR~ME 1. - Dans chacun des d m cas fondamentaux, le quotient de Herbrand dimensionnel du e-groupe des classe de degré nul (resp. des e-classes imaginaires) est donné par : (2) q(g,ce&) = (tnik-1)-(6-1) = tnik-6. OùtNIK estlenombrede places ram$ées et 6 vaut 2 ou 1 suwant que N contient ou non les racines Poièmes de l'unité, lorsque N/K est une e-extension cyclique élémentaire de corps de fonctions d'une variable sur un corps algébriquement clos ou une &-extension d'un corps fini (ii) q(g, Ce;) = tiik - (6- L- NIK ) = t- NIK + INIK - 6, où tnik + ENIK compte le nombre de places de K+, décomposées par la conjugaison complexe CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 155 mais non dans N/K, et 6 vaut 1 ou O suivant que N contient ou non les racines ewièmes de l'unité. lorsque N/K est une!-extension cyclique élémentaire de corps surcirculaires à conjugaison complexe satisfaisant la conjecture d'iwasawa, et N+ / K+ la sous-extension réelle associée. 5. Appendice : le cas non galoisien Nous nous plaçons ici dans le cas où l'extension considérée. disons LIH, supposée encore séparable de degré e,'n'est plus, en revanche, nonnale mais admet cependant une clôture galoisienne, disons N/H. a groupe métacyclique d'ordre en (avec nl(e - 1)1(~). Lorsque cette hypothèse est satisfaite, le groupe de Galois G = Gal(N/H) s'écrit comme produit semi-direct de son e-sous-groupe de Sylow S. d'ordre e, par le sous-groupe cyclique T = Gal(N/L), d'ordre n, qui fixe L; et l'homomorphisme de T dans Aut S qui détermine la loi sur G se factorise via un caractère e-adique x du groupe T (à valeurs dans c ZC) conformément à l'identité TaT-l = (,x(') pour T E T, et a générateur arbitraire de S. Dans ce contexte, Gold et Madan (cf. 171) ont proposé une généralisation de la formule de Kida que l'on peut aisément transcrire. à l'aide des correspondances entre invariants d'iwasawa données dans 1181. sous la forme suivante : (i) A& = A i + ~ ( A K + twk - 6). dam le cas des corps de fonctions, (ii) A; = X i + +(A, + tilk + lgk - 6). dans le cas surcirculaire. les notations étant celles du théorème 1, et K = N~ désignant ce qu'il est convenu d'appeler l'arête cyclique de l'extension étudiée. Sous la forme (i), ce résultat a été étabil par voie analytique par Rück (cf. 1291). Sous la forme (ii), il peut également s'obtenir par passage à la limite a partir de la formule des classes pour les extensions métabéliennes de corps de nombres établie dans 1141. Gold et Madan (op. cit.) en donnent deux preuves indépendantes, l'une arithmético-algébrique, l'autre analytique. Nous nous proposons de montrer ici que ce résultat, apparemment plus général, résulte encore du théorème 1, pour des raisons purement algébriques, où l'arithmétique n'a point part. Tout comme dans le paragraphe 3. notre point de départ sera un théorème de structure pour les Zc[G]-modules &divisibles et de cotype fini : les résultats

156 J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 157 de Jaulent (cf. 1151 et [16]) montrent que tout Ze[G]-module nœthérien et Ze- projectif s'écrit de façon essentiellement unique comme somme d'exemplaires des 3n modules indécomposables suivants : (i) Les n modules Ze[S]e,, attachés aux idempotents prunitifs e, = C cp(r-l)~ de l'algèbre semi-locale Ze [Tl, lesquels sont Ze [G]-projectifs; r ET (ii) Les n modules Zee, CY Ze[S]e,, images des précédents par l'opérateur norme v = 1 + a +... + ae-', sur lesquels S agit trivialement; (iii) les n modules Ze [[le, E Ze[S]e,/vZp[S]e,. quotients des deux précédents. Par dualité, nous voyons ici que tout Zr [G]-module qui est de cotype fini et &-divisible, s'écrit de façon essentiellement unique ainsi que les identités de commutation (pour tout caractère e-adique y du groupe Tl : e,,0 = Be, (resp. evxb = Be,). Les relations d'orthogonaiité entre idempotents conduisent alors, pour tout couple ($, cp) de caractère primitifs du groupe T, aux décompositions : e-i. (-1 (2) e+ze[s]e, =,$ Zee+Bze, =,$ < $, px' > Zee'e,; t=o t=o (ii) (iii) e-2. e-2 e+ze[c]e, =,$ Zee+Bte, =,$ < $, cpxi > &Oie,; t=o t=o e+zee, =< $, cp > &ev. Appliquant ainsi ce résultat aux modules M, définis plus haut, nous obtenons : avec les entiers a,, O,, 7, étant, comme plus haut, caractérisés par les identités : qui donnent en particulier /3, - a, = q(s, M,). On prendra garde ici que les composantes canoniques M, ne sont nuilement les p-composantes au sens usuel, c'est-à-dire les projections e,m obtenues par multiplication à gauche par les idempotents e, : en effet, le groupe G n'étant pas abélien, les e, ne comrnutent pas à l'action de S. Plus précisément, si l'on désigne par la résolvante construite sur le générateur T du groupe S (respectivement par 0 la classe de 6 dans Ze[[] = Ze[S]vZe), un calcul facile montre que l'on a la décomposition directe : Ze[S] =.$ ZeB' i=o e-1. e-2 (resp. Ze[Ç] =,$ ZeB'), i=o c'est-à-dire finalement : e-1 e-i n = (a, + Y,)(< 11, P > +,)+ -(O, - e-i e-i codimz, (.+My) = (< $, y > +-)codimz, (M:) +,q(s, M,), puis, en sommant sur cp : n e-i codimn,(e+m) = codimn,~; + -(codimn,~~ + q(s, M). n Appliquant alors ce résultat en prenant pour M le!-groupe des classes Cl$ (resp. Ce;), nous voyons que nous pouvons conclure du théorème 1 la formule suivante : THEoRÈME 2. - Soit N/K une l-extension cyclique élémentaire, de groupe de Galois S, quiprovientpar passage à la clôture normale d'une extension séparable LIH de degré e, à clôture métacyclique N/H de degré en (avec nl(e - 1)). Alors, avec les conventions et notations du théorème 1, les codirnensions respectives des cp-composantes Ceoev (respectivement des!-groupes de classes, sont données, pour chaque caractère!-adique irréductible cp du groupe T = Gal(N/L), par la formule : a,),

J.-F. JAULENT et A. MICHEL (i) A;,, = Ag,, +?(Ag +tnik - 6). dans le cas des corps de fonctions; (ii) AN,, = A,,, + $$(A, + tilk + INIK - 6). dans le cas surcirculaire. Bien entendu, ce dernier résultat contient aussi bien les formules non galoisiennes de Gold et Madan (que l'on obtient en spécialisant cp = 1). que ceiles citées dans l'introduction (qui correspondent, elles, au cas n = 1). Enfin, par empilement d'extensions élémentaires, il se généralise sans peine aux e-extensions N/K de degré arbitraire. Plus précisément : COROLLAIRE. - Soit NIK une e-extension galoisienne de groupe S d'ordre es, provenant par passage à la clôture normale d'une extension séparable L/H de même degré sur un sous-corps relativement cyclique de K telle que le groupe de Galois G = Gal(N/H) s'écrive comme produit semi-direct de sont-sous-groupe de Sylow S par le sous-groupe T = Gal(N/L), avec action_fd&e sur les quotients de Jordan-H6lder d'une suite sous normale de S. Alors, les codimensions respectives des pcornposantes des &groupes de classes sont données dans les deux cas fondamentaux étudiés par les formules suivantes : I CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 159 (4) p. 151 : un e-diviseur est ici un idéal de l'anneau des e-entiers de N. (5) p. 155 : cette condition. qui est automatiquement remplie pour e = 3, est évidemment restrictive pour e > 5. (ii) où 6 a la même sign-fication que plus haut. et la sommation porte sur toutes les places de h', dans le cas des corps de fonctions, sur celles du sous-corps réel K+ décomposées par la coqjugaison complexe, dans le cas surciculaire. l'indice d, étant dans l'un et l'autre cas le degr& local en p de L'extension N/K. Manuscrit reçu le 20 novembre 1990 I (" p. 141 : un corps surcirculaire est la &extension cyclotomique d'un corps de nombres. (2) p. 143 : contrairement à D,, le caractère 1nd$ Augo, est indépendant du choix de la place (P de N au-dessus de p. 13) p. 146 : après correction de l'erreur de signe manifeste contenue dans l'énoncé des résultats de [19].

J.-F. JAULENT et A. MICHEL CLASSES DES CORPS SURCIRCULAIRES OU DE FONCTIONS 161 BIBLIOGRAPHIE 111 C. CHEVALLEY et A. WEIL. - Über das Verhalten der Integrale Erster Gattung bei Automorphismen des FunctionenkOrpers, Ham. Ann 10, (1934). 358-361. 121 J. D'MELLO et M. mm. - Class group rank relations in Zo-extensions, Manuscripta Math. 41. (1983). 75-107. 131 M. DEURING. - Autornorphismen und Divisorenklassen derordnung!? in algebraischen Funküonenkorpern, Math. Ann. 113, (1936). 208-215. 141 R. GOLD et M. NIADAN. - Iwasawa invariants, Communications in Algebra 13, (1985). 1559-1578. 151 R. GOLD et M. mm. - Galois representation of Iwasawa modules, Acta Arith. 46, (1986). 243-255. 161 R. GOLD et M. MADAN. - An application of a theorem of Deuring and SafareviC, Math. Z. 191, (1986), 247-251. 171 R. GOLD et M. MADAN. - Kida's theorem for a class of non-normal extensions, Proc. Am. Math. Soc. 104, (19881, 55-59. 181 J. HERBRAND. - Nouvelle démonstration et généralisation d'un théorème de Minkovski, C.R. Acad. Sci. Paris 191, (1930). 1282-1285. 191 A. HURWITZ. - Über algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich, Math. Ann. 41, (18931, 403-442. 1101 G. GRAS. - Sur les invariants lambda d7iwasawa des corps abéliens, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Théorie des Nombres, 1978-79, 1979. [ 1 11 G. GRAS. - Théorie des genres analytique des corps de nombres, Inv. Math. 86, (1986), 1-17. 1121 K. IWASAWA. - On Zp-extensions of algebraic number fields, Ann. of Math. 98, (1973). 243-326. i ' 1221 1131 K. IWASAWA. - Riemann-Hurwitz formula and p-adic Galois representation for number fields, Tôhoku Math. J. 33, (1984). 263-288. Il41 J.-F. JAULENT. - Unités et classes dans les extensions métabéliennes de corps de nombres, Ann. Sci. Inst. Fourier 31, (1981). 39-62. 1151 J.-F. JAULENT. - Sur la structure gdoisienne des idéaux ambiges dans une extension métacyclique de degré ne sur le corps des rationnels, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Théorie des Nombres, 1979/80, 1980. Il61 J.-F. JAULENT. - Remarques sur la structure galoisienne des entiers d'une extension métacyclique de Q, C.R. Acad. Sci. Paris 293, (1981). 231-233. 1171 J.-F. JAULENT. - S-classes infinitésimales d'un corps de nombres algébriques, Ann. Sci. Inst. Fourier34, (1984). 1-27. 1181 J.-F. JAULENT. - L'arithmétique des!?-extensions, Thèse, Pub. Math. Fac. Sci. Besançon, Théorie des Nombres, 1985/86, 1986. 1191 J.-F. JAULENT. - Genre des corps surcirculaires, Pub. Math. Fac. Sci. Besançon, Théorie des Nombres, 1985/86, 1986. 1201 J.-F. JAULENT. - Dualité dans les corps surcirculaires, Sém. Théorie des Nom- bres Paris l986/87, Progress in Math. 75, (1988). 183-220. 1211 Y. KIDA. -!?-extensions of CM-fields and Iwasawa invariants, J. Numb. Th. 12, (1980). 519-528. Y Km*. - Cyclotomic Ze-extensions and I-fields. J. Number Th. 14. (1982). 340-352. / 1231 L. KueMIN. - Some duality theorems for cyclotomic r-extensions over algebraic number fields, Math. USSR Izv. 14, (1980). 441-480. 1241 S. LANG. - On quasi algebraic closure, Ann. of Math. 55, (1952), 373-390. 1 1251 M. mm. - On a theorem of M. Deuring and 1.R Safarevit, Manuscripta Math. 23, (19771, 91-102. l l 1261 M. MADAN et H. ZIMMER. - Relations among Iwasawa invariants, J. Number Th. 25, (1987). 213-219. 1271 M. MORIYA. - tjber die Struktur der Divisorenklassen einer zyklischen Erweite- rung von Prirnzahlgrad über einem algebraischen Funktionenkorper- Tôhoku, Math. J. 48, (1941). 43-54.

162 3.-F. JAULENT et A. MICHEL 1281 M. ROSEN. - Representation of twisted group rings (Ph. D. thesis), Princeton, 1963. [29] H.G. ROCK. - Hasse-Witt invariants and dihedral extension, Math. Z. 191, (1986). 513-517. 1301 I.R. SAFAREVI~. - On p-extensions, Am. Math. Soc. Bans. 4, (1954), 59-73. [3 11 J.-P. SERRE. - Corps locaux, Yme édition, Hermann, Paris, 1973. 1321 W. SINNOT. - On p-adic L-functions and the Riemann-Hurwitz genus formula, Compositio Math. 51, (1984), 3-17. [33] D. SUBRAO. - The p-rank of Artin-Schreier curves, Manuscripta Math. 16, (1975), 169-193. 1341 C.C. TSEN. - Divisionalgebren über Funktionenkorpen (Dissertation), Gottingen. 1933. [35] L. WASHINGTON. - Introduction to cyclotomic fields, Springer Veriag, New York, 1982. 1361 K. WINGBERG. - Duality theorems for l?-extensions of algebraic number fields, Compositio Math. 55, (1985). 333-381. 1371 K. WINGBERG. - A Riemann-Hurwitz formula for the Selrner group of an elliptic curve with complex multiplication, Comment. Math. Helvetici 63, (1988), 587-592. Jean-François JAULENT Alexis MICHEL Centre de Recherche Centre de Recherche en Mathématiques de Bordeaux en Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux 1 Université de Bordeaux 1 351. Cours de la Libération 351, Cours de la Libération 33405 TALENCE CEDEX 33405 TALENCE CEDEX Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 1. Introduction Ideal Class Groups and Galois Modules Wen-Ching WINNIE LI* Given a prime C, to find the group structure of the C-Sylow subgroup of an ideal class group is in general a hard problem. It is easier if the underlying number field is a degree C cyciic extension of another number field. This is the situation we shall assume. Meanwhile, we shall consider a more general setting, namely, ideal class groups with moduli. More precisely, let K be a cyclic extension of a number field k of prime degree C, let f be a nonzero integral ideal of k and let m be a product of certain (possibly no) real places of k. Denote by Z(K/k, f) (or Z(K/k, f CO)) the group of fractional ideals of K prime to f, and by Kf, the group of elements in KX prime to f, positive at the real places of K dividing m, and congruent to elements in k modulo f. Let (P(K/k, f m) be the subgroup of principal ideals in Z(K/k, f) generated by elements in Kf The quotient group 7(K/k, fm) = Z(K/k, f)/(p(k/k, fm) is caiied the ideal class group of K/k modulo f m. Its C-Sylow subgroup L(K/k, f m) is Our main concem. When the modulus fm is trivial, the group is independent of k and will be denoted by L(K). The study of the structure of L(K/k, fm) was initiated by Gauss, who determtned the 2-rank of T(K/Q, m) for quadratic extension K of Q and m nontrivial. There are many papers in the iiterature concerning the higher 2- ranks of this class group, notably by Rédei and Hasse. Morton [Ml then extended Rédei's IR1 and Hasse's [Hal results to general f and gave an algorithm for finding generators. Bauer [BI gave a formula for the 3-rank of the ideal class group of a cyclic cubic extension of Q. The case of arbitrary k, C and trivial f oo was first

164 W.C. WINNIE LI considered by Inaba [Il. Based on the lower filtration introduced by Inaba (cf. 5 3 for more detail), Gras in [Gr] obtained a formula for the order of the subgroups occurring in the lower filtration for the case of trivial f, and he also gave a general algorithm for constructing these groups. The reader is referred to [HL] and [Gr] for a more detailed historical survey of this subject. Both Morton's and Gras' results were recently generalized in [HL] to the case of arbitrary k, l, f, and m under the assumptions (Al) The ideal f is prime to e and the discriminant of Klk; (A2) For each place v of k occuning in f, l divides the order of the multiplicative group of the residue field of k at v ; (A3) m is nontrivial only when l = 2, in which case al1 places in m split in K. As explained in [HL],(Al) is the only constraint, while the effect of (A2) and (A3) is just to remove the places in f CO which do not contribute to the [-part of the ideal class group. The group G = Gal(K/k) acts on L(K/k, f CO). Fix a generator a of G, it has order e. Define, for i 2 0, the group Li(K/k, f CO) to be the kemel of (a- 1)' on L(Ii/k, f a). This gives rise to a finite lower filtration of L(IC/k, f cm) : Lo(I-/k, f m) 2 Ll(K/k, f m) C... C L(K/k, f m). The order of each subgroup Li(K/k, fm) was computed in [HL] and an algo- rithm for obtaining generators of each L;(K/k, fm) was also given there. As explained in [HL], under a certain circumstance, for example. when the class number of k is prime to e, the 1-ranks of L(K/k, f m) are completely determined by the cardinalities of L,(IC/k, f m). To calculate the cardinality and to find gen- erators of La (ICI k, f m), the main work is at the starting group Li (KI k, f m), aftenvards one proceeds by induction. The following formula of the cardinality of L1 (KI k, f m) was proved in [HL] using local and global class field theory : THEOREM 1.1. - One has : ILl(K/k, f m)l = Mk)le S + l f o o l - l / [ ~ k : Uk n NKlk(ICfoo)], where Uk is the group of units in k, L(k) is the e-sylow subgroup of k, s denotes the number of places of k rarn@ed in K, and 1 f col denotes the number of places occurring in f m. IDEAL CLASS GROUPS AND GALOIS MODULES 165 When f m is trivial, the above formula was proved by Chevaiiey [Cl. In 3 2 we review the proof of Theorem 1.1 given in [HL]. Another proof of Theorem 1.1 is given in 5 4 by comparlng L1(K/k, f m) with the subgroup LI(K) of the ideal class group of K and appealing to Chevalley's results alluded to above. This requires a more detailed study of the group structure of L1(K/k, f m) and of the G-structure of the kernel of the natural map from L(K/k, fm) to L(K), which is analyzed in 5 3. The group L1 (K/k, f m) is the e-sylow subgroup of the group of ambiguous classes in I(K/k, f CO), and it is a quotient group of the e-sylow subgroup of the ambiguous classes in the usual class group of K with modulus fcm. For cyclic extensions, the formula of ambiguous classes and the formula of genus classes coincide. Many works have ken done conceming the genus fields and genus numbers, see for instance the article of M. Horie [Ho] and the references therein. L. Federer's paper [FI discussed genera theory for S-class groups. Other related works include [Gil and [J21. An extensive review and bibliography of this subject can be found in J.-F. Jaulent's thesis [Jl]. 2. A proof of Theorem 1.1 using class field theory In this section we give a brief review of the proof of Theorem 1.1 given in [HL]. As the group Ll (Klk, f m) is the kernel of the natural surjective map from L(K/k, fm) to L(K/k, fm)"-l which sends the class [Al of an ideal A to the class [Au-'], we have ILl(K/k, fm)l = [L(Il/k, fm) : L(I</~, fm)"-l] = [L(Ii/k, fcm) : NPL(K/k, fcm)][npl(k/k, fm) : L(K/k, CO)^-'], where NPL(IC/k, f m) is the subgroup of L(K/k, f m) consisting of classes [A] such that NlcIk(A) is a principal ideal in k. It follows from global class field theory that [L(K/k, fm) : NPL(K/k, fm)] = IL(k)l if K/k is ramified, = IL(k)l/e if K/k is unrami fied.

166 W.C. WINNIE LI IDEAL CLASS GROUPS AND GALOIS MODULES 167 Next we compute the index [NPL(K/ k, f m) : L(K/ k, f m)"-'1. For any place v of k, denote by k, the completion of k at v, by KV the completion of K at a place above v, and by 4, the local reciprocity map from k: to Gal(KV/k,). Let S be the product of the places of k ramified in K. For v dividing S, KV is unique and Gal(Kv/k,) = G is cyciic of order e. Denote by pt the group of e-th roots of unity. Because of the assumption (A2). for each v dividing f, the residue field of k at v contains a group isomorphic to pt. Choose an element T, of k which is a unifonnizer of k,. The Hilbert nom residue symbol (a,, u)c defined for nonzero element u in k, takes value in pe. When m is nontrivial. we have e = 2 by assumption (A3); for v divides m. we use (a,, u)e to denote the sign of u in k,. Let T be the subgroup of IIvls Gal(KV/k,)IIVl,pe consisting of elements (ru,, Pv),, ls,vlf, with II,, ls~v, = 1, and let A consist of elements a in k prime to f such that the principal ideal Oka is equal to NKIk(A) for some ideal A in Z(K, f). The foiiowing theorem is the main step of the proof given in [HL]. THEOREM 2.2. - The homomorphism 9 from A to T sending a b (4,1(a), (a,, a)c),: I ~,vl fm is suriectiw with kernel ewal to N~lrc(Kf,). The weii-delbedness of 9 foiiows fi-om the product formula. It is easy to see that kernel 9 contains NKlk(Kf,), The surjectivity and the reverse inclusion of the kernel are hard; roughly speaking, one first resolves the problem locally, then one gets a global solution by piecing together the local solutions using the weak approximation theorem. Write E for the image of Uk under 9. its cardinality equals [Uk : Uk fl NKlk(Kf,)] by the theorem above. For a class [A] in NPL(K/k, f CO), we have NKIk(A) = Oka for some a in A, thus B(a)E depends only on the class of A by Theorem 2.2. Hence 9 induces a homomorphism O rom NPL(K/ k, f m) to T/E which maps [A] to 9(a)E. The kernel and the image of O are easy consequences of Theorem 2.2 : THEOREM 2.3. - The induced homomorphism O from NPL(K/k, f CO) b T/E is surjective with kernel equal to L(K/k, f CO)"-'. From Theorem 2.3 it foiiows that [NPL(K/k, fm) : L (K/~, fm)"-'1 = [T: E] = ITI/[Uk : Uk fi N~~k(Kf,)l. As for the cardinaiity of T, note that when K/k is u d e d, S is trivial and IT 1 equais elfml ; otherwise S is nonempty and IT 1 equals ed+lfool-', where s is the number of places occurring in S and 1 f m 1 is the number of places occurring in f m. This combined with Proposition 2.1 yields Theorem 1.1. 3. The G-stmcture of the kemel of the map from L(K/k, f m) to L(K) We begin by recalling the filtrations introduced by Inaba [Il. Let M be a finite abelian e-group on which G acts. Define, for i 2 0. and Mi = {x E M 1 the order of z divides ei). Then we have a lower and an upper filtration of M Both filtrations are finite : the second one is obvious, the first one foiiows from the fact that (a - 1)' = eb(a) for some polynomial B with integral coefficients since a' = 1. The main properties of the two filtrations are recorded in PROPO~ITION 3.1 (Gras [Gr]).- (1) For each i 2 0, Mi C Mi+l, and M, = Mi+' ifand only ifmi = M. (2) The order of Mi+ /Mi decreases to 1. (3) If the image ofx under 1 + a +... + a'-' is 1 for au x in M, then, for each i 2 O, Mi = For a finite abeiian group N, denote by L(N) the e-sylow subgroup of N. Let KI consist of elements in K prime to f. As NKIk(K ' ) is contained in kx. which is contained in Kg for any integral ideal g of k, the third assertion of the proposition above is quite useful in relating the upper and the lower filtrations of L(Ktg/Kg). This wiu be used fi-om time to time. Write p(ktf) for the group of principal ideals generated by elements in KI f. The group L(K) is the quotient of L(K/k, f CO) by L(P(Kt )/p(k/k, f m)), which is G-isomorphic to L(K1 f/u~<kfm), and hence to L(KI~/K~,)/L(UKK~,/K~,). We analyze first the Galois structure of L(Kr K. In view of the weak approximation theorem and the assumptions (Al) and (A2), the group

168 W.C. WINNIE LI IDEAL CLASS GROUPS AND GALOIS MODULES 169 L(K, is G-isomorphic to IIvlfL(KtV/KV)IIvI,L(KX/Kv). For a finite place v of k or K, denote by R, the multiplicative group of the residue field of k or K at v. If v( f splits in K. then L(K,,/K,) is G-isomorphic to the product of e- copies of L(R,) divided by the image of L(R,) imbedded diagonally inside. Hence K(K,,/Ii,) is a product of e - 1 copies of cyclic group of order en("), where ln(") is the order of L(R,). If V I f is inert in K. let w be the only place of K dividing v; then L(Kt,/K,) is G-isomorphic to the cyclic group L(R, IR,). Denote by n(v) the power of l dividing the cardinality of R, IR,, which is ((NU)' - l)/(nv - 1). For odd e one finds n(v) = 1, thus L(R,/R,) = L1(Rw/R,) is cyclic of order e. Moreover, any nontrivial element in L(R,/R,) has norm in L(R,) which is not an [-th power since the norm map from L(R,) to L(R,) is surjective. For l = 2, n(v) > 1 if and only if L(R,) has order two. Note that in both cases en(") is the exponent of L(K,, / Ii,). THEOREM 3.2. -Let V I f and let en(") be the exponent of L(II~./Ii,). Ifv is inert in K and t is odd, then L1(Ii,,/K,) = L(K,,/K,) is cyclic of orderl. Otherwise, is the lowerfiltration of L(K,,/K,). In jact, Li(e-l)(K,v/K,), 1 5 i 5 n(v), is the subgroup of elements of order 5 ti and any successive quotient is cyclic of order l. In au cases, L(K,,/I(,) is generated, as a G-module, by any element whose norm is not an e-th power in k,. Note that an element of k prime to v is an l-th power in k, if and only if it is congruent to an [-th power in k mod v. Proof: we only have to study the case where either v splits in K or v is inert in Ii and l = 2. Since the norm of any element in L(K,,/K,) is trivial and When I2 = 2, L(KI,/K,) is generated as a group (and as a G-module) by any element which is not an e-th power in L(Kt,/K,), or equivalently, whose norm is not an C-th power in k,. Findy consider the case e odd and v split in K. We shali prove inductively on i 2 1 that L'(K,,/K,) is generated, as a G- module, by any element in the group whose norm is not an en(u)-'+l-th power in L(R,). Let x be an element of L(R,) with order l< then yl = (x, 1,...,1) in L(K,,/K,) lies in L~K~,/K,) whose norm is not an P(")-i+l-th power. Put yj+~ = for j 2 1. Thus modulo Li-'(K,,/~,), y,,..., yppl are linearly independent in L~(I~I,/K,)/L"~(KI,/K,) with the r-th, 1 5 r 5 l, component of yp equal to x raised to the (-1)'-l ( j 1 i) -th power. Using e-i e-i - 1 ) = (-l)rl()+(-l)'l( r - 1 ),oneshowsbyinduction on r that (-1)'--l ( j 1 i) - 1 (mode) for 1 < r < l, hence yp is quai to the product of (x, In case i = 1 we have z = 1 and this proves that y generates L1 (Kt,/K,) as a G-module. If i > 1. the norm of z above is x-~, hence has order l"'. By induction hypothesis, it generates L"'(IG, /Ku) as a G-module ; therefore y generates L~(K,,/K,) as a G-module. The above argument also shows that the norms of elements..., x) in L(R,) by an element z in L'-~(K,,/I~,). in Li(e-l)-l (KI,/K,) are en(")-"'-th powers in L(R,), hence L"K,,/K,) is generated by any element in it whose norm is not an en(~)-"l-th power. This proves the theorem. When cm is nonempty, we have l = 2 by assumption (A3) and for each vlcm the group L(IiX/Ii,) is the product of two cyclic groups of order 2. It is easily seen that L(IiX II<,) = L2(KX /Ku) is generated as a G-module by (-1,l) and LI(I<X/IC,) generated by (-1, -1). Thus L1(IiX/K,) = L2(I(X/I~v)u-1. We still find that, as a G-module, L(KX/Ii,) is generated by any element whose norm is not a square. Define n(v) for vlco to be 2 so that the lower filtration in Theorem 3.2 is valid in this case. is the upper filtration defined before, by Proposition 3.1, the lower filtration of L(Kt,/K,) is as stated, and, for 1 5 i 5 n(v), Li(e-l)(K~u/K,) = L~(I~~,/K,) is the subgroup consisting of elements of order at most P. The order of any successive quotient in the lower filtration follows from the order of L(Kt,/K,). COROLLARY 3.3. -At each vl f KI we have Li(K,,/IiV) = L;+l(II~,/K,)"-l for O 5 i 5 n(u) - 1. Proof : it remains to prove the corollary at each place vl f. The natural map from Li+l(Ii,,/Ii,) to Li+l(II~,/K,)u-l sending the class of x to

170 W.C. WINNIE LI IDEAL CLASS GROUPS AND GALOIS MODULES 171 the ciass of xu-l is a surjective homomorphism with kernel L1 (KJ,/K,). As Li+l(K,,/K,)u-l is contained in Li(Kt,/K,) and they both have index l in Li+l(I{~v/Kv), thv are wual. Piecing together the local information above, we have THEOREM 3.4. - Let n be the maximum of n(v) for vl f m. Then is the lowerfütration of L(K, K m ) with Li(K, f/kf,) = IIvlf,Li(K,,/K,). Further; for each V I fm, choose X, in KJf so that at v its class generates L(Kt,/K,) as a G-module and at other places dwiding f co, its class is trivial; then L(K, /Kf,) is generated, as a G-module, by the classes ofx,, vl f co. Next we discuss L((P(K, f)/(p(k/k, fm)), the quotient of L(K1 f/kf,) by L(UKK~,/K~,). Recall that an element in NKIk(KX) prime to f lies in Nh'lk(Kf,) if and and only if it is congruent to an &th power mod f and positive at places in m. This foiiows ftom the weak approximation theorem as shown in the proof of Theorem 2.5 in [HL]. THWREM 3.5. - We have : where 1 f co 1 denotes the number of places occurring in f m. Proof : by the theorem above, as a G-module, L((P(K1 f)/(p(k/k, fm)) is generated by the classes [OKX,], 0 1 fm. TO study the relations among the cosets [OKx]. x E L(K, f/kf,), we consider the units of K. The quotient of NK/I~(UK) by NK/I;(~K) n NK/~(K~,) is a prduct of m (5 I f col) copies of cyclic groups of order l. Choose m places vl,..., v, of f m such that if an element of NKIk(UK) is an l-th power in k, for v = vl,...,v,, then it is in NKlk(Kf,). ChooS? ul,...,um in UK SUC^ that NK/~(u~) is n0t an e- th power at vi but it is an &th power at vj for 1 5 j < 2. Then NK/~(U~)? 1 5 i 5 m, represent the COS& of NK/~(UK) n N~lk(Kf W) in NK/B(~K). By Theorem 3.2 and the discussion following it. the element u; generates the component of L(K, /Kf,) at vi as a G-modules. Since [OKU~] is trivial, inview of our choice of ul,..., u,, we may delete the ciasses [OKX~]. v = VI,..., v,, from the above iist of generators of L((P(K, f)/(p(k/k, fm)). Denote by g the product of the places in f oo not equal to vl,..., v,. We have shown that the G-mdules L((P(K1 f)/(p(k/k, f cm)) and L(Y(KI,)/(P(K/~, g)) are isomorphic, both generated by the classes represented by OKX,, vlg, and NKIk(U~) is contained in NK/~(K,). It suffices to show that L1((P(Ktg)/(P(K/k,g))I = elgl. The quotient of UKK, by ue-' K, is an elementary l-group since for alï u E UK we have uc E NK/L(u) (mod uf'k,). which iies in Kg. This together with the fact that LI (UKK,/Kg) is the kernel of the natural map from L(UKK, / Kg) Ont0 L(UKK, / Kg)"-' yields Note that LI (UK Kg/Kg) is a subgroup of L1 (K,,/K,). which is a product of Ig 1 copies of cycïic group of order e by Theorem 2.4. E3y viewing LI (UK Kg /Kg) as the kernel of the obvious map from UKK,/K, ont0 ue-' K,/K,, we get [UKIG : UK'K,] = ILl(U~Kg/Kg)I = em with m 5 lgl. Choose generators ul,..., U, of the quotient group UKK~/U;~ K, fimm UK such that they aise represent classes in L1(U,yKg/Kg). Since NKIk(U~) is contained in NKIk(Kg), by Theorem 3.2, for each ui and at each vlg, there is an element z,,i of KI, such that modulo K, we have z:,;' = u,. E3y weak approximation theorem, there exists an element zi in KJ, such that zf-' = uiyi for some y, in Kg. Further, let zi, m + 1 5 i 5 Igl, be elements in Kt, which generate the quotient group Ll(K~,/I~,)/Ll(U~K,/Kg). We daim that the classes of OKZ,, 1 5 i 5 Igl generate L1((P(Ktg)/(P(K/k, g)) with no nontrivial relations. If so, then the order of Ll((P(Kl,)/(P(K/k, g)) will be as desired. Firstly, from our construction, these classes are in L1 ((P(K,,)/(P(K/ k, g)), which, by Proposition 3.1, is an elementary e-group. Next suppose that the principal ideal generated by x = lii<i<lglz,4(i) represents a trivial class for some - - O < a(i) < e. Therefore x = uy for some u in UK and y in Kg. Applying a - 1 to both sides yields li1<i<,ui - - 4:) E UK'K,, which implies a(i) = O for 1 5 i < m because of our choice of the uik. Thus IIm+l<i<lgi~~(i) - - = uy determines a class in L1 (UK Kg / Kg), which impïies a(i) = O for m + 1 5 i 5 lg 1 because of our choice of zi for m + 1 5 i 5 Igl. This proves that there are no nontrivial relations among the class represented by zils. Finaily, we prove

172 W.C. WINNIE LI IDEAL CLASS GROUPS AND GALOIS MODULES 173 that these classes generate the whole group. Indeed, let OKx represent a class in Ll(p(I(,g)/p(I(/k,g)), where z E Kt,. Then xb-' = uy for some u E UK and y E Kg. Write UY = zii~<~<~u~(~) with z E ~ 2 - and l ~ O 5 ~ a(i) < e. Mcxiulo the principal ideals generated by zl,..., z,, (which represent classes -a(i) in L1(~(K,,)/p(K/k,g))), and assume we may replace x by ~ l I ~ ~ ~ ~ ~ z ~ u E UK'K,. Hence xb-1 = ta-ly for some t E UK and y E Kg. Representing the same ideal by xt-l instead, we may assume xb-' = y for some y E Kg. Thus x determines a class in LI (Ktg/Kg), and hence, up to a multiple in UKKg, x is generated by zi's with m + 1 5 i 5 I g l. This completes the proof of Theorem 3.5. Rernark : the proof above provides a way to obtain generators of L1(p(Ic1 f)/p(i</k, fm)). When the class number of K is prime to e, the classes in the group L(K/k, f m) are represented by principal ideals, that is, THEOREM 4.2. - One has : where 1 f m 1 denotes the number of places occumng in f m. To prove Theorem 4.2, we consider two subgroups of L1(K/k, f m) : the first one RL1(K/k, fm) consists of the classes represented by G-invariant ideals; the second one PLl (Klk, f m) consists of the classes represented by principal ideals, which is nothing but Ll(p(K1 f)/p(k/k, fm)). An immediate consequence of the theorem above is COROLLARY 3.6. - Suppose the class number of K is prime to e. Then where 1 f ml denotes the number of places occumng in f m. 4. Another proof of Theorem 1.1 by comparing L1(IC/k, fm) with Ll(K) We are ready to prove Theorem 1.1 by comparing LI (KI k, f m) with Li (h'). The cardinality of L'(Io was proved by Chevalley : THEOREM 4.1. (Chevailey [Cl).- One has : where s denotes the number of places of k ram~$ied in K and L(k) is the e-sylow subgroup of the ideal class group of k. Thus Theorem 1.1 can be restated as Proof : let A be an ideal in Z(K/k, f) which represents a class in L1 (IC/k, f m). Therefore Ab-' = OK y for some y E KJ,. Since NKIk(y) gen- erates the ideal Ok, it lies in UI, fl NKIk(Kf,). Any other choice of a generator of Ab-' differs from y by a unit in UK fl Kj,, hence its norm to k differs from NKlk(y) by a multiple in NKIk(U~) n NKlk(Kf,). If B in Z(K/k, f) also represents the sarne class as A, then A = BOKz for some z E Kj, and Ab-' = Bb-lOKzb-l. As NKlk(zb-') = 1, thi~ S~OWS that, modula NK/~(UK) n NKlk(KJm), A and B yield the same element NK/~(Y). Thus sending the class of A to the coset of NKIk(y) defines a homomorphism r) from L1 (K/k, f CO) t0 Uk n NK/~(I<~,)/N~/~(UI() n NK/~(KJ,). It ~ ~ f ft0 i show ~ e ~ that 17 is surjective with kernel equal to PLl(K/k, fm)rl1(k/k, fm). For surjectivity, let u E Uk n NKlk(Kf,). Write u = NKIk(y) for some y E KJ,. As the principal ideal OKy has trivial norm, it is equal to Ab-' for some ideal A E Z(Ii'/k, f). One may choose A so that it represents a class in L(K/k, fm). Then the class of A is in L1(K/k, fm) which is sent to the coset of u by r). Clearly, the kernel of r) contains PLI (II'/k, f m)rl1 (Klk, f m). Conversely, suppose the class of A is in the kemel of r), that is, Ab-' = OKY for some y E KJ, and N~/k(y) E NKIk(U&-) fl NKIk(KJ,). This irnplies that y = uzb-' for some u E UK and some z E K, f. We may choose z so that it

174 W.C. WINNIE LI IDEAL CLASS GROUPS AND GALOIS MODULES represents a class in PL1(K/k, f CO). Hence A differs from the principal ideal OKz by an ideal invariant under a, in other words, an ideal represents a class in RLl(K/k, f m). This proves that the kernel of 17 is contained and hence is equai to PL1(K/k, fm)rl1(k/k, fm). Taking f m to be Mvial and writing RL1 (K) for the subgroup of classes in L1 (K) represented by G-invarfant ideals, the above proposition specializes to Since RL1(K) is an e-group, raising it to an appropriate power prime to C if necessary, we may assume that each class of RLl(K) is represented by a G-invariant ideal which also represents a class in RL1(K/k, fm). This shows that RLl(K) is naturally isomorphic to the quotient RL1(K/k, f m)/rl1(k/k, fm)npl1(k/k, fm), whichin turnis isomorphic to the quotient RL1(K/k, f m)pll (K/k, f m)/pl1 (Klk, f m). Hence Coroilary 4.4 gives rise to Now combining Proposition 4.3 with Corollary 4.5, we see that (Ll(K/k, f cm)[ is equal to which is as stated in Theorem 4.2 after replacing lpl1(k/k, fm)l = 1 Ll (P(Kt )/p(k/k, f m)) ( by the formula given in Theorem 3.5. p. 163 : Research supported in part by a gant from NSA. Première version reçue le 5 février 1991 Version définitive recue le 9 avril 1991 REFERENCES [BI H. BAUER. - Uber die kubischen Klassenkorper zyklischer kubischer Zahlkorper, Ph. D. Dissertation, Karlsruhe Universitat, 1970. [Cl C. CHEVALLEY. - Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, vol. II, Part. 9, 1933. [FI L.J. FEDERER. - Genera theory for S-class groups, Houston J. Math. 12 4, (1986), 497-502. [Gi] R. GILLARD. - Sur la structure galoisienne de certains groupes de classes, Proc. Int. Conf on Class Numbers and Fundamental Units of Algebraic Number Fields (Katata 1986). Nagoya University, Nagoya (1986). 99-107. [Gr1 G. GRAS. - Sur les e-classes d'idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier C, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 23, 3 (1973). 1-48 et 23, 4 (1973). 1-44. [HL] A. HARNCHOOWONC and W.-C. W. Li. - Sylow subgroups of ideal class groups with moduli, J. Number Theory 36, no 3, (1990). 354-372. [Hal H. HASSE. -An algorithm for determining the structure of the 2-Sylow-subgroup of the divisor class group of a quadratic number field, Symposia Mathematica, Academic Press, London 15, (1975). 34 1-352. [Ho] M. HORIE. - On the genus field in algebraic number fields, Tokyo 3. Math. 6, no 2, (19831, 363-380. [Il E. INABA. - Uber die Structur der C-klassengruppe zyklischer Zahlkorper von primzahlgrad e, 3. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. 14, (1940), 61-115. [Jll J.-F. JAULENT. - L'arithmétique des C-extensions, Publ. Math. de la Faculté des Sciences de Besançon, Théorie des Nombres, 1986. 1521 J.-F. JAULENT. - S-classes infinitésimales d'un corps de nombres algébriques, Ann. Sci. Inst. fou rie^-34, (1984). 1-27.

176 W.C. WINNIE LI [Ml P. MORTON. - On Rédei's theory of the Pell equation, J. reine angew. Math. 307-308, (1978). 373-398. [RI L. %DEI. - Die 2-Ringklassengmppe des quadratischen Zahlkorpers und die Theorie der Pellschen Gleischung, Acta Math. Acad. Sci. Hung. 4, (1953). 31-87. Wen-Ch'ing Winnie LI Department of Mathematics Pennsylvania State UniversiSr University Park, PA 16802 U.S.A. Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 1. Introduction Ropnétés arithmétiques des substitutions C. MAUDUIT Au début du siècle, Axe1 Thue se propose d'étudier les propriétés combinatoires des mots infinis sur un alphabet fini au cours de deux articles (123, 241). Il justifie sa démarche par ces quelques mots : "Für die Entwicklung der logischen Wissenschaften wird es, ohne Rücksicht auf etwaige Anwendungen, von Bedeutung sein, ausgedehnte Felder für Speku- lation über schwierige Probleme zu finden. Wir werden hier in dieser abhandlung einige Untersuchungen aus einer Theorie über Zeichenreihen, die gewisse Berührungspunkte mit Zahlentheorie darbietet, mitteilen". Dans ces articles, il se propose de construire des mots ne contenant aucun carré ou aucun cube. Bien qu'il ne décrive nulle part de relations précises entre cette étude et certains problèmes diophantiens, A. Thue souligne la certitude qu'il a de la nature arithmétique de ce type de question. Il s'agit d'ouvrir de nouvelles voies à la théorie des nombres. Depuis cette époque, de nombreux auteurs ont étudié ces mots infinis, aussi bien du point de vue de leurs propriétés combinatoires que de celui de la théorie ergodique, de l'analyse spectrale ou de la théorie des nombres. En particulier, ils fournissent de nombreux exemples et contre-exemples illustrant la théorie des systèmes dynamiques symboliques (cf. introduction et bibliographie de 1161). L'objet de cet exposé est de présenter quelques propriétés des mots infinis et des suites d'entiers engendrées par une substitution sur un alphabet fini. L'étude des systèmes de numération associés aux substitutions permet de mieux comprendre les propriétés arithmétiques et statistiques de ces suites d'entiers

1 178 C. MAUDUIT ainsi que les propriétés spectrales et ergodiques des systèmes dynamiques sym- boliques associés. Dans la dernière partie, nous complétons l'étude entreprise dans 1141 par quelques résultats nouveaux concernant la densité des suites d'entiers engendrées par une substitution. II. Mot infini engendre par une substitution Soit g > 2, A = {al,..., ag) un alphabet fini. Soit C une substitution sur A, c'est-à-dire un morphisme de A sur le monoïde A* des mots finis sur A, prolongé par concaténation en un morphisme de M(A) = A* U A~ (M(A) est l'ensemble des mots sur A). DÉFINITION 1. - On dit que m = mo... mn... E est engendré par une substitution C sur A si m est point-fie de C : C(m) = m. Dans le cas particulier où tous les mots C(ai) (i E (1,..., g )) sont de même longueur q, on dit que C est une substitution de longueur constante q. Remarque : de façon équivalente, m est engendré par C s'il existe a E A tel quem= lim Cn(a). n-+w Quitte à modifier le nom des lettres de A, on peut supposer que m = lim Cn(al). n-++w A. Cobham a montré dans 131 l'équivalence entre les notions de mot infini en- gendré par une substitution de longueur constante q et de mot infini engendré par un q-automate fini. Cette notion est intimement liée au système de numération q-adique et le théorème suivant dû à A. Cobham (cf. [2]) montre que, sauf dans des cas particuliers triviaux, un mot infini ne peut pas être à la fois en- gendré par un p-automate fini et un q-automate fini : THÉORÈME 1. - Si m est engendré par un p-automatefini et un q-automatejini avec p et q multiplicativement indépendants, alors m est ultimement périodique. On ne sait pas généraliser ce théorème au cas des substitutions de longueur quelconque. Les problèmes que nous présentons sont reliés à l'étude des propriétés des systèmes dynamiques symboliques associés aux substitutions. Les premiers travaux importants sur ces systèmes ont été effectués par W.H. Gottschalk, G.A. Hedlund, S. Kakutani et M. Morse (169, 111) et leurs études ont connu un essor important depuis les années 50 (cf. bibliographies de 116, 181). I On munit de la métrique produit définie par d(m, m') = exp(- inf {n 2 0, mn # mk)); (AN, d) est un espace métrique compact. Le décalage T sur A" I l l l 1 l l l l défini par T(m) = ml... m,+l... est une application continue. On note Orb~(m) = {~"m), k E N) l'orbite de m sous l'action de T et X(m) = Orb~(m). On dit que (X(m), T) est un système dynamique topologique (cf 16, 181). Certaines propriétés ergodiques de (X(m), T) ont une traduction simple en termes de propriétés statistiques du mot m. Par exemple, on dit que (X(m), T) est minimal si les seuls fermés de X(m) invariants par T sont l'ensemble vide et X(m): (X(m),T) est minimal si et seulement si tout sous-mot de m réapparaît avec des lacunes bornées. Si m est engendré par une substitution primitive, alors (X(m), T) est minimal. De même, s'il existe une unique mesure de probabilité borélienne invariante par T, on dit que (X(m), T) est uniquement ergodique: (X(m), T) est unique- ment ergodique si et seulement si tout sous-mot de m réapparaît avec une fréquence uniforme. Si m est engendré par une substitution primitive C alors (X(m), T) est uniquement ergodique. Lorsque m est un mot non périodique engendré par une substitution primitive C de longueur constante e, M. Dekking montre dans 141 que le spectre de (X(m),T) est égalàz(l/e) x ZlhZ, où h = max{n 5 1 ;(n,e) = 1 et ndivise pgcd{k; mt = mo)); h est appelé hauteur de C. Ceci permet de donner une seconde démonstration du théorème de Cobharn (théorème 1). III. Suite d'entiers engenâde par une substitution Une interprétation arithmétique du mot m consiste à étudier pour tout i E (1,..., g) la suite strictement croissante - notée [m]i - des entiers n tels que m,, = a,. DÉFINITION 2. - On dit qu'une suite strictement croissante d'entiers est en- gendrée par une substitution si eue peut être obtenue de cette façon à partir d'un mot m engendré par une substitution EScernple 1 : la suite des entiers dont la somme des chiffres en base 2 est paire (suite de Prouhet-Thue-Morse) :

C. MAUDUIT A = {ao, al, az) C(ao) = aoal C(a1) = a mai m = aoala~aoa~aoaoa~a~aoaoa~aoa~a~ao... La suite [ml0 = 0,3,5,6,9,10,12, 15,... est 2-automatique. Exemple 2 : la suite des entiers dont l'écriture en base 3 commence par 1 : C(az) = a2 m = aoalaza2alazazazaza2ala2... [ml1 = 1,4,9,16,25,36,49,... W. Densité d'une suite d'entiers engendrée par une substitution Nous reprenons les notations de [14]. En particulier, on désigne par &(n) la longueur du mot Cn(a;) (i E (1,..., g ) et n E N) et on écrit la substitution C comme suit : C(ai) = a,,(l)... a,,(e,(l)) pour tout i E (1,...,g} (a, est une application de (1,...,lj(l)} dans (1,...,g)). La suite [mll = 1,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,17,... est 3-automatique Exemple 3 : la suite des entiers dont l'écriture en base de Fibonacci se termine par O : DÉn~rrio~ 3. - On appelle matrice associée à ia substitution C la matrice = (Mzj)(i,j)E{i,...,g)2 dé3niepar M.. - aj - card(u;l ({j 1)). On note r le rayon spectral de M et pour tout entier n on pose Mn = ( ~ ~ ~ ) ) (,, ~ ) ~ ~,.. Quitte., ~ } 2 à. itérer la substitution C (ce qui conduit à remplacer la matrice à coefficients entiers non-négatiis M par une de ses puissances), on peut supposer que l'ensemble des valeurs propres de M de module r est réduit à {r}. (on rappelle que tout entier n s'écrit de manière unique en base de Fibonacci n = C nifi avec ni E {O, 1) nin,+l = O pour tout i 2 O et où (F,)~ N est la i20 suite définie par Fo = 1, Fl = 2 et Fi+l = Fi + Fi-l pour tout i 1 1). Exemple 4 : la suite des carrés parfaits : DÉFINITION 4. - On appelle graphe associé à la substitution C le graphe orienté G associé à la matrice M : l'ensemble des sommets de G est A, le nombre d'arcs allant de ai vers aj étant égal à Mij. De plus, on étiquette l'arc allant de a, vers ai par l'entier k chaque fois que u,(k) = j. Exemples : les graphes associés aux quatre substitutions définies dans le paragraphe III sont respectivement :

184 C. MAUDUIT notons d + 1 l'ordre maximai des blocs de Jordan associés à la valeur propre r de M. Notons rt le rayon spectral de la matrice = (Mij)(i,j)E~(t)~ et dt + 1 l'ordre maximal des blocs de Jordan associés aux valeurs propres de module rt de et PRoPosrno~ 1. - On a lorsque n tend vers I'infini if) - ct ndtr; ll(n) - Cndrn où Ct et C sont des nombres réels non nuls algébriques sur Q. COROLLAIRE 1 ([ 141). - Si u = (un)nen est engendrée par une substitution, il existe (y, $) E R x [O, 1tel que 1 n,un <N i = (log N)q N@ avec p E Z($) [la notation f = g signe qu'il existe des réels a et a' tels que pour tout x assez grand O < a ( % 5 a'). La proposition 1 permet en fait de démontrer le résultat plus précis suivant.si r > i Dt(N) =(log MAU DUIT gr rt N'O~, r.cr Ce critère de densité constitue une condition nécessaire que doit vérifier toute suite d'entiers engendrée par une substitution. Il permet dans de nombreux cas de démontrer qu'une suite donnée ne peut pas être engendrée par une substitution (c'est le cas des suites (n!), ~. (nn), hl OU (3n2)nEN. COROLLAIRE 2. - La suite des nombres premiers n'est pas engendrée par une substitution. Démonstration : si la suite des nombres premiers était engendrée par une substitution, il existerait (l1(n)), N et (M~;))~,N vérifiant les conditions de la proposition 1 et tels que Dt(ll(n)) = Mir) pour tout entier n. i: Mais d'après le théorème des nombres premiers on a : L ) d, r avec algébrique sur Q, ce qui serait absurde car, r étant algébrique sur Q et différent de 1, log r est transcen- ce qui impliquerait (Ct, dt, rt) = F, dant sur Q d'après le théorème de Hermite-Lindemann (voir par exemple 1251 chapitre 3). La proposition 1 montre l'existence de lim N++w substitution. pour toute Si C est une substitution irréductible, c'est-à-dire si M est une matrice irréductible (ou si G est un graphe fortement connexe), on a la proposition suivante : PROPOSITION 2. - Si C est une substitution irréductible, alors lim N++m existe. Démonstration : si C est une substitution irréductible, la valeur propre maximale r de M est simple. Si l'on pose M = PJP-1 (J forme de Jordan de Ml, P = (Pij)(i,j)Etl,,,,,g)2 et P-' = (P,!j)(i,j)Etl,..., gjz on remarque que pour tout (i, j) E (1,...,gI2 ~ ( f = ) Pi1 Pijrn modo(rn) ( t(pll,..., Pg,) > O est le vecteur propre associé à 13 la valeur propre r). On en déduit que la fréquence asymptotique d'apparition de la lettre ut dans M!") la suite de mots (Cn(ai))nE~, qui est égale à Jimm *, ne dépend pas de i : lim n-+cc (avec éventuellement Pit = 0). lim n++m Il suffit pour conclure de décomposer tout entier N dans une échelle naturellement associée à la substitution C définie comme suit : à tout (N,i) E N x (1,...,g) on associe un unique (NI, if) E N x (1,..., g) tel qu'il existe un unique (n, p) E N x (1,..., &(l) - 1) vérifiant

186 C. MAUDUIT avec i' = ai(p + 1) et O 5 N' < ei,(n) et pour tout i E (1,..., g) en fonction des propriétés arithmétiques de certaines valeurs propres de la matrice associée à la substitution. Dt(N) ) NEN n'ait pas de limite lorsque N tend vers l'infini. Ainsi dans l'exemple 2 (C est une Remarque : si C n'est pas irréductible, LI se peut que ( substitution de longeur constante non irréductible) on vérifie que bv = e t G y = 4. V. Ensemble normal associt Dans 112-161 nous étudions l'ensemble no& B(u) = {a! E R, (~,a),,~ est équirépartie modulo 1) associé aux suites u engendrées par une substitution. Si cette substitution est de longueur constante (Le. u est automatique), B(u) est égal à R \ Q dès que u n'est pas de croissance exponentielle. Lorsque u est q-automatique et que lim = O (par exemple N++w si u est la suite des entiers qui sont somme de d puissances de q (d fixé)) alors R\ B(u) a la puissance du continu et nous conjecturons que W\B(u) est toujours exactement l'ensemble des nombres normaux en base q. Déterminer l'ensemble nonnal associé à la suite croissante des entiers de la forme 1 2'+2P--q(q-1)-p-1 o<p<q. 2 Il s'agit d'un exemple typique de suite engendrée par une substitution de - longueur non constante et telle que lim = 0. N-+w Manuscrit reçu le 12 octobre 1990 THÉORÈME 2 ([12]). - Si u est automatique, une condition nécessaire et sufisante pour que B(u) = R \ Q est que Lm > 0. N-+w Lorsque u est engendrée par une substitution de longueur quelconque, l'étude de B(u) est plus délicate. Le cas particulier des suites u de densité non nulle fait déjà apparaître des ensembles normaux B(u) = R \ I( où Ii est une extension algébrique de degré fini de Q associée à certaines propriétés harmoniques des valeurs propres de la matrice associée à la substitution. THEOREME 3 (1151). - Si u est engendrée par une substitution irréductible, alors B(u) = R \ Ii où Ii est une extension algébrique de degré jini de Q. Réciproquement, à toute extension algébrique de degrémi de Q. on peut associer une suite u engendrée par une substitution irréductible et dont i'ensemble normal est exactement R \ K. Dans 191 B. Host étudie le spectre discret du système dynamique associé à une substitution irréductible de longueur quelconque. De même que lors de notre étude des ensembles normaux substitutifs, ces résultats sont liés à la description de l'ensemble des réels a tels que (e;(n)<~),~~ converge modulo 1

C. MAUDUIT S. KAKUTANI. - Ergodic theroy of shift transformation, Fifth Berkeley Sympo- sium on Mathematicai Statistic and Probability 2, University California Press, Berkeley, (1967). 405-414. C. MAUDUIT. - Automates finis et ensembles normaux, Ann. Inst. Fourier 36, (1986), 1-25. C. MAUDUIT. - Morphisme unispectraux, Theor. Comp. Sc. 46, (1986). 1-11. BIBLIOGRAPHIE [ 11 J.-P. ALLOUCHE. - Théorie des nombres et automates, Thèse de Doctorat d'etat, Université de Bordeaux 1, 1983. A. COBMAM. - On the base-dependence of sets of numbers recognizable by finite automata, Math. Syst. Theory 3, (1969), 186-192. A. COBHAM. - Uniform tag sequences, Math. Syst. Theos. 6, (19721, 164-192. F.-M. DEKKING. - Combinatorid and statisticalproperties of sequencesgenerated by substitutions, Thèse de Doctorat, Katholicke Universiteit van Nijmegen, 1980. J.-M. DUMONT et A. THOMAS. - Systèmes de numération et fonctions fractales relatifs aux substitutions, Conference on Arithmetics and Coding Systems, Luminy 1987, Theor. Comp. Sc. 121, (1989). 153-169. W.-H. GOTTSCHALK et G.-A. HEDLUND. - Topological dynamics, American Mathe- matical Society Colloquium Publications, 36, 1955. G.-A. HEDLUND et M. MORSE. - SymbOlic dynamics, Amer. J. Math. 60, (1938), 815-866. G.-A. HEDLUND et M. MORSE. - SymbOlic dynamic II, Amer. 3. Math. 62, (1940). 1-42. 191 B. HOST. - Valeurs propres des systèmes dynamiques définis par des substitu- tions de longueur variable, Erg. Th. Dyn. Syst. 6, (1986). 529-540. 1101 S. ITO et M. KIMURA. - On Rauzy fractal, preprint (1990). C. MAUDUIT. - Sur l'ensemble normal des substitutions de longueur quelconque, 3. Number Theory 29, (1988), 235-250. C. MAUDUIT. - Caractérisation des ensembles normaux substitutifs, Invent. Math. 95, (1989). 133-147. C. MAUDUIT. - Substitutions et ensembles normaux, Thèse dlhabilita.tion, Uni- versité d'aix-marseille II, 1989. M. MENDÈS-FRANCE. - Nombres normaux, Application aux fonctions pseudo- aléatoires, J. Anal. Math. 20, (1967), 1-56. M. QUEFFELEC. - Substitution dynamical systems-spectral analysis, Lecture Notes in Math. 1294, Springer-Verlag, Berlin, 1987. G. RAUZY. - Une généralisation du développement en fraction continue Sémi- naire Delange-Pisot-Poitou 1976/77, Université de Paris VI 15, (1977). G. RAum. - Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France 110, (1982), 147-178. G. RAUZY. - Sequences defined by iterated morphisms, Advanced International Workshop on Sequences, Amalfi Coast 1988, in Sequences, Combinatorics, Security and Transmission, Springer-Verlag, 1990. G. RAUZY. - Rotations sur les groupes, nombres algébriques et substitutions, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux 1987-88. exposé no 21, 1988. J. SHALLIT. - A generalization of automatic sequences, Theor. Comp. Sc. 61, (1988). 1-16. A. THUE. - Uber unendliche Zeichenreihen (1 906). Selected mathematical papers of Axe1 Thue, Universitetsforlaget, 1977.

190 C. MAUDUIT Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 1251 A. THUE. - Uber die gegenseitige Lage gleicher Teile gewisser Zeichenreihen (1912) Selected mathematical papers of Axe1 Thue, Universitetsforlaget, 1977. 1261 M. WALDSCHMIDT. - Nombres transcendants, Lecture Notes in Mathematics 402, Springer -Verlag, Berlin, 1974. Christian MAUDUIT Laboratoire de Mathématiques Discrètes et d'informatique Université Claude-Bernard (Lyon 1) 43, avenue du 11 novembre 1918 l 69622 VILLEURBANNE CEDEX I i I 1. Introduction Galois theoretic local-global relations in nilpotent extensions of algebraic number fields Katsuya MIYAKE The Galois group of the maximal abelian extension of an algebraic number field of hite degree is excellently described by class field theory with ideles of the ground field, which is due to C. Chevailey. We see by it how the local arithmetic phenomena are tied up as a glogal whole by the relations determined by the global numbers. The purpose of this note is to give an "analogous" description of the Galois group of the maximal nilpotent extensions of the ground field which may be regarded as a "Galois theoretic lifting" of the abelian case. In case of a local number field, the structure of the Galois group of its maximal nilpotent extension appears rather simple and is well known if we decompose it into a direct product of its p-prirnary parts for all prime p. To describe the global Galois group with those of the localizations of the ground field, we form a natural "good subgroup" within the free product of them in the category of pro- finite-nilpotent groups which is analogous to a restricted product of a family of topological groups. Then the global numbers of the ground field generate ail of the relations in it which give us the exact description of the global Galois group with the local ones. (See Section 2.) To determine a complete system of the necessary relations, we use the same technique as in Movahhedi et Nguyen Quang Do IM-NgJ which relies on the fact due to Tate (cf. Serre [SI) that the Schur multiplier of the absolute Galois group of a number field is trivial.

192 K. MIYAKE GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL 193 2. The main theorem Let k be an algebraic number field of finite degree and knil be the maximai nilpotent extension of k. We denote the Galois group by 6 := ~al(k""/k). Let v be a place of k, and, as usual, k, be the completion of k at v; furthermore, let k? be the maximai nilpotent extension of k,, and 6, := ~ al(kt~~/k,) be the Galois group. We denote the inertia subgroup by UV. For each place v of - k, we fi an extension i3 of it to knil. Then it detennines an embedding of knil into k$ ; moreover, it also gives an ernbeddingy; : 6, 6 because we have k? = knil. k, by Proposition 1 given in the next section. For a finite set S of places of k, put here * means the free product in the category of pro-finite-nilpotent groups. If another finite set T of places of k contains S. then there is a natural inclusion Put G := 9 G s (= U Gs). S (As for the topology of G, a subset X of it is open if X fi Gs is open for every S.) Then the embeddings y; give a well defined continuous homomorphism p:g-6. THEOREM 1. - The homomorphism p : G -+ 6 is open, continuous and surjective. Moreover, there - exisl a map - p : kx --t G so that we have an exact sequence 1 < p(kx) >' G --% 6 --t 1 which is a naîural lijting of that of the abelian case given by class field theory (cj: Sections 4, 5 and 6 below). Here < p(kx) >' is the closed normal subgroup ofg generated by the subset p(kx). The proof will be completed in the final Section 8. S 3. On local nilpotent extensions Let the notation be as in the preceding section, and kab and ktb be the maximal abelian extensions of k and k,, respectively. We fix an embedding of knil into kti1 as above and regard k"' and kab as subfields of kyl. PROPOSI~ON 1. - The local extensions kzb/kv and k~\"/k, are globaliy gener- ated; in other words, we have ktb = kab. k, and kti1 = knil. k,. Proof : the abelian case is well known and easily seen by modwg the following proof of the nilpotent case. As for the latter, it is sufficient to handle p-extensions for each prime p. We show that every finite local p-extension Flk, is conîained in a composition L. k, for a finite global p-extension Llk. We use mathematicai induction on the degree [F : k,]. Take a subextension FI /k, of F/ k, such that [F : FI] is equal to p and that F is a central extension of FI / k,. By the induction hypothesis, there exists a finite global p-extension K lk such that FI is contained in K. k,. Choose a place w of K over v such that K. k, = K,, the completion of K at W. Then F. K,/I(, is an abelian extension of degree p (or 1). By local class field theory, there is an open subgroup U, of the unit group OX(Kw) of IC, such that F. K, is contained in the class field of K, corresponding to Uw. For our purpose, it is sufficient to show, by class field theory, that there exists an open subgroup U of (the unit group of) the idele group I(AX such that in fact, for such a U, put KX.UnK; c U,; then the class field L1 of K corresponding to this Ul is a finite Galois extension of k ; since ICI k is a p-extension, the maximai p-extension L of k in Li is uniquely determined and also the maximai p-extension of K in LI. By the choice of U and UI, we have KX.Ul n Kw c U,, and hence F. K, c LI. K, by class field theory; since F. K,/I<, is a p-extension, we conclude that the locai extension F. Kw is contained in L. K, = L. k,. Now, the existence of U with the above property is easily seen by

194 K. MIYAKE Chevalley's Theorem 1 in [Ch] because the group K n OX (KA). K: of w-units in K is a finitely generated Z-module. The proof thus is completed. Problem : for a given finite nilpotent local extension Flk,, how small can we find the global extension L/ k? Does there exist L/k of the same nilpotency class as F/k, is? 4. From class field theory For a place v of k, let O; = OX(k,) be the unit group of the local field k, if v is non-archimedian, the multiplicative group k> of positive real numbers if v is real archimedian, and the multiplicative group k t of complex numbers if v is complex archimedian. We denote the topological commutator groups of 6 = ~al(k""/k) and 6, = ~al(k~"/k,) by [6,6] and [G,, Gu], respectively. Then we have Gab := 6/[6,6] = Gal(kab/k) and 6Vb := 6,/[6,,6,] = Gal(k~~/k,). Since the maximal unramified nilpotent extension of k, is abelian over k,, the inertia subgroup UV of 6, contains [Gu, 6,]. Hence the inertia subgroup of 6 Vb is equal to U: := U,/[6,,6,] (which is different fi-om Uzb = U,/[U,, UV] in general). It follows fi-om Proposition 1 that the embedding 7; : 6, -+ 6 induces an embedding i, : 6tb -+ Gab which does not depend on the choice of G. By local class field theory, we see (4.1) The local Artin map a, : kt + Gzb is a continuous injective homomorphism and satisfies the two properties, (1) the image a,(kt) is dense in 6Vb, and (2) a,(o,x) = U:. Let ki be the idele group of k and kz+ be the connected component of 1 in ki. We denote the topological closure of kx. k2+ in k i simply by k#. By Shimura [Shl, 2.2, (4.2) we have k# = k X. E+f. kz+ where E+f is the topological closure of the non-archimedian part of the group of totaiiy positive units of k in k i. Furthermore we have, by class field theory, (4.3) The local Artin maps of k naturally define the global Artin map a : kk + Gab; it is open. continuous and surjective, and gives an exact sequence, 1 - - k# - ki -sab 1. GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL 195 If we replace k# and ki with their quotients by kz+, then we get our Galois theoretic formulation of the abelian case by local Artin maps. Let S be a finite set of places of k. We consider only those S which contain the set Sm of ail archimedian places. Put Let us denote the group of S-units of k by and the topological closure of k;. kg+ in ki by kg. We define that S is sufficiently large if the prime ideals corresponding to the non-archimedian places of S generate the whole ideal class group Cl(k) of k. (4.4) We have k$ = k; G. kk+ = k#n ki(s) in generai. If S is sufficiently large, then we have ki = k#. kt(s) ; hence, in this case, the global Arth map induces isomorphisms In fact, the first statement is clear by (4.2). The second is also obvious by the, definition. The last follows from these two statements and (4.3) at once. 5. Galois theoretic local-global relations 1 - the abelian case For a finite set S of places of k as above, put The local Artin maps define a homomorphism as : + As,

196 K. MIYAKE GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL 197 the kernel of which, Ker(as), is equal to k:+ is dense in As ; furthermore, we have and the image of which, Im(as), Since a maps surjectively ont0 Ciab with the kernel k$ as was seen in (4.4). we have the desired results. Now it is obvious that, for another finite set S', S' > S. there is a natural embedding The embeddings i, phism which gives a commutative diagram, : G:b -+ Gab also define an open, continuous homomor- as : As + Gab (5.1) If S is sufficiently large, then we have an exact sequence where as(kg ) is the topological closure of the image of kg by as in As. Moreover, we have As = as(k&)). as(ks) and ~s(ka(~,) n aç(kg) = as(k$). Proof : it is clear that as is surjective. Put U := nu:. Then we have u as(ox(ka(s))) = U where OX(kA(S)) = n 0:. Since ks. OX(kA(s)) is of finite index in k:(,), so is as(k2). U in ~~(k&~)). Therefore, u A := A(k) :=%As S (= UAs), and let js : A s + A be the canonical embedding. We denote the continuous homomorphisms which are deterrnined by the systems of homomorphisms {as} and {as} by 1 1 - a: II,X +A and a: A- Gab, respectively. The topological closure of the image of the multiplicative group kx - of global numbers by a in A is denoted by a(kx). (5.2) For a sufficiently large S, we have - A = js(as). a(kx) and js(as) n a(kx) = js(as(kc)), and a commutative diagram, - - - 1 as(k:) As Gab ---t 1 exact 1 1 1 - identity - - a(kx) A ---t Gab 1 exact - Proof: it is clear that the diagram is commutative. We see Ker(cu) = a(kx). ~ In fact, we have inclusions, S 1 on the one hand. On the other hand, we have We have as(kg). U = as(k:). U because U is compact. Then we obtain As = as(ki(,)). as(kg) because U is contained in ~s(k&~,). It is clear, furthermore, that as(k$) c as(ks) c Ker(as). l - by (5.1). Hence, Ker(a) certainly coincides with a(kx). The proof of the rest is now obvious. l

198 K. MIYAKE GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL 199 P~o~osrnoN 2. - The continuous homornorphisrns a: ki -t A and a: A ---+G"~, are combined with each other by the relation, and a(ki) n a(kx) = a(k#), and a commutatwe diagram, - - ki 6ab 1 exact 1 1 - - identity - 1 a(kx) A --+ 6ab 1 exact Proof: it is clear that the relation. a O a = a. holds; hence a maps k# into a(kx ) ; therefore the diagram is commutative. The rest is clear. 6. Galois theoretic local-global relations II - the nilpotent case Let us first recall some of the notation introduced in Section 2. For each place v of k, we ked one of its extension 5 to kni', and an embedding y; : 6, + 6 of the local Galois group 6, := Gal(kY1/k,) into the global one, 6 := Gal(knil/k). The inertia group of 6, was denoted by UV. For a finite set S of places of k, we formed a free product in the category of pro-finite-nilpotent groups, The system of homomorphisrns {ps) detennines a continuous homomorphisrns p : G --+ 6. For sirnplicity, we regard each Gs as a compact subgroup of G. Then p s is the restriction of p to Gs. (6.1) For a sufficiently large S. the continuous homomorphism cps is open and surjective; therefore, so is p. Hence in this case, we have G = Gs. Ker(cp), Gs n Ker(p) = ker(cps) and cps([gs, Gs]) = cp([g, G]) = [6,6]. Proof: since both of Gs and 6 are pro-finite and compact, the surjectivity of cps implies its openness and also the last equaiity on commutators. The rest is then almost obvious. Therefore it is sufficient to show that ps is surjective. We need the following lemrna. LEMMA 1. - Let X and Y be pro-finite-nilpotent groups, and 4 : X --t Y - be a continuous hornomorphism Then $ is surjective $and only $the induced homomrphisrn $ab : xab Yab is sujectiue where xab = X/[X,X] and yab = Y/[Y, Y]. Proof : it is enough to show the "if" part because the converse is almost obvious. Suppose that $ab is surjective. Then we have $(X). [Y, Y] = Y. Let U be an open normal subgroup of Y and pr : Y -+ Y/U be the natural projection. Since the commutator subgroup of a finite nilpotent group is contained in the Frattini subgroup, we have and hence Y = $(X). U. Then we see Y = r)$(x). U = $(X) because $(X) is compact and closed. II Q.E.D. Let us return to the proof of (6.1). By the lemma, it is sufficient to show that pp is surjective. We have The embeddings 7; then define a natural continuous homomorphism ps : Gs -4 6. For such sets S and T, S c T, there is a canonical embedding &,s : Gs - GT ; we formed a direct limit to obtain our group with wbb = WU, /[Wu, UV]. The comrnutator group [6,6,] is contained in UV, and also in the kemel of p$' because ps([6,, Gu]) lies in [6,6]. Therefore we have pg = as O TS where TS : GS + As is the natural projection. Since xs

200 K. MIYAKE is surjective, (5.1) implies that p$' is also surjective. This shows (6.1) as was explained above. (6.2) Gab = G/[G, G] is naturally isomorphic to A. This is obvious because [G, G] contains [Gu, 6,] in its "v-component" for each place v of k. We identm A with Gab = G/[G, G]. PROPOSITION 3. - We have the following commutatiue diagram of exact se- quences : GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL 201 whose image p(kx) lies in I<er(cp). We are to give a "good" 7 to make p(kx) generate Ker(y) as its topological, normal closure in G. 7. Analysis of the p-primary parts To prove Theorem 1, we must study each p-prirnary part more closely. Let us fix a rational prime p, and indicate the p-primary parts of 6, Gs, etc. as 6(p), G$), etc. Hence, in particular, 6(p) = Gal(k(~)/k) where k(p) is the maximal p-extension of k, and where * means a free product in the category of pro-finite-p-groups. However the indication will often be omitted for simplicity. Let Sm be the set of ail archimedian places of k and Sp the set of al1 those places of k which lie over p. Hereafter we consider only a finite set S of places of k which contains Sm and SP. For v E S, we have {:/2Z if v is mal andp = 2, G(P) = U(P) g otherwise. Let v be a place of k which does not belong to S, U Sp, and denote the cardinality of the residue field at v by Nu. Proof: it is clear that the diagram is commutative. The exactness of the first two rows follows from (6.1) and that of the last does from Proposition 2. The center colurnn is exact because of (6.2). Therefore it is sufficient to show that - the natural projection of G to A = Gab maps Ker(p) surjectively ont0 a(kx). However this can easily be seen by the fact, p([g, G]) = [6,6], through standard diagram chasing, which will be omitted. - If a transversal 7 : a(kx) --+ Ker(y) of the restriction of the projection pr : G -+ A to Ker(p) is given, then we have a map p := 7 O a : kx -+ G (2) If p divides Nu - 1, then 6@) =i ou > K u?), u?) =< r, >= Zp with a relation [ou, TU] -Nu-1 Tu = 1.. ~?-l = 1 (cf. KOC~ [KI, 5 10.2); hence U$P) =< au >, Now suppose that S is sufficiently large. Then the homomorphism ps : is surjective. Note that G $)~~ is not isomorphic to A$). We have the following natural homomorphisms and commutative diagram : - GY) 6'~)

K. MIYAKE GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL and Then the relations in G$) for 6(p) is given by Since ~ (p), v 4 Sp. is abelian, we have and, by definition, 1 1 identity Proof: the last group in the statement of the theorem is a closed normal subgroup of G$), contained in ~er(cp$')) and mapped ont0 ~er(cp$)~~) by prl. Hence the theorem follows from Lemma 2 below for and Y = 6(p) because we have Hz(&), Q/Z) = O by a weii known result of Tate (cf. Serre [SI). LEMMA 2. - Let S and Y be promite-nilpotent groups, and S, : X --+ Y be a continuous homornorphism. If the foiiowing two conditions are satis-ed, then S, is an isornorphisrn : (1) H~(Y, Q/Z) = O; (2) me hornomorphisrn +bah : Xab + yab induced by S, is an isornorphism hence we see For v 4 S. G$) does not contain a,. However it contains an element a, such that cps(z,) =;da,) E G(P) because cps is surjective. Then we have Roof: a simple modification of the proof of Lernrna 2.4 of Movahhedi and Nguyen Quang Do IM-Ngl gives a proof. (Cf. also Frohlich [FI, Proposition 4.1.) For completeness, let us see it. By the condition (2). we see that S, is surjective by our Lernma 1. Let us denote the kernel of II, by N ; we have an exact sequence, which gives us another exact sequence of cohomology groups which is certainly mapped to 72-1 by pri. THEOREM 2. - Suppose that S contains Sm U S, and is sufficiently large. Let with coefficients Q/Z on which X and Y act trivially. Since we have (PI ouer as(kç), and put and H'(x, Q/z) = Hom(X, Q/Z) = Hom(xab, Q/Z),

204 K. MIYAKE GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL 205 the conditions (1) and (2) now irnply Hence we have N = [N, XI. Since X is a pro-finite-nilpotent group, this impues N = 1. Therefore S, is certainly isomorphic. Q.E.D. 8. Construction of p Here we still consider p-primq parts. Fix a sufficiently large So which contains S, U S,, and we use only such a finite set T of places of k as T contains So. For x E kx, put T(x) = So U {v 1 V(X) # O). Here we regard a place v as an additive (normalized) valuation. We fix a local transversal A - G"~(P), ~ $ 1 and put - A, =A,oa,:k~ AG$) u - for every place v. Then we have two rnaps v PROPOSITION 4. - Let p : kx -+ G(P) be as above. Then for each T (3 So), we have Proof: define p~ : k; -+ G(P) by It is clear that we have Ker(p~) C < p(kx) >'. pr(k$) C < p(kx) >'. We apply Theorem 2 for this p~ and welï chosen a, E G$), v @ T. Then it is enough to show - (8.1) There exists & E G$) for v @ T, (plnu - 1, such that PT(%) = &(a.) and [a,, T,]. T$-' E < p(kx) >'. Let n be a prime element of k, such that X,(n) = a? with rn E ZY. Since T is sufficiently large, there is an element x E kg,, T' := T U {v) = T(x) and v(x) = 1. Then x-'. x E le&,.). Since $2) E [GF, Gk)], therefore. we see Take a E G$) so that we have a-' = alrn. p(x), and choose am-' as our a,. (Note that a, a, and p(x) belong to the pro-p-group G$,$ Then we obtain by the product of those 1, combined with k r k i. It is clear that belongs to [G(P), G(P)]. Then by (6.1) we can find an element (X(x)) because p(p(x)) = 1. Furthermore we see the cosets of a: and 5: in the quotient group G(P)/< p(kx) >' coincide with each other because we have therefore those of a, and a, also coincide because ail of them belong to a prop-subgroup of the quotient group. Hence we have

206 K. MIYAKE GALOIS THEORETIC LOCAL-GLOBAL on the one hand. On the other hand, we have a relation in G(P) because this group contains the whole of 6$') as its "v-component". Thus we have seen [&, ru]. T? -l belong to < p(k ) >'.(8.1) and hence Proposition 4 are now proved. Proof of Theorem 1 : since pro-finite-nilpotent groups are decomposed into direct products of their p-primary parts, it is sufficient to show Theorem 1 for every p-primary part G('). If we take ail those T which contain So, then we get We also have Ker(cp~) C < p(]cx) >' C Ker(p) by Proposition 4. Hence we certainly obtain This was what we had to prove. Acknowledgement. This work was completed while the author was a visiting member of Equipe de Mathématiques de Besançon, C.N.R.S., URA 741, at Université de Franche-Comté. He would Uke to express his heartfelt gratitude to the staff, especiaily, to Professors J. Cougnard andt. Nguyen Quang Do, for their hospitality. He owes to the last person also for fruitful intensive discussions on the related subjects and to Mr. M. Arrigoni for useful comments on references. [Ch] C. CHEVALLEY. - Deux théorèmes d'arithmétique, J. Math. Soc. Japan 3, (1951). 36-44. [FI A. FROLICH. - Centrai extensions, Galois groups and ideai class groups of number fields, Contemporary Math. 24, A.M.S., 1983. [KI H. KOCH. - Gaaoissche Theorie der p-erwei terungen, Deutsch-Verlag Wissen., Berlin, 1970. 1 [M-Ngl A. MOVAHHEDI et T. NGWEN QUANG DO. - Sur l'arithmétique des corps de nombres p-rationnels, in : C. Goldstein (ed.), Séminaire de Théorie des Nombres de Paris, 1987-88, Birkhauser, 1990, 155-200. [SI J.-P. SERRE. - Modular forms of weight one and Galois representations, in : A. Frohlich (ed.), Algebraic number fields, Acad. Press, 1977, 193-268. [Shl G. SHIMURA. - On canonical models of arithmetic quotients of bounded syrnrnetric domains II, Ann. of Math. 92, (1970), 528-549. Katsuya MIYAKE Department of Mathematics Coilege of General Education Nagoya University Chikusa-ku, Nagoya 464-01 JAPAN Manuscrit reçu le 18 septembre 1990

Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 Lfi RACINE 12-ième CANONIQUE DE A (L)E:~/~(~ Gilles ROBERT SURVEY Suppose that the lattices L and & are such that i) L C & and ii) the index [L : LI is prime to 6. Let A = - 27s; be the discriminant attached to the Weierstrass P-function with period L. Let as usual be the 12-th root of A, where w denote some oriented basis of L. It is weli known that there exists a unique alrnost holomorphic theta function y(z; w) satisfying the following properties i) to iii) : i) the zero set of z H p(z; w) is L; lim y(*; w)/z =?@)(w); z-+o,z$o iii) for any lattice L having complex multipiication by some imaginary quadratic field h', the values belong to the abelian closure Ka* of K. Let w and g denote basis of L and k respectively. Then we prove the existence of a constant satisfying : C(w,w) E pi2

210 G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)~~]/A(L) 211 a) the quotient Hence, when Aut L CY UK, the constant C(w,g) is a sort of conforma1 invariant for the theory of peculiar values depends oniy on L and L and not on the basis w and g; b) the meromorphic function 'P(P;w) 7 P E LQ 7 whose absolute value appear in the Kronecker's second &nit formula. More properties of C(w,g) are given in the text. depends oniy on L and L and not on the basis w and w; c) for any lattices L, L, L' and L' satisfying the diagrarn in the margin (cf. th. 2), one has where the t j, 1 5 j 5 [L : L'], denote a complete set of representatives of the quotient LI L' ; d) the constant C(w,w) depends oniy on the rnatrix B E M:O(Z) such that UJ = Bg. In the peculiar case where L = &, it coincides with the Dedekind 12-th root of unity V(~)(W)/V(~)(W). Now suppose that L adrnits complex multiplication by the ring of integers & of Ir'. Let f > 1 be some integer, let p any complex point whose class modulo L is a torsion point of CIL with order f, and let F be the ray class field modulo 12 f2 of Ir'. Then for any integral ideal b of K prime to 6 f, and any basis w and w of L and bvil respectively, one has where (6, F/I<) E Gal(F/I<) denotes the Artin automorphism of F/K associated to 6.

G. ROBERT LA RACINE 12-ièrne CANONIQUE DE A(L)E:~]/A(L) 213 INTRODUCTION Le travail ci-dessous développe sur quelques points les textes fondamentaux de C.L. Siegel 1131 et de K. Ramachandra 121. Soit R l'ensemble des bases positivement orientées de réseaux complexes. On fait agir le groupe G~:O(R) des matrices à coefficients réels et de déterminant > O sur R par Remerciements C'est au Max Planck Institut de Bonn que la plus grande part des résultats (th. 2 et 3, exception faite du point 3 d et th. 4 et 5) ont été soit rédigés soit conçus. La rédaction définitive de ce travail a eu lieu à l'institut Fourier de Grenoble durant l'hiver 1990. Le th. 1 tel qu'il apparaît ici, et le corollaire du th. 6 cf. identité (13). sont nouveaux. On trouvera une rédaction détaillée des th. 2 et 3 dans [51 et, parmi d'autres résultats. des th. 4, 5 et 6 dans [71. Que tous mes collègues et les deux équipes de secrétariat reçoivent ici mes remerciements les plus chaleureux. 1) On pose e(x) = e2"", x E ê. Pour L un réseau complexe, on note w = (w1, w2) Les bases w et W engendrent le même réseau si et seulement si Dans ce cas, on pose C'est une racine douzième de l'unité, fonction continue de l'élément w de R: par suite, elle est indépendante du choix de w dans R. L'application p(2) : se2 (z) + Pi2 est un homomorphisme. Quelques-unes de ses valeurs sont données par le tableau suivant : une base positivement orientée de L = Zwl + Zw2 c'est-à-dire telle que Irn(wllw2) > O. On définit alors une forme modulaire 17(2) de poids 1 par où l'on observera l'identité Comme on le sait cf. e.g. [ 121 la forme modulaire A(L) = v (2)(~)12 2) Soit a(l) = (W~WI - w2w1)/2i l'aire > O du réseau L. On note HL(u, v) la forme herrnitienne associée à L définie par de poids 12 est indépendante du choix de la base w de L

214 G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)[-:~]/A(~ 215 La partie imaginaire EL de HL définie par EL(u, v) = & (HL(% v) - Hr(v, u)) induit donc une duaiité parfaite sur le produit L x L à valeurs dans l'anneau Z des entiers rationnels. Soit alors cp(u;w) l'unique fonction thêta vérifiant les propriétés i) à iii) cidessous : de u; i) l'appiication u H cp(u, w)e (5 H~(u, u)) est une fonction holomorphe ii) pour tout e E L, on a En effet, les conditions i) et ii) sont invariantes par homothétie; quant à la condition zii) elle l'est aussi, car on a pour z petit @ Soit L c L. avec [L: L] impair; alors 1 dfn ( z ) = (P(Z;w)~:~y(P(z;g) est une fonction méromorphe de z de réseau de période L, et de diviseur iii) lim cp(u; w)/u = rl(2)(w) u-o,u#o Remarques : @Les propriétés i) et ii) assurent l'existence et l'unicité de cp, à une constante multiplicative près cf. e.g. 1151 chap. IV; celle-ci est déterminée par iii). @ Le diviseur des zéros de cp sur ê est L, i.e. ( 0)~ sur le tore CIL. @ Soit Lq le Q-espace vectoriel engendré par L, de sorte que Lq/L est le groupe des points de torsion de CIL. Alors la fonction cp(z; w) est arithmétique cf. Il41 5 5 et I l 11 5 6, c'est-à-dire que pour tout w tel que wl /w2 appartienne à un corps quadratique imaginaire K et pour tout p E Lq on a p l où Ka* désigne la clôture abélienne de K dans ê. @ Soit Xw = (Xwl, Xwz) la base de AL homothétique de la base w de L. Alors, comme 11(2)(~w) = v(2)(w)/~, X E êx, 06 les ti, 1 5 i 5 p, parcourent un système complet de représentants du quotient L. Une écriture expiicite de F(z; w,g) à l'aide de la fonction P(z, L) de Weierstrass est où S est une partie de LlL teiie que i) S n -S = 0 et ii) S U -S = L/L \ (0)r 3) Parmi les couples de réseaux (L,L) tels que i) L c L et ii) [L: LI premier à 6, introduisons la relation d'équivalence si le scalaire X appartient au groupe 2'3' engendré par 2 et par 3. On a les résultats suivants : THÉORÈME 1. - Soit L une telle classe d'équivalence. Soit (L,L) E L, et choisissons w et g des bases respectives positivement orientées de L et L. Alors, il existe une unique constante $O(&; Xw) = cp(z; w), X E êx. vén-t les conditions a) - d) ci-dessous :

G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)&:~]/A(.) 217 a) C(Xw, Ag), E 2'3'. est indépendant de X ; b) S(L,L) = - ne dépend que des réseaux L et L et non du choix de leurs bases w et g; dfn 1 c) *(GU) = - C(w1w) \ --, F(+;w,g) ne dépend que des réseaux L et L et non du choix de leurs bases w et g; d) lafonction $(z; L,L) vén$ie les identités où les t j, 1 5 j 5 [L : LI], parcourent un système complet de représentants du quotient L/L1, chaque fois que le diagramme suivant est satisfait i) inclusions, ai) isomorphismes, iii) disjonction linéaire let bien sûr [L : LI = [L' : L'] premier à 6). où ul,..., u4 forment un système complet de représentants de L/2L et V I,..., vg un système complet de représentants de L/3L. Remarque : soit K(z; L,L) la fonction méromorphe de z définie par i) son diviseur coïncide avec celui de $(z; w, w) ; ii) sa partie principale, quand z -t O, vaut 1. Ainsi h'(z; L,L) ne dépend que des réseaux L et L et non du choix de leurs bases w et g; or on a de sorte que b) w c). Preuve de l'unicité : Soient Ci(w,w) et Cz(w,w) deux constantes, et D = D(w,w) leur quotient. Alors, d'après a) et d), on trouve d'où D = 1. THEOREME 2. - II vient alors THÉORÈME 3. - La constante C(w, g) vén3e : a) C(w,g) ne dépend que de la matrice B E M Z0(Z), de déterminant premier à 6, telle que w=bw. Soit p(b) = C(w,w) cette constante; on a : b) P(B)EP~~, C) p(b) =,o@)(b) si B E Se@), d) p ( ~ = ) 1 si B = (0 1) avec ) 1-1 pour toutes matrices B et D E M,>O(Z) de déterminant premier à 6. Remarque 1 : la présence de 2iri au lieu de 27r dans la formule définissant r1(2)(~) induit par comparaison avec [51 un changement de la constante C(w,g) par un facteur (-l)(det(b)-1)/2. C'est ce qui explique que l'exposant de (-1) dans la propriété d) du théorème ci-dessus est bien ([cl- 1)/2 au iieu de (Id1-1)/2 dans 151, no 11, p. 254. Aussi les indices de w1 et wz ont été échangés entre 151 et le présent texte. Remarque 2 : les propriétés c), d) et e) du théorème ci-dessus déterminent uniquement C(w,w). En effet, pour B tel que w = BE, soient M et N des éléments de Se2(Z) tels que

218 G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)E:~]/A(L) 219 i) B=M(E ~)N.M~~NES~~(Z), ii) sign c = sign d = (-l)(lcl-1)/2. Alors, on a p ( ~ = ),, ( Z ) ( M ) ~ ~ ~ ( ~ ) ~ ( ~ ) (. N ) 41 Preuve des théorèmes 1) & 3) a) On rigidifie la situation formée par les bases respectives u, g. w' et u' des réseaux L. L, L' et L' en exigeant - on appellera 6(L,L) la racine douzième canonique de ce quotient Preuve : résulte du th.3 b). COROLLAIRE 2. - Soient L, L et L - trois réseaux tels que i) L c L CL - et ii) [L -: LI premier à 6. Alors, on a et en posant pour des matrices B et w ' - = nw E M,>'(z) convenables. b) Si les tj, 1 5 j 5 L/L1. désignent un système complet de représentants du quotient LI LI, un calcul direct prouve l'existence d'une constante Preuve : résulte du th. 3 e). COROLLAIRE 3. - Si les réseaux L, L et L - vén3ent les mêmes hypothèses que dans le corollaire 2, alors on a Preuve : on observe tout d'abord l'identité [L:LI K(z; L, - L) = K(z; L,L) - K(z;L, L) entre fonctions méromorphes de la variable z. L'identité déjà notée [L: L'] F(z;w,w) = C j=i F(z+tj;w1,g'). Les diviseurs des deux membres sont en effet identiques. comme on le vérifie facilement. c) La constante &(II, B) est indépendante de w, car c'est une racine de 1 'unité. En effet, on a pour n entier > O auxrlltaire premier à det(b) Or, un CALCUL EXPLICITE prouve que $(z; Li, L2) = S(Li, L2)K(z; Li, L2) assure alors l'implication cor. 2 cor. 3. D'où l'assertion précédente vu (1). cf. 151, nos 5 à 8.

220 G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)~~]/A(&) d) Mais d'après (1) on a C(II, B)3 = C(2 Id, B ) ~ ~ ~ et d'après ( ~ ) -(2) ~ on a C(2 Id, B) p4, de sorte que (3) C(n, B) E ~ 1. 2 Enfin, on constate aussi dès que B E S&(Z) ; sous cette hypothèse, on obtient donc e) Par ailleurs en suivant respectivement les deux diagrammes suivants : ce qui est le th. 3 c). g) D'après le lemmefondamental cf. 151. no 4, les identités (6) et (7) assurent i'indépendance de l'expression dfn 1 $(z;l,l) = - F(z;w,w) C(w,w) on trouve relativement au choix des bases w et g des réseaux L et L, d'où les points b) et c) du théorème 1. h) Par (5) appliqué d'une part à II1 = 6Id, II2 = n, et d'autre part à III = II, II2 = 6 Id, on trouve compte tenu de (3) chaque fois que les deux membres ont un sens. f) Posons alors Cette formule assure la formule de distributivité pour tout diagramme ci- contre, à savoir Les théorèmes 1 a) et 3 a) sont donc vérifiés par définition; vu (2) il en va de même du th. 3 b). De plus vu (4) on a ce qui est le th. 3 e). chaque fois que les t j, 1 5 j 5 [L : LI]. parcourent un système complet de représentants du quotient L/L1.

222 G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)&=]/A(L) 223 chaque fois que les tj, 1 5 j 5 [L : L']. parcourent un système complet de représentants du quotient LI L'. On obtient ainsi les théorèmes 1 et 2 dans leur totaiité (l'unicité du th. 1 a déjà été prouvée). 21, [: 2) Enfin, le th. 3 d) non encore prouvé résulte d'un peu de calcul. En voici les 4 étams : a) ~([i y]) = (-l)(m-1)(n-1)f2 est bien connu! p) ~ar (5) appliqué d'une part à ri1 = [, il. n2 = [i 21, et hutre part à nl = [O 21. n, = [; b], on déduit de a) l'égalité ~([u 7) Par (6) appiiqué à )], [i :] et compte tenu de la valeur ) = <-q(ab-l)(c-l~2, c entier 2 1 des couples de réseaux emboités. On stratifie celui-ci à l'aide de deux entiers N et A 2 1 de sorte que Si R désigne l'espace des bases de réseaux positivement orientées. on peut trouver un homéomorphisme adéquat paramétrisant la strate TN,~ à raide du quotient de R par le sous-groupe de congruence modulo N de Se2 ( Z) cf. [71 3 et aussi 191. On étudie alors chaque à l'aide de techniques empruntées à G. Shimura ; on obtient deux résultats. tout d'abord : THÉORÈME 4 (cf 171 3). - POUT tous réseau L et L (tels que L C L et [L: L] premier à 6, pas nécessairement de type C.M.1 on a où gz et 93 désignent les coeflcients de l'équation d~wentielle S) A l'aide de (6) on évalue alors à partir de /3) et de 7). 5) On considère l'espace 7 = {(L,L) 1 L CL) satisfaite par la fonction P de Weierstrass. Remarque : soit j(l) = 1 728~2(~)~/~(~) l'invariant modulaire associé à L. Alors l'affirmation précédente améliore l'assertion, cf. Thèse I41 Appendice A, d'après laquelle : "soit L un réseau à multiplications complexes par l'anneau des entiers UK de K, et soit a un idéal entier de K premier à 6.

224 G. ROBERT Le quotient A(L)~~/A(~-'L) possède alors une racine douzième dans le corps de classes de Hilbert H = K(j(L)) de K dès que LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)~~]/A(LJ THÉORÈME 5 (cf (71 5 5). - POLU tout p E Lq \ &, on a S)(p; L,L)[">~ = S)(s-'p; S-'L,S-'L), s E Iii, pour tout idèle s E Ki. appartiennent à H." On suppose maintenant que les réseaux L et L admettent des multiplications complexes par un corps quadratique imaginaire K. Soit K i le groupe des idèles de celui-ci. On note s +-+ 1% KI l'homomorphisme surjectifde Ki sur Gal(Kab/~) défini par la théorie du corps de classes. Si A = Af x R désigne la décomposition de l'algèbre des adèles de Q en partie finie et infinie, on a une identification canonique Par suite, en notant s f = ( ~p)premier la partie finie de l'idèle s E Ki = (A @q K)X, la condition pour tout p premier définit à partir de la donnée du réseau L et de l'idèle s un réseau s-l L commensurable mais non nécessairement homothétique à L, et ayant même anneau d'endomorphismes. De plus, la multiplication par s-' morphisme s-' : LqIL -=+ (s-'~)~/s-'l définit un iso- du groupe des points de torsion de CIL sur le groupe des points de torsion de ê/s-'l, cf e.g. [6] 5 2. Alors, il vient : Remarque : ici s-lp désigne un quelconque nombre complexe dont la classe modulo s-' L est égaie à s-' (p modulo L). - Preuve des théorèmes 4 et 5 : on choisit la paramétrisation (de Weierstrass) (X, Y) : CIL E(ê) de la courbe E, munie de la forme différentielle invariante to = dx/y, de façon que le réseau L des périodes de tu sur Hl(E, Z) vérifie les conditions de Shimura : i) la courbe E est définie sur Kab: ii) ses points de torsion aussi. Il suffit pour cela d'amener un seul point de torsion t = (X(u), Y(u)) d'ordre m > 4 à satisfaire ce qui est aisé. (~(u, L), Pt(u, L)) E K'~ x Kab D'après le théorème de multiplication complexe des courbes elliptiques de G. Shirnura cf. Il01 th. 5.4, on peut alors définir A(s, L) E Kab pour s idèle de A- par { P(p, ~ ) [ ' 3 4 = A(s, L)-2P(s-1p, S-' L) P1(p, ~)[~7~7 = A(s, L)-3P'(s-1p, s-il) où les points de torsion ( p ) et ~ (~-'p)~-i sont liés par la remarque ci-dessus. L'application A : s w A(s, L) qui ne dépend que de la classe de commensurabilité de L est un homomorphisme croisé de Iii dans Kab, i.e. vérifie On note que l'on a aussi A(st, L) = A(s, L)[~J~A(~,, cf. e.g. 111.

226 G. ROBERT Mais alors, vu l'identité L'assertion du th. 5 se ramène donc à prouver LA RACINE 12-ièrne CANONIQUE DE A (L)~~]/A(L) 227 (la fraction rationnelle dépendant de la strate TN,A sur laquelle le point (L,L) se trouve) d'où l'assertion du th. 4. 61 Enfin, on a la congruence décrite,ci-dessous; celle-ci convenablement appliquée donne une autre description de C(w, g). cf coroliaire du th. 6. Soit q un idéal premier de K. Soit v, une valuation de K~~ au-dessus de q, et soit aq l'idéal maximal de l'anneau des entiers de v,. Pour L et l, des réseaux tels que i) L c l, et ii) [l, : LI soit premier à 6, on pose Celle-ci résulte du fait que l'on peut associer à S(L,L). en le multipliant par des produits de la forme où l, m, n et &m,n sont des entiers convenables, des fonctions a(l, l,) vérifiant En effet, il est facile de voir que le q'ln-développement à l'infini de la restriction de a(l, L) à TNsA via l'homéomorphisme est à coe-ients rationnels, de sorte que cf. [lol th. 6.9 ou 161 on a On conclut la démonstration du th. 5 en observant que pour un choix convenable des entiers l, m, n et 4, m, Q on peut assurer En fait, les réseaux L et L n'étant pas nécessairement supposés de type C.M., où la partie S de l,/l satisfait les mêmes conditions que dans (9). On a donc B(AL, Al,) = B(L,L), A E êx. On suppose dorénavant que L et L possédent des MULTIPLICATIONS COMPLEXES par l'anneau des entiers UK de K. Il vient : THGOR~~ME 6. - Soit q un idéal premier de K. Alors on a (10) 2) B(L, q-'l) E 1 (modnq), 416. De plus, s'il existe un idéal entier m # OK de K et un point p de Lq tek que alors on a m = { A E E L) = annulatm de p dans UK, (il) ii) $(p; L, q-' L) = 1 (mod a,), qt6m. Preuve (esquisse) : à l'aide de congruences faciles vérifiées par la fonction P de Weierstrass, on prouve la congruence (12) B(L, q-l L) $(p; L, q-il) (mod nq) dès que qt6m. Il s'ensuit, par des relations de norme déduites de la relation de distribution du th. 2, que l'ordre de la classe résiduelle de B(L, q-ll) modulo aq est 1 : vu (12) ci-dessus, ceci n'est autre que l'affirmation des congruences (10) et (11) du théorème. Pour plus de précisions, cf 171 9.

228 G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)[L:~]/A(L) 229 COROLLAIRE. - Soit f un entier > 1, et soit p un nombre complexe dont la classe rnodulo L est un point de torsion de CIL d'ordre f. On note F = H(12 f 2, le corps de classes de rayon rnodulo 12 f de K (cf. rappel ci-dessous). Soit b un idéal entier de Ii', tel que où w et g désignent deux bases de L, et B E S&(Z) ia matrice teiie que w = Bg ; celle-ci est valable pour tout réseau L et tout z 4 L. @ Très étonnante en ce que le membre de droite semble dépendre de et (b, FlIi) E Gal(F/K) l'automorphisme de FIK associé à b par la loi de réciprocité d'art&. Soit w et g des bases respectwes des réseaux L et b-ll. Alors, la quantité C(w,g) du th. 1 vérifie Rappel : quelque soient les bases respectives w et g des réseaux L et b-'l, il est bien connu cf. [14] que les quantités p(p; w) et p(p; g) appartiennent a F. En fait p(p;w)12f et p(p; w)12f sont les quantités introduites par K. Ra- machandra 121, cf 131 2; ce sont des entiers algébriques, et d'après loc. cit. on a alors que le membre de gauche ne dépend que de la matrice B E MZ0(Z) telie que w = Bg (pour w et g des bases respectives de L et 6-1 L). Preuve du corollaire : par DÉVISSAGE, d'après le th. 3 e), il suffit de prouver l'assertion du corollaire lorsque l'idéal b est premfer; disons b = q avec q premier, 4'16 f. Mais alors, comme p(p; w)(qlfik)/p(p; g) est une racine 12 f -ième de l'unité d'après (14). l'égalité (13) du corollaire résulterait de la congruence puisque q ne divise pas 12 f. Or, comme p(p; w ) est entier (c'est en fait une q-unité puisque ql. f), on a (14) (&,; 412' (b.f/h) 12f ) - (d P; 4). Remarques : @ même la puissance 12-ième de (13) ne semble pas avoir été notée auparavant. Toutefois dans [8] R. Schertz a évalué pour A - 1 annulant p et (A, 6) = 1. y(p;w)(hfik)-l Cependant, ayant divisé par p(p;w) plutôt que par p(p;g) ses résultats paraissent très compliqués et semblent (à tort) dépendre du corps quadratique imaginaire K. @ Généralise pour b # OIc la formule (th. 3 c)) Par suite, vu l'égalité la congruence (15) résulte de la congruence (11) du th. 6, ii). Le corollaire est démontré. Posons APPENDICE p(12)(p; L) = p(p; w)12 pour une quelconque base w de L. On suppose que End L E OK. Alors, on a les trois égalités suivantes :

230 G. ROBERT LA RACINE 12-ième CANONIQUE DE A(L)~~]/A(c) a) (Ip(12)(p; L)f)[aikl = Ip(12)(s-lp; s-l~)f, valable pour tout point de torsion p d'ordre f > O dans CIL, et tout idèle s de K. A la terminologie près celle-ci se trouve prouvée dans 121 th. 5. b) p(w(p; ~)(b,filk) = cp(12)(p; 6-IL) pour Fl /K l'extension abélienne maximale de conducteur f2, valable pour tout point de torsion p d'ordre f > O dans CIL, et tout idéal entier b premier à f. C) cp(p;~)(~,~j~) = C(w,g)cp(p;g) pour F2 / K l'extension abélienne maximale de conducteur 12 f 2, valable pour tout point de torsion p d'ordre f > O dans CIL, tout idéal entier b premier à 6 f et toutes bases w et g des réseaux L et b-' L. Bien sûr, il existe des variantes de a), b) et c) sous la seule hypothèse D'autre part, une relation teiie que a) ne peut tenir que si la quantité est indépendante du choix du représentant s-l p de la classe s-'p mod s-'l = s-'(p mod L) ce qui explique la nécessité de l'exposant f, lorsque l'ordre de p modulo L est f. Toutefois comme pour f > 1 le quotient où les points pi, i E {1,2), sont des représentants complexes d'un même point de torsion de CIL d'ordre f, appartient à pzf on peut d'après b) tout aussi bien remplacer l'exposant f de a) par Ce dernier fait est bien connu. BIBLIOGRAPHIE 111 C. GOLDSTEIN et N. SCHAPPACHER. - Séries d'eisenstein et fonctions L de courbes elliptiques à multiplication complexe, J. reine angew. Math. 327, (1981). 184-218. 121 K. RAMACHANDRA. - Some applications of Kronecker's limtt-formulas, Ann. of Math. 80, (1964). 104-148. 131 G. ROBERT. - Unités elliptiques, Bull. Soc. Math. France, Mémoire 36, 1973. 141 G. ROBERT. - Nombres de Hurwitz et unités elliptiques, Am. Sci. École Norm. Sup.(4) 11, (1978). 297-389. 151 G. ROBERT. - Concernant la relation de distribution satisfaite par la fonction cp associée à un réseau complexe, Invent. math. 100, (1990), 231-257. 161 G. ROBERT. - Multiplication complexe et lois de réciprocité, Max Plank Institut Bonn, 1989. 171 G. ROBERT. - Unités de Stark comme unités elliptiques, Prépubl. Institut Fourier, Grenoble no 143, déc. 1989. 181 R. SCHERTZ. - Niedere Potenzen elliptischer Einheiten, Proc. Int. Conf. on Class Numbers and findamental Units, Japan, Katata, (1986), 67-88. 191 J.-P. SERRE. - Cours d'arithmétique, P.U. France, 1970. Il01 G. SHIMURA. - Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Iwanami Shoten et Princeton U.P., 1971. Il 11 G. SHIMURA. - Nearly holomorphic functions on Hennitian symmetric spaces, Math. Ann. 278, (1987). 1-28. 1121 C.L. SIEGEL. - A simple proof of q(-117) = q(-r)fl. Mathematika 1 (1954) 4, cf. Op. Sc. vol. III no 62. 1131 C.L. SIEGEL. - Lectures notes on advanced analytic number theory, Tata Inst. of Fund. Research, Bombay. 196 1.

232 G. ROBERT 1141 H.M. STARK. - L-functions at s = 1, TV, First derivatives at s = O, Advances in Math. 35, (1980), 197-235. Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 1151 A. WEIL. - Introduction à l'étude des variétés Kahlériennes, Hermann, Paris, 1957. Pz DANS LES PmITS INTERVALLES Gilles ROBERT Institut Fourier 38402 ST MARTIN D'HÈRES Cedex Jie Wü 1. - INTRODUCTION On note Pz un entier ayant au plus deux facteurs premiers, et on considère ici le problème de la localisation des Pz dans les petits intervalles c'est-à-dire de la recherche des réels O tels que : (1.1) Pour x 2 xo(0) l'intervalle (x- x8,x] contient au moins un Pz. Traditionnellement on attaque une telle question en appliquant le crible pondéré à la suite 0 A={n;x-y <n<x) avec y =z. Les premiers résultats donnant des valeurs de O non triviales pour lesquelies (1.1) est vrai furent ceux de Wang (11811, de Jurkat et Richert (1121) et de Richert (I 151) qui obtinrent respectivement ce dernier résultat étant une conséquence des très élégants poids logarithmiques de Richert. A première vue on est très loin de la résolution de la conjecture qui affirme que (1.1) est vrai pour tout O > O. Néanmoins, en 1975, Chen (111) fit sensation en montrant que (1.1) est vrai pour O = 0,5.

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES 235 En effet son travail apporte une nouvelle idée dans le traitement du terme d'erreur qui apparaît dans ce problème, de façon plus précise, en notant on cherche D le plus grand possible tel qu'on ait l'estimation crible changea avec la mise au point du crible de Rosser-Iwaniec. Grâce à cette innovation (et d'autres idées) Halberstam, Heath-Brown et Richert parvinrent à O = O, 455 (151). Mais la technique de poids plus performante si on peut placer des poids au delà de la limite naturelle y, en d'autres termes on ne savait pas majorer de façon intéressante x b ( d, d) = o(y/ log x) d<d où Sd est un coefficient dépendant du crible utilisé. En utilisant le crible de Selberg en dimension 1, on sait que Jd vérifie où v(d) est le nombre de facteurs premiers distincts de l'entier d. En utilisant uniquement (1.3). on voit facilement que l'inégdté triviale montre que (1.2) est vrai pour D 5 yx-' (a > O quelconque) et que la valeur D = yx- ne peut être franchie (il suffit de choisir Ed = sgn r(a, d)) à moins de faire appel à une autre propriété des Jd. De façon simplifiée, le crible engendre des termes d'erreur de la forme que l'on veut rendre plus petits que O (~X-~'). Une telle majoration est vraie pour D = 0, doit à Chen (111) d'avoir tiré parti de la structure billnéaire du terme d'erreur (1.4) et d'avoir ainsi accru la valeur de D, en faisant appel à la technique de l'analyse de Fourier et des paires d'exposants. La valeur O = 0,5 fut alors améliorée en 8 = 0,4856 et 8 = 0,477 par Laborde ([13]] et Chen (121) par un emploi plus efficace des systkmes de poids et de la technique des sommes d'exponentielles. Le paysage des questions de où S(dp, z) désigne le cardinal des éléments de A, divisibles par p, dont tous les facteurs premiers sont supérieurs à z. Cette difficulté fut résolue en recourant au crible de Selberg de dimension 2, par Iwaniec et Laborde qui obtinrent 8 = 0,45 (leur article ([ 111) contient d'autres idées fort intéressantes en particulier sur le traitement de certaines sommes d'exponentielles et l'utiiisation agréable des poids de Buchstab-Laborde). Le progrès suivant fut celui dû à Halberstam et Richert : O = 0,4476 (1711. Ils parvinrent à introduire dans la construction du crible iinéaire de Rosser- Iwaniec les poids de Greaves (171) tout en conservant des formes billnéaires pour les termes d'erreur. Enfin. dans un article assez court ([31), Fouvry obtient 8 = 631142 = 0,4436.... Ce progrès repose principalement sur deux idées (dues à Fouvry et Iwaniec (141)): utilisation de majorations de sommes d'exponentielles de type monomial tout à fait adaptées aux termes d'erreur que l'on rencontre dans ce type de problème. traitement de (1.5) en employant le crible iinéaire de Rosser-Iwaniec; il apparaît alors des termes d'erreur qui se ramènent à De telles expressions sont traitées en tenant compte des propriétés combinatoires de la fonction caractéristique des nombres premiers (identité de Vaughan] et du coefficient bien factorisable X(d) pour se ramener, grâce à la technique de l'analyse de Fourier, à des sommes d'exponentielles de type monomial.

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES Dans cet article, nous utiiiserons (à la différence de FouMy) les poids de Greaves (Lemme 3) et affinerons notablement les majorations de termes d'erreur pour montrer le : ( 1 1 E % ~ ) T-E logd D1~'jp<DT, THGoRÈME. - Pour x sugisamment grand, l'intervalle (x - xe, x] contient, pour 0 = O, 44 au moins O, oolxs/ log x Maintenant. on pose I O, sinon. entiers ayant au plus deux facteurs premiers, comptés avec leur multiplicité. Remerciements : cet article est le deuxième chapitre de ma thèse de Doctorat préparée sous la direction du Professeur Etienne Fouq à qui j'exprime ma plus profonde gratitude. II. - CRIBLE PONDE& DE GREAVES Dans ce paragraphe nous décrivons le crible de Greaves dans la version qu'en ont donnée Halberstam et Richert ((71). Son intérêt réside dans sa facilité d'emploi et dans la souplesse du terme d'erreur (voir Lemme 4). Soit donc A une suite finie d'entiers. Soient T, U, V et E quatre constantes vérifiant les inégalités p.m>z pml~,p>z La fonction H sert à déceler dans A les entiers ayant peu de facteurs premiers de la façon suivante : et LEMME 1. - S'il existe des constantes E, T et V vérifiant EO L v L 114, 112 5 T < 1, H(A, D ~ D, ~ > ) O max la1 5 D aea ~ ~ + ~, il existe alors dans A, un élément a tel que Puisque H(A, DV, DT) > O, il existe a E A avec -y((a,p(dt)) > O. Cette inégalité entraîne que a a tous ses facteurs premiers supérieurs à DV et qu'on a, pour cet entier, la suite d'inégalités : O<T-E- C (T--') DI^ log D On considère la somme où D 2 2 sera le paramètre de base du problème considéré, log D P " I ~. P? D ~ <T-E-Tv(a,DT)+w - log D <l'-e-t~(u,d~)+~t+e = T(3 - v(a, DT)), ce qui donne le Lemme 1, puisque la fonction v est à valeurs entières. En fait nous prouverons plus que le signe positif de H(A, DV, DT) et nous donnons maintenant une forme plus pratique du Lemme 1. on a le

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES LEMME 2. - Soit A = {n; x - xe < n 5 x ) avec 113 < 0 < 1. S'il existe des constantes positives CO, 01, E, T et V vérifiant Après un découpage classique, on a la majoration H(A, D ~ D, ~ 2 ) c ~ log x ~ ~ avec / D = xel, alors pour x 2 xo, l'intervalle (x - xe, x] contient» x8/ log x nombres ayant au plus deux facteurs premiers. comptés avec leur multiplicité Pour majorer C (N), on écrit En effet le Lemme 1 entraîne, puisque O 5 y(n) 5 1, qu'il y a au moins co xe / log x entiers a de A tels que Par ailleurs ces entiers a ont tous leurs facteurs premiers supérieurs à DV. Ce lemme se démontre en utiiisant l'inégaiité que l'on peut prouver à l'aide de l'analyse de Fourier. Nous introduisons d'abord une fonction f (voir Ill]. par exemple) telle que et f(t)=l f(t)=o O 5 f(t) 5 1 On a l'inégalité évidente pour t~[x-y,x], pour t~[~-y-~x-~',x+~x-~'], sinon f E Ca,, f(q) «, (YX-~')-~ pour q 2 0 et t E R. avec H = N2y-lx3'. Evidernrnent on a la majoration D'ailleurs pour [hl > H, on peut facilement démontrer par intégration par parties qui donne et la formule sommataire de Poisson donne Enfin on veut majorer C 2. Pour y parvenir, on considère la somme d'exponentielles suivante

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES Le théorème 5.9 de 1161 donne puis 1 h(t) = C hr(t), $(t) = -- 1-t rll Enfin, pour O < V < 114, on pose : h(t) (O < t < 114). D'où on déduit, après une sommation par parties Enfin les relations (2.3)-(2.7) entraînent «E yx-e, puisque O1 > O, V > 0, 6 > 113 et T < (6 + 1)/261, ce qui termine la démonstration du Lemme 2. Pour minorer H(d, DV, DT), il est souvent rentable d'introduire un pa- ramètre U. On a le (161 formule (3.7)) : LEMME 3. - SOUS la condition Greaves a montré que la fonction $(t) est croissante et qu'elle a un unique zéro entre O et 114, noté Vo = O, 074368.... Maintenant, pour faciliter l'énoncé, nous supposons "w(p) = 1" avec les nota- tions usuelles, c'est-à-dire que pour d enuer, on pose où X est indépendant de d. X ~(d, d) = Iddl -- d En combinant le Théorème A de [7] et la formule de Mertens, on a le LEMME 4. - Soient T, U, V et E des constantes vérifiant la condition (2.1) et l'inégalité V 2 Vo. Alors, pour D tendant vers +m, et pour tout couple de réels M et N vén@mt on a L'inégalité MN=D, M>DU et N>1, on a i'inégalité 4 log log log D -~O~-+~(V)-E~O~~-E~P(V)+O( 3 (log log 0 )1/5 11 Nous rappelons maintenant la minoration de la fonction H qu'ont obtenue Halberstam et Richert (171 Théorème A), mais nous devons d'abord rappeler la définition de certaines fonctions liées au crible pondéré de Greaves. Pour r = l,2,3,..., on pose où le suprernum est pris sur toutes les suites de réels On remarque la structure bilinéaire du terme d'erreur, qui ressemble à la condition M > DU près, au terme d'erreur dans le crible linéaire de Rosser- Iwaniec.

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES III. - R~ULTATS G~~NÉRAUX SUR LES SOMMES D'EXPONENTIELLES. Il est bien connu (voir paragraphe N ci-dessous) que le problème de la majoration du terme d'erreur apparaissant dans la formule du Lemme 4 se ramène à celui du traitement de sommes d'exponentielles. L'objet de ce paragraphe est de montrer les Propositions 1 et 2, mais avant de les énoncer, nous rappelons quelques notations :. n - N signifie que n appartient à un intervalle inclus dans [cl N, czn] où cl et c2 sont deux constantes positives non spécifiées. Les constantes implicites dans les symboles O ou «peuvent toutefois dépendre de cl et c2. E est un réel positif très petit et E' désigne systématiquement un certain multiple de E qu'il est inutile de préciser (E' = 2 ~, 48~, 500~,...). La valeur de E' peut varier d'une ligne à l'autre.. e([) = exp(2~is). r(d) est le nombre de diviseurs de l'entier d. On a la PRoPosinoN 1. - Soient X, H, M et N 2 1, am et bn des nombres compiexes de modules inférieurs à 1. Alors pour tout E > O, on a la majoration dès qu'on a les inégalités où ( K, A) est une paire d'exposants. Dans l'application de cette proposition, on verra que la condition (2) est la plus importante. 1. Lemmes classiques. que Le premier de ces lemmes reprend la définition des paires d'exposants : LEMME 5. - Soient s, c > O, 3(s, c) l'ensemble des quadruples (N, 1, f, z) tels (i) N et z sont positijs, (ii) I est un sous-intemalle de (N, 2N], (iii) f est unefonction de I dans W. infùiiment dérivable v&@ant pour tout 12 2 O et tout x de I i'inégalité où (r;, A) est une paire d'exposants. Alors si (K, A) est une paire d'eqosants et si c = C(K, A, s) est suffisamment petit, on a la majoration PROPOSITION 2. - Soient x, H, M et N 2 1, bn des nombres complexes de modules inférieurs à 1. Alors pour tout E > O. on a la majoration unijormément pour (N, 1, f, z) E 3(s, c). dès qu'on a les inégalités Démonstration : si ZN-' 2 1. on retrouve exactement la définition des paires d'exposants (voir p. 1 16 de [16]).

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES 245 Si ZN-" < 1 - c, on utilise les Lemmes 4.2 et 4.8 de Il61 qui expliquent le terme ( ZN-~)-~. Si 1 - c 5 ZN-' < 1, on remarque que f (x) satisfait et on se retrouve dans le premier cas puisque où = a/(a - 1). X = 2 (~~-' + et a un nombre complexe de module 1, L est un nombre vénmnt les inégalités 112 < LM/X < 2. Enfin nous rappelons un lemme classique d'espacement de points. On a le LEMME 9 ([4] Lemme 1). - Soient a/%! # 0. A > O, N 2 1 et H 2 1. On note B(N, Hl A) le nombre de quadruplets (nl, n2, hl, h2) tels que pour O < c < 112, ce qui complète la démonstration du Lemme 5. Nous rappelons maintenant une inégalité de base de la méthode de Weyl-Van Der Corput ([41 Lemme 2) : LEMME 6. - Soient L > K. Q > O et zk des nombres complexes, on a L'inégalité On fait appel à cette variante de la classique formule de Perron pour éliminer des contraintes multiplicatives de sommation : LEMME 7 ([4] Lemme 6). - Soient O < L < PN < UN < XL et soit cn une suite de nombres complexes avec lcn 1 5 1. On a L'égalité avec N < nl, n2 5 2N et H < hl, hz < 2H. Alors on a la majoration 2. Démonstration de la Proposition 1 On suit une technique de Heath-Brown ([8]) et Loo ([14]). Soit S la somme apparaissant dans (3.1). Soit Q 2 1, dont on donnera la valeur par la suite. Puisque les variables h et n vérifient hn-' 5 clhn-', on décompose leur ensemble de variation en Tg (15 q 5 Q) défini par ce qui permet d'écrire S en Le lemme suivant combine le Lemme 7 et la formule sommatoire de Poisson (avec un très bon reste) pour une fonction monomiale. On a le LEMME 8 ([4] Lemme 7). - Soient X 2 1, M 2 1, 1 < p < p~ et a(a - 1) # 0. On a l'égalité Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient que l'on développe en O,,, (M-'l2 log(2 + M ) + L-li2 log(2 + L)),

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES Dans cette expression, on remarque que nl, n2, hl et hz vérifient en remarquant que pour t N M 1 fl(t)l AXM-~ d'ou la majoration et le Lemme 9 pour majorer B(N, H, ANIH) ce qui donne C,(A) < (NH 1og(2NH) +AN3H) ((AXM-2)"~* + (AxM-~)-'). Puisque A» NW2, cette inégalité se réduit à cl(^) O: (A'+"x"M-~~+*N~H + x-'m2n3h)l. où, par définition, Co et Cl correspondent aux cas respectivement. La constribution Co de la diagonale ne présente aucune difficulté En utiiisant (3.5) on a Cl g: (Q-~-K,K~-zK+*~~-K~~+K + X -~M~N~H)L~. En reportant cette majoration dans (3.3) et en utilisant (3.4), on obtient 1 ~ 1g: 2 (QM2NH + Q-K~KM~-~K+*N~-KH~+K + QX-1 M3 N3 H) L3 Pour démontrer la Proposition 1, il reste à prouver l'inégalité avec L = log(2hn). Pour estimer Cl nous discutons de la tailie de hlnll - hznyl(> c~n-'). Pour y parvenir, nous découpons l'intervaile (c2 N-2, cl HN-'Q-'] en O(L) intervalles (A,2A] avec N-2 «A a: HN-lQ-'. Soit donc Q(N-~H + x - l ~ + ~ Q-K~KM-~-~K+*N-KH~+K ~ ) KE x - ~ ~. Puisque MN2 5 x, cette inégalité se réduit à qui conduit a On applique le Lemme 5 à la fonction Pour le premier cas, la deuxième inégalité des hypothèses implique (3.6). Dans le deuxième cas, la troisième inégalité donne (3.6). ce qui complète la démonstration de la Proposition 1.

3. Dtmonstration de la Proposition 2 Soit maintenant S la somme traitée dans la proposition 2. On applique le Lemme 8 à la somme en m. Après intégration par rapport à t (en remarquant l'inégalité (p"("-l)t - 1 )/t = O(min(l/t, log p))). on parvient à l'inégalité On applique le Lemme 6 à la somme intérieure pour faire appdtre une nouvelle variable de sommation q. En supposant on a la majoration n-n h-h P-L avec L = zh/m2n et où L vaut maintenant L = log(2xhmn). Le supremum est pris sur toutes les suites b',, th et de modules inférieurs à 1. Pour L 5 1, on a, pour T la majoration triviale n où g(n, q) = (n - q)-'i2 - (n + q)-'1'. Puisque les valeurs q et -q peuvent se regrouper, on écrit cette inégalité comme T «NH. Dans ce cas, le premier terme de la majoration (3.7) disparait dans le troisième. Cette remarque nous autorise à supposer L 2 1. En posant Nous appliquons le Lemme 8 à la variable k, on a donc on réécrit T comme une somme double avec + ( dzg(n, g))-1/21i~ + L. JSiJ -< 1 et J = zl/'li- 1/29(n, 4). En reportant cette majoration dans (3.8), on obtient L'inégalité de Cauchy-Schwarz et la majoration entraînent

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES D'après la définition de g(n, q) et l'hypoîhèse Q < N/ log(3n), on a les équivalences suivantes Puisque g(n, q) est décroissant en n, I(jl, jz, q) est un intervalle avec II(jl,h,q)l K N. D'où on déduit, par (3.10) Il en résulte les majorations 15 - ( g;,(n, q) = -qn '12 + ~(q~n-'/~). 4 Pour estimer Cl. on applique le Lemme 5 à la fonction Ensuite, nous voulons estimer le deuxième terme à droite de (3.9). Pour y parvenir, on pose en remarquant que pour t - N on a et l'inégalité de Cauchy-Schwarz et (3.10) donnent les majorations ce qui donne : (3.12) où et avec En combinant cette majoration avec les relations (3.9) et (3.11). on obtient g (x(l+")/4k(5+")/4n(3-5"+2*)/4 Q (1+")/2 + K ~ / + ~ xn -1/4~7/4~11/4 ~ Q-'/~ + K2N2~-l)L5.

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES Quand Q = 1, on a l'inégalité et la relation (3.16) devient Pour démontrer la Proposition 2, il reste à prouver l'inégalité Mais eiie peut facilement être vérifiée. En effet, pour les deux premiers termes, on peut directement utiliser (iv) et (v) des hypothèses. Pour le troisième terme, (3.17) et (iv) des hypothèses donnent Puisque on a les inégalités H4 < M4)j'x-1-~' - et MNH 5 on a donc et l'inégalité (3.15) se réduit à H 5 Mx- ' (en remarquant que (iii) des hypothèses implique Q 5 N/ iog(3n)). la relation (3.16) se réduit à qui est une conséquence immédiate de (2) la démonstration de la Proposition 2. et (ii) des hypothèses, ce qui complète

p2 DANS LES PETITS INTERVALLES 255 IV. - MAJORATIONS DE TERMES D'ERREUR Ce paragraphe consiste en quatre petits paragraphes. PRowsmo~ 3. - Soient (arn)rn-~ et (b,),,~ deux suites de nombres cornplexes de modules inférieurs d 1. Alors pour tout & > O, la mqjoration 1. Les deux types de termes d'erreur rencontrés Comme nous le verrons au prochain paragraphe, le point de départ pour démontrer le Théorème, est l'inégalité pondérée (2.8) du Lemme 3. Nous minorerons le premier terme à droite de (2.8) par le Lemme 4 et majorerons le deuxième terme à droite de (2.8) à l'aide du crible iinéaire de Rosser-Iwaniec. Evidemment on rencontrera des termes d'erreur de types suivants : est vraie dès qu'on a les inégaiités PROPO~ITION 4. - Soient X(d) un coemient bien factorisable de niveau D et A( k) la fonction de Von Mangoldt. Alors pour tout E > O, la majoration est vraie dès qu'on a les inégalités x7/16 -Y- < < x9/20, K > yx-'' et IPD~ 5 y9x-" Iaml 5 1 et Ibn[ Il, e A={n;x-y<nSx) avec y=x, A = la fonction de von Mangoldt, X = coefficient bien factorisable de niveau D. Nous avons besoin de la majoration du type suivant 2. Résultats gbnéraux sur les termes d'erreur Pour démontrer ces deux propositions, nous donnons d'abord un lemme qui transforme la majoration du type (4.1) en celle de sommes d'exponentielles de qui furent l'objet du paragraphe III. Par la technique de l'analyse de Fourier, on a le lemme classique suivant : Comme il a déjà été dit au premier paragraphe, la construction biiinéaire de RI (M, N) et R2 (D, K), et les propriétés combinatoires de la fonction de Von Mangoldt A (identité de Vaughan) nous permettent d'obtenir des majorations non triviales de R1 (M, N ) et R2 (D, IO. Autrement dit, les valeurs MN et DI< peuvent franchir la borne naturelle pz-", ce qui est crucial pour accéder à des valeurs intéressantes de B. L'objet de ce paragraphe est de prouver les deux propositions suivantes : LEMME 10 (I41 Lemme 9). - Soient M, N 2 1 et la,l De ce lemme, nous déduirons le 5 1, Ibml 5 1. Alors on a

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES 257 LEMME 11. - Soient et (bn)n,n deux suites de nombres complexes de modules inférieurs à 1. Alors pour tout a > O, la majoration Remarque : i) si on prend maintenant (K, A) = (1/ l4,ll /l4) dans la Proposition 2, la majoration (4.2) est vraie dès qu'on ales inégalités est vraie dés qu'on a les inégalités x4/27 < y x1/2, M yx-~' et ~ 8 7 0 ~ 1 1 4 8 1630-241-E' - 5 Y x Démonstration : dans [9], Huxley et Watt ont démontré que est une paire d'exposants au sens du Lemme 1. Si l'on prend, dans la Proposition 1 9 37 241 296 (n,~) = BA'(% +E,% +E) = (- 574 +E,- 574 +a), -. évidemment nos hypothèses entrainent que les conditions de la Proposition 1 sont satisfaites. Après un découpage classique, le Lemme 10 et la Proposition 1 donnent le Lemme 11. De même, nous avons le LEMME 12. - Soit (bn)n,n une suite de nombres complexes de modules inférieurs à 1. Alors pour tout a > O, la majoration (4.2) x b,r(a,mn) <, yx-' m-m n-n est vraie dés qu'on a les inégalités x3/8 < A Y < - x9/20, N < - y5/2x-7/8-~' et MN < - y1/2x1/2-" Démonstration : on fait appel au Lemme 10 et à la Proposition 2 avec (n, A) = (116,213) et H = M N X ~ ~ Donc / ~. les sept inégalités de la Proposition 2 deviennent 512-718-E' N < y78/73x-14/73-~' N<y a: 7-3 N < - yx-1/5-~', N < - y4/3x-1/3- ' > MN < - y1/2x~/2-~' En appliquant ce résultat au problème des nombres B-libres ([19]). on obtient la valeur correspondante B = 691166 + E = 0,415... + a, au lieu de 0 = 5/12 +a = 0,416... + E. ii) Récemment, nous avons démontré que la majoration (4.2) est vraie dès qu'on a les inégalités Ce résultat nous permet d'obtenir 0 = 17/41 +E des nombres B-libres. = 0,414... + E dans le problème Pour démontrer les Propositions 3 et 4, nous avons encore besoin des lemmes suivants, qui sont une conséquence de la théorie des sommes d'exponentielles de type monomial ([4]) : LEMME 13 (I31 Lemme 7). - Soient et (b,),,~ deux suites de nombres complexes de modules inférieurs à 1. Alors pour tout E > O, la majoration est vraie dès qu'on a les inégalités LEMME 14([4l Théoréme 7). - Soient (a,),,~ et (b,),,~ deux suites de nombres complexes de modules inférieurs à 1. Alors pour tout E > O, la majoration C m-m n-n est vraie dés qu'on a les inégalités ambnr(a, mn) «, YX-" Mais pour x3/8 5 y 5 x9/20, la première inégalité implique les cinq suivantes, ce qui termine la démonstration du Lemme 12.

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES 3. Démonstration de la Proposition 3 Nous discutons sur la taille de M(< y~-~'). D'abord, si on a l'inégalité M870~1148 < 1630-241-C' -Y " 1 le Lemme 11 donne directement le résultat. Dans la suite, on suppose donc Dans ce cas, il suffit de vérifier les deux dernières inégalités du Lemme 14. La relation (4.3) et l'hypothèse de la Proposition 3 donnent ~6 = ~ (~870~1148)-1/8ïO N6368/870 1630-241-c')-1/870(~7720~-2851-c' 11870 M 7-3-r' < M(y x 1 - Y ", ~ 2 (yx-c1)2(y7720x-2851-c' ~ 4 1111592 10904/1592~-2851/1592-c' =Y pour y < x31/65, ce qui complète la démonstration de la Proposition 3. 4. Démonstration de la Proposition 4 Cette partie s'inspire très largement de [4]. Nous le reprenons pour que la démonstration de la Proposition 4 soit complète. Pour profiter des propriétés combinatoires de A, nous faisons appel à l'identité de Vaughan (1171 formule (3)) sous la forme condensée suivante : LEMME 15 ([3] Lemme 3). - Il existe six fonctions arithmétiques a;(n) (1 < i 5 6) vénmnt I'inégalitk t Dans la démonstration classique, SI et S2 sont dites de type 1, S3 et S4 de type II. Nous appliquerons ce lemme avec 9(k) = C ~(d)r(d, dk). d Nous commençons par découper les ensembles de variations de m et n en intervalles (M, 2MJ et (N, 2Nj et, par une sommation par parties, nous remplaçons, dans S2, le facteur log par 1. Donc pour démontrer la Proposition 4, il suffit de prouver les deux majorations suivantes : (4.4) am C X(d)r(d,dmn) Kr pour 1 < M < K1I3, rn-mn-n K1<rnn<K C d<d rn-mn-n K1<rnn<K ambn C A(d)r(A, dmn) G d<d pour K ~ < / M ~ 5 K1I2. Dans les den expressions ci-dessus, les coefficients am et bn sont quelconques, sauf qu'ils vérifient les inégaiités telles que, pour tom les nombres I1 et 11' (100 5 K' < K 5 211') et toutefonction arithmétique g, on ait L'égalité Toutefois les variables m et n sont dépendantes puisqu'eiïes sont liées par la contrainte multiplicative K' < mn 5 K. Cette contrainte peut être supprimée par le Lemme 7. En effet, si on prend, dans ce lemme.

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES 261 on obtient a) Démonstration de (4.6) A l'aide du Lemme 12, il est très facile de vérifier la relation (4.6). En effet, si on prend KIM et MD pour valeurs des paramètres M et N du Lemme 12, on rencontre alors les deux inégalités suivantes Mais les hypothèses sur y, II et D impliquent En remarquant lïntégration par rapport à t engendre un facteur en O(log(2x)), ce qui est acceptable. D'ailleurs, on a pour y < x7/16. Donc dans le cas de (4.5), on est ramené a étudier une somme du même type où, toutefois b, est remplacé par b,n-it et am par un certain a&(t) tel que b) Démonstration de (4.7) Nous vérifions maintenant (4.7) par le Lemme 13. On pose, pour profiter de la décomposition du coefficient bien factorisable A, Dans le cas de (4.4). on procède de même, à la différence près qu'il faut intégrer par parties pour éliminer le facteur n-". Ainsi la démonstration de la Proposition 4 est ramenée aux deux majorations suivantes Il faut vérifier tout d'abord Dz 2 1, ceci est Mai car on a la suite d'inégalités (rappelons l'encadrement IP/~ 5 M 5 P I 2 ): pour MN = Ii et 1 5 M 5 et pour y 2 x16/37. On peut alors décomposer X en posant D = Dl D2 et appliquer le Lemme 13 avec, pour choix des paramètres M et N, I<D1/M et MD2 respectivement. Les trois dernières inégalités du Lemme 13 qu'il faut vérifier deviennent pour M N = K et < M 5 K1l2.

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES avec A={n;x-x 6 <n<x). Dans ce cas, on a les relations suivantes L'inégalité (4.8) est trivialement vérifiée par choix de Dl. Pour que (4.9) le soit, il suffit qu'on ait simultanément Nous choisissons maintenant La première est une conséquence de l'inégalité M 2 K1l3, la seconde se vérifie facilement par la suite d'inégalités et pouvons facilement vérifier que ces constantes satisfont les conditions des Lemmes 1-4. Pour minorer H(A, D', DU), nous utilisons le Lemme 4 avec pour y 2 x3i7. On vérifie maintenant (4.10) par la suite d'inégalités Dans ce cas, le terme d'erreur dans le Lemme 4 peut être contrôlé par la Proposition 3, à condition de se débarasser de la contrainte : mnl~(~'). En effet, on a l'égalité pour y I: x9/20. Ceci termine la démonstration de la Proposition 4. Am paragraphes précédents. nous avons fait la préparation nécessaire pour démontrer notre théorème. L'objet de ce paragraphe est de terminer la démons- tration du théorème. Le point de départ est l'inégalité pondérée du Lemme 3 : où p(d) est la fonction de Mobius,

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES Maintenant la Proposition 3 donne On majore trivialement x, en écrivant les inégaiités : Enfin un calcul numérique donne H(A, D ~ D, ~ 2 ) O, OOIX~/ log X, ce qui complète la démonstration du Théorème. Manuscrit reçu le 5 décembre 1990 D'où on obtient R 4 yx-' D'autre part, nous majorons le deuxième terme à droite de (5.1) par la formule bien connue du crible linéaire de Rosser-Iwaniec ([IO]). Dans ce cas, le terme d'erreur peut être contrôlé par la Proposition 4. Après un calcul classique, on peut obtenir l'inégalité (5.3) c (1 - w(p))s(.~p, DV) I DU<p<DT 2xs 9U -8T 9U -8T 2T T log - (T- E)Bl log x ( 12U U +-log-+o(l)). 3U U Les relations (5.1)-(5.3) entraînent H(d,DvlDT) 2x8 1 (T- E)ol log (T log - 1 4 + (1- T ) log -- log - - E log 3 + a(v) - EoP(V) 1-U 3 -- 9U - 8T 9U -8T 2T T log -- log -- o(1). 12U U 3U U ) u

Pz DANS LES PETITS INTERVALLES 267 1121 W.B. JURKAT et H.-E. RICHERT. - Improvement of Selberg's Sime method 1. Acta Arith. 11, (19651, 217-240. BIBLIOGRAPHIE 111 J.R CHEN. - On the distribution of almost primes in an interval, Sci. Sinica 18, (1975). 61 1-627. 121 J.R. CHEN. - On the distribution of almost primes in an interval (II], Sci. Sinica 22, (19791, 253-275. 131 E. FOUVRY. - Nombres presques premiers dans les petits intervalles, Analyüc Number Theory (Proceedings Tokyo, 19881, LNM 1434, Springer Verlag. 141 E. FOUVRY et H. IWANIEC. - Exponential sums for monomiais, J. of Number Theory 33, (1989), 311-333. 151 H. HALBERSTAM, D.R HEATH-BROWN et H.-E. RICHERT. - Almost-primes in short intervals, Recent Progress in Analytic Number Theoiy, Academic Press 1, (19811. 69-101. 161 H. HALBERSTAM et H.-E. RICHERT. - Weighted sieves, Publications Mathématiques d'orsay, 88-03, Colloque Hubert Delange 7 et 8, (19821, 97-1 14. 171 H. HALBERSTAM et H.-E. RICHERT. - A weighted sieve of Greaves' Spe II, Elementary and Analytic Theory of Numbers, Banach Center Publica.tion 171, (19851, 183-215. 1131 M. LABOR.DE. - Les sommes trigonométriques de Chen et les poids de Buchstab en théorie du crible, Thèse de 3ème cycle, Université de ParisSud, 1978. 1141 W.Z. LOO. - Formes bilinéaires de termes d'erreur pour les petits intervalles (en chinois), Acta Math. Sinica 32, (1989). 86-96. 1151 H.-E. RICHERT. - Selbergs sieve with weights, Mathematika 16, (19691, 1-22. 1161 E.C. TITCHMARSH. - The theory of the Riemann zeta-fhction, second edition, Oxford University Press, 1986. 1171 RC. VAUGHAN. -An elementary method in prime number theory, Acta Arith- metica 37, (19801, 11 1-1 15. 1181 Y. WANG. - On sieve methods and some of their applications, Scient. Sinica 11, (1962). 1607-1624. 1191 J. WU. - Nombres 8-libres dans les petits intervalles (à paraître]. Jie WU Département de Mathématiques Université de Nancy 1 B.P. 239 54506 VANDCEUVRE LES NANCY CEDEX 181 D.R HEATH-BROWN. - The ~jateckii-sapiro prime number theorem, J. of Number Theory 16. (1983). 242-266. 191 M.N. HUXLEY et N. WATT. - Exponential sums and the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc.(3) 57. (19881, 1-24. [lo] H. IWANIEC. -A new form of the error term in the linear sieve, Acta Arith. 37, (19801, 37-56. [Il] H. IWANIEC et M. LABORDE. - Pz in short intervals, Ann. Inst. Fourier 31, (1981). 37-56.

Séminaire de Théorie des Nombres Paris 1989-90 Uste des conférenciers 9 octobre 1989 D. Masser. - Endomorphismes de variétés abéliennes 16 octobre 1989 E. Bayer. - Réseau unimodulaires E. De Shalit. - 23 octobre 1989 R. Limé. - Déviation dans I'équidistribution des sommes exponentielles CU biques 6 novembre 1989 C. Mauduit. - Substitutions et nombres algébriques 13 novembre 1989 J.-P. Wintenberger. - Torseur entre cohomologie étde p- adique et cohomologie cristalline 20 novembre 1989 J. Tilouine. - Théorie d71wasawa des corps CM et déforma- tions de représentations gdoisiennes 27 novembre 1989 J.-F. Jaulent. - Noyau hilbertien et vajeurs absolues 4 décembre 1989 U. Jannsen. - Principe de Hasse cohomologique 11 décembre 1989 Y. Hellegouarch. - Généralisation du théorème de Terjanian sur le théorème de Fermat 18 décembre 1989 M. Carpentier. - Sommes d'exponentielles : polygones de Newton 8 janvier 1990 B. Gross. - Courbes elliptiques et empilement de sphères, d'après Elkies et Shioda 15 janvier 1990 B. Erez. - Structure herrnitienne de modules galoisiens et opérations de Adams 22 janvier 1990 H. Hida. - Fonctions L p-adiques de formes modulaires 29 janvier 1990 D.R. Heath-Brown. - The diophantine equation x3 + y3 + 23 = n 5 février 1990 A. Kraus. - Sur une question de Mazur concernant les points de torsion de courbes elliptiques

Progress in Mat hematics 12 février 1990 F. Morain. - Développements récents en factorisation et primalité 19 février 1990 C. Soulé. - Approximation diophantienne sur les variétés abéliennes, d'après Faltings 12 mars 1990 M. Huxley. - Areas, lattice points and exponential sums 19 mars 1990 G. Robert. - La racine douzième canonique de A(L)L:']/ A@), lorsque les réseaux complexes L et L(L C L) sont d'indice [L : L] premier à 6 26 mars 1990 A. Ash. - Cohomology of GL(n, Z) 2 avril 1990 P. Colrnez. - L'anneau des périodes p-adiques 9 avril 1990 Y. André. - Cycles algébriques sur les variétés abéliennes 23 avril 1990 P. Debes. - Construction de groupes de Galois : situations non rigides 14 mai 1990 D. Blasius. - Coherent cohomology and arithmetic of Hecke eigenvalues H. Shiga. - On the Picard moddar function and its arith- metic property 21 mai 1990 E.U. Gekeler. - Représentations galoisiennes associées aux modules de Drinfeld (d'après Taguchi) 28 mai 1990 K. Miyake. - On nilpotent extensions of an algebraic nurnber field Il juin 1990 H. Iwaniec. - Eigenvalues for congruences groups A. Brumer. - Exercices diédraux et courbes à multiplication réelle 18 juin 1990 G. Faltings. - New p-adic symmetric domains N. Elkies. - Mordell-Weil lattices and the Barnes-Wall lat- tices Edited by: J. Oesterlé A. Weinstein Département de Mathkmatiques Department of Mathematics UniversitC de Paris VI University of Caiifomia 4. Place Jussieu Berkeley, CA 94720 75230 Paris Cedex 05. France U.S.A. Progress in Mathematics is a sexies of books intended for professional mathematicians and scientists. encompassing al1 areas of pure mathematics. This ditinguished series. which began in 1979, includes authored monographs and edited collections of papers on important research developments as well as expositions of particular subject areas. We encourage preparation of manuscripts in some form of Tex for delivery in camera-ready copy which leads to rapid publication, or in electronic form for interfacing with laser printers or typesetters. Proposais should be sent directly to the editors or to: Birkhiuser Boston. 675 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, U. S. A. A complete list of titles in this series is available from the publisher. LAURENT. Théorie de la Deuxième Microlocalisation dans le Domaine Complexe. VERDIERJLE POTIER. Module des Fibres Stables sur les Courbes Algébriques: Notes de l'ede Normale Supérieure, Printemps, 1983 EICHLERZAGIER. The Theory of Jacobi Forms S m /SOMMESE. Vanishing Theorems on Complex Manifolds RIESEL. Prime Nurnbers and Computer Methods for Factorization HELFFINNOURRIGAT. Hypoellipticité Maximale pour des Opérateurs Polynomes de Champs de Vecteurs GOLDSTEIN. Séminaire de Théorie des Nombres. Paris 1983-84 PROCESI. Geometxy Today: Giornate Di Ceometria. Roma. 1984 BALLMANN/GROMOV/SCHROEDER. Manifolds of Nonpositive Curvature GWUIMARIN. A la Recherche de la Topologie Perdue GOLDSTEIN. Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1984-85 MYUNG. Malcev-Admissible Algebras GRUBB. Functional Calculus of Pseudo-Differential Boundary Problems CASSOU-NOGUES/'~AYIBR. Elliptic Functions and Rings and Integers HOWE. Discrete Croups in Geometry and Analysis: Papen in Honor of G.D. Mostow on His Sixtieth Birthday ROBERT. Autour de L'Approximation SemiClassique FARAIJT/HARZALLAH. Deux COUS d'analyse Harmonique