Thermodynamique appliquée

hermodynamique appliquée Deuxième principe. Entropie par André LALLEMAND Ingénieur, docteur ès sciences Professeur des universités à l Institut national des sciences appliquées de Lyon 1. Moteurs et sources d énergie. ualité de l énergie... BE 8 007-2 2. Variables intensives et extensives. Entropie... 3 2.1 Expression des formes d énergie autres que l énergie thermique... 3 2.2 Rôle de chaque type de variables... 4 2.3 Entropie... 4 3. Conservation des extensités. Deuxième principe... 5 3.1 Évolution des variables (autres que et S ) au cours de la réunion de deux systèmes... 5 3.1.1 Variables intensives... 5 3.1.2 Variables extensives... 5 3.2 Fonctionnement d un convertisseur sans échange de chaleur avec le milieu extérieur... 5 3.2.1 Définitions... 5 3.2.2 Étude d un convertisseur... 6 3.2.3 Moteur et générateur... 7 3.3 Convertisseur thermique... 8 3.3.1 Moteur thermique... 8 3.3.2 Générateur thermique... 8 3.4 Expression générale de la variation d entropie d un système quelconque... 9 3.4.1 Réversibilité et irréversibilité... 9 3.4.2 Divers types d irréversibilités... 9 3.4.3 Expression générale de la variation d entropie... 10 3.5 Dégradation de l énergie... 12 4. Application du deuxième principe... 13 4.1 Moteurs et générateurs thermiques. Machines de Carnot... 13 4.1.1 Définition d un moteur thermique... 13 4.1.2 Rendement d un moteur thermique... 13 4.1.3 Rendement d une machine de Carnot... 13 4.1.4 Moteur à cycle réversible quelconque... 15 4.1.5 Moteur thermique quelconque (irréversible) à deux sources... 15 4.1.6 Moteur et générateur endoréversibles... 16 4.2 Échanges de chaleur entre un fluide et le milieu extérieur... 17 4.2.1 Diverses expressions de l échange de chaleur... 17 4.2.2 Relations entre les coefficients calorimétriques... 17 Notations et symboles... 19 Référence bibliographique... 20 L e langage courant mentionne l existence des «énergies» thermiques, mécaniques, renouvelables, fossiles, nucléaire, etc. Ce langage courant va même jusqu à mentionner des pertes d énergie. Or, le premier principe de la thermodynamique stipule la conservation de l énergie. Une perte d énergie est donc un non sens scientifique. Un langage correct doit faire état de diverses formes d énergie ou de différents types d énergie. On peut alors effectivement constater une «perte d énergie mécanique» par exemple au bénéfice d un echniques de l Ingénieur BE 8 007 1

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE «gain d énergie thermique». Il s agit d une conversion d un type d énergie en un autre type. Le premier principe traduit ainsi une équivalence entre les différents types d énergie : un type d énergie en vaut un autre sur le plan quantitatif. Or le sens commun, intuitif, ne place pas toutes les formes d énergie sur le même plan d où la notion de «perte». Par exemple, de l énergie mécanique est convertie en énergie thermique spontanément par frottement, de l énergie électrique se transforme aussi facilement en énergie thermique par effet Joule ; on n observe pas l inverse. Mieux encore, chacun sait, par exemple, que de la chaleur à haute température est plus intéressante que de la chaleur à température moyenne. De la même manière, il vaut mieux disposer d un gaz sous forte pression que sous la pression atmosphérique, le premier pouvant réaliser un certain travail. Ainsi apparaît la notion de qualité de l énergie, associée à celle de quantité. uantité et qualité sont indissociables des concepts énergétiques et sont à la base du fondement de la thermodynamique que sont les premier et deuxième principes. Si le premier principe apparaît comme étant celui de la quantité, le deuxième principe est celui de la qualité ou de la différence entre les formes d énergie et de l intérêt des variables intensives. En effet, pour étayer ce dernier point, on note que, s il est plus intéressant de disposer d énergie thermique à haute température, c est tout simplement parce qu on constate que la chaleur va naturellement du chaud vers le froid, soit d un système à haute température vers un système à plus basse température. De même en hydraulique, l eau va naturellement de l altitude la plus haute vers une altitude plus basse, jamais dans l autre sens, si ce n est en utilisant une pompe pour le faire. empérature et altitude sont des paramètres (ou variables) intensifs, comme la pression, la tension électrique, la force, etc., et ce sont ces paramètres qui règlent le sens des échanges énergétiques. De plus, la rapidité des échanges (puissance) entre deux éléments est liée au gradient d intensité qui existe entre eux. Le deuxième principe est aussi celui des notions d entropie, d irréversiblité et de création d entropie. C est celui de l opposition entre échanges quasi statiques, réversibles (donc à puissance nulle et conservation de l entropie) et échanges efficaces, irréversibles (à puissance finie et création d entropie). Ce sont l ensemble de ces concepts qui font l objet de cet article. Dans l article qui suit [BE 8 008], ces concepts sont développés afin de pouvoir quantifier les irréversibilités et avoir ainsi une indication chiffrée sur leurs incidences sur le fonctionnement des systèmes énergétiques. Les méthodes d analyses basées sur les bilans entropiques et exergétiques y sont présentées. Les deux articles sont donc indissociables. 1. Moteurs et sources d énergie. ualité de l énergie Le premier principe de la thermodynamique, appliqué à une transformation cyclique (W + = 0), traduit l impossibilité de construire des machines capables de fournir du travail sans emprunter de l énergie au milieu extérieur. Il est basé, notamment, sur la notion d équivalence entre l énergie mécanique et l énergie thermique. Or, l expérience montre que la chaleur nest pas une forme dénergie en tout point analogue aux autres. Exemple : dans l expérience de Joule (figure 1) relative à la détermination de l équivalent mécanique de la calorie, le travail fourni se transforme spontanément en énergie interne (ou chaleur interne). En revanche, l eau échauffée, en se refroidissant, ne fait pas spontanément remonter le poids P qui avait produit le travail. L expérience est irréversible. Figure 1 Expérience de Joule + P ravail et chaleur apparaissent ainsi comme des formes d énergie dont les possibilités de conversion ne sont pas symétriques. La thermodynamique classique traduit ce fait, selon Clausius (1850), par l impossibilité d avoir un moteur monotherme : «Il est impossible de faire fonctionner un moteur thermique à partir dune seule BE 8 007 2 echniques de l Ingénieur

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE H.. Source ( ) 2. Variables intensives et extensives. Entropie Moteur Source ( ) (terre) Les variables intensives et extensives ont été définies dans le chapitre [BE 8 005]. Leur différence joue un grand rôle dans la définition des différents types d énergie. Figure 2 Moteur électrique avec ses deux sources Réservoir amont urbine Plan deau aval Figure 3 Moteur hydraulique (turbine) avec ses deux sources source de chaleur». Or cette affirmation, en accord avec tous les faits expérimentaux, ne met nullement en évidence le caractère spécifique de l énergie thermique. En effet, cette impossibilité d existence de moteurs fonctionnant à partir d un seul réservoir d énergie ou source est générale. Exemples : 1. Un moteur électrique (figure 2) ne pourrait fonctionner avec un branchement sur une même ligne à haute tension. Il faut que le branchement soit effectué d une part à la haute tension (source ) et d autre part à une tension plus basse, généralement la terre (source ). 2. Un moteur hydraulique (turbine) (figure 3) nécessite également pour son fonctionnement de disposer de deux niveaux (ou sources) d énergie hydraulique : le réservoir amont (source ) et le plan d eau aval (source ). La particularité de l énergie calorifique par rapport aux autres formes d énergie, qui fait l objet même du deuxième principe de la thermodynamique, doit donc être recherchée ailleurs que dans l impossibilité d un moteur monotherme qui est une nécessité générale en matière de moteurs fonctionnant de manière cyclique. Si le premier principe ne fait aucune distinction entre les différentes formes d énergie, il ne distingue pas davantage les divers aspects que peut prendre un même type d énergie. Exemples : 1. Du point de vue du premier principe, le fait de soulever une certaine charge représente une énergie dépensée ; il est cependant évident que, du point de vue de l effort à fournir, il est très différent de faire ce travail directement ou par l intermédiaire d un palan. 2. Considérons le cas de l énergie électrique. oute considération au niveau du seul premier principe ne permet pas de faire la distinction entre une énergie électrique stockée sous 100 000 V et la même énergie stockée sous 1 V. Or cette différence existe. On peut résumer cela en notant que le premier principe ne tient pas compte d un facteur qualité que l on peut affecter à toute forme d énergie. L expérience montre que ce facteur ne doit pas être négligé car les propriétés d une certaine quantité d énergie dépendent de la «force» avec laquelle elle se manifeste. 2.1 Expression des formes d énergie autres que l énergie thermique Lors d un échange d énergie de type A quelconque entre un système et le milieu extérieur, l énergie peut se mettre sous la forme générale : δa = A da (1) avec A une variable intensive, da la différentielle de la variable extensive a associée au type d énergie étudié. Précisons cette relation en considérant différentes formes d énergie. Exemple : considérons (figure 4) la tension, selon son axe, d une poutre longue et encastrée dans un mur. Si la force qui s exerce sur la poutre est F et le déplacement qui résulte de cette traction d, le travail effectué par cette force constante est : δw = Fd (2) C est le produit d une tension (la force) par une extensité ( d ). Remarquons que F ne peut représenter la force de traction du système qu en transformation réversible. Ce n est, en effet, qu à l équilibre, c est-à-dire en transformation réversible ou quasi statique (voir article [BE 8 005]), qu il y a, à tout instant, égalité entre la force extérieure et la force intérieure qui est une variable d état du système. Afin qu il n y ait aucune ambiguïté sur la valeur de ces variables intensives, nous considérerons toujours, sauf indication particulière, des transformations réversibles. Lorsqu elles sont irréversibles, il faut apporter une grande attention au choix de ces variables. Pour l énergie électrique E, on peut considérer l énergie fournie par une pile de force électromotrice U lorsque la quantité de charges est de. Cette énergie a pour expression : δe = U de Elle est encore égale au produit d une variable intensive U par une variable extensive e. L expérience montre que ce résultat peut être généralisé et que toute forme d énergie est formée par le produit d une variable intensive et d une variable extensive et que l élément différentiel de l énergie est dû à la différentielle de la variable extensive. Figure 4 ravail réalisé par une force de traction d F (3) echniques de l Ingénieur BE 8 007 3

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE 2.2 Rôle de chaque type de variables La variable intensive A ne correspond à une variable intensive du système total que dans le cas des transformations réversibles (ou quasi statiques). Cette variable, attachée à un point, a alors une valeur constante en tout point. Comme cela sera vu sur quelques exemples ci-dessous, le facteur d intensité donne une mesure de la tendance à la variation de l extensité qui lui est associée. La variable extensive a, associée à la variable intensive A, est un facteur affecté à l ensemble du système. Elle varie avec la taille du système. Lorsqu on met en relation deux systèmes différents, ce n est pas la quantité d énergie dont dispose chaque système qui détermine le sens d évolution de la variable extensive et le sens du transfert d énergie, mais uniquement la valeur de la variable intensive d un système par rapport à l autre. Exemples : 1. Supposons que l on dispose de deux ressorts (figure 5) et que la compression du petit ressort soit supérieure à celle du gros : F p > F g Malgré cette inégalité des forces, on peut supposer que le ressort de grande taille soit tel qu il contienne une énergie élastique supérieure à celle du petit. Si ces ressorts sont mis en présence comme sur la figure 5, le petit s allongera au détriment du gros qui pourtant possédait plus d énergie, mais une intensité (la force) plus faible. Le petit ressort a gagné de l extensité (longueur) au détriment du gros ressort. 2. Soit deux ballons remplis de gaz aux pressions P 1 et P 2 avec P 2 > P 1 (figure 6). La taille de chacun de ces deux ballons est choisie de telle sorte que l énergie interne du ballon (1) soit supérieure à celle du ballon (2). Si ces deux systèmes sont mis en relation, par un tube contenant un piston par exemple, celui-ci se déplacera vers la gauche et le volume (extensité) affecté au ballon (2) augmentera au détriment de celui du ballon (1). Là encore, il est évident que ce n est pas la quantité d énergie qui fixe le sens d évolution de l extensité (ici, le volume) des systèmes, mais la variable intensive (la pression). 3. Dans le domaine électrique (figure 7), soit deux sphères chargées à des potentiels différents U 2 > U 1. On peut admettre que si la sphère (1) contient une quantité de charge e 1 >> e 2, son énergie électrique est plus élevée. Ici également, si les deux sphères sont mises en contact, des charges e (extensité) passent de la sphère (2) à la sphère (1) de forte énergie et de faible potentiel (qui est une intensité au sens thermodynamique). La sphère (2) perd de l énergie au profit de la sphère (1). Ainsi, on note que la décomposition de l énergie en deux facteurs, l un de tension et l autre d extension, correspond bien à une réalité physique qui permet de prévoir le sens des échanges énergétiques. On peut énoncer le principe suivant. Principe : le sens des échanges d énergie entre deux systèmes ne dépend nullement de la quantité d énergie dont ils disposent, mais uniquement de la différence de valeur de leurs variables de tension (ou intensives) associées à cette forme d énergie. Le système à variable intensive la plus élevée cède toujours de l énergie au système à variable intensive la plus faible. De plus, cet échange d énergie s accompagne toujours d un échange d extensité. Comme on le verra au paragraphe 3, cette constatation est le fondement même du deuxième principe. C est un principe d évolution sans lequel aucune activité ne serait possible : l univers serait statique. Figure 5 Compétition énergétique entre deux ressorts Figure 6 ransferts d extensité entre des ballons contenant un gaz à des pressions différentes Figure 7 Échange de charges et d énergie électriques entre deux sphères chargées d électricité statique On peut également énoncer le corollaire suivant. 2.3 Entropie Piston P 1 P 2 (1) (2) U 1 U 2 e 1 e 2 Corollaire : l état d équilibre, relatif à une forme d énergie, entre deux systèmes différents mis en relation (ou un système et le milieu extérieur) a lieu lorsque les variables intensives correspondantes de ces deux systèmes sont égales. En ce qui concerne le sens d échange des énergies, l énergie calorifique ne diffère pas des autres formes d énergie, puisque expérimentalement on constate que le transfert de la chaleur se fait toujours dans le même sens, quelle que soit la quantité globale d énergie thermique que peuvent renfermer les systèmes en présence. Le flux de chaleur a toujours lieu du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. La notion de chaud et froid étant en relation directe avec la température, il est normal de conclure que la température est la variable intensive de l énergie thermique. Il faut ici utiliser la température absolue de l échelle Kelvin et non pas θ température de l échelle centigrade ( θ + 273). Ainsi : A Comme pour les autres formes d énergie, on associe alors, à cette variable intensive, une variable extensive a, notée S qui est appelée entropie. Comme toutes les variables extensives, l entropie est une variable d état. Cette grandeur étant fréquemment donnée en fonction d autres variables indépendantes, on parle plus fréquemment de fonction d état. L énergie thermique est alors donnée par : δ = ds (4) Dans cette équation, est la température à laquelle a lieu l échange de chaleur. Cette relation est toujours vérifiée pour un BE 8 007 4 echniques de l Ingénieur

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE scopique n apparaît (il n y a en particulier aucun transfert d énergie de l un à l autre). La tension finale du système est la même que la tension initiale de chacun des deux systèmes séparés. Si les systèmes étudiés ne sont pas d égale tension, la tension finale du système commun a nécessairement une valeur A f comprise entre celles des tensions initiales A 1 et A 2. Si par exemple A 1 < A 2, on aura : d Σ ( F ) (Σ) Milieu extérieur ( ext ) Figure 8 Système adiabatique sauf en un élément de frontière système ponctuel. Si le système n est pas ponctuel mais tel, par exemple que sa frontière avec le milieu extérieur soit adiabatique sauf pour une zone d Σ (figure 8), il faut dans l équation (4), quelle que soit la température du système (homogène ou non), utiliser la température F qui règne à la frontière non adiabatique d Σ. Dans de très nombreux cas (transformations irréversibles), la température du système au point d échange n est pas connue. On prend alors comme température celle du milieu extérieur ext lorsque celle-ci, comme c est généralement le cas (théoriquement), est homogène. L écriture de l équation (4) peut ainsi être précisée, pour une transformation quelconque : δ = ext ds ext (5) avec ds ext la variation d entropie du milieu extérieur due au transfert de la chaleur δ. Dans le cas de transformations réversibles, le problème est simplifié puisque le système (Σ) est homogène en température d une part, il est en équilibre (ou quasi-équilibre) permanent avec le milieu extérieur d autre part. Ainsi la température de la frontière se confond avec la température du système, elle-même égale à la température du milieu extérieur et on écrit : (δ) rév = ds (6) Ces nuances entre les différentes valeurs des températures seront reprises ultérieurement. L une des difficultés de l assimilation de la notion d entropie réside dans son caractère abstrait. Notons cependant que l énergie thermique n est pas seule à présenter quelques difficultés dans la détermination ou la compréhension des variables intensives et extensives. Exemples : 1. L énergie gravifique ou potentielle externe (mgz ) ayant comme variable extensive, la masse m doit avoir pour variable intensive gz. On écrit : δe g = gz dm (7) 2. Pour l énergie cinétique, la variable intensive étant nécessairement la vitesse c, la variable extensive est la quantité de mouvement mc : δe c = c d (mc ) (8) 3. Conservation des extensités. Deuxième principe 3.1 Évolution des variables (autres que et S ) au cours de la réunion de deux systèmes 3.1.1 Variables intensives Si l on met en relation deux systèmes, dont tous les points ont la même variable intensive ou tension, aucun phénomène macro- A 1 < A f < A 2 3.1.2 Variables extensives Les variables extensives sont additives. En effet, un système résultant de l addition de deux systèmes initiaux (1) et (2) de même nature a pour valeur extensive la somme des variables extensives des systèmes initiaux : a f = a 1 + a 2 (9) Si l extensité d un système évolue, cette variation d extensité ne peut se faire qu au détriment (ou en faveur) de l extensité de même nature du milieu extérieur. Autrement dit, si un système est isolé, ses variables extensives ne peuvent évoluer. Cette remarque évidente doit être cependant soulignée avec force car c est là que réside, comme nous le verrons au paragraphe 3.3, la différence entre la chaleur et les autres formes d énergie, c est-à-dire le deuxième principe de la thermodynamique. Il convient donc de noter que les variables extensives associées aux énergies autres que l énergie thermique sont conservatives (sauf la quantité de mouvement). Il est impossible de les créer ou de les détruire (1). Nota (1) : cette affirmation ne vaut que pour la physique classique. Il en va autrement en physique relativiste (équivalence masse-énergie). En effet, il est impossible de créer un volume, une longueur, une charge électrique, une masse, etc. 3.2 Fonctionnement d un convertisseur sans échange de chaleur avec le milieu extérieur 3.2.1 Définitions On appelle source d énergie (S) tout système capable de fournir ou de recevoir de l énergie en gardant constamment la même valeur de tension. Exemple : lac de retenue en eau d alimentation d une turbine hydraulique, les dimensions de ce réservoir étant extrêmement grandes et la hauteur d eau constante. Un convertisseur (Σ c ) est un système (thermodynamique) particulier capable d effectuer des transferts d énergie d un système à un autre (sources ou systèmes quelconques) en modifiant le type d énergie. Cette conversion de l énergie doit pouvoir perdurer (au moins théoriquement) grâce à un fonctionnement cyclique de l appareil. Exemple de convertisseurs : moteur électrique : énergie électrique énergie mécanique ; dynamo : énergie mécanique énergie électrique ; groupe turboalternateur : énergie hydraulique énergie électrique, ou énergie thermique énergie électrique. Un convertisseur sera réputé parfait lorsqu il effectue des cycles réversibles. echniques de l Ingénieur BE 8 007 5

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE A Ada A 1 δa 1 = A 1 da δb 3 = B 3 da B 3 S 3 B Bdb Σ c δa = (A 1 A 2 ) da > 0 δb = (B 4 B 3 ) db < 0 S 3 C Cdc avec A 1 > A 2 δa 2 = A 2 da Σ c B 3 > B 4 δb 4 = B 4 db Figure 9 Convertisseur en relation avec des sources d énergie de natures différentes A 2 B 4 S 4 A 1 δa 1 = A 1 da Figure 11 Convertisseur à deux fois deux sources de mêmes natures et niveaux de tension différents A 2 δa 2 = A 2 da Figure 10 Convertisseur à deux sources de même nature et niveaux de tension différents 3.2.2 Étude d un convertisseur Soit un convertisseur parfait ( Σ c ) en liaison avec plusieurs sources ( S i ) dont chacune est d un type d énergie différent de celui d une autre (figure 9). On notera que la source correspond à l énergie de type A, la source à l énergie de type B, etc. Ces sources n ont aucune relation entre elles. Supposons que, au cours d un cycle quelconque, le convertisseur échange durant une portion du cycle avec la source une quantité d extensité da associée à l énergie A. L extensité étant conservative, à la fin d un cycle le convertisseur devra avoir restitué (ou repris selon le signe du premier échange) cette quantité d extensité da. Ce nouvel échange ne peut avoir lieu qu avec la source, puisqu elle est la seule à admettre l énergie de type A et l extensité de type a. Dans un premier temps, le convertisseur aura reçu de la source l énergie : δa 1 = A da Pour restituer l extensité da, il restituera à la source l énergie : δa 2 = A da Ainsi, on a δa 1 = δa 2 puisque la variable de tension reste constante. Le convertisseur a restitué à l intégralité de l énergie qu il en avait reçue. Un raisonnement analogue pourrait être fait avec chacune des autres sources. Dans de telles conditions, le convertisseur ne joue pas son rôle qui est de convertir par exemple l énergie de type A en énergie de type B ou C... Ici, l énergie de type I, reçue de la source S i, doit être intégralement restituée à cette même source, du fait de la conservation des extensités considérées. On peut alors énoncer le principe suivant. Principe : lorsque les variables extensives sont conservatives et s il n existe qu une seule source par type d énergie, un convertisseur ne peut pas remplir son office. Considérons alors un convertisseur en relation avec deux sources d énergie de type A (figure 10). Supposons, qu au cours d un cycle, la source cède au convertisseur la quantité d énergie : δa 1 = A 1 da (10) Σ c Afin de respecter la conservation d extensité, le convertisseur doit céder cette extensité da à la source de même type d énergie A. Au cours de cette opération, le convertisseur échange avec la quantité d énergie : δa 2 = A 2 da Si A 1 = A 2, on est ramené au cas précédent. Par contre, si A 1 A 2, on a : δa = δa 1 δa 2 0 (11) Au total, le convertisseur reçoit (si δa > 0, ou perd si δa < 0) de l énergie de type A. Comme il doit fonctionner de façon cyclique, il ne peut accumuler δa. Il faut donc qu il cède cette énergie à d autres sources S i après avoir converti l énergie de type A : c est le rôle du convertisseur. Ainsi, le convertisseur doit être en relation avec une source d énergie B, par exemple S 3 (figure 11). On pourrait alors concevoir qu il cède la quantité d énergie δb = δa à la source S 3. Mais tout échange d énergie nécessite un échange d extensité db. Comme il ne peut y avoir création spontanée de l extensité b, le convertisseur, opérant de manière cyclique, doit soutirer db à une source S 4 de même type d énergie B. On en déduit qu il n est pas possible d envisager un générateur (le convertisseur «génère» en effet une énergie de type B ) à une seule source, tout comme un moteur à une seule source est impossible. out en fournissant de l extensité db, la source S 4 dont la tension est B 4, échange la quantité d énergie : δb 4 = B 4 db (12) C est donc une énergie : δb 3 = δa + δb 4 = B 3 db (13) que le convertisseur devra céder à la source S 3. Au total, au cours d un cycle (figure 11), le convertisseur aura permis de convertir la quantité δa d énergie de type A en une quantité δb = δa d énergie de type B, grâce au passage : de l extensité da de la source à la source ; de l extensité db de la source S 4 à la source S 3. Ce qui s écrit, en valeurs algébriques pour le convertisseur (conventions thermodynamiques) : δa = (A 1 A 2 ) da = (B 4 B 3 ) db = δb (14) En résumé, on peut énoncer le théorème suivant. héorème : une quantité d énergie de type A ne peut être transformée en une énergie de type B que si l on dispose, pour chacune de ces deux formes d énergie à extensité conservative, d au moins deux sources à des tensions différentes. BE 8 007 6 echniques de l Ingénieur

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE Sources à hautes tensions δa 1 = A 1 da δb 3 = B 3 db S 3 (A 1 ) (B 3 ) Sources dénergie A A 1 > A 2 Moteur δa = (A1 A 2 ) da > 0 Convertisseur Σ c Générateur δb = (B 4 B 3 ) db < 0 Sources dénergie B B 3 > B 4 (A 2 ) δa 2 = A 2 da δb 4 = B 4 db S 4 (B 4 ) Sources à basses tensions Figure 12 Moteur de type A - Générateur de type B Sources à hautes tensions δa 1 = A 1 da δb 3 = B 3 db S 3 (A 1 ) (B v ) Sources dénergie A A 1 > A 2 Générateur δa = (A2 - A 1 ) da < 0 Convertisseur Σ c Moteur δb = (B 3 - B 4 ) db > 0 Sources dénergie B B 3 > B 4 (A 2 ) δa 2 = A 2 da δb 4 = B 4 db S 4 (B 4 ) Sources à basses tensions Figure 13 Moteur de type B - Générateur de type A 3.2.3 Moteur et générateur Définitions Moteur et générateur constituent les deux pôles d un convertisseur qui échange non seulement de l énergie, mais encore de l extensité avec les sources qui l entourent (quatre au minimum). Pour chacune des formes d énergie, les tensions des sources sont différentes. On peut donc, par convention, parler d une source à haute tension et d une source à basse tension. Par définition, la partie motrice d un convertisseur est celle qui reçoit l extensité d une source à haute tension ; la partie génératrice reçoit l extensité d une source à basse tension (figures 12 et 13). Conservation des extensités La nécessité de mettre la partie moteur du convertisseur en relation avec deux sources est due à l indestructibilité de l extensité correspondante. La nécessité de deux sources pour le générateur correspond à l impossibilité de créer spontanément l extensité relative à la forme d énergie de ces sources. Si les extensités relatives aux deux types d énergie sont conservatives (non «créables» et non destructibles), la conversion est symétrique ou «renversable». Avec les mêmes sources et le même convertisseur, on peut tout aussi bien réaliser les conversions A B que B A (figures 12 et 13). Réservoir amont Convertisseur urbine Alternateur Plan deau aval erre S 4 Câble H.. Figure 14 Convertisseur hydroélectrique. Moteur hydraulique (turbine) - Générateur électrique (alternateur) Les frottements sont à éliminer puisqu ils engendrent de la chaleur, type d énergie exclu dans ce paragraphe. Un exemple de convertisseur à quatre sources est donné sur la figure 14. La partie moteur du convertisseur est une turbine hydraulique qui reçoit son extensité dm (masse d eau) d un réservoir amont où la tension est gh. Il cède ensuite la même extensité (type et valeur) au plan d eau aval où la tension n est plus que gh (avec H > h ). Le générateur n est autre qu un alternateur qui prend l extensité de (charges électriques) à la terre (tension nulle) ; il porte ensuite cette extensité à la tension U 3 > 0. S 3 echniques de l Ingénieur BE 8 007 7

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE ( 1 ) δ 1 = 1 ds Sources dénergie thermique 1 > 2 ( 2 ) δ 2 = 2 ds urbine + fluide δ = ( 1 2 ) ds > 0 Moteur thermique Alternateur δe = (U 0 U 1 ) de < 0 δe 1 = U 1 de δe 0 = U 0 de Sources dénergie électrique U 1 > U 0 = 0 H (U 1 ) B (U 0 ) Figure 15 Moteur thermique (A 1 ) δa 1 = A 1 da Sources dénergie A A 1 > A 2 δa = (A 1 A 2 ) da Générateur monotherme δ = ds Sources dénergie thermique ( ) (A 2 ) δa 2 = A 2 da Figure 16 Générateur thermique monotherme Un tel système symétrique peut évidemment fonctionner en sens inverse. On a affaire alors à un groupe motopompe : l énergie électrique servant alors à pomper l eau dans un réservoir aval pour la porter à une altitude supérieure. 3.3 Convertisseur thermique Soit un convertisseur permettant de changer l énergie thermique en un autre type d énergie quelconque A et vice versa. Ce convertisseur, formé de deux sous-ensembles, le moteur et le récepteur, sera dit : moteur thermique, s il reçoit de l énergie de la part des sources de chaleur, générateur thermique, s il cède de l énergie aux sources de chaleur. 3.3.1 Moteur thermique Considérons un moteur thermique (groupe turboalternateur par exemple). L expérience montre que la conversion réalisée chaleur électricité nécessite d avoir deux sources de chaleur et deux sources d énergie électrique (la terre au potentiel U 0 et la haute tension, au potentiel U 1 ) (figure 15). Les deux sources de chaleur doivent être à des températures différentes (tensions différentes) 1 > 2, de telle sorte qu une différence d énergie thermique : δ = δ 1 δ 2 = ( 1 2 ) ds (15) puisse être convertie en une énergie électrique δe = ( U 0 U 1 )de. L impossibilité d avoir un moteur monotherme indique que l extensité associée à l énergie thermique, l entropie, est indestructible. 3.3.2 Générateur thermique Comme dans les exemples précédents, le convertisseur de la figure 15 peut avoir un fonctionnement inverse, c est-à-dire fonctionner en générateur thermique, et convertir de l énergie électrique en énergie thermique. C est le cas bien connu des réfrigérateurs dans lesquels, grâce à l énergie électrique, il est possible de faire passer l entropie ds et l énergie thermique d une source froide vers une source chaude. Dans le cas du réfrigérateur, il apparaît que l entropie ne peut pas être créée (présence de deux sources). Mais cet exemple du réfrigérateur est un cas particulier de générateur thermique, car l expérience montre qu un tel générateur (figure 16) peut très bien fonctionner avec une seule source de chaleur. C est là que réside la différence entre la chaleur et les autres formes d énergie. Le générateur monotherme est une réalité qui, de plus, est extrêmement répandue dans la nature. On le trouve chaque fois qu il y a frottement dans un système (macroscopique ou interne, électronique - effet Joule, etc.). En effet, le frottement dégage de la chaleur, c est-à-dire fournit de l entropie (très souvent au milieu ambiant) sans emprunter cette entropie à aucune source. Exemples : 1. Expérience de Joule (figure 17) Pour que le calorimètre constitue une source thermique (température constante), de la glace est ajoutée à l eau. En laissant tomber le poids P, l énergie mécanique, correspondant à la variation d énergie potentielle, se transforme en chaleur conformément au premier principe. Cette chaleur est utilisée pour faire fondre une partie de la glace. Au cours de cette opération, une quantité d entropie ds est fournie à la source thermique (eau + glace) sans être empruntée à aucune autre source de chaleur (il n y en a pas d autre dans le système et la paroi du calorimètre est adiabatique). BE 8 007 8 echniques de l Ingénieur

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE + C est le principe de la conservation des extensités qui admet une exception pour l énergie thermique. P Figure 17 Expérience de Joule H.. Glace Eau Paroi adiabatique Convertisseur δ 3.4 Expression générale de la variation d entropie d un système quelconque 3.4.1 Réversibilité et irréversibilité Nous avons vu, au paragraphe 3.3.2, deux types de générateurs thermiques : le générateur ditherme (ou multitherme) et le générateur monotherme. Dans le cas du convertisseur à deux sources de chaleur, la symétrie est parfaite et le convertisseur peut fonctionner dans les deux sens pour toute transformation finie ou infiniment petite. À tout instant, la transformation est réversible, il n y a pas eu création d entropie : l entropie est conservative. En revanche, le convertisseur monotherme est essentiellement dissymétrique. Il ne peut fonctionner qu en générateur ; son fonctionnement en moteur nécessiterait la destruction d entropie, ce qui est exclu. oute évolution qui s opère dans ce convertisseur est essentiellement irréversible. On a vu également que, dans ce cas, il y a création d entropie. Ainsi, il est évident que la notion de réversibilité est liée à la création ou non d entropie. On peut résumer cela par les identités suivantes : erre Figure 18 Production de chaleur à partir d une résistance électrique 2. Effet Joule (figure 18) Une résistance électrique peut être considérée comme un générateur thermique. En effet, la résistance reçoit de l énergie électrique et produit de l énergie thermique au profit du milieu ambiant. Celui-ci, qui peut être considéré comme une source si le dégagement de chaleur provoque une variation de température négligeable (régime permanent), reçoit, en même temps que de la chaleur, l extensité correspondante ds. Dans ce cas encore, l entropie que reçoit le milieu extérieur provient de nulle part. Il y a véritablement création d entropie. On peut écrire, en notant par A une énergie de type quelconque, que la quantité de chaleur δ fournie par le convertisseur à la source unique de température est : δ = ds = δa = δa 1 δa 2 = (A 1 A 2 ) da (16) En résumé, on peut dire que l entropie, variable extensive associée à l énergie thermique, est «créable» et indestructible. Cette constatation peut être considérée comme un énoncé du deuxième principe. Cependant, le suivant semble préférable car il est analogue dans sa forme à celui du premier principe (principe de la conservation de l énergie). Principe de la conservation des extensités : les extensités associées à toutes les formes d énergie, sauf l énergie thermique, sont conservatives. Dans le cas particulier de la chaleur, l entropie peut être créée mais non détruite (2). Nota (2) : en réalité, il existe une autre extensité non conservative. Il s agit de la quantité de mouvement mc qui peut être créée et détruite si des efforts sont appliqués à la masse. Ce principe de non-conservation de la quantité de mouvement est à l origine de l équation de Navier-Stokes en mécanique des fluides (cf. article [BE 8 153]). entropie conservative transformation réversible création d entropie transformation irréversible 3.4.2 Divers types d irréversibilités En pratique, les systèmes convertisseurs n évoluent pas réversiblement et il y a création d entropie. Ce fait conduit à deux notions d irréversibilité. 3.4.2.1 Irréversibilité interne Elle correspond à une création d entropie ds int. Elle est due au système lui-même qui ne peut pas évoluer de façon réversible. Comme exemples d irréversibilité interne on peut citer : les frottements entre pièces ou éléments matériels en contact à l intérieur d un système ; les réactions chimiques non équilibrées ; les frottements atomiques ou électroniques ou entre particules fluides, etc. 3.4.2.2 Irréversibilité externe Elle correspond à une création d entropie ds ext. Elle caractérise l irréversibilité des échanges énergétiques. Elle a lieu lorsque deux systèmes, ou un système et le milieu extérieur, à des tensions différentes, sont mis en relation. Citons quelques exemples. 3.4.2.2.1 ransferts thermiques Expérimentalement lorsque deux sources de chaleur et, à températures différentes, sont mises en relation, la chaleur passe de la source chaude à tension élevée vers la source froide à faible tension (figure 19). Cet échange de chaleur est absolument irréversible (en effet, on constate que la chaleur ne passe jamais naturellement d une source froide à une source chaude). La source chaude cède une quantité de chaleur δ, en même temps qu une certaine quantité d entropie d, à la source froide qui reçoit une quantité d entropie d, de sorte que : δ = 1 d = 2 d (17) echniques de l Ingénieur BE 8 007 9

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE 1 > 2 S 1 1 δ d 1 d P i P ext Δ Figure 19 ransfert irréversible de chaleur d une source chaude vers une source froide Figure 21 Détente brusque dans un cylindre δ = ds 1 δ 1 U 1 U 2 1 Figure 20 Court-circuit électrique Comme 1 > 2, on en déduit : d > d Il y a eu création d entropie ds, ce qui caractérise l irréversibilité d un tel échange : de ds = d d > 0 2 δ 2 2 δ 3 3 S 3 3 δ i i i Figure 22 Système échangeant de la chaleur avec un nombre quelconque de sources Σ S i Afin de distinguer la création d entropie d une variation d entropie, l entropie créée sera affectée toujours d un exposant «prime». 3.4.2.2.2 Court-circuit électrique Si l on met en contact deux conducteurs électriques à des tensions différentes, une quantité de charges de (variable extensive conservative) passe de la source à haute tension à la source (figure 20). La quantité d énergie électrique cédée par, qui s exprime : δe 1 = U 1 de est supérieure à celle reçue par : δe 2 = U 2 de si U 1 > U 2 car e est conservatif. Le premier principe impose l apparition d une nouvelle énergie : la chaleur dont l extensité est «créable». Le système cède donc au milieu ambiant une quantité de chaleur : δ = U 1 U 2 de = ds (18) ds étant la quantité créée par cette opération irréversible (générateur monotherme). 3.4.2.2.3 Détente brusque d un piston Soit un système constitué par un cylindre adiabatique contenant un gaz à une pression P i et un piston maintenu en position par une goupille (figure 21). On suppose que la pression extérieure est telle que P ext << P i et que le milieu extérieur est suffisamment grand pour que P ext reste constant pendant l expérience. Si, à un instant t, la goupille qui immobilisait le piston est enlevée, celui-ci se déplace brusquement vers le milieu extérieur d une distance Δ. L énergie mécanique échangée : δw = P ext Δ Ω (19) (où Ω est la section du piston) correspond à la variation d énergie interne. Durant cette opération, le milieu intérieur au système effectue un travail supérieur puisque la pression sur la face gauche du piston reste toujours supérieure à celle qui s exerce sur la face droite (on suppose qu il n y a pas d oscillations). Si ce travail correspondait à un échange d énergie mécanique, cela entraînerait alors une chute d énergie interne supérieure à celle calculée cidessus. S il n en est rien, c est qu en fait l énergie mécanique supplémentaire a été convertie en énergie thermique interne, cette conversion s accompagnant d une création d entropie à l intérieur même du système. L énergie thermique ainsi reçue sert à élever (relativement) l énergie interne du système. 3.4.3 Expression générale de la variation d entropie Considérons un système à irréversibilité interne, qui échange de la chaleur avec plusieurs sources S i (figure 22) suivant des transformations quelconques. Si δ i est la quantité de chaleur échangée entre le système et la source S i dont la température est i, la source cède (ou reçoit) au système une quantité d entropie égale à δ ---------- i. Du fait de la différence de température entre la source S i et i la partie du système qui reçoit (ou qui donne) δ i, il y a création d entropie ds ext i due à l échange irréversible de chaleur entre Σ et S i. De plus, l évolution interne irréversible du système entraîne la création d entropie ds int. La variation totale d entropie du système Σ est : δ ds i Σ = ---------- + ds ext i ds + int = i i δ ---------- i + ds int i i (20) avec δ i < 0, ds ext i > 0etdS int > 0. Notons que toute transformation qui est le siège d irréversibilités internes ou externes est au total irréversible. L équation (20) est une expression générale valable dans tous les cas. BE 8 007 10 echniques de l Ingénieur

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE Réversibilité interne : ds int = 0. C est le cas d un système parfait à évolution réversible, qui échange irréversiblement. La relation (20) s écrit : Réversibilité externe : i = i et ds ext = 0. Si le système évolue de façon irréversible, on a : δ irr ds i Σ = -------------------- = i δ irr -------------------- i + ds ext i (21) δ ds Σ ds int rév + i ---------------------- ds δ rév = = i int + i --------------------- i (22) S ext S int Source (S) S int S ext ΔS Σ ΔS S S > Σ ΔS S = S ΔS ΣF = F F Système (Σ) a Flux thermique et entropique dune source vers un système S int Source (S) ΔS S S ext ΔS Σ S int S < Σ ΔS S = S S ext ΔS ΣF = F F Système (Σ) b Flux thermique et entropique dun système vers une source avec fortes irréversibilités externes S int Source (S) S int ΔS S S ext ΔS Σ S < Σ ΔS S = S S ext ΔS ΣF = F F Système (Σ) c Flux thermique et entropique dun système vers une source avec faibles irréversibilités internes Figure 23 Flux énergétiques et entropiques entre une source et un système. Variations d entropie de la source et du système echniques de l Ingénieur BE 8 007 11

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE La transformation est alors irréversible, que δ soit échangée réversiblement ou irréversiblement. Dans le cas général des transformations réelles, donc irréversibles, les températures du système i sont pratiquement impossibles à déterminer. On utilise alors couramment l équation (20) dans laquelle c est la température des sources i qui est prise en compte. Réversibilité totale : ds int = ds ext = 0 et i = i. On a alors : δ ds rév Σ = i --------------------- i (23) Si une telle transformation est adiabatique, elle est nécessairement isentropique : ds = 0 : transformation adiabatique réversible = transformation isentropique. La figure 23 présente plusieurs illustrations des flux entropiques accompagnant les flux de chaleur entre une source S et un système Σ et les variations entropiques qui en découlent : figure 23a : la source, à la température S en cédant la chaleur perd une quantité d entropie : / S. Du fait de l irréversibilité de transfert thermique, le système reçoit cette quantité d entropie augmentée de la création d entropie S ext. Cependant, à cause des irréversibiltés internes et de la création d entropie correspondante S int, la variation d entropie du système est : ΔS Σ -------- S (24) ext S = + + int = ------ + S S int F figure 23b : le système, à la température de frontière F, en cédant la chaleur perd une quantité d entropie : / F. Du fait de l irréversibilité de transfert thermique, la source reçoit cette quantité d entropie augmentée de la création d entropie S ext. Bien qu ayant cédé de l entropie à la source, dans la représentation de cette figure, le système voit son entropie croître à cause de très fortes irréversibilités donnant une forte création interne d entropie S int. On a encore : ΔS Σ -------- S ext S = + + int = ----- + S S int F avec < 0 ; S ext > 0 et S int > 0 ; (25) figure 23c : ce cas est identique au précédent, mais on a admis que le flux thermique est plus important et que les irréversibilités internes sont plus faibles. Ainsi, alors que dans le cas précédent l entropie du système augmentait malgré une «perte» thermique, dans le cas de cette représentation, l entropie du système diminue. On a encore : 3.5 Dégradation de l énergie La dégradation de l énergie provient du fait que, pour un générateur monotherme, la chaleur cédée à la source ne peut pas, du moins en totalité, être reconvertie en énergie A qui lui a donné naissance, même si on utilise un moteur thermique réversible à deux sources pour cette dernière conversion (figure 24). En effet, supposons que le générateur monotherme (1) permette d obtenir la quantité de chaleur : δ = ds Cette quantité de chaleur est obtenue à partir de la quantité d énergie de type A : δa = (A 1 A 2 ) da Avec ce seul convertisseur, la totalité de la chaleur reçue par la source S ne peut plus être retransformée. En revanche, en utilisant un deuxième convertisseur (2), un moteur thermique, il est possible de convertir une partie de cette quantité de chaleur à nouveau en énergie de type A. L entropie étant indestructible, il est nécessaire de céder : δ 0 = 0 ds à une source à basse température 0. Ainsi, seule la quantité de chaleur : δ = ( 0 ) ds = δa (26) peut être convertie en énergie de type A. Comme : on a bien : ΔS Σ -------- S ext S = + + int = ----- + S S int F δa = δ = ds (27) δ A < δ A (A 1 ) A 1 da Énergie A A 1 > A 2 Générateur monotherme (1) δ = ds S () δ = ds A 1 da (A 1 ) (A 2 ) A 2 da Moteur thermique (2) Énergie A A 1 > A 2 S 0 ( 0 ) δ 0 = 0 ds A 2 da (A 2 ) Figure 24 Succession de convertisseurs conduisant à la dégradation de l énergie BE 8 007 12 echniques de l Ingénieur

HERMODYNAMIUE APPLIUÉE Lord Kelvin (1852) a traduit ce résultat en affirmant que la chaleur est une forme dégradée de l énergie. Comme les générateurs monothermes sont universellement présents du fait des frottements et des irréversibilités en général, toute conversion d énergie s accompagne donc d une dégradation : l énergie que possède l univers est, au fur et à mesure des conversions, de moins en moins convertible. Parallèlement, cela s accompagne d un accroissement global d entropie. 4. Application du deuxième principe 4.1 Moteurs et générateurs thermiques. Machines de Carnot 4.1.1 Définition d un moteur thermique Un moteur thermique ( 3.2.3) est un convertisseur d énergie qui emprunte au cours d un cycle une quantité de chaleur M à la source chaude et restitue m à la source froide afin d éliminer la quantité d entropie gagnée pendant une partie du cycle. La différence entre M et m est convertie, au cours du cycle, en une autre forme d énergie qui sera échangée avec le milieu extérieur : M m = W = énergie mécanique fournie à l extérieur (28) 4.1.2 Rendement d un moteur thermique Le rendement d un moteur quelconque se définit par le rapport entre la quantité d énergie de type A fournie et la quantité d énergie de type B reçue par le moteur. Ainsi, une turbine hydraulique (figure 14) reçoit l énergie cinétique et potentielle du fluide et produit de l énergie mécanique, qui sera convertie en énergie électrique par un alternateur. Pour ce convertisseur, le rendement correspond au rapport de l électricité fournie (différence entre la valeur fournie à la source à haute tension et celle reçue de la source à basse tension) à l énergie hydraulique consommée (différence entre l énergie reçue de la source à haute tension réservoir haut et l énergie cédée à la source à basse tension le bief aval). Ce rendement est toujours inférieur à 1 du fait de l irréversibilité des transformations qui créent de l entropie et fait apparaître de la chaleur, type d énergie qui n est pas utilisé dans ce type de convertisseurs. En revanche, dans le cas des moteurs thermiques, comme il y a conversion d énergie thermique en une autre forme d énergie, il n y a pas de pertes de ce genre. Le rendement de ces moteurs serait donc toujours égal à l unité si on ne convenait pas de donner pour les moteurs thermiques une autre définition du rendement. En effet, le rendement d un moteur thermique est égal au rapport entre l énergie fournie (en général un travail) et la seule quantité de chaleur reçue de la source chaude M (et non pas la quantité de chaleur absorbée ( M m ), comme le voudrait la définition classique du rendement). On écrit : W η = ---------- (29) M soit : η M ------------------------------ m 1 --------------- m = = = 1 + ---------- m M M M (30) C est une définition de type économique qui pose, a priori, le fait que la quantité de chaleur m, que le convertisseur cède à la source froide, est perdue. C est effectivement le cas du plus grand nombre d installations thermiques, mais ce n est pas une généralité. Notons encore que le rendement ainsi défini ne peut jamais atteindre l unité (car une source froide à = 0 n existe pas) même lorsque toutes les transformations sont réversibles, c est-à-dire si la machine a un fonctionnement parfait. 4.1.3 Rendement d une machine de Carnot 4.1.3.1 Moteur de Carnot Un moteur de Carnot est un moteur thermique réversible à deux sources, qui reçoit de la chaleur d une source chaude et en cède une partie à une source froide, la différence étant convertie en une autre forme d énergie (figure 15). Or, pour qu un moteur thermique ait un fonctionnement absolument réversible, il faut que la réversibilité soit satisfaite : au niveau des échanges énergétiques avec l extérieur ; au niveau interne du convertisseur, c est-à-dire qu il n y ait aucun frottement et que les échanges internes de chaleur s ils existent se fassent à température uniforme. Ainsi, les échanges de chaleur entre le moteur et chacune des deux sources doivent être isothermes, ce qui signifie que le fluide moteur doit rester à la température de la source durant toute la durée de l échange de chaleur. L évolution correspondante du fluide est isotherme. Dans le cas d un moteur à deux sources de chaleur (ce qui est un minimum), le cycle d évolution du fluide système thermodynamique considéré comprend nécessairement deux portions d isothermes réversibles (figure 25). Une première isotherme 2 3, dont la température correspond à celle de la source chaude M ; une deuxième isotherme 4 1 à la température m de la source froide. Pour le reste du cycle, tout échange de chaleur est exclu car, dans le cas contraire, il ne se ferait pas de façon réversible. Les transformations sont alors nécessairement adiabatiques réversibles, c est-à-dire isentropiques. En résumé : la forme du cycle d évolution du fluide d un moteur thermique réversible à deux sources est unique. Elle comporte deux transformations isothermiques et deux transformations isentropiques. Un tel moteur est appelé moteur de Carnot. Les cycles représentés sur la figure 25 sont appelés cycles de Carnot. Pour de tels cycles, on peut remarquer que, si la position des isothermes est fixée, celle des isentropes ne l est pas. De leur écartement dépend la quantité d énergie mise en jeu à chaque cycle, donc l importance de la machine. Les échanges de chaleur étant réversibles : M = M ΔS c (31) et : m = m ΔS f (32) avec ΔS c et ΔS f respectivement l entropie reçue de la source chaude et l entropie cédée à la source froide. Le fonctionnement de cette machine étant parfait par hypothèse, il n y a pas de création interne d entropie, ce qui implique : soit, avec l équation (30) du rendement : m M ΔS c = ΔS f (33) M M η C 1 --------- ------------------------ m Δ = = = -------- < 1 (34) Ce résultat, extrêmement important, indique que le rendement d une machine de Carnot n est fonction que des températures M M echniques de l Ingénieur BE 8 007 13