POLYTECH MONTPELLIER Département Matériaux Département Mécanique & Interactions Outils Statistiques pour les Plans d Expériences Polycopié d exercices Mat 4 / MI4 Cours d André MAS
Outils statistiques pour les plans d expérience Feuille de T.D. n 1 Statistiques descriptives Calculer la médiane de la série suivante : 14 16 12 9 11 18 7 8 9 16 7 9 18. Le tableau suivant donne la répartition d une population par tranches d âge. Classes [0; 10[ [10; 20[ [20; 30[ [30; 40[ [40; 50[ [50; 60[ [60; 70[ [70; 80[ Nombre 18 44 68 54 42 36 16 10 Calculez la moyenne, la variance ainsi que la médiane de cette série. Exercice 3 : Une étude portant sur la durée de vie d une centaine d appareils électriques du même type a permis d établir le tableau ci-contre. Durée de vie (en heures) Nombre d appareils [0; 2000[ 8 [2000; 4000[ 26 [4000; 5000[ 20 [5000; 6000[ 22 [6000; 8000[ 18 [8000; 10:000[ 6 Représentez l histogramme associé à ce tableau et déterminez la classe modale. Exercice 4 : On e ectue le prélèvement, sur une chaîne de montage, de 30 pièces en acier dont on va tester la dureté (test de dureté HRC). Cette dureté est mesurée par un coe cient (ici compris entre 52 et 57). Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant : Dureté HRC [52;53[ [53;53.5[ [53.5;54[ [54;54.5[ [54.5;55[ [55;55.5[ [55.5;56[ [56;57[ E ectif 2 2 3 5 6 4 4 4 1/ Tracer l histogramme associé à ce tableau. Quelle fonction cet histogramme est-il censé estimer? 2/ Déterminer la moyenne, la médiane et le mode de cet échantillon.
OSPE Feuille de TD n 2 Analyse de variance Une étude agronomique porte sur le rendement de di érentes variétés de maïs (M1;M2;M3 et M4) récoltées sur n = 24 parcelles. Les résultats sont les suivants : M1:60, M1:64,M1:63,M1:61, M2:62, M2:66, M2:67, M2:70, M2:66, M2:65, M3:67, M3:70, M3:69, M3:72, M3:74, M3:68, M4:63, M4:57, M4:57, M4:59, M4:58, M4:62, M4:60, M4:56. 1/ De combien de variables dispose-t-on dans ce problème? Décrivez-les succintement. Réécrivez les données en les disposant dans un tableau similaire à celui vu en cours. 2/ Proposez et calculez 8 statistiques simples permettant de résumer l échantillon. 3/ Quelle méthode statistique permet d analyser ce jeu de données? On souhaite répondre à la question : "Ces 4 variétés présentent-elles des niveaux de rendement signi cativement di érents?" Utilisez le 2/ pour répondre à cette question. Placez les résultats de vos calculs dans un tableau (dont vous me rappellerez le nom). Voici, pour vous aider, quelques lignes extraites de la table de la loi de Fisher à (k; 20) degrés de liberté pour k = 2; :::; 5, donnant un seuil d acceptation au niveau 5%. f (2; 20) = 19:4; f (3; 20) = 8:66; f (4; 20) = 5:80; f (5; 20) = 4:44 On a étudié les rejets en CO 2 de plantes en fonction de di érents facteurs. Puis on a e ectué une analyse de variance sur les résultats obtenus. Voici un extrait du listing : Traitement Origine Concentration Rejet Réfrigération : 42 Quebec : 42 95 : 12 Min : 7.70 Temp. Ambiante : 42 Mississipi : 42 175 : 12 Ier quartile : 17.90 250 : 12 Moyenne : 28.3 350 : 12 Médiane: 27.21 435 : 12 3ème quartile : 37.13 675 : 12 Max : 45.5 1000 : 12 Analyse de variance : d.d.l. Somme des carrés Carré moyen F p-valeur Concentration 6 4068.8 ****** ****** < 2.2e-16 Origine 1 3365.5 3365.5 255.15 < 2.2e-16 Traitement 1 988.1 988.1 ****** 1.268e-12 Conc. Origine 6 ****** 62.4 4.73 0.0004335 Résiduelle 69 910.1 ****** 1/ Sur combien de plantes porte l étude? Combien y a-t-il de facteurs dans cette étude? Et combien de niveaux pour chacun d eux? 2/ Complétez les cases manquantes dans le tableau d analyse de la variance. Quelles sont vos conclusions?
Feuille de TD n 3 Régression linéaire Dans le tableau suivant on donne des distances de freinage sur route humide en fonction de la vitesse. Vitesse en km/h 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Distance en m. 8 12 18 24 32 40 48 58 72 1/ Tracez ce nuage de points. 2/ Donnez l équation de la droite de régression et tracez-la. Calculez le R 2 : 3/ Estimez la distance de freinage pour une vitesse de 130 km/h. En supposant les observations gaussiennes, donnez un intervalle de con ance à 95% pour votre prévision. 4/ Calculez les résidus estimés et construisez le graphe des résidus. Le tableau ci-dssous donne les valeurs expérimentales du volume V (en cm 3 ) et de la pression P (en Kg par cm 2 ) d un gaz. D après les lois de la thermodynamique de Laplace pour un gaz parfait, on a la relation P V = C où et C sont des constantes. On s intéresse in ne à la prédiction de la pression du gaz. Volume 620 890 1013 1186 1454 1944 2313 3179 Pression 6.7 4.3 3.5 2.64 2 1.35 1.1 0.71 1/ On souhaite estimer la valeur des coe cients et C: Sans faire aucun calcul que pensez-vous du signe du coe cient? Quelle méthode proposeriez-vous pour mener cette estimation? 2/ On e ectue une régression linéaire simple obtenue à partir de variables transformées de V et P: On note x et y ces nouvelles variables. D après vous quelle(s) transformation(s) a-t-on e ectué (autrement dit exprimez x et y en fonction de V et P )? On écrit le modèle sous la forme : y = + x + " Les résultats sont consignés dans le tableau suivant : Coe cient Estimation Ecart-type Valeur du t p-value... 0.17... 10 9... 0.024... 1:6 10 9 a/ Quelle relation y a-t-il entre (; ) et (C; ). Tracez le nuage de points associé à x et y pour véri er que la régression linéaire est justi ée. b/ Déterminez les 4 valeurs manquantes de ce tableau et proposez des valeurs pour et C. Dites si cela con rme ou in rme vos déductions sur le signe de de la question 1/. 3/ Donnez un intervalle de con ance pour le coe cient au niveau 95 %. 4/ Estimez P lorsque le volume vaut V = 1000.
Call: lm(formula = log(p) ~log(v)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.039394-0.025230 0.001989 0.020270 0.048924 Coe cients: Estimate Std. Error t value Pr(>jtj) (Intercept) 10.85944 0.17134 63.38 1.04e-09 *** log(v) -1.39146 0.02362-58.91 1.61e-09 *** Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Residual standard error: 0.03369 on 6 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.9983, Adjusted R-squared: 0.998 F-statistic: 3470 on 1 and 6 DF, p-value: 1.608e-09