EI Bienne - Microtechnique OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Tables des matières 1. Lumière 2. Réflexion (Miroir) 3. Réfraction (Prisme, Surfaces sphériques, Lentilles) 4. Instruments d' optique Bibliographie JOSÉ-PHILIPPE PÉREZ / Optique géométrique et ondulatoire / Masson 1994 G. BRUHAT / Optique / Masson Paris 1965 NAUMANN SCHROEDER / Bauelemente Optik / Hanser München 1992 E. HECHT / Optics / Addition 1987
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 2 / 27 Table de matière 1. Lumière... 4 1.1. Notions de base... 4 1.2. Développement de la conception de la lumière.................................... 4 1.3. Indice de réfraction... 5 1.4. Chemin optique... 6 1.5. Principe de fermat... 6 1.6. Principe du retour inverse de la lumière... 6 1.7. Objet et l'image optique... 6 1.7.1. Chambre noir... 6 1.7.2. Objet réel - image réelle... 7 1.7.3. Objet virtuel - image virtuelle... 7 2. Réflexion... 8 2.1. Loi de la réflexion... 8 2.2. Miroir... 8 2.3. Construction de l'image... 8 2.3.1. Miroir plan... 8 2.3.2. Miroirs sphériques... 9 2.3.3. Miroir parabolique... 11 3. Réfraction de la lumière... 12 3.1. Loi de la réfraction... 12 3.2. Réflexion totale... 12 3.3. Lame à faces parallèles... 13 3.3.1. Réfraction dans une lame à faces parallèles................................ 13 3.3.2. Plusieurs lames à faces parallèles... 13 3.4. Réfraction sur un prisme... 14 3.4.1. Marche d'un rayon à travers d'un prisme................................... 14 3.4.2. Angle de déviation min... 15 3.4.3. Relation de Frauenhofer... 15 3.4.4. Dispersion provoquée par le prisme... 15 3.4.5. Pouvoir dispersif... 16 3.5. Surfaces sphériques réfringentes (dioptre sphérique)............................... 16 3.5.1. Image d'un point... 16 3.5.2. Foyers d'une surface sphérique... 16 3.5.3. Agrandissement de l'image... 17 3.5.4. Convention de signe... 17 3.5.5. Image d'un "grand" objet... 18 3.6. Lentilles... 18 3.6.1. Formes de lentille... 18 3.6.2. Lentilles minces... 19 3.7. Système de lentilles minces... 22 3.7.1. Distance focale totale... 22 3.7.2. Image intermédiaire... 22 4. Instruments d' optiques... 23 4.1. L' oeil... 23
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 3 / 27 4.1.1. Constitution de l' oeil... 23 4.1.2. Oeil réduit... 23 4.1.3. Défauts de l' oeil... 23 4.1.4. Grossissement d'un instrument... 24 4.2. Loupe... 24 4.3. Microscope... 25 4.4. Lunette astronomique... 26 4.4.1. Lunette astronomique de Kepler... 26 4.4.2. Lunette astronomique de Galilée... 26 4.4.3. Lunette terrestres... 26
1. Lumière EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 4 / 27 1.1. Notions de base La lumière est une onde qui se propage dans un milieu isotrope sur une droite. On appelle cette droite un rayon lumineux. L'approximation de l'optique géométrique utilise simplement ces rayons lumineux et elle ne se préoccupe pas de la nature de la lumière. Un ensemble de rayons lumineux intervenant dans une expérience par exemple s'appelle un faisceau lumineux. Il peut être divergent (tous ses rayons partent d'un même point), parallèle (tous ses rayons sont parallèles) ou convergent (tous ses rayons se concentrent en un seul point). "1": Rayon lumineux "2": Faisceau de lumière divergent "3": Faisceau de lumière parallèle "4": Faisceau de lumière convergent Les yeux, détecteurs des ondes électromagnétiques dont la longueur d'onde est comprise entre 390 nm et 780 nm. Cette sensibilité se manifeste par les différentes couleurs. Le tableau donne les valeurs approximatives des longueurs d'onde correspondantes dans le vide pour diverses couleurs. Couleur Violet Bleu Vert Jaune Orange Rouge Longu. d'onde [nm] 390-455 455-492 492-577 577-597 597-622 622-780 Certains objets nous paraissent lumineux par eux-mêmes; ce sont des sources de lumière, tels le soleil, les flammes diverses ou l'arc électrique. Les autres objets tels la lune, une feuille de papier ne sont vus que lorsqu'ils se trouvent éclairés par une source de lumière. La séparation des deux cas n'est pas absolue: un même corps, un fil métallique parcouru par un courant électrique convenable, peut être visible la nuit grâce à la faible lumière qu'il émet, le jour grâce à celle qu'il reçoit du ciel et renvoie vers l'oeil. Un objet éclairé peut parfois servir à son tour à en illuminer d'autres; on dit alors qu'il constitue une source secondaire de lumière. Les sources de lumière, primaires ou secondaires, se distinguent par leurs dimensions, leur luminosité et par leur couleur. 1.2. Développement de la conception de la lumière La conception sur la nature de la lumière changeait plusieurs fois dans le temps.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 5 / 27 Newton 1672 Huygens 1678 Malus, Fresnel 1815 Maxwell 1865 Einstein 1905 QED La lumière est constitué de corpuscules "petites particules" qui se déplacent sur des trajectoires rectiligne. Réflexion, Réfraction La lumière est une onde longitudinal dans un milieu élastique qui rempli l'univers. Interférences, Diffraction La lumière et une onde transversale. Polarisation La lumière est une onde électromagnétique. L'optique est une partie de l'électrodynamique. Equations de Maxwell Propose une théorie corpusculaire. Les "petites particules" ou grain de lumière sont les photons; particule avec masse nulle qui se propagent avec la vitesse de la lumière. Théorie relativiste, dualisme onde particules. Quantum electrodynamics. Théorie quantique qui réunie les aspects ondulatoires et corpusculaire de la lumière. 1.3. Indice de réfraction La vitesse de propagation de la lumière dans le vide c 0 est constante. Elle a la valeur: mesuré en 1972 La lumière se propage dans le milieu (gaz, liquide, solide) transparent ou semi-transparent avec une vitesse c qui est plus petite que c 0. Pour chaque milieu, on définit un indice de réfraction n. Cette grandeur dépend de la longueur d'onde de la lumière considéré (Dispersion) et de la température. n( ): Indice de réfraction du milieu (-) c 0: Vitesse de propagation de la lumière dans le vide (m/s) c: Vitesse de propagation de la lumière dans le milieu (m/s) Pour les expériences en optique géométrique, on travaille plutôt avec la lumière monochromatique (une seule couleur de la lumière). Les sources de lumières préférées sont les lasers et les lampes de décharge.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 6 / 27 1.4. Chemin optique Soit P et Q deux points dans un milieu homogène d'indice de réfraction n. Le temps mis par la lumière pour aller du point P au point Q vaut: n: Indice de réfraction [-] L: Chemin géométrique entre P et Q 1.5. Principe de fermat Un faisceau de lumière se propage suivant un trajet tel que le temps de parcours est minimale. En fait, ce n'est pas la longueur géométrique du trajet (P-Q) qui compte, mais le chemin optique. Donc, un rayon lumineux suit un chemin qui correspond au plus court chemin optique. 1.6. Principe du retour inverse de la lumière Le trajet du rayon décrivant la propagation du lumière depuis un point P vers un point Q est le même que celui qui décrit la propagation depuis le point Q vers le point P. 1.7. Objet et l'image optique 1.7.1. Chambre noir La dispositif dit le chambre noire muni d'une petite ouverture S est une application directe de la propagation rectiligne de la lumière. Il permet d'obtenir une image grossière d'objet assez lumineux ou assez éclairés pour que les pinceaux issus de leurs divers points, tels que A et pénétrant par S, aient leur trace visible sur l'écran E. L'image est grossière, parce que les pinceaux issus de points voisins sur l'objet forment sur l'écran des taches de lumière qui se recouvrent partiellement. Si, pour y remédier, on réduit de plus en plus l'ouverture S, on a de moins en moins de lumière sur E; et cette lumière, quand l'ouverture devient très petite, s'étale de plus en plus, comme nous le verrons en théorie des ondes (la diffraction). Des images plus satisfaisantes peuvent être formées par des miroirs, par des lentilles de verre ou par des "systèmes optiques" plus compliqués.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 7 / 27 1.7.2. Objet réel - image réelle L'image réelle A' d'un objet réel A est définie lorsqu' un faisceau divergent, issu de ce point, de concentre par suite de phénomène de transmission dans un système optique O (miroirs, lentilles, etc.) et converge alors vers le point A'. L'objet et l'image sont hors du système optique. 1.7.3. Objet virtuel - image virtuelle L'image virtuelle A' d'un objet virtuel A est définie lorsque le prolongement d'un faisceau convergent passe par le point A, issu de ce point, se diverge par suite de phénomène de transmission dans le système optique O (miroirs, lentilles, ect.). A est un objet virtuel, il n'a pas d'existence réelle. Les rayons divergents de sorties semblent provenir d'un point A' qui serait situé avant la sortie du système optique O. A' est alors une image virtuelle. L'image réelle peut être recueillie sur un écran, tandis que l'image virtuelle n'est que la source apparente, du faisceau lumineux. La connaissance du parcours de deux rayons non parallèles issus d'une source ponctuelle permet de déterminer la position de l'image de cette source. Pour construire l'image d'une source étendue on fera la construction par autant de points qu'il sera nécessaire.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 8 / 27 2. Réflexion 2.1. Loi de la réflexion Lorsque de la lumière arrive sur une surface réfléchissante R avec un angle d'incidence, elle en repart avec un angle de réflexion. i R: Surface réfléchissant n: Normale sur l'élément de surface réfléchissant r i: Rayon incident r : Rayon réfléchi r r i: Angle d'incidence [-] : Angle de réflexion [-] r 2.2. Miroir Pour réfléchir la lumière, on utilise des surfaces polies (miroir), le plus souvent réalisées par dépôt métallique sur un support de verre. On emploie couramment l'argent déposé en fine couche, ou l'aluminium vaporisé sous vide. Suivant l'épaisseur du dépôt métallique, l'intensité de lumière réfléchie sera plus ou moins grande. Lorsqu' une partie de l'intensité lumineuse incidente est transmise à travers la couche métallique et son support, on a un miroir semi-transparent. Tous les corps transparent dont la surface est polie réfléchissant une partie de la lumière incidente. Pour des raisons de facilité de réalisation, les miroirs que l'on utilise le plus couramment sont plans ou sphériques; quelquefois ils ont une forme cylindrique ou parabolique. 2.3. Construction de l'image 2.3.1. Miroir plan Image d'un objet ponctuel Après la réflexion sur le miroir (1', 2'), tous les rayons lumineux (1, 2) issus d'un objet ponctuel A semblent provenir d'un point A' symétrique de A par rapport au plan du miroir. A' est une image virtuelle. a: Distance d'objet [m] b: Distance d'image [m]
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 9 / 27 Image d'un objet étendu D'un objet étendu AB, le miroir plan fournit une image virtuelle A'B', symétrique de AB par rapport au plan du miroir. Cette image est rigoureusement stigmatique, ce qui signifie qu'à chaque point de l'objet, le miroir plan fait correspondre un point de l'image. 2.3.2. Miroirs sphériques Le miroir sphérique est caractérisé par le rayon de la sphère r et l'angle d'ouverture du miroir. On appelle: - Centre du miroir (Z), le centre de la sphère - Axe principal du miroir (H), son axe de symétrie - Sommet du miroir (S), le point d'intersection de l'axe principal avec le miroir. Lorsque la face réfléchissante est tournée vers le centre de la sphère, on a un miroir concave; lorsqu' elle est tournée vers l'extérieur, on a un miroir convexe. Nous allons étudier dans la suite de ce paragraphe le miroir concave, qui est le plus utilisé; l'étude du miroir convexe peut être faite en suivant les mêmes principes. Image d'un objet ponctuel Tout rayon lumineux arrivant sur le miroir sphérique, obéit aux lois de la réflexion, par conséquent, il se réfléchit dans le plan d'incidence, en faisant avec la normale au miroir un angle égal à l'angle d'incidence. En chaque point du miroir sphérique, la normale est dirigée suivant un rayon de la sphère; cette remarque permet de comprendre la construction de l'image A' de l'objet ponctuel A. L'image d'un objet ponctuel nécessite dans le cours de sa réalisation, plusieurs mesures d'angle, ce qui la rend délicate; aussi, pour des objets situés en dehors de l'axe principal, on préfère utiliser les trois rayons lumineux particulières. Le rayon centrale passe par le centre. Puisqu' il est perpendiculaire au miroir, il se réfléchit sur lui-même et il sort le miroir par le centre du miroir Z.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 10 / 27 Le rayon principale passe parallèle à l'axe principal. Soit I le point d'intersection d'un tel rayon avec le miroir. La distance entre ce point I et l'axe principale est h. Le point F est le point d'intersection du rayon réfléchi avec l'axe principal. Le point F ainsi défini est appelé le foyer du miroir et la distance FZ, la distance focale f. Dans ce cas, le foyer est le point où convergent de tous les rayons lumineux atteignant le miroir parallèlement à son axe principal. f: Distance focale [m] r: Rayon du miroir [m] Le rayon focale passe par le foyer du miroir. D'après le principe du retour inverse de la lumière, un tel rayon lumineux est réfléchi dans une direction parallèle à l'axe principal. On obtient l'image A' de l'objet A en prenant l'intersection de deux de ces rayons particuliers. Image d'un objet étendu On obtient l'image d'un objet étendu à partir de l'image de chacun des points de l'objet. La position et la grandeur de l'image sont données par les points aux limites de l'image (A', B'). Ces points aux limites sont construits à partir des points aux limites de l'objet (A, B).
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 11 / 27 Equation de miroir : Agrandissement AB: Grandeur de l'objet [m] A'B': Grandeur de l'image [m] a: Distance de l'objet [m] b: Distance de l'image [m] f: Distance focale [m] < 0 (> 0): L'image a une orientation inverse (droite) par rapport l'objet Tous les raisonnement sont aussi valables pour des miroirs convexes et des images virtuelles avec la convention de signe suivante: f > 0 (< 0) : Miroir concave (convexe) a > 0 (< 0): Objet réel (virtuel) b > 0 (< 0): Image réelle (virtuelle) Les miroirs convexes produisent simplement des images virtuelles avec l'agrandissement 0 < < 1. On utilise des miroirs sphériques dans de très nombreux appareils. Les miroirs concaves permettent d'obtenir une image réelle d'un objet sans que le faisceau lumineux perde de son intensité en traversant de la matière, comme cela se produit avec les lentilles. 2.3.3. Miroir parabolique Ce miroir a un support dont la forme est celle d'un paraboloïde de révolution. Tous les rayons parallèles à l'axe principal viennent converger en un même point qui est le foyer du paraboloïde F. Inversement, on obtient un faisceau parallèle, à partir d'une source lumineuse placée en ce point. Ceci tient à une propriété géométrique du paraboloïde et est par conséquent valable quels que soient l'angle d'incidence ou l'angle d'ouverture du miroir. Ces miroirs sont utilisés dans les télescopes et certains phares.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 12 / 27 3. Réfraction de la lumière 3.1. Loi de la réfraction Lorsque la lumière traverse la surface de séparation entre deux milieux de nature différente (transparent ou peu transparent), il se produit à l' interface: - Une réfraction de la plus grande partie de la lumière incidente - Une réflexion du reste de la lumière incidente La réfraction est le changement de direction de la lumière lorsque le rayon lumineux passe la surface de séparation entre deux milieux avec des vitesses de propagation de la lumière différentes. Le rayon réfracté est dans le plan formé par le rayon incident et le rayon réfléchi. R: Surface de séparation entre le milieu 1 et 2 r i: Rayon incident r b: Rayon réfracté r r: Rayon réfléchi n: Normale sur l'élément de surface de séparation : Angle d' incidence [-] : Angle de réfraction [-] n 1: Indice de réfraction du milieu 1 [-] n : Indice de réfraction du milieu 2 [-] 2 La vitesse de la lumière dans la matière est toujours plus petite que dans le vide, alors il suit que n est toujours plus grand que 1. En bonne approximation on peut poser n AIR = 1, Si n 1 > n 2, on dit que le milieu 1 est optiquement plus dense (ou plus réfringent) que le milieu 1. SNELL a découvert expérimentalement la loi de la réfraction et DESCARTES a trouvé son interprétation théorique. 3.2. Réflexion totale Si la lumière passe d'un milieu d'indice n 1 à un autre milieu moins réfringent d'indice n 2, avec un angle d'incidence croissant, il arrive une situation limite où l'angle de réfraction vaut /2. L'angle d'incidence correspondant est l'angle critique. K K: Angle critique [-] Si l'angle d'incidence est plus grand que K, la réfraction disparaît et il y a la réflexion totale.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 13 / 27 La réflexion totale dans les fibres optiques: La lumière subit une réflexion totale sur la surface de contacte entre le coeur (n 1) et le gaine (n 2). L'indice de réfraction n 2 est à peu près 2% plus faible que l'indice de réfraction n. 1 3.3. Lame à faces parallèles 3.3.1. Réfraction dans une lame à faces parallèles Lorsque les milieux extrêmes sont identiques, tout rayon ressort de la lame dans une direction parallèle à celle qu'il avait à l'entrée, mais a subi une translation d'une distance. : Translation du rayon [m] d: Epaisseur de la lame [m] : Angle d'incidence [-] : Angle de réfraction [-] 3.3.2. Plusieurs lames à faces parallèles Un rayon lumineux passant plusieurs lames à faces parallèles subit dans la lame i une déviation. i i: Angle d'incidence dans la lame i [-] i: Angle de réfraction dans la lame i [-] n : Indice de réfraction dans la lame i [-] i
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 14 / 27 3.4. Réfraction sur un prisme Un prisme est un milieu transparent limité par les deux faces du prisme F et G non parallèles. L'intersection des deux faces forment l'arête du prisme et l' angle au sommet du prisme. Tout plan normal à l' arête du prisme CDE est un plan de section principale. Nous limiterons aux conditions suivantes: - Le rayon lumineux est situé dans le plan de section principale - Le prisme est optiquement plus dense que son environnement (n P > n) - La lumière est monochromatique 3.4.1. Marche d'un rayon à travers d'un prisme Considérons un rayon monochromatique contenu dans un plan de section principale. Il traverse le prisme en subissant une réfraction à l'entrée (A) et une à la sortie (B), tout en restant dans le plan d'incidence. L'angle des rayons incident et émergent est l'angle de déviation. : Angle de déviation [-] 1: Angle d'incidence [-] 2: Angle d'émergent [-] : Angle de réfraction du prisme [-] Le remplacement de l'angle 2 avec une fonction f( 1) fournit ( 1): P n : Indice du prisme [-] n: Indice autour du prisme [-]
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 15 / 27 3.4.2. Angle de déviation min Si on augmente progressivement l'angle d'incidence 1, l'angle de déviation diminue, passe par un valeur minimum min puis augmente. A l'aide du calcul différentiel, on montre que devient minimal si l'angle d'incidence 1 est égal à l'angle émergent. 2 : Angle de déviation [-] 1: Angle d'incidence [-] : Angle d'émergent [-] 2 3.4.3. Relation de Frauenhofer La mesure de l'angle de déviation minimum min est souvent utilisée pour déterminer l'indice de réfraction n du matériau dont est composé le prisme: P n P: Indice de réfraction du prisme [-] n: Indice de réfraction de l'environnement [-] min: Angle de déviation minimale [-] : Angle de réfraction du prisme [-] 3.4.4. Dispersion provoquée par le prisme Un prisme, formé d'un matériau transparente, produit une déviation de rayon de lumière incidente d'une quantité fonction de la longueur d'onde, c'est à dire de la couleur de la lumière. Les différentes couleurs d'un faisceau parallèle de lumière blanche (L) sont déviées dans différentes directions et sont donc dispersées. Une bonne relation n( ) pour le comportement des corps bien transparent est donné par Cauchy: n: Indice de réfraction [-] : Longueur d'onde [m] n D: Indice dr réfraction pour = 587.6 nm [-] a: Constante du corps transparent [m 2 ]
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 16 / 27 3.4.5. Pouvoir dispersif Les différentes indices de réfractions des prismes produisent des spectres avec des différentes longueurs. Pour les différentes matières, l effet de la dispersion serra comparer avec le pouvoir dispersif rel ou avec le nombre d Abbe. rel: Pouvoir dispersif [-] n D: Indice de réfraction pour = 588,7 nm (jaune) n F: Indice de réfraction pour = 486,1 nm (bleu) n C: Indice de réfraction pour = 656.3 nm (rouge) : Nombre d Abbe [-] 3.5. Surfaces sphériques réfringentes (dioptre sphérique) 3.5.1. Image d'un point Une surface de séparation sphérique avec le rayon r et le sommet S entre deux milieux transparents homogènes 1 et 2 d'indices de réfraction n 1, n 2 constitue un dioptre sphérique. Le point A est l'image de l'objet A, qui est placé sur l'axe principale. Considérons les triangles semblables APZ et A QZ: D'après la loi de réfraction sur la surface de séparation: Pour les rayons avec les angles d'incidence petits, c.à.d. rayons paraxiaux (cos 1; s 1 a; cos 1; s b): 2 3.5.2. Foyers d'une surface sphérique n i: Indice de réfraction dans le milieu i [-] a: Distance de l'objet [m] [1] b: Distance de l'image [m] r: Rayon de la sphère [m] Le foyer objet F 1 correspond à l'emplacement d'un objet ponctuel dont l'image est à l'infini b =, alors a = f. Avec l'équation [1]: 1
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 17 / 27 Le foyer image F 2 correspond à l'emplacement de l'image d'un objet ponctuel situé à l'infini a =, alors b = f. Avec l'équation [1]: 2 L'équation [1] multiplier avec le facteur r/(n 2 - n 1): f 1: Distance focale objet [m] f : Distance focale image [m] 2 3.5.3. Agrandissement de l'image L'agrandissement pour une image A'B' d'un objet AB formé avec les rayons paraxiaux. 3.5.4. Convention de signe : Agrandissement [-] AB: Grandeur de l'objet [m] A'B': Grandeur de l'image [m] n i: Indice de réfraction du milieu i [-] a: Distance de l'objet [m] b: Distance de l'image [m] Tous les équations démontrées pour les rayons paraxiaux sont valables avec le convention de signe suivant: - Les rayons lumineux passent de gauche à droite - a > 0 (< 0): L'objet est à gauche (droite) de sommet S - b > 0 (< 0): L'image est à droite (gauche) de sommet S - R > 0 (< 0): Le centre de la sphère Z est à droite (gauche) de sommet S - f 1 > 0 (< 0): Le foyer objet F 1 est à gauche (droite) de sommet S - f > 0 (< 0): Le foyer image F est à droite (gauche) de sommet S 2 2
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 18 / 27 3.5.5. Image d'un "grand" objet Les points d'image d'un grand objet sont construits avec les rayons paraxiaux par rapport à l'axe principale H ou d'après les conditions (si cos 1) par rapport à un axe auxiliaire N. 3.6. Lentilles Une lentille est un milieu réfringent limité par deux calottes sphériques ou une calotte sphérique et un plan. Les rayons lumineux avec les petits angles divergences ou convergence traversent la lentille et ils subissent une double réfraction. Forme générale d'une lentille: 3.6.1. Formes de lentille Z 1, Z 2: Centres des sphères r 1, r 2: Rayons de courbure S 1, S 2: Sommets des sphères H: Axe principale M: Centre optique L: Rayon lumineux n: Indice de réfraction Suivant les positions des centres de sphères et les valeurs relatives de r 1 et r 2, on distingue: Lentille convergente (Lentille convexe): Ce sont des lentilles à bords minces par comparaison avec l'épaisseur sur l'axe: Lentille divergente (Lentille concave): Ce sont des lentilles à bords épais par comparaison avec l'épaisseur sur l'axe:
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 19 / 27 Une lentille mince est une lentille avec la distance S1S 2plus petite que le rayon r de la calotte sphérique. Pour les considération d optique, l épaisseur est négligeable et les points S 1, S 2 et M se réunissent à un point. 3.6.2. Lentilles minces 3.6.2.1. Formules des lentilles L'équation des lentilles minces est donnée par la réfraction de la lumière sur les deux surfaces sphériques (I, II). Nous limitons à des rayons paraxiaux et l'épaisseur est négligeable. On applique deux fois l'équation des images pour une surface sphérique (I et II) et on tient compte de la convention de signe: (I): 1) (II): 2) 1+2): a: Distance de l'objet [m] b: Distance de l'image [m] n i: Indice de réfraction des corps hors de la lentille [-] n L: Indice de réfraction de la lentille [-] r, r : Rayon de la sphère [m] 1 2 Nous nous bornerons pour la suite à la situation où la lentille est entourée d'une seul corps avec l'indice de réfraction n. On trouve l'équation des lentilles sous la forme suivante: n: Indice de réf. hors de la lentille [-] 3.6.2.2. Foyer et distance focale Pour une lentille, ils existent deux foyers (F 1, F 2). Le foyer objet F1 coïncide avec la position d'un objet dont la lentille fournit une image située à l'infini (b = ); le foyer image F 2 coïncide avec la position de l'image d'un objet situé à l'infini (a = ). La distance entre le centre optique et le foyer est appelée distance focale f.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 20 / 27 b = ; a f 1: a = ; b f 2: f 1 = f 2 = f. La comparaison avec l'équation des lentilles: f: Distance focale [m] n L: Indice de réfraction de la lentille [-] r i: Rayon de la sphère [m] a: Distance de l objet [m] b: Distance de l image [m] -1 Pour une lentille dans l'air (n = 1), on appelle 1/f la convergence D mesurée en dioptrie [D] = dpt = m. 3.6.2.3. Lentille divergente Jusqu'à maintenant, on a traité des lentille convergente. Elle fait converger les rayons incidents. La distance focale est positive. Une lentille divergente fait diverger un faisceau parallèle de rayons incidents. La distance focale est négative. 3.6.2.4. Construction de l'image L'image d'un objet sera déterminée à l'aide de trois rayons principaux. Pour la construction, on utilise seulement deux des rayons suivants: "1" Le rayon centrale, passe par le centre M de la lentille. Il ne subit pas de déviation. "2" Le rayon principale, passe parallèle à l'axe principale. Il est dévié par le foyer F 2. "3" Le rayon focale, passe par le foyer F. Il est dévié parallèle à l'axe principale. 1
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 21 / 27 L'image d'un objet AB pourra être dessinée à l'aide des images de l'ensemble des points de l'objet; en fait, il suffit de construire l'image du point A (Point le plus éloigné de l'axe optique) et le point de l'axe optique B (Point en dessous de A). 3.6.2.5. Agrandissement - Loi de Newton L'agrandissement est le rapport de la dimension de l'image par rapport à la dimension de l'objet. Avec les triangles semblables formés avec les rayons lumineux particulières on a les équations suivantes:. : Agrandissement [-] AB: Grandeur de l'objet [m] A'B': Grandeur de l'image [m] a: Distance de l'objet [m] b: Distance de l'image [m] f: Distance focale [m] 3.6.2.6. Convention de signes Avec les conventions suivantes, l'équation des lentilles est généralement applicable: S Les rayons lumineux se propagent de gauche à droite S Objet (réel) à gauche de la lentille: a > 0 Objet (virtuel) à droite de la lentille: a > 0 S Image (réelle) à droite de la lentille: b > 0 Image (virtuelle) à gauche de la lentille: b > 0 S Le centre de la courbe. Z est à droite de la surface: r > 0 Le centre de la courbe. Z est à gauche de la surface: r > 0
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 22 / 27 S Lentille convergent: f > 0 Lentille divergent: f < 0 S Points en dessus de l'axe optique: AB, A'B' > 0 Points en dessous de l'axe optique: AB, A'B' < 0 3.7. Système de lentilles minces 3.7.1. Distance focale totale Beaucoup de système optiques sont constitués de plusieurs lentilles avec une axe optique commun. La distance focale du système de deux lentilles (L 1, L 2) avec les distances focales (f, f ) est donné par: 1 2 f: Distance focale totale [m] f i: Distance focale de la lentille i [m] d: Distance entre les deux lentilles [m] Deux lentilles minces avec les deux distances focales f 1et f 2peuvent remplacer par une distance focale f résultante par rapport les deux plans principaux H 1 et H 2. On renonce à la déduction de la relation cidessus et aux formules donnant les positions des plans principaux. 3.7.2. Image intermédiaire Les raisonnements suivants permettent de calculer la position du plan objet ou image et le grandissement d'une façon simple. a) La lentille L 1 produit l'image intermédiaire A'B' de l'objet AB à la position b. b) La lentille L 2 produit l'image A'<B'< de l'image intermédiaire A'B' à la position b. 1 2 On a les relations suivantes: a i: Distance de l'objet i [m] b i: Distance de l image i [m] : Agrandissement total[-] : Agrandissement de la lentille i [-] i
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 23 / 27 4. Instruments d' optiques 4.1. L' oeil 4.1.1. Constitution de l' oeil La lumière, tombant sur la face antérieure de l' oeil, traverse succes sivement plusieurs milieux transparents; dans l' ordre: - La cornée (H) qui forme une partie bombée transparent en avant de l' oeil dont la forme générale est sphérique R H = 0.78 cm. - L' humeur aqueuse (K), liquide claire, dont l'indice de réfraction est voisin de celui de l' eau pure n K = 1.358. - Le cristallin (L) est une lentille biconvexe, élastique, entouré de muscles ciliaires (Z) n L = 1.42. - L' humeur vitrée (G) est un liquide gélatineux, qui occupe la plus grande partie du volume de l' oeil. n G = nk - L' iris (I) est une membrane colorée percé en son centre d' une ouverture circulaire. Elle donne la couleur à l' oeil. - La pupille (P) est l'ouverture circulaire dans l' iris. Elle permet de ne laisser entrer que la quantité de lumière la mieux adaptée. Le diamètre de la pupille est variable de 2 à 8 mm. - La rétine (R) est une membrane sensible qui tapisse tout le fond de l' oeil. Elle est formée par l' épanouissement du nerf optique. Celui-ci transmet au cerveau les images qui se forment sur la rétine. Dans une très petite région d' environ 2 mm de diamètre, la tache jaune (T), la rétine est particulièrement sensible. -Le point aveugle (B) d' un diamètre voisin de 1 mm, est l' entrée des nerfs optiques (N) dans l'oeil. Cette région n' est pas sensible par rapport de la lumière. 4.1.2. Oeil réduit L' oeil est formé d' une suite de surfaces sphériques. Il est peu près équivalent à une lentille convexe, dite oeil réduit. Cette lentille serait située à environ 7 mm en arrière de la cornée. 4.1.3. Défauts de l' oeil L' oeil normal donne d' un objet situé à l' infini une image nette sur la rétine. Lorsque l' objet se rapproche, les rayons du cristallin se déforment que l' objet se forme encore sur la rétine. Cette déformation est maximale lorsque l' objet est situé à une distance minimale de vision. C' est le pouvoir d' accommodation. Pour un oeil normal, la zone d'accommodation est compris ente (oeil au repos) et ca 25 cm.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 24 / 27 Oeil normal: L'oeil n'a pas besoin une correction pour les applications normales. Oeil myope: L'oeil myope et trop convergent. Sans accommodation, un objet à l'infini en avant de la rétine. Pour corriger la trop grande convergence, on associe à l'oeil une lentille divergente. Oeil hypermétrope: L'oeil hypermétrope n'est pas assez convergent. Sans accommodation un point à l'infini aurait son image en arrière de la rétine. Ce défaut se corrige avec une lentille convergente. 4.1.4. Grossissement d'un instrument La grandeur d'un objet est proportionnelle à la tangente de l'angle de vision. Le grossissement est le rapport entre l'angle de vision de l'oeil avec l'instrument et l'angle de vision de l'oeil nu. L'oeil et l'objet ont toujours la même distance L (point hyperfocal). : Grossissement [-] : Angle de vision de l'oeil avec l'instrument [-] : Angle de vision de l'oeil nu [-] 4.2. Loupe Des loupes servent à présenter agrandi de petits objets à l'oeil. Sans loupe, un oeil normal considère un petit objet AB à la limite de la zone d'accommodation. Cela correspond à la distance conventionnelle L = 25 cm. Avec la loupe, un oeil complètement décontracté peut observer l'image à l'infini. Dans cette situation, l'objet se trouve dans le foyer. Ainsi vaut le grossissement: L: Distance conventionnelle [m] f: Distance focale [m]
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 25 / 27 4.3. Microscope Le microscope est un instrument d' optique destiné à l' observation d' objets très petits. Schématiquement, un microscope comprend donc deux parties essentielles: - L' objectif (L 1), ainsi appelé parce qu' il est du côté de l' objet. C'est un système formé d' un assez grand nombre de lentilles qui, d' ailleurs, ne sont pas toutes minces. Pour une étude élémentaire, on considère un objectif simple à une lentille mince. L 1 a une distance focale de quelques mm seulement. Le rôle de l' objectif est de fournir de l' objet une image réelle et agrandit. L' objectif reçoit des rayons notablement inclinés jusqu' à 70 sur l' axe principale. Il est corrigé des défauts qui en résulteraient. - L' oculaire (L 2) situé, comme son nom l' indique, du côté de l' oeil. C' est une bonne loupe, comportant généralement deux lentilles. Nous assimilerons l' oculaire à une lentille mince convexe. L'image intermédiaire produit par L 1 se forme à la position du foyer de L 2. L'objectif et l'oculaire ensemble forme une image à l'infini. La distance focale de L est voisine de 2 cm. 2 AB: Objet A'B': Image intermédiaire réelle A'<B'<: Image virtuelle La distance de l' objectif à l' oculaire est de 15 à 20 cm. Le grossissement du microscope se compose de l'agrandissement de l'objectif et du grossissement de l'oculaire. : Grossissement total [-] L1: Agrandissement de l'objectif [-] : Grossissement de l'oculaire [-] L2 Si on a plusieurs systèmes d'optique sur la même axe, les distances importantes sont les longueurs optiques et mécaniques du tube. Pour un microscope, ces distances apparaissent entre l'objectif et l'oculaire. t O: Longueur optique du tube [m] t M: Longueur mécanique du tube [m] F'< Ob: Foyer coté image dans l'objectif F' : Foyer coté objet dans l'oculaire Ok
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 26 / 27 4.4. Lunette astronomique 4.4.1. Lunette astronomique de Kepler Dans une lunette astronomique, on examine avec une loupe l' image fournie par une première lentille. L' instrument comprend donc deux parties essentielles: - L' objectif (L 1), généralement constitué par deux lentilles accolées, il est assimilable à une lentille mince convexe, de très grande distance focale de 1 à 2 m et de très grande ouverture jusqu' à 1 m de diamètre. - L' oculaire (L 2), jouant le rôle de loupe, il est assimilable à une lentille mince convexe de quelques cm de distance focale. A B : Objet à l' infini A'B': Image intermédiaire réelle A'<B'<: Image virtuelle : Grandissement f 1: Distance focale de l'objectif [m] f : Distance focale de l'oculaire [m] 2 4.4.2. Lunette astronomique de Galilée La lunette de Galilée donne une image virtuelle droite et agrandie. L'oculaire (L 1) donne une image intermédiaire réelle et renversée. L'objectif (L 2) permet de renverser l'image intermédiaire à nouveau. : Grandissement f 1: Distance focale de l'objectif [m] f : Distance focale de l'oculaire [m] 2 4.4.3. Lunette terrestres La lunette de Kepler produit une image renversée. Pour des observations terrestre une lentille supplémentaire ou un jeu de prisme de Perrot est introduit pour renverser l'image.
EI Bienne - Microtechnique Optique géométrique - 27 / 27 Lentille supplémentaire: La lentille L 2 est monter pour tourner l'image. Jeu de prime de Perro L'image est redressée à l'aide de deux prismes dont les arêtes sont perpendiculaires.