Expérience N o 39 onstante de Stefan-Boltzmann 1 Introduction Tout corps à température T 0 K émet et absorbe une radiation électromagnétique dans le domaine des longueurs d onde λ variant de 0 à l infini. ette radiation électromagnétique est engendrée par les fluctuations de charges dues à l agitation thermique de la matière. Un corps est en équilibre thermique avec le milieu environnant lorsqu il absorbe autant de rayonnement qu il en émet. A température ambiante le rayonnement est important dans l infrarouge (I-R, λ 10 µm). A plus haute température, le spectre d émission se déplace vers le visible, à commencer par le rouge (loi de Wien : filament de lampe incandescente). Le point à étudier dans cette expérience est l expression de l intensité du rayonnement en fonction de la température (loi de Stefan-Boltzmann). Pour introduire cette loi, voyons quelques grandeurs caractéristiques de la radiation thermique : Emission Lorsqu une surface émet un rayonnement, la puissance dp rayonnée dans toutes les directions par une unité de surface ds s écrit : dp = E ds E étant l émittance 1. Mais pour préciser la distribution spatiale et la composition spectrale on introduit la luminance spectrale L θλ de manière à écrire : dp = L θλ ds dω dλ où dω est l angle solide dans la direction θ (voir Fig. 1). La luminance spectrale d un corps est en relation avec son pouvoir d absorption (loi de Kirchhoff). Absorption Lorsqu un rayonnement de puissance incidente P i tombe sur un corps, celui-ci peut en réfléchir une partie P r, en transmettre une partie P t, le reste P a étant absorbé. Le rapport P a /P i = A λ est appelé le facteur d absorption monochromatique (lumière de longueur d onde λ donnée). e facteur dépend en général de la nature du corps, de l état de sa surface, de la température et de la direction de la lumière incidente. 1 Unité de l émittance : [E] = watt/m 2 1
Fig. 1 Un corps pour lequel A λ = 1 pour tout λ et T est par définition un corps noir : tout rayonnement tombant sur un tel corps est totalement absorbé. ependant, une telle surface matérielle n existe pas (la meilleure réalisation d un corps noir est l orifice d une enceinte à parois absorbantes) et donc en général A λ < 1. Loi de Kirchhoff La luminance spectrale d une surface quelconque est égale à celle d une surface noire (n) de même température, multipliée par le facteur d absorption : La luminance spectrale du corps noir L (n) λθ L θλ (T ) = A λ (T ) L (n) λθ (T ) (T ) = L(n) λ (T ) cos θ (cos θ provient de la loi de Lambert) est directement liée à la densité spectrale d énergie u(λ, T ) par la relation : L (n) λ (T ) = c 4π u(λ, T ) et u(λ, T ) est donnée par la célèbre loi de distribution de Planck : u(λ, T ) = 8πhc λ 5 1 e hc/λkt 1 h = 6.63 10 34 Js constante de Planck k = 1.38 10 23 JK 1 constante de Boltzmann c = 2.998 10 8 ms 1 vitesse de la lumière T [K] température absolue du corps consideré. (1) Loi de Stefan-Boltzmann Pour calculer l émission totale d énergie par unité de temps et de surface d un corps noir, on intègre L (n) λθ (T ) sur toutes les directions du demi-espace et sur toutes les longueurs d onde. ette intégrale est l émittance énergétique du corps noir E (n) et est donnée par : E (n) = σ T 4 (2) 2
avec σ = 2π5 k 4 8 watt = 5.67 10 =constante de Stefan-Boltzmann. 15 h 3 c 2 m 2 K 4 Pour un corps gris (A λ < 1) la relation ci-dessus s écrit : où Ā < 1 est une valeur moyenne des A λ. E = Ā σ T 4 (3) Détermination expérimentale de σ D après ce qui précède, un transfert de chaleur par rayonnement thermique peut donc se produire entre deux corps de température différente, séparés par le vide ou par un milieu transparent. onsidérons deux sphères concentriques aux températures T 0 et T ayant des facteurs d absorption moyens Ā0 et Ā voisins de 1 (Fig. 2). Pour calculer, de manière simple, la puissance perdue par radiation par la sphère intérieure, il faut supposer tout d abord que d/r i 1 de telle façon que toute la radiation émise par la sphère extérieure aille directement sur la sphère intérieure. eci implique aussi l approximation S = S 0. Pour la sphère intérieure le bilan des puissances radiatives peut s écrire, au premier ordre des réflexions 2 : Puissance émise par la sphère intérieure : P e = Ā S σ T 4 i) dont sera réfléchie par la sphère ext. : (1 Ā0)P e puis absorbée par la sphère intérieure : Ā(1 Ā0)P e ii) La puissance émise par la sphère ext. : Ā 0 S 0 σ T0 4 dont sera absorbée par la sphère intérieure : Ā Ā0S 0 σ T0 4 iii) La puissance nette perdue par la sphère intérieure est donc : et comme S S 0 P = i)-ii)-iii) P = Ā S σ T 4 (1 Ā0)Ā2 S σ T 4 Ā Ā0S 0 σ T 4 0 P = Ā Ā0S 0 σ( 1 Ā + Ā Ā0 Ā 0 )T 4 0 Ā Ā0S 0 σ T 4 0 Avec Ā = 0.91 et Ā0 = 0.96 (voir page 5), le terme entre () vaut 1.004 1. Alors : P α 0 S σ(t 4 T 4 0 ) avec α 0 = Ā Ā0 (4) onnaissant Ā, Ā 0 et S, il suffit de mesurer P pour déterminer σ. 2 Appareillage et méthode de mesure Détermination de σ Pour la détermination de σ, nous disposons de deux sphères concentriques (Fig. 2). L espace entre les deux sphères est évacué de sorte qu un échange d énergie ne peut se faire que par rayonnement (pas de conduction thermique, pas de 2 Si on tient compte de tous les ordres de réflexion, on arrive à un résultat identique. 3
Fig. 2 Appareillage convection). Pour stabiliser la température To de la sphère extérieure, celle-ci est plongée dans un bain d eau. La sphère intérieure sera remplie d eau à la température T = T 0 +. Elle se refroidira par rayonnement et, en mesurant la vitesse du refroidissement = d/dt, il sera possible de déterminer P. Si = eau + verre est la capacité calorifique de la sphère intérieure, on aura d = P dt (signe - car perte d énergie) d dt = + = α 0 S σ(t 4 T 4 0 ) (5) Pour faciliter les calculs, nous travaillerons de préférence avec T 0. De cette façon, il est possible de faire l approximation suivante (développement au deuxième ordre) : (T 4 T 4 0 ) 4 T 3 0 (1 + 1.5 T 0 ) (6) L équation différentielle (5) devient donc dont la solution peut s écrire 3 : ou. ln = 4α 0SσT 3 0 (1 + 1.5 T 0 ) (7) (1 + 1.5 T 0 ) = 4α 0SσT0 3 t + ste (8) ln 3 par la methode de séparation de variables (1 + 1.5 T 0 ) = γ 2t + ste 4
Donc : en reportant ln (1+1,5 T 0 ) en fonction de t, on obtient une droite de pente : γ 2 = 4α 0SσT 3 0 (9) Pour déterminer σ, il est nécessaire de connaître α 0. Le verre, transparent pour la lumière visible, est fortement absorbant dans l infrarouge pour des longueurs d onde supérieures à 50 000 Å. omme tout corps diélectrique dont l indice de réfraction n est > 1, le verre réfléchit une partie du rayonnement incident (lois de Fresnel). Le facteur de réflexion dans l infrarouge autour de 1000 000 Å est d environ R = 0.09 pour la sphère intérieure (valeur moyenne de tous les angles d incidence) et de R 0 = 0.04 pour la sphère extérieure (incidence normale). Les facteurs d absorption correspondants sont donc Ā = 0.91 et Ā 0 = 0.96. Le coefficient α 0 = 0.87. Détermination du coefficient α d d un dewar 4 On peut réduire sensiblement l échange d énergie par rayonnement entre les deux sphères en argentant les surfaces (A λ < 1 pour les métaux). En mesurant (t) en fonction de t pour le premier récipient (argenté ), il est possible de déterminer α d. omparaison avec la conduction thermique Nous disposons d un troisième récipient semblable au premier, mais rempli d air entre les deux parois. La conductibilité par l air a pour effet d augmenter l échange de chaleur. La conduction de chaleur dans l air compris entre les parois est donné par : dq dt = K L équation (5) doit être complétée et devient : d dt = α 0Sσ(T 4 T 4 0 ) K (10) En développant au premier ordre : T 4 T 4 0 4T 3 0 ce qui donne : qui s intègre par séparation des variables pour donner : droite de pente γ 3 = γ 2 + K. 4 le mot scientifique pour un thermos d [ dt = 4α0 SσT0 3 σ + K ] (11) [ ln = γ 2 + K ] t + ln 0 (12) 5
3 Problèmes et manipulations 1. alculer la puissance rayonnée par une surface noire de 1 m 2 à la température ambiante 5. 2. Mesurer la températures T 0 des bains dans lesquel sont plongés les 3 récipients de volume identique. Les remplir chacun de 288 ml d eau ayant une température entre 15 et 20 au-dessus de T 0 (pour respecter la condition /T 0 1) 3. Déterminer le volume V intérieur et la surface S extérieure de la sphère intérieure (épaisseur de la paroi 1.5 mm) pour le récipient évacué-non argenté, admettant que la masse volumique de l eau est ρ 1 g/cm 3. 4. A l aide des 3 thermomètres à disposition, relever toutes les 5 ou 10 min la température T des sphères intérieures des 3 récipients et ceci pendant environ une heure et demie. Reporter après chaque mesure : ln en fonction de t pour les récipients évacués argenté 1+1.5 T 0 et non argenté. ln en fonction de t pour le récipient rempli d air et déterminer les pentes γ 1, γ 2 et γ 3 respectives. (a) Déterminer la constante de Stefan-Boltzmann σ pour le récipient évacué-non argenté. c eau = 1 cal g K, c verre = 0.2 cal g K, m verre 82 g. Attention : eau = m eau c eau, verre = m verre c verre (b) Déterminer le coefficient α d du récipient évacué-argenté (dewar) et comparer avec α 0 du récipient non argenté. (c) Donner en % les contributions respectives de la conduction thermique et du rayonnement pour le troisième récipient rempli d air en calculant (γ 3 γ 2 )/γ 3. (d) Estimer les erreurs possibles. 5. Au fin, vider les sphères intérieures à l aide de la trompe à eau (Fig. 3). Fig. 3 trompe à eau 5 e qu on considere généralement comme 20 6
4 Liste du matériel 3 bacs 3 thermomètres 1 entonnoir 1 trompe à eau avec tuyeau 1 mesurette 1 éprouvette Fig. 4 Matériel à disposition 5 décembre 2003 MG 7