OPTIMISATION ROBUSTE DE FORMES PAR LA METHODE DES LIGNES DE NIVEAUX

Optimisation de formes 1 G. Allaire OPTIMISATION ROBUSTE DE FORMES PAR LA METHODE DES LIGNES DE NIVEAUX G. ALLAIRE CMAP, Ecole Polytechnique avec F. DE GOURNAY, et F. JOUVE 1. Optimisation de formes, optimisation robuste 2. Dérivation par rapport au domaine 3. Méthode level set 4. Algorithme et résultats numériques

Optimisation de formes 2 G. Allaire -I- OPTIMISATION ROBUSTE DE FORMES Motivation: on cherche la structure la plus solide et la plus légère. Fonction objectif classique: on minimise la compliance pour un chargement donné. Algorithme numérique des lignes de niveaux de Osher et Sethian dans le cadre de la méthode d Hadamard (optimisation géométrique). Changement de topologie possible grâce à cet algorithme (fusion de trous) et à la notion de gradient topologique (création de trous). Problème: instabilité des formes optimales par rapport aux variations de chargements.

Optimisation de formes 3 G. Allaire BUT DE CE TRAVAIL On généralise la méthode des lignes de niveaux pour l optimisation de structures, robuste par rapport aux incertitudes sur les chargements mécaniques. Quelques références: Optimisation de formes avec level set: Sethian et Wiegmann (JCP 2000), Osher et Santosa (JCP 2001), Allaire, Jouve et Toader (CRAS 2002, JCP 2003, CMAME 2005), Wang, Wang et Guo (CMAME 2003). Ingrédient supplémentaire gradient topologique : Eschenauer-Schumacher 1994, Guillaume-Masmoudi 2001, Sokolowski-Zochowski 1999. Couplage avec level set: Allaire, de Gournay, Jouve et Toader (CC 2005). Travail à paraitre dans COCV de Allaire, de Gournay, Jouve.

Optimisation de formes 4 G. Allaire POSITION DU PROBLEME Optimisation de structures en élasticité linéaire. Forme Ω de frontière Ω = Γ Γ N Γ D, avec condition aux limites de Dirichlet sur Γ D, et de Neumann sur Γ Γ N. Seule Γ sera susceptible d être optimisée. div (A e(u)) = 0 dans Ω u = 0 sur Γ D ( ) A e(u) n = g + δg sur ΓN ( A e(u) ) n = 0 sur Γ avec e(u) = 1 2 ( u + ( u)t ), et A tenseur d élasticité isotrope homogène. On suppose que les forces appliquées sont mal connues: incertitudes δg.

Optimisation de formes 5 G. Allaire Forces connues: g. Incertitudes: δg. COMPLIANCE ROBUSTE Idée classique (voir Cherkaev et al, J. Elast. 2003): On minimise le pire des cas J(Ω) = max δg { c(g + δg) = } (g + δg) u ds Γ N sous la contrainte δg m et éventuellement avec restriction sur son support. L évaluation de J(Ω) est un problème de type région de confiance. Dans la suite on choisit δg 2 = δg 2 ds. Γ N

Optimisation de formes 6 G. Allaire Réécriture de la compliance robuste c(g + δg) = (g + δg) u ds Γ N ( ) = min A e(v) e(v) dx 2 (g + δg) v ds v=0 sur Γ D Ω Γ N Comme min = max, on peut échanger les deux maximisations ( ) max c(g+δg) = max A e(v) e(v) dx + 2 max (g + δg) v ds δg m v=0 sur Γ D Ω δg m Γ N On obtient une maximisation d une énergie non quadratique et non concave ( ) max c(g + δg) = max A e(v) e(v) dx + 2 g v ds + 2m v δg m v=0 sur Γ D Ω Γ N

Optimisation de formes 7 G. Allaire Cas particulier Si g = 0, on trouve un problème aux valeurs propres ( ) max c(0 + δg) = max A e(v) e(v) dx + 2m v δg m v=0 sur Γ D Principe variationnel d Auchmuty pour div (A e(u)) = 0 dans Ω u = 0 sur Γ D ( ) A e(u) n = λu sur ΓN Ω ( A e(u) ) n = 0 sur Γ On note E λ le sous-espace propre des solutions u.

Optimisation de formes 8 G. Allaire Calcul de la compliance robuste Définition. Soit ρ IR et g E ρ. On note u ρ la solution de div (A e(u ρ )) = 0 dans Ω u ρ = 0 sur Γ D ( A e(uρ ) ) n = g + ρu ρ sur Γ N ( A e(uρ ) ) n = 0 sur Γ unique si on la normalise par u ρ E ρ.

Optimisation de formes 9 G. Allaire Calcul de la compliance robuste (suite) max E(v) = v=0 sur Γ D ( Ω Théorème. Soit λ 1 la 1ère valeur propre. ) A e(v) e(v) dx + 2 g v ds + 2m v Γ N 1. Si g E λ1 et λ 1 u λ1 m, alors les maxima de E(v) sont donnés par (u λ1 + v) avec v E λ1 tel que λ 1 ( u λ1 + v ) = m. 2. Sinon, le maximum de E(v) est atteint uniquement en u s où s est l unique point critique dans (0, λ 1 ) de la fonction convexe ρ ΓN g u ρ ds + m2 ρ. C est l algorithme numérique utilisé.

Optimisation de formes 10 G. Allaire -II- DERIVATION PAR RAPPORT AU DOMAINE Ω 0 (Ι d +θ)ω0 x x+ θ(x) Soit Ω 0 un domaine de référence. On considère des variations du type Ω = ( Id + θ ) Ω 0 avec θ W 1, (IR N ; IR N ). Définition: on appelle dérivée d une fonction J(Ω) en Ω 0 la différentielle (Fréchet) de θ J ( (Id + θ)ω 0 ) en 0.

Optimisation de formes 11 G. Allaire DERIVEE DE FORME DE LA COMPLIANCE J(Ω) = g u Ω ds = A e(u Ω ) e(u Ω ) dx, Γ N Ω J (Ω)(θ) = Ae(u) e(u) θ n ds, où u u Ω est l état dans Ω. Remarque: il n y a pas d état adjoint car le problème est auto-adjoint. Γ

Optimisation de formes 12 G. Allaire DERIVEE DE LA COMPLIANCE ROBUSTE J(Ω) = max E(v) = v=0 sur Γ D ( Ω ) A e(v) e(v) dx + 2 g v ds + 2m v Γ N Si le maximum de E(v) est unique, alors la dérivée se cacule comme précédemment. Si le maximum de E(v) n est pas unique, alors on peut seulement calculer une dérivée directionnelle. Dans ce cas on choisit la meilleure direction de descente par un algorithme SDP.

Optimisation de formes 13 G. Allaire -III- METHODE DES LIGNES DE NIVEAUX On ne maille pas la forme, mais on la capture sur un maillage fixe d une grande boite D. On paramètre la forme Ω par une fonction ligne de niveaux ψ(x) = 0 x Ω D ψ(x) < 0 x Ω ψ(x) > 0 x (D \ Ω) La normale n de Ω est égale à ψ/ ψ. Cette formule a un sens partout dans D et pas seulement sur la frontière Ω.

Optimisation de formes 14 G. Allaire Equation de Hamilton Jacobi Si la forme Ω(t) évolue suivant le temps t avec une vitesse normale V (t, x), on trouve une équation de Hamilton Jacobi pour la fonction ψ. En effet, ( ) ψ t, x(t) = 0 pour tout x(t) Ω(t). En dérivant il vient Comme n = x ψ/ x ψ on trouve ψ t + ẋ(t) xψ = ψ t + V n xψ = 0. ψ t + V xψ = 0. Cette équation est posée dans tout D, et pas seulement sur le bord Ω, si la vitesse est connue partout.

Optimisation de formes 15 G. Allaire -IV- ALGORITHME NUMERIQUE Principe de la méthode: on ne maille pas la forme, mais on la capture sur un maillage fixe d une grande boite de calcul D. On connait une dérivée de forme J (Ω)(θ) = Γ j(u) θ n ds qui conduit à une méthode de gradient sur la forme ) Ω k+1 = (Id t j(u k )n k.ω k Autrement dit, on transporte le bord de la forme avec la vitesse normale j. On introduit un pseudo-temps (paramètre de descente) et on résout ψ t j ψ = 0 dans D

Optimisation de formes 16 G. Allaire Algorithme itératif 1. Initialisation de la fonction ligne de niveaux ψ 0 (un produit de sinus, par exemple). 2. Itérations jusqu à convergence pour k 1: (a) Calcul de u k par un problème d élasticité pour la forme ψ k. Calcul du gradient de forme = vitesse normale V k (b) Transport de la forme par la vitesse V k (équation de Hamilton Jacobi) pour obtenir une nouvelle forme ψ k+1. (c) Eventuellement, réinitialisation de la fonction ligne de niveaux pour que ψ k+1 soit la distance signée à l interface.

Optimisation de formes 17 G. Allaire EXEMPLES NUMERIQUES Voir la page web http://www.cmap.polytechnique.fr/ optopo/level fr.html

Optimisation de formes 18 G. Allaire Allowed perturbations Source term f

Optimisation de formes 19 G. Allaire

Optimisation de formes 20 G. Allaire Perturbations verticales seulement. Perturbations Source term

Optimisation de formes 22 G. Allaire Comparaison avec le pont multi-chargement.

Optimisation de formes 24 G. Allaire Perturbations verticales seulement.

Optimisation de formes 25 G. Allaire Perturbations horizontales et verticales à la fois.

Optimisation de formes 27 G. Allaire Détails sur l algorithme Maillage quadrangulaire. Schéma aux différences finies, upwind d ordre 1 ou 2, pour l équation de Hamilton Jacobi donnant ψ (discrétisé aux noeuds). Calcul d élasticité par éléments finis Q1 dans la grande boite D div (A e(u)) = 0 dans D u = 0 sur Γ D ( A e(u) ) n = g sur Γ N ( A e(u) ) n = 0 sur D \ (Γ N Γ D ). Tenseur d élasticité A défini à partir du matériau A par A = θa avec 10 3 θ 1 et θ = interpolation (constante par mailles) égale à la proportion de la zone où ψ < 0.

Optimisation de formes 28 G. Allaire Choix du pas de descente A chaque évaluation de l état, on fait plusieurs pas de transport: Pas de descente = plusieurs ( 20) pas de temps explicite du transport. Pas de descente (ou nombre de pas de temps) controlé par la décroissance de la fonction objectif. Heuristique de contrôle: si on remonte, on revient en arrière et on diminue le pas de descente, sinon on augmente le pas de descente (dans des bornes fixées).

Optimisation de formes 29 G. Allaire Réinitialisation Pour régulariser la fonction ligne de niveaux et éviter qu elle ne devienne trop plate ou trop raide par diffusion numérique, on la réinitialise de temps en temps. Pour cela on résoud ψ ( ) t + sign(ψ 0) x ψ 1 ψ(t = 0, x) = ψ 0 (x) = 0 for x D, t > 0 dont la solution stationnaire est la fonction distance signée à l interface {ψ 0 (x) = 0}. Idée classique dans les applications en mécanique des fluides. Peu d itérations suffisent. Améliore la convergence pour des maillages fins.

Optimisation de formes 30 G. Allaire GRADIENT TOPOLOGIQUE Idée introduite par Eschenauer-Schumacher (1994), Guillaume-Masmoudi (2001), Sokolowski-Zochowski (1999). Soit une forme Ω IR d et un point x 0 Ω. Soit ω IR d un trou (contenant l origine), x 0 Ω et ρ > 0. On définit la forme perforée Ω ρ = Ω \ ω ρ avec ω ρ = x 0 + ρω. Définition. Si la fonction objectif admet le développement asymptotique topologique suivant, pour ρ > 0 petit, J(Ω ρ ) = J(Ω) + ρ d D T J(x 0 ) + o(ρ d ), alors D T J(x 0 ) est appelé gradient topologique au point x 0. Si D T J(x 0 ) < 0, un petit trou peut être percé en x 0 pour décroitre la fonction objectif.