ψ 4 - Interférences. Définition : Phénomènes observables lorsque des vibrations COHÉRENTES de même nature (lumière, son) et de même fréquence, portées par des ondes, parviennent en un même point. Une source S ponctuelle et monochromatique envoie par deux chemins différents, deux rayons 1 et 2 qui finissent par se rencontrer en un point M. On obtient deux ondes cohérentes soit (a) en divisant le front d une onde (Young), soit (b) en divisant son amplitude (Michelson). (a) (b) Pour comprendre la nécessité d utiliser une seule source pour obtenir des interférences, nous commençons par utiliser deux sources S 1 et S 2 différentes, voire même deux atomes S 1 et S 2 différents d une même source. Sur chaque atome la vibration est représentée par les fonctions harmoniques (chapitre 2, f), parties réelles de a 1 e i[ωt+ϕ 1(t)] et de a 2 e i[ωt+ϕ 2(t)] en un point M éloigné de x 1 et x 2 de ces deux sources, ces vibrations deviennent : a 1 e i[kx 1 ωt ϕ 1 (t)] Leur superposition donne l amplitude : et l intensité lumineuse : I = ψψ et a 2 e i[kx 2 ωt ϕ 2 (t)] = a 1 e i[kx 1 ωt ϕ 1 (t)] + a 2 e i[kx 2 ωt ϕ 2 (t)] = a 2 1 + a 2 2 + 2 a 1 a 2 cos [k(x 1 x 2 ) + ϕ 2 (t) ϕ 1 (t)] Or sur un temps d obervation usuel, ϕ 1 (t) et ϕ 2 (t) varient de manière aléatoire. On observera la valeur moyenne de l intensité Ī, c est-à-dire la valeur moyenne du cosinus du second membre. Cette moyenne est nulle puisque l argument du cosinus (c est-à-dire ϕ 2 (t) ϕ 1 (t)) prend toutes les valeurs possibles pendant le temps où est pris cette moyenne. 19
Il en résulte que l intensité observée : Ī = a 2 1 + a2 2 est la somme des intensités incidentes. Par contre si on utilise deux ondes issues d un même atome ϕ 2 (t) = ϕ 1 (t) en permanence, on dit que les deux vibrations sont cohérentes et l intensité observée : en posant ϕ = k(x 2 x 1 ). Ī = a 2 1 + a2 2 + 2 a 1 a 2 cos ϕ C est le nouveau terme 2 a 1 a 2 cos ϕ qui représente le phénomène d interférence. L intensité varie maintenant entre un maximum (a 1 + a 2 ) 2 quand ϕ = p 2π où p est entier et un minimum (a 1 a 2 ) 2 quand ϕ = (2p + 1)π. L intensité minimum est nulle pour des ondes d intensités égales (a 1 = a 2 ) : de la lumière ajoutée à de la lumière peut donner de l obscurité. On introduit également = x 2 x 1, appelée différence de marche entre les deux ondes qui interfèrent et p = appelé ordre d interférence. Lorsque l intensité est maximum, le déphasage entre les deux ondes est un nombre entier de fois 2π, leur différence de marche un nombre entier de fois la longueur d onde et l ordre d interférence entier (incluant 0) ; on dit dans ce cas que les interférences sont constructives. L intensité est minimum quand le déphasage est un nombre impair de fois π, la différence de marche un nombre impair de fois la demi longueur d onde et l ordre d interférence un entier +1/2 ; on dit dans ce cas que les interférences sont destructives. Deux ondes issues de deux atomes différents d une même source ne peuvent donc interférer mais en pratique les intensités émises par ces atomes ne brouillent pas le phénomène d interférence si la source n est pas trop large. L observation des phénomènes d interférences nécessite d utiliser une source assez large pour avoir une intensité suffisante et assez étroite pour ne pas brouiller le phénomène (voir l exercice 4.1). Procédés d observation (1) Trous et fentes d Young Franges Sur l écran en M (0M = x D) S 2 H d. x (= dθ) D Franges brillantes pour d x D = n interfrange i = D d Application : mesure d une longueur d onde par mesure de l interfrange. Si d = 1 2 mm et D = 1mètre, D d = 2000. En mesurant l intervalle occupé par 25 franges consécutives, on obtient 25 D d = 50.000. La mesure de la longueur d onde ( = 0, 5µ) est remplacée par celle d une longueur 50.000 fois plus grande (2,5 cm). 20
(2) Interférométre de Michelson Lame séparatrice G, semi-réfléchissante. x 1 = SO + OA 1 + A 1 O + OM x 2 = SO + OA 2 + A 2 O + OM = x 2 x 1 = OA 2 OA 1 +A 2 O A 1 O = OA 2 OA 1 +A 2O A 1 O = 2e L intensité en M est maximum pour =p entier. Elle est nulle pour = (2n + 1) où n est 2 entier. Quand on déplace M 2 parallèlement à lui-même, on passe d un maximum à un autre pour un déplacement δe = 2 (0,3µ pour le jaune = 6000 A). L oeil est capable de repérer des variations d intensité correspondant au 1 des intensités 100ème maximums successives. On peut donc mesurer des déplacements de l ordre de 0, 003µ = 30 A, c est dire la grande précision des mesures interférentielles. (a) Deux applications : Tout rayon issu de S donne en F le même que SO. L oeil plaçé en F voit l image de M 1 ou M 2 avec un éclairement uniforme. Si M 2 est déformé ou incliné, = 2e varie pour les différents rayons =franges d égale épaisseur, d une frange à l autre e varie de. Cette méthode est utilisée comme 2 contrôle des surfaces. 21
(b) Détermination de la longueur de cohérence du rayonnement émis par une source de largeur spectrale δ. Pour que les paquets d ondes de longueur l c séparés par G puissent interférer en M, il faut que < l c. Les franges disparaissent quand = 2e > l c. < l c > l c On en déduit l ordre d interférence limite p = l c = cτ = ν δν = 2e (chapitre 2). Avec des sources classiques, on a obtenu des franges dont l ordre d interférence atteint 10 6, ce qui correspond à une différence de marche = 10 6 0, 5 10 4 = 50cm (δν = 600MHz). (3) Franges des lames minces. (Bulles de savon) Pour les rayons 1 et 2 = n(ab + BC) AH = 2ne cos r (noter n) mais sin i = nsin r et AC = 2e tg r = 2ne cos r 2ne sin2 r cos r = 2ne cos r AC sin i Une réflexion qui se produit sur une interface, du côté du milieu dont l indice est le plus faible, introduit une différence de marche supplémentaire de 2 (ou un déphasage de π). De sorte que : = 2ne cos r + 2 Pour qu il y ait interférence constructive entre les deux rayons 1 et 2, il faut que : 2necos r = 2 + p où p = 0, ou un entier. L intensité réfléchie peut s écrire I = 4I 0 Rsin 2 ( 2π ne cos r) en fonction de l intensité incidente et du coefficient de réflexion R en A ou B (3 %). L intensité transmise (en B et D) est complémentaire I transmise = I 0 I. Les couleurs observées varient avec l incidence de la lumière (r) et l épaisseur du film. Pour des épaisseurs très petites, le film apparaît noir (film noir de Newton). Sous incidence normale (r = 0), la première interférence constructive apparaît pour 2ne = 2 et la seconde pour 2ne = 3 2. La deuxième interférence destructive apparaît pour 2ne =, la troisième pour 2ne = 2. 22
Pour un film de savon n = 1,41; la présence du détergent augmentant l indice de l eau pure (1,33). On s attend donc à trouver une couleur brillante dès que e = 4n 1000 A. On observe pour ces épaisseurs une couleur blanc-argenté. Le tableau donne les couleurs observées quand l épaisseur augmente. Cette échelle des teintes a été observée pour la première fois par Newton et porte son nom. Couleur e( A) Par exemple le rouge (6800 A) atteint son second minimum pour e = 2n 2.500 A 1er ordre noir 60-120 et pour cette valeur le bleu atteint son secp=0 blanc-argenté 1500 cond maximum,e = 3 4.700 4 1, 41 = 2500 A. (ambre) Ce qui donne au film une couleur bleue brilmagenta 2010 lante. Dans la région mince, noire, on observe 2ème ordre violet 2160 facilement des mouvements incessants et p=1 bleu 2500 des variations rapides d épaisseur qui corvert 2900 respondent aux interactions entre molécules jaune 3220 d eau qui s exercent sur des distances comorange 3480 parables à ces épaisseurs (< 100 A). violacé 3710 3ème ordre pourpre 3960 p=2 bleu 4100 vert émeraude 4660 jaune vert 5020 carmin 5420 rouge 5780 Longueurs d onde approchées ( A) : rouge 6.800 orange 5.900 jaune 5.800 vert 5.300 bleu 4.700 violet 4.050 23