T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 14 DEEMBRE 2012 Durée : 3h NOM : Prénom : alculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-4 points - Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : - un assortiment de madeleines, choisi par 50% des clients ; - une part de tarte aux pommes, choisie par 30% des clients. 20% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts. Le restaurateur a remarqué que : - parmi les clients ayant pris un assortiment de madeleines, 80% prennent un café ; - parmi les clients ayant pris une part de tarte aux pommes, 60% prennent un café ; - parmi les clients n ayant pas pris de dessert, 90% prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire. On note : - M l évènement : «Le client prend un assortiment de madeleines» ; - T l évènement : «Le client prend une part de tarte aux pommes» ; - P l évènement : «Le client ne prend pas de dessert» ; - l évènement : «Le client prend un café» et l évènement contraire de. 1) En utilisant les données de l énoncé, préciser la valeur de et celle de, probabilité de l évènement sachant que T est réalisé. 2) Recopier et compléter l arbre ci-dessous : 0,5 M 0,8 T P 3) a) Exprimer par une phrase ce que représente l évènement puis calculer. b) Montrer que 0,76. 4) Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de madeleines sachant qu il prend un café? (On donnera le résultat arrondi au centième).
Exercice 2-6,5 points - Lors de l année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l année scolaire. Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d obtenir son bac s il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0,2 s il n a pas travaillé sérieusement pendant l année scolaire. Un candidat est dit surpris s il est admis alors qu il n a pas travaillé sérieusement pendant l année scolaire ou bien s il est refusé et qu il a travaillé sérieusement pendant l année scolaire. On note : - T l évènement «le candidat a travaillé sérieusement» - A l évènement «le candidat est admis au baccalauréat ES» - S l évènement «Le candidat est surpris». On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES. Dans tout l exercice, on donnera en final des valeurs approchées arrondies au millième. 1) onstruire un arbre pondéré traduisant les données de l énoncé. 2) Déterminer la probabilité des événements suivants : T A ; T ; A ;. 3) a) Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis. b) Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l année scolaire. 4) Démontrer que la probabilité de l événement S est 0,125. Exercice 3-4 points - et exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Aucune justification n'est attendue. 1) Le prix d'un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60 % durant l'année 2005. Pour revenir à sa valeur initiale, ce prix doit baisser de (a) 70 % (b) 60 % (c) 40 % (d) 37,5 % 2) Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux événements indépendants A et B qui vérifient p(a) = 0,3 et p(b) = 0,5. On a alors : (a) p(a B) = 0,65 (b) p(a B) = 0; 8 (c) p(a B) = 0; 15 (d) On ne peut pas savoir 3) Pour tout réel, le nombre est égal à : (a) (b) (c) (d) 4) L équation 2 4 admet (a) aucune solution (b) une solution (c) deux solutions Exercice 4-4 points - Soit la fonction définie sur R par 3 1. 1) Montrer que pour tout de R 3 2 2) Déterminer le signe de puis en déduire les variations de f. 3) Donner une équation de la tangente à au point d abscisse zéro.
Exercice 5-7,5 points - La courbe tracée ci-contre est la représentation graphique d une fonction définie et dérivable sur R. On note la fonction dérivée de la fonction. La tangente T à la courbe f au point A(0;3) passe par le point B(1;5). 1) En utilisant les données et le graphique, préciser : a) La valeur du réel 0. b) La valeur du réel 0. c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point A. 2) On admet que la fonction est définie, pour tout nombre réel, par une expression de la forme 1 où a et b sont des nombres réels. a) Déterminer l expression de en fonction de a, de b et de. b) A l'aide des résultats des questions 1 )a) et 1 ) b), alculer les valeurs de a et b. Par la suite, on admettra que 1 3) Montrer que puis déterminer les variations de. Exercice 6-8 points - A chaque diffusion d une série télévisée, 90% des téléspectateurs étaient présents lors de l épisode précédent et 10 000 téléspectateurs sont nouveaux. Il y avait 200 000 téléspectateurs au premier épisode de la série. 1) Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note un le nombre de téléspectateurs du nième épisode de la série. a) Pour tout entier n 1, montrer que u n+1 = 0, 9 u n + 10000. b) Justifier que la suite (u n ) n est ni arithmétique, ni géométrique. 2) Soit la suite (v n ) définie pour tout entier n 1 par v n = u n 100 000 a) Montrer que la suite (v n ) est géométrique et préciser sa raison. b) Exprimer v n en fonction de n et en déduire u n en fonction de n. c) On veut déterminer à partir de quel épisode le nombre de téléspectateurs présents sera inférieur à 120000. Montrer que cela revient à résoudre l inéquation 0,9 n 1 < 0, 2 puis répondre à la question posée. d) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). e) Déterminer la limite de u n et en donner une interprétation pour le problème. f) alculer le nombre cumulé de téléspectateurs présents lors des 20 premiers épisodes de la série.
Exercice 7-8 points - Un bail est un contrat de location entre un locataire et un propriétaire. Traditionnellement sa durée est de trois ans. On propose à un locataire deux types de bail : ontrat A : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 11,5 pendant la durée des trois ans. ontrat B : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 1% pendant la durée des trois ans. Partie A : Étude du contrat A. On appelle A n le montant du loyer donné par le contrat A au mois de rang n pour n variant de 0 à 35. 1) Justifier que (A n ) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. 2) Exprimer A n en fonction de n. 3) Déterminer le loyer du dernier mois avec le contrat A. 4) On donne l algorithme suivant : a) Que permet de déterminer ce programme? b) Le programmer sur sa calculatrice et indiquer ce qu il affiche pour n = 15. Interpréter ce résultat. On admet, pour la suite, que cet algorithme renvoit la valeur 43 245 pour n = 35. Partie B : Étude du contrat B. On appelle B n le montant du loyer donné par le contrat B au mois de rang n pour n variant de 0 à 35. 1) Justifier que (B n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 2) Exprimer B n en fonction de n. 3) Déterminer le loyer du dernier mois avec le contrat B. 4) Déterminer, par le calcul, la somme totale que devra payer le locataire sur la durée des trois ans s il choisit le contrat B. Partie Déterminer quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire.
T ES/L ORRETION DEVOIR SURVEILLE 3 14 / 12 / 2012 Exercice 1-4 points - Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : - un assortiment de madeleines, choisi par 50% des clients ; - une part de tarte aux pommes, choisie par 30% des clients. 20% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts. Le restaurateur a remarqué que : - parmi les clients ayant pris un assortiment de madeleines, 80% prennent un café ; - parmi les clients ayant pris une part de tarte aux pommes, 60% prennent un café ; - parmi les clients n ayant pas pris de dessert, 90% prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire. On note : - M l évènement : «Le client prend un assortiment de madeleines» ; - T l évènement : «Le client prend une part de tarte aux pommes» ; - P l évènement : «Le client ne prend pas de dessert» ; - l évènement : «Le client prend un café» et l évènement contraire de. 1) En utilisant les données de l énoncé, préciser la valeur de et celle de, probabilité de l évènement sachant que T est réalisé. On sait qu une part de tarte aux pommes, choisie par 30% des clients d où, Et que parmi les clients ayant pris une part de tarte, 60% prennent un café, 2) Recopier et compléter l arbre ci-dessous : 0,5 M 0,8 T P 3) a) Exprimer par une phrase ce que représente l évènement puis calculer. correspond au fait que le client prend un assortiment de madeleines et un café 0,5 0,8 0,4 Donc, b) Montrer que 0,76. On sait que M, T et P forment une partition de l univers D après la formule des probabilités totales 0,4 0,4 0,3 0,6 0,2 0,9 0,4 0,18 0,18, 4) Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de madeleines sachant qu il prend un café? (On donnera le résultat arrondi au centième). 0,4 0,5263 0,76 Donc la probabilité que le client prenne un assortiment de madeleines sachant qu il prend un café est de 0,53
Exercice 2-6,5 points - Lors de l année de terminale ES, les trois quarts des élèves travaillent sérieusement tout au long de l année scolaire. Un candidat au baccalauréat ES a une probabilité de 0,9 d obtenir son bac s il a travaillé sérieusement et une probabilité de 0,2 s il n a pas travaillé sérieusement pendant l année scolaire. Un candidat est dit surpris s il est admis alors qu il n a pas travaillé sérieusement pendant l année scolaire ou bien s il est refusé et qu il a travaillé sérieusement pendant l année scolaire. On note : T l évènement «le candidat a travaillé sérieusement» A l évènement «le candidat est admis au baccalauréat ES» S l évènement «Le candidat est surpris». On interroge au hasard un candidat au baccalauréat ES. Dans tout l exercice, on donnera en final des valeurs approchées arrondies au millième. 1) onstruire un arbre pondéré traduisant les données de l énoncé. 2) Déterminer la probabilité des événements suivants : T A ; T ; A ;. p( T A ) = p (T) p T (A) = 0,75 0,9 = 0,675 p( T ) = p (T) p T () = 0,75 0,1 = 0,075 p( A ) = p ( ) (A) = 0,25 0,2 = 0,05 p( ) = p ( ) () = 0,25 0,8 = 0,2 3) a) Déterminer la probabilité que le candidat interrogé soit admis. T et forment une partition de l univers donc, d après la formule des probabilités totales, on a : p(a) = p(t A) + p( A) = 0,675 + 0,05 = 0,725 d où p(a) = 0,725 b) Le candidat est admis. Déterminer la probabilité que ce candidat ait travaillé sérieusement pendant l année scolaire. p T, 0,931, Le candidat ayant été admis, la probabilité qu il ait travaillé sérieusement pendant l année scolaire est d environ 0,931. 4) Démontrer que la probabilité de l événement S est 0,125. S l événement «Le candidat est surpris». Un candidat est surpris s il est admis et qu il n a pas travaillé sérieusement pendant l année scolaire ou bien s il est refusé et qu il a travaillé sérieusement pendant l année scolaire. S = ( A) (T ) S est la réunion de deux événements incompatibles donc : p (S) = p( A) + p(t ) = 0,05 + 0,075 = 0,125
Exercice 3-4 points - et exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des trois questions, une et une seule des quatre affirmations est exacte. Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est attendue. Barême : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; une question sans réponse n'enlève ni ne rapporte de point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. 1) Le prix d'un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60 % durant l'année 2005. Pour revenir à sa valeur initiale, ce prix doit baisser de (a) 70 % (b) 60 % (c) 40 % (d) 37,5 % Le coefficient multiplicateur d'une hausse de 60 % est égal à 1,6. Le coefficient multiplicateur de la diminution inverse est égal à 0,625 Il correspond à une baisse de 1 0, 625/ 100 = 37; 5 %. Réponse d. 2) Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux événements indépendants A et B qui vérifient p(a) = 0; 3 et p(b) = 0; 5. On a alors : (a) p(a B) = 0,65 (b) p(a B) = 0; 8 (c) p(a B) = 0; 15 (d) On ne peut pas savoir On sait que p(a B) = p(a)+ p(b) p(a B). omme A et B sont indépendants, p(a B) = p(a) p(b) = 0,3 0,5 = 0,15 D'où p(a B) = 0,3 + 0,5 0,15 = 0; 65. Réponse a., 3) Pour tout réel, le nombre est égal à : (a) (b) (c) (d) Réponse d 4) L équation 2 4 admet (a) aucune solution (b) une solution (c) deux solutions 6 0 On pose Alors 6 0 D où ² 4 1 4 1 6 1 24 25 Alors 3 2 On obtient donc 3 impossible 2 on trouvera bien une solution possible Réponse b.
Exercice 4-4 points - Soit la fonction définie sur R par 3 1 1) Montrer que pour tout x de R 3 2 est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R. avec 3 1 3 3 3 1 D où 3 3 1 2) Déterminer le signe de puis en déduire les variations de f. Pour tout réel x, 0, donc le signe de sera celui de 3 2. 3 2 0 + 0 + Variation de 3 3) Donner une équation de la tangente à au point d abscisse zéro. Une équation de la tangente à au point d abscisse zéro est : 0 0 0 omme 0 2 2 et 0 1 1 Donc une équation de la tangente à au point d abscisse zéro est :
Exercice 5-7,5 points - La courbe tracée ci-contre est la représentation graphique d une fonction définie et dérivable sur R. On note la fonction dérivée de la fonction. La tangente T à la courbe f au point A(0;3) passe par le point B(1;5). 1) En utilisant les données et le graphique, préciser : a) La valeur du réel 0. (0) = 3 b) La valeur du réel 0. (0) = 2 (coefficient directeur de la tangente) c) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point A. L'équation de la tangente est 2 3 2) On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel, par une expression de la forme 1 où a et b sont des nombres réels. a) Déterminer l expression de en fonction de a, de b et de. est dérivable comme somme et quotient de fonctions dérivables. 1 d'où ² avec pour tout réel, Soit pour tout réel, ² ² Ainsi, est la fonction définie pour tout réel par b) A l'aide des résultats des questions 1 )a) et 1 ) b), alculer les valeurs de a et b. (0) = 3 omme 0 1 = 1 Alors 1 + b = 3 b= 2 (0) = 2 omme 0 = 0 Alors 2 2 2 4 Donc Par la suite, on admettra que 1 3) Montrer que ex puis déterminer les variations de. D après le 2) a), on a Donc = 42
Exercice 6-8 points - A chaque diffusion d une série télévisée, 90% des téléspectateurs étaient présents lors de l épisode précédent et 10 000 téléspectateurs sont nouveaux. Il y avait 200 000 téléspectateurs au premier épisode de la série. 1) Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note un le nombre de téléspectateurs du nième épisode de la série. a) Pour tout entier n 1, montrer que u n+1 = 0, 9 u n + 10000. On note un le nombre de téléspectateurs présents au n eme et donc u n+1 le nombre de téléspectateurs présents à l épisode suivant. Il y a 90% des téléspectateurs de l épisode précédent présents à l épisode suivant soit 0, 9 u n et il s ajoute à ce nombre 10000 téléspectateurs donc u n+1 = 0, 9u n + 10000 b) Justifier que la suite (u n ) n est ni arithmétique, ni géométrique. u 1 = 200000 u 2 = 0, 9 200000 + 10000 = 190000 u 3 = 0, 9 190000 + 10000 = 181000 Alors u 2 u 1 = 10000 et u 3 u 2 = 9000 donc (u n ) n est pas arithmétique. 0,95 et 0,953 donc (u n ) n est pas géométrique. 2) Soit la suite (v n ) définie pour tout entier n 1 par v n = u n 100 000 a) Montrer que la suite (v n ) est géométrique et préciser sa raison. v n+1 = u n+1 100000 = 0,9 u n + 10000 100000 = 0,9 u n 90000 = 0,9 (u n 100000) = 0,9 v n donc (v n ) est une suite géométrique de raison q = 0,9 De plus u 1 = 200000 est le nombre de téléspectateurs au premier épisode donc la suite (v n ) a pour premier terme v 1 = u 1 100000 = 200000 100000 = 100000 b) Exprimer v n en fonction de n et en déduire u n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raison q = 0, 9 et de premier terme v 1 = 100000 donc v n = v 1 q n 1 = 100000 0, 9 n 1 omme v n = u n 100000 Alors u n = v n + 100000 Donc u n = 100000 0, 9 n 1 + 100000 c) On veut déterminer à partir de quel épisode le nombre de téléspectateurs présents sera inférieur à 120000. Montrer que cela revient à résoudre l inéquation 0, 9 n 1 < 0, 2 puis répondre à la question posée. On veut u n < 120000 100000 0,9 n 1 + 100000 < 120000 100000 0,9 n 1 < 20000 0,9 n 1 < 0,9 n 1 < 0,2 Avec la calculatrice, on a pour n = 16, 0, 9 16 1 0,206 et 0, 9 17 1 0,185 donc à partir du 17 eme épisode, le nombre de téléspectateurs est inférieur à 120000.
d) Déterminer le sens de variation de la suite (u n ). u n = 100000 0, 9 n 1 + 100000 donc u n+1 = 100000 0,9 n+1 1 + 100000 = 100000 0,9 n + 100000 u n+1 u n = (100000 0,9 n + 100000) (100000 0,9 n 1 + 100000) = 100000 0,9 n + 100000 100000 0,9 n 1 100000 = 100000 0,9 0, 9 n 1 100000 0,9 n 1 = 100000 0,9 n 1 (0,9 1) = 100000 0,9 n 1 ( 0, 1) = 10000 0,9 n 1 0,9 n 1 > 0 donc u n+1 u n < 0 (u n ) est décroissante. e) Déterminer la limite de u n et en donner une interprétation pour le problème. La suite (v n ) est géométrique de raison q = 0, 9 et q ]0; 1[ donc lim 0 on a u n = v n + 100 000 donc par somme lim 10000 ela signifie qu après un très grand nombre d épisodes, les nombre de téléspectateurs présents sera proche de 100000. f) alculer le nombre cumulé de téléspectateurs présents lors des 20 premiers épisodes de la série. On veut calculer u 1 + u 2 +...u 20 u 1 + u 2 +...u 20 = v 1 + 100000 + v 2 + 100000 +... + v 20 + 100 0000 = v 1 + v 2 +... + v 20 + 100 0000 20, Or v 1 + v 2 +... + v 20 = 100 000 = 1 000 000 (1 0,, 920 ) 2 878 423 Il y a une audience cumulée de 2 878 423 téléspectateurs pour les 20 premiers épisodes Exercice 7-8 points - Un bail est un contrat de location entre un locataire et un propriétaire. Traditionnellement sa durée est de trois ans. On propose à un locataire deux types de bail : ontrat A : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 11,5 pendant la durée des trois ans. ontrat B : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 1% pendant la durée des trois ans. Partie A : Étude du contrat A. On appelle A n le montant du loyer donné par le contrat A au mois de rang n pour n variant de 0 à 35. 1) Justifier que (A n ) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 11,5 pendant la durée des trois ans. Donc (A n ) est une suite arithmétique de raison 11,5 et de premier terme 1000 2) Exprimer A n en fonction de n. D après le 1), on en déduit que A n = A 0 + n r D où A n = 1000 + 11,5n 3) Déterminer le loyer du dernier mois avec le contrat A. 3 ans correspond à 3*12 mois soit 36 mois omme on commence à A 0 alors au bout de 36 mois on obtient A 35 Alors A 35 = 1000 + 11,5 35 = 1402,5 Le dernier loyer sera donc de 1402,5
4) On donne l algorithme suivant : a) Que permet de déterminer ce programme? e programme permet de calculer le total des loyers versés au cours de n+1 mois. b) Le programmer sur sa calculatrice et indiquer ce qu il affiche pour n = 15. Interpréter ce résultat. On trouve S = 17380 Au bout de 16 mois, soit 1 an et 4 mois, le total des loyers versés est de 17380. On admet, pour la suite, que cet algorithme renvoit la valeur 43 245 pour n = 35. Partie B : Étude du contrat B. On appelle B n lemontant du loyer donné par le contrat B au mois de rang n pour n variant de 0 à 35. 1) Justifier que (B n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 1% pendant la durée des trois ans. Donc (B n ) est une suite géométrique de premier terme 1 000 et de raison 1,01 2) Exprimer B n en fonction de n. D après le 1), on en déduit que B n = B 0 q n D où B n = 1000 1,01 n 3) Déterminer le loyer du dernier mois avec le contrat B. 3 ans correspond à 3*12 mois soit 36 mois omme on commence à B 0 alors au bout de 36 mois on obtient B 35 Alors B 35 = 1000 1,01 35 = 1416,6 Le dernier loyer sera donc de 1416,6 4) Déterminer, par le calcul, la somme totale que devra payer le locataire sur la durée des trois ans s il choisit le contrat B. omme (B n ) est une suite géométrique de premier terme 1 000 et de raison 1,01 Alors S n = 1 1,01 1000 43076,8784 1 1,01 Donc au bout de 3 ans, le total des loyers versés est de 43076,88 Partie Déterminer quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire. Au bout de 3 ans, le total des loyers versés avec le contrat A : 43 245 le total des loyers versés avec le contrat B : 43 076,88 Le contrat le plus avantageux est le B.