1S DS 4 Durée :?mn Exercice 1 ( 5 points ) Les trois questions sont indépendantes. 1. Soit f la fonction définie par f(x) = 3 x. a) Donner son ensemble de définition. Il faut 3 x 0 3 x donc D f =] ; 3] b) Déterminer le sens de variation de f. Sur ] ; 3] : x 3 x est une fonction affine décroissante (coefficient de x négatif) donc x 3 x est décroissante car u et u on le même sens de variation. f est décroissante sur ] ; 3] 2. La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g, définie sur I = [ 1; 3]. a) Dresser le tableau de variations de g.. b) Donner ensuite, en justifiant, le tableau de variation des fonctions suivantes : la fonction i définie par i(x) = g(x) + 3. g et g + 3 ont le même sens de variation donc on a :
la fonction j définie par j(x) = 2g(x) 3. 2g et g ont des sens de variations contraires car on multiplie par un coefficient k = 2 négatif et 2g et 2g 3 ont le même sens de variation (car u et u + k avec k R ont le même sens de variation ), on a donc : la fonction k définie par k(x) = 1 g(x). g(x) = 0 pour x = 0 ou x = 3 donc k n est pas définie pour ces deux valeurs. g(x) > 0 sur R \ {0; 3} et g et 1 g ont des sens de variations contraires, donc on a : 3. Tracer la courbe représentative de la fonction valeur absolue (x x ) dans un repère orthonormé. Courbe C f tracée en gris ci-dessous. Dans le même repère, tracer les représentations graphiques C 1 et C 2 respectivement des fonctions f 1 et f 2 définies par f 1 (x) = x 2 et f 2 (x) = f 1 (x). C 1 (en rouge) est l mage de C f (représentation graphique de f) par la translation de vecteur u(0; 2) C 2 est tracée en pointillés bleus.
Exercice 2 ( 4 points ) Soit la fonction f définie par f(x) = x + 1 + 2x + 3 1. Déterminer l expression algébrique de f(x) sans valeur absolue. x + 1 > 0 x > 1 et 2x + 3 > 0 2x > 3 x < 3 2 Cas 1 : x 1 soit x ] ; 1] x + 1 < 0 donc x + 1 = (x + 1) = x 1 et 2x + 3 > 0 donc 2x + 3 = 2x + 3 donc f(x) = x 1 2x + 3 = 3x + 2 Cas 2 : 1 < x < 3 2 soit x ] 1; 3 2 [ x + 1 > 0 donc x + 1 = x + 1 et 2x + 3 > 0 donc 2x + 3 = 2x + 3 donc f(x) = x + 1 2x + 3 = x + 4 Cas 3 : 3 2 x soit x [3 2 ; + [ x + 1 > 0 donc x + 1 = x + 1 et 2x + 3 < 0 donc 2x + 3 = ( 2x + 3) = 2x 3 donc f(x) = x + 1 + 2x 3 = 3x 2 f(x) = 3x + 2 si x 1, f(x) = x + 4 si 1 < x < 3 2 et f(x) = 3x 2 si x > 3 2 Remarque On peut aussi présenter les résultats dans un tableau : 3 x 1 2 signe de x + 1-0 + + x + 1 x 1 x + 1 x + 1 signe de 2x + 3 + + 0-2x + 3 2x + 3 2x + 3 2x 3 f(x) = (x + 1) + ( 2x + 3) (x + 1) + ( 2x + 3) (x + 1) ( 2x + 3) = 3x + 2 = x + 4 = 3x 2 2. Déduire de la question précédente, la représentation graphique de la fonction f dans le repère joint. +
Pour tracer f, on peut calculer f( 3) = 3 ( 3) + 2 = 11 et f( 1) = ( 1) + 4 = 5 puis f(1, 5) = 3 1, 5 2 = 2, 5 et f(8) = 8 + 4 = 4 3. résoudre graphiquement l équation f(x) = 3 Graphiquement, les solutions de l équation f(x) = 3 sont les abscisses des points d intersection de la courbe représentative de f et de la droite d équation y = 3 (voir graphique en rouge) L équation f(x) = 3 admet deux solutions x 1 = 1 et x 2 1, 7 4. résoudre algébriquement l équation f(x) = 3 Cas 1 : x 1 soit x ] ; 1] f(x) = 3 3x + 2 = 3 x = 1 3 et 1 / ] ; 1] 3 Cas 2 : 1 < x < 3 2 soit x ] 1; 3 2 [ f(x) = 3 x + 4 = 3 x = 1 x = 1 mais 1 ] 1; 3 2 [ Cas 3 : 3 2 x soit x [3 2 ; + [ f(x) = 3 3x 2 = 3 x = 5 3 et 5 3 ]3 2 ; + [
L équation f(x) = 3 n admet deux solutions x 1 = 1 et x 2 = 5 3 (ce qui est confirmé sur le graphique) Exercice 3 ( 5 points ) L objectif de l exercice est de comparer deux séries statistiques. Les deux séries indiquent les températures dans deux villes A et B chaque jour d une même année (365 jours). Pour la ville B, la moyenne est x B = 14, 4 et l écart type σ 8, 7715 et le diagramme en boîte est donné en annexe 1. Pour la ville A, on a les relevés suivants : température 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 effectif 20 10 40 57 8 1 189 10 20 10 1. Calculer la moyenne x A et l écart type σ A pour la ville A. Ecrire le calcul effectué avec les données de l énoncé puis arrondir les résultats à 10 4 0 20 + 3 10 + 6 40 + 9 57 + 12 8 + 15 1 + 18 189 + 21 10 + 24 20 + 27 10 x A = = 14, 4 365 V A = 02 20 + 3 2 10 + 6 2 40 + 9 2 57 + 12 2 8 + 15 2 1 + 18 2 189 + 21 2 10 + 24 2 20 + 27 2 10 14, 4 2 365 et σ A = V a 6, 6813 x A = 14, 4 et σ A 6, 6813 2. Avec les données de la ville A, déterminer le premier décile D 1A en justifiant soigneusement la réponse à l aide de sa définition. Donner ensuite avec une justification rapide le premier quartile, la médiane, le troisième quartile et le neuvième décile que l on notera respectivement Q 1A, m A, Q 3A et D 9A. Construire ensuite le diagramme en boîte, élagué aux déciles de la série A sur l annexe 1. On peut calculer les effectifs cumulés croissants : température 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 effectif 20 10 40 57 8 1 189 10 20 10 effectif cumulé 20 30 70 127 135 136 325 335 355 265 365 10 = 36, 5 D 1A est la plus petite valeur(température) de la série telle que au moins 25% (soit 36,5) des valeurs soient inférieures ou égales à D 1A D 1A est donc la 37 ième valeur de la série de données donc D 1A = 6 De même 365 4 = 91, 25 donc Q 1A est la 92 ième valeur soit Q 1A = 9 De même 365 4 3 = 273, 75 donc Q 3A est la 274 ième valeur soit Q 3A = 18 De même 365 10 9 = 328, 5 donc D 9A est la 329 ième valeur soit D 9A = 21 L effectif total est impair donc la médiane correspond à la 183 ième valeur soit m A = 18 On partage en deux groupes de 182 valeurs (voir schéma)
D 1A = 6, Q 1A = 9, Q 3A = 18, D 9A = 21, m A = 18 3. Comparer et commenter les résultats des deux séries de données (ville A et ville B) en utilisant : le couple moyenne-écart type le couple médiane-écart interquartile x A = x B = 14, 4 et σ A < σ B Les deux séries ont la même moyenne de températures mais les températures de la ville B sont plus dispersées que celles de la ville A. Les températures observées chaque jour dans la ville A seront donc plus proches de 14,4 0 que dans la ville B. m A = m B = 18 et Q 3A Q 1A = 9 et Q 3B Q 1B = 15 Les deux séries ont la même médiane mais l écart interquartile de la série B est plus grand que pour A donc les valeurs centrales de la série B sont plus dispersées. Exercice 4 ( 5 points ) On a effectué une étude sur la durée des communications au standard téléphonique d une grande entreprise. Les durées données en secondes sont regroupées en classes. Durée en seconde [30 ;50[ [50 ;70[ [70 ;90[ [90 ;110[ [110 ;180[ [180 ;300[ Effectifs 12 35 24 40 30 9 Effectifs cumulés croissants 1. Calculer la moyenne x en indiquant les calculs effectués et donner une interprétation du résultat obtenu. On arrondira le résultat à la seconde près. 40 12 + 60 35 + 80 24 + 100 40 + 145 30 + 240 9 x = 150 100 Le temps moyen de communication est de 100 secondes.
2. Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants dans le tableau Durée en seconde [30 ;50[ [50 ;70[ [70 ;90[ [90 ;110[ [110 ;180[ [180 ;300[ Effectifs 12 35 24 40 30 9 Effectifs cumulés croissants 12 12+35=47 47+24=71 71+40=111 111+30=141 141+9=150 3. Dresser le diagramme des effectifs cumulés croissants dans le repère ci-dessous 4. Déterminer graphiquement la médiane puis le premier et troisième quartile. Donner la signification du premier quartile pour le problème. Graphiquement, on obtient med 92 secondes, Q 1 65 secondes et Q 3 110 secondes m 92, Q 1 65 et Q 3 110 Q 1 65 signifie que au moins 25% des communications ont une durée inférieure ou égale à 65 secondes. 5. Déterminer la médiane par interpolation linéaire. Les points A(90; 71), B(110; 111) et M(x; 75) sont alignés. y B y A 75 71 = x B x A x 90 40 20 = 4 x 90 2(x 90) = 4 2x = 4 + 180
x = 184 2 = 92 Par interpolation linéaire, on a m = 92 6. On donne l écart type σ 48 Déterminer graphiquement le nombre de communications d une durée inférieure ou égale à x σ x σ 52 (secondes) Graphiquement (tracé en vert), on a un effectif cumulé croissant de 16 environ donc il y a environ 16 communications d une durée inférieure ou égale à 52 secondes. 7. On considère que les communications dont la durée est dans l intervalle [x σ; x + σ] sont d une durée permettant de répondre correctement aux attentes des personnes appelant ce standard. Combien de communications répondent à ce critère? x + σ 148 (secondes) Graphiquement (tracé en vert), on a un effectif cumulé croissant de 123 environ donc il y a environ 129 communications d une durée inférieure ou égale à 148 secondes. On a donc 129 16 = 113 communications environ donc la durée est comprise entre 52 et 148 secondes, c est à dire appartenant à l intervalle [x σ; x + σ] 113 communications environ répondent à ce critère