TD Électromagnétisme

TPC2 TD Électromagnétisme Équations de Maxwell Exercice n o 1 : Conductivité d une solution Une solution aqueuse de chlorure de baryum de concentration c emplit un cylindre de longueur l et de section S, dans lequel règne un champ électrique uniforme et permanent colinéaire à l axe du cylindre. La ddp entre les extrémités A et B est notée U, µ + et µ sont les mobilités des ions Ba 2+ et Cl (on rappelle que la mobilité relie la vitesse au champ, ). 1 Exprimer les densités volumiques de charges mobiles ρ + et ρ en fonction de c, e = 1, 6.10 19 C et N A = 6, 02.10 23 mol 1. 2 Déterminer le vecteur densité de courant volumique total j, puis la conductivité γ de la solution et sa résistance R entre A et B. A.N. avec : c = 2, 5 mol.l 1 ; µ + = 7.10 8 m 2.s 1 ; µ = 9.10 8 m 2.s 1 ; l = 8 cm ; S = 5 cm 2. Exercice n o 2 : Dépendance au référentiel d étude L objectif de cet exercice est d illustrer comment le champ électromagnétique dépend du référentiel d étude. Une particule de charge q est animée d une vitesse v dans un référentiel R et d une vitesse v dans un référentiel R. Le référentiel R est animé par rapport au référentiel R d un mouvement de translation de vitesse w. Cette particule interagit avec une répartition de charges et de courants. En utilisant les postulats de la mécanique newtonienne et la formulation de la loi de Lorentz, déterminer les relations permettant de calculer le champ électromagnétique ( E ; B ) évalué dans R en fonction du champ électromagnétique ( E; B) évalué dans R. Exercice n o 3 : Étude d un courant électrique L objectif de cet exercice est de se familiariser avec les notions de densité volumique de charge, de vecteur densité volumique de courant et d intensité d un courant électrique. On considère une source radioactive quasi-ponctuelle et fixe en un point O émettant des particules chargées, de charge unitaire q = 2e > 0, se déplaçant à vitesse constante v = v 0 u r. Ces particules sont émises avec un débit constant D = dn/dt, n(t) désignant le nombre total de particules émises par la source entre l instant initial t = 0 et l instant t. On note Q s (t) la charge électrique de la source à l instant t et on suppose Q s (0) = 0. On raisonne en coordonnées sphériques. 1 Calculer n(t) et Q s (t). 2 Calculer l intensité I du courant électrique sortant d une surface fermée entourant la source. 3 Calculer, en tout point de l espace et à tout instant, le vecteur densité volumique de courant j et la densité volumique de charge ρ. Vérifier que la loi de conservation de la charge est vérifiée. On donne : diva = 1 r 2 sinθ ( r (r2 sinθa r ) + θ (rsinθa θ) + ϕ (ra ϕ)). Exercice n o 4 : Bilan d énergie pour un conducteur ohmique Un fil conducteur ohmique de conductivité σ, assimilé à un cylindre d axe (Oz) et de rayon a, est soumis au champ électrique uniforme et permanent E = E 0 u z. 1 Déterminer le champ magnétique engendré par les courants du cylindre. 2 Quel est le flux du vecteur de Poynting à travers un cylindre d axe (Oz), de rayon r et de hauteur h? Interpréter le résultat. 1

Exercice n o 5 : Bilan d énergie dans un solénoïde On considère un solénoïde de rayon a et d axe (Oz), assez long pour négliger les effets de bords (expliquer ce que cela signifie). Il est alimenté en régime lentement variable (ARQS) et le champ magnétique intérieur est B = B 0 e t τ uz. 1 Déterminer le champ électrique à l intérieur. 2 Faire le rapport des densités volumiques d énergie magnétique u B et électrique u E. 3 Exprimer le vecteur de Poynting et vérifier le résultat du 2 par un bilan d énergie. Exercice n o 6 : Étude magnétique d un conducteur cylindrique Un conducteur cylindrique a pour axe (Oz) et pour rayon b ; il a une longueur infinie suivant (Oz). Il est fait d un matériau de perméabilité magnétique µ 0 : les équations de la magnétostatique sont donc celles du vide. Il est parcouru dans le sens positif de (Oz) par un courant continu volumique réparti uniformément d intensité I. On utilise les coordonnées cylindriques et la base cylindrique associée. 1 Par des considérations de symétrie, indiquer la direction de B(P ) et montrer que ce champ ne dépend que d une coordonnée du point P. 2 Établir les expressions B + (P ) et B (P ) lorsque P se retrouve respectivement à l extérieur et à l intérieur du conducteur. 3 Examiner la situation à la surface du conducteur. Vérifier le résultat obtenu à l aide des relations de passage. 4 Soit A(P ) un potentiel vecteur du champ magnétique. Sachant que A(P ) = A(r) u z et que A est nul sur la surface du conducteur, établir les expressions A + (P ) et A (P ). 5 Calculer A + (P ) et A (P ). Conclure. 6 Soient deux cylindres conducteurs identiques à celui des questions précédentes. Leurs axes sont parallèles et distants de 2a avec a < b. P est un point de la partie commune des deux cylindres. En utilisant les coordonnées cartésiennes x et y de P, calculer A 1 (P ) créé par les deux courants. 7 En déduire le champ B 1 (P ). Conclure. Données : rot A = ( 1 A z r θ A ) ( θ Ar u r + z z A ) z u θ + 1 ( (raθ ) A ) r u z r r r θ A = 2 A r + 1 A 2 r r + 1 2 A r 2 θ + 2 A 2 z 2 2

Exercice n o 7 : Champ électrique d un solénoïde en régime variable Un solénoïde très long comporte n spires par unité de longueur, de rayon a et d axe (Oz). On rappelle le champ magnétique donné dans ces conditions par un tel solénoïde, à l intérieur : B = µ 0 ni(t)) u z (uniforme). Déterminer le champ électrique produit par ce solénoïde en tout point de l espace en fonction du courant variable i(t) le parcourant, dans le cadre de l ARQS. Exercice n o 8 : Courant de déplacement On se place en coordonnées sphériques et on considère un système à symétrie sphérique dont la répartition de charges à t donné est : - pour r > R(t) ρ(r, t) = 0 ; - pour r R(t) ρ(r, t) uniforme. On suppose que la charge totale Q 0 est conservée. 1 Montrer que B est nul en tout point. 2 Montrer l existence d un courant j et le calculer. 3 Calculer le champ électrique E et montrer qu on retrouve effectivement ici : Exercice n o 9 : Potentiel dans un plasma rotb E = µ 0 ( j + ε 0 t ). On considère un plasma, c est à dire un gaz globalement électriquement neutre et complètement ionisé : il est constitué de cations et d électrons. En régime supposé statique, on étudie le potentiel V (r) au voisinage de l un des ions, ponctuel de charge e (positive), situé en un point O origine des coordonnées sphériques. Cet ion modifie localement la répartition des charges autour de lui, de sorte que les densités volumiques d électrons et de cations sont respectivement ev (r)) k B Te ev (r)) k n e = n 0 e et n c = n 0 e B Te, où T e est la température d équilibre du plasma, k B la constante de Boltzmann et e = 1, 6.10 19 C. On donne : f(r) = 1 2 r r (rf(r))). 2 1 Exprimer la densité volumique de charges et obtenir l équation vérifiée par le potentiel. 2 L énergie cinétique d agitation thermique E c = 3 2 k BT e d un électron est grande devant son énergie potentielle électrostatique ; linéariser alors l équation du 1 et la résoudre en posant δ 2 = ε 0k B T e 2n 0 e 2 (préciser sa dimension). Vers quelle expression doit tendre V lorsque r tend vers 0? 3 Expliquer pourquoi on peut parler d écrantage de l ion par le plasma? Calculer δ pour k B T e = 2 ev et n 0 = 10 16 m 3. Exercice n o 10 : Charge lente d un condensateur plan On considère un condensateur plan, idéal, d armatures circulaires, de rayon a. On note S la surface de chaque armature et h la distance entre les armatures. On admet que lors d une charge assez lente, le champ électrique entre les armatures est uniforme (mais non constant) et égal à E = σ(t)/ε 0 u z, où σ(t) est la charge surfacique de l armature inférieure à l instant t (on la prend positive). Calculer le vecteur de Poynting π. Calculer son flux à travers la surface latérale du condensateur. Commenter. 3

Exercice n o 11 : Guide d onde 1 On considère un guide d onde de longueur infinie dans le sens (z z), de section rectangulaire de côtés a et b. Les parois de ce guide d onde sont constituées d un métal parfait. On étudie la propagation dans le guide d un champ électromagnétique dont le champ électrique est : E = E 0 sin(πx/a) cos(ωt kz) u y, avec k = ω/c. Montrer que ce champ vérifie l équation de Maxwell-Gauss 2 Montrer que ce champ vérifie les conditions de passage en x = 0 et x = a. Calculer les densités surfaciques de charge sur chaque paroi du guide. 3 Calculer B. Justifier la valeur des constantes d intégration. Exercice n o 12 : Décharge entre deux conducteurs sphériques Deux sphères métalliques minces S 1 et S 2 de centre commun O et de rayons r 1 et r 2 > r 1, sont séparées par un gaz initialement isolant dont les propriétés électriques sont assimilées à celles du vide. S 2 est initialement non chargée et S 1 porte la charge Q. À l instant t = 0, le gaz est rendu instantanément conducteur (ohmique de conductivité γ), suite à l ionisation provoquée par un flash de photons de haute énergie. 1 Décrire qualitativement le phénomène qui se produit. 2 Montrer que le champ électrique peut être cherché sous la forme E = E(r, t) u r, en coordonnées sphériques. 3 Montrer que le champ magnétique ne peut qu être nul en tout point. 4 En vérifiant la compatibilité de ces écritures avec les équations de Maxwell, montrer que l une d elles fournit une équation différentielle (1) vérifiée par E(r, t) dans l espace entre les sphères. Écrire (1) en faisant apparaître un temps de relaxation τ. 5 Déterminer E(r, t) pour r 1 < r < r 2. 6 Montrer que la densité volumique de charge ρ reste nulle entre les sphères. En déduire que le milieu contient au moins deux types de porteurs. 7 Déterminer E(r, t) dans les régions r < r 1 et r > r 2. 8 Donner l expression de la puissance volumique p(r, t) dissipée par effet Joule, dans l espace entre les sphères. En déduire l énergie W J dissipée au cours de l évolution du système. 9 Déterminer l énergie électromagnétique U 0 contenue initialement dans tout l espace, puis celle dans l état final, notée U 1. Vérifier qu elle est compatible avec un état final où toutes les charges sont sur la sphère extérieure S 2. 4

Exercice n o 13 : Lévitation d un disque supraconducteur Dans un matériau supraconducteur, les champs magnétique et électrique sont nuls et le champ magnétique extérieur est tangent à sa surface (effet Meissner) ; il résulte de cette discontinuité l existence de courants surfaciques j s. Il existe en fait une zone de transition de très faible épaisseur, volume où existent j et B int non nuls. 1 Montrer qu une force de Laplace s exerce sur le matériau lorsqu il est placé dans un champ magnétique extérieur, déterminer sa direction et son sens. On admettra qu il lui correspond la pression p = B2 2µ 0 où B est l intensité du champ à la surface. 2 Au-dessus d un aimant permanent est fixé un supraconducteur en forme d anneau plat (vu en coupe verticale sur la figure) dont on note S le disque médian limité par le bord interne de l anneau. Un autre supraconducteur, disque de masse m, est déposé horizontalement au-dessus de l anneau à une distance notée h. À l aide d une équation de Maxwell, montrer que le flux magnétique Φ à travers S (orientation au choix) est indépendant des mouvements du disque en lévitation. 3 On suppose que le disque se maintient horizontalement. On suppose aussi que le champ magnétique est de la forme B = B(r, t) u r dans l espace caractérisé par une distance r à l axe de l anneau comprise entre a et b. a Exprimer B(r, t) en fonction de Φ, h(t) et r. b Déterminer la force magnétique F (h) subie par le disque, en se limitant à la zone r compris entre a et b. c Que penser des approximations faites? 4 a Calculer la hauteur d équilibre h 0 du disque : m = 0, 1 kg ; g = 9, 8 m.s 2 ; Φ = 2, 8.10 5 W b ; b/a = 7, 34. b Expliquer pourquoi l équilibre est stable. En développant F (h) au voisinage de h 0, calculer la fréquence des oscillations du disque. 5

Exercice n o 14 : Champ magnétique dans un supraconducteur Un milieu supraconducteur (S) occupe le demi-espace z 0. Un tel milieu est caractérisé par la relation de proportionnalité entre la densité de courant volumique et le potentiel vecteur A = j : (loi de London) Λ Λ étant une constante positive. On note B e = B 0 u x + B 1 u z le champ magnétique permanent à l extérieur du supraconducteur (z < 0). 1 Trouver une équation vérifiée par B à l intérieur de (S). 2 En déduire B à l intérieur de (S) en utilisant les conditions aux limites ; établir que B 1 = 0. Sachant 1 que 50 nm, commenter l affirmation selon laquelle un matériau supraconducteur "repousse" µ0 Λ le champ magnétique à l extérieur. 3 Déterminer j à l intérieur du volume de (S), puis calculer j s = + en fonction de B e et u z. Commenter le résultat (penser aux relations de passage). 0 jdz et l exprimer simplement Ce n est pas ce qui entre dans la bouche d un homme qui le souille, mais ce qui en sort. Refuser de propager des rumeurs ou de médire, c est faire de l écologie de la parole : ne pas polluer autrui ni soi-même avec les mots, mais au contraire contribuer par sa parole à créer un monde meilleur. Don Miguel Ruiz. 6