Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Exercice 1 (4 points) Dans une classe de terminale STAV de 5 élèves, chaque élève possède une calculatrice et une seule de marque C 1, C ou C 3. Deux filles et trois garçons ont une calculatrice de marque C 1. 3% des élèves de la classe ont une calculatrice de marque C. 56% des élèves de la classe sont des filles. La moitié des filles de la classe ont une calculatrice de marque C 3.. 1. 3% des élèves de la classe ont une calculatrice de marque C d où 3 5 =8. Donc 8 élèves ont une 100 calculatrice de marque C. 56% des élèves de la classe sont des filles. D où 56 5 =14. Donc 14 élèves sont des filles. 100. On choisit au hasard un élève de la classe. Nous sommes dans une situation d équiprobabilité. Donc card(ω)=5 A : «L élève est un garçon» D après le tableau, il y a 11 garçons d où card(a)=11 D où p(a)= card(a) card(ω) = 11 5 =0,44 La probabilité d avoir un garçon est de 44%. B : «L élève possède une calculatrice de marque C» D après le tableau, il y a 8 élèves (garçons et filles) qui possède une calculatrice de marque C d où card(b)=8 D où p(b)= card(b) card(ω) = 8 5 =0,3 La probabilité d avoir un élève qui possède la calculatrice C est de 3%. C= A B={L élève est un garçon et a une calculatrice C } Card =card(a B)=3 d où p(c)= 3 5 =0,1 La probabilité d avoir un garçon et une calculatrice C est de 13% D=A B={L élève est un garçon ou possède une calculatrice C } p(d)=p(a B)=p(A)+p(B) p(a B)= 11 5 + 8 5 3 5 = 16 5 =0,64 La probabilité d un garçon ou un élève qui possède une calculatrice C est de 64% 3. On prend un élève au hasard. Il possède une calculatrice de marque C. Quelle est la probabilité que cet élève soit un garçon. Dans cette question on change l univers. Card( Ω 1 ) =8 (On prend l ensemble des élèves qui ont une calculatrice C )
E={Cet élève est un garçon} d où card(e)=3 Donc p(e )= 3 8 =0,375 La probabilité d avoir un garçon sachant qu il a une calculatrice de marque C est de 37,5% Exercice «code confidentiel» (3 points) Le code confidentiel d une carte bancaire est un nombre de quatre chiffres supposés, dans cet exercice non nuls ( par exemple : 1354, 661, 5555, ) 1. Combien y-a-t-il de codes possibles? En construisant un arbre et en appliquant le principe multiplicatif, on obtient 9 9 9 9=9 4 =6561. Combien y-a-t-il de codes composés uniquement de chiffres impairs? En construisant un arbre et en appliquant le principe multiplicatif, on obtient 5 5 5 5=5 4 =65 3. Combien y-a-il de codes écrits avec des chiffres différents? En construisant un arbre et en appliquant le principe multiplicatif, on obtient 9 8 7 6=304 C est un tirage équiprobable. On tient compte de l ordre de sortie et il n y a pas de remise( car chiffres différents) C est un arrangement de 4 éléments pris parmi 9.
Exercice 3 Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. On se propose d étudier une fonction f définie sur l intervalle - 1 ; Partie A : La courbe C f de f est donnée dans un repère orthonormal (O,Åi,Åj )(unité sur les axes : 5 cm), dans l annexe jointe. On précise que la droite (T) passant par le point O et le point de coordonnées (1;1) est tangente à C f en O. 1. f(0)=0 car la courbe C f passe par le point de coordonnées (0 ;0) f (0)=1 car f (0) est le coefficient directeur de la tangente en 0.. a) L équation f(x)=0 admet solutions dans l intervalle - 1 ; car C f coupe deux l axe des abscisses. b) Pour résoudre l inéquation f (x)<0 dans l intervalle - 1 ;., on cherche la partie de la courbe où f est strictement décroissante. Les abscisses de ses points sont les solutions de l inéquation. D où S= 1 ; 3. On suppose que f(x) est de la forme f(x)=ax+ln(x+b), où a et b désignent deux nombres réels. a) f(0)=0 ñ a 0+ln( 0+b)=0 ñln(b)=0 ñln(b)=ln(1) ñb=1 b) Pour tout x - 1 ; f (x)=a+ x+b =a+ x+1 car la dérivée de ln(ax+b) est a ax+b c) D après la question 1 f (0)=1 ñ a+ 0+1 =1 ña+=1 ña=-1 d) l expression de f(x) est de la forme f(x)=-x+ln(x+1) (On retrouve la forme de f de la partie B) Partie B On sait désormais que la fonction f est définie sur l intervalle - 1 ; par 1. lim x+1=0 + x >- 1 lim ln(y)=-õ y >0 + Donc lim f(x)=-õ x >- 1 f(x)=-x+ln(x+1) d où lim ln(x+1)=-õ x >- 1 lim -x= 1 x >- 1 donc lim -x+ln(x+1)=-õ x >- 1 Donc la droite d équation x=- 1 est asymptote verticale de C f
. a) Pour tout réel x - 1 ;, on a : f (x)=-1+ =- x+1 x+1 x+1 + b) Valeur de x - 1 1 signe de -x+1 + - Signe de x+1 + 0 + Signe de f (x) + 0 - Conclusion du tableau de signes : Si x - 1 ; alors f (x)ã0 donc f est strictement croissante sur - 1 ; Si x 1 ; alors f (x)â0 donc f est strictement décroissante sur 1 ; Tableau de variation x+1 = -x 1+ x+1 = -x+1 x+1 Valeur de x -1/ 1/ signe de f (x) + Variation de f(1/) f -õ f() f 1 =- 1 +ln 1 +1 =- 1 +ln() et f()=-+ln( +1)=-+ln(5) 3. Voir annexe. 4. On considère la fonction F définie sur - 1 ; par F(x)=- 1 x x+ x+ 1 ln(x+1) a) Pour montrer que F est une primitive de f il suffit de calculer la dérivée de F et de trouver f F (x)=- 1 x 1+1 ln(x+1)+ x+ 1 x+1 =-x-1+ln(x+1)+ x+1 =-x-1+ln(x+1)+1 =-x+ln(x+1) =f(x) b) A= 1f(x)dx= f(x) 0 x+1 1 = 1 0 x x+ x+ 1 ln(x+1) 0 = - 1 1 1+ 1+ 1 ln(+1) - 1 0 0+ 0+ 1 ln( 0+1) =- 1 1+ 3 ln(3) 1 =- 3 + 3 ln(3) = 3ln(3) 3 ó0,1479 UA
Or 1 UA =5 5=5 cm ( cf repère) D où A= 3ln(3) 3 5ó3,6979 cm soit 3,70cm soit 370mm L aire correspondante est hachurée sur l annexe.
NOM : PRENOM : CLASSE : ANNEXE à rendre avec votre copie Exercice 1 Nombre de calculatrices de marque C 1 Nombre de calculatrices de marque C Nombre de calculatrices de marque C 3 Nombre de filles 5 7 14 Nombre de garçons 3 3 5 11 Total 5 8 1 5 Exercice 3 - Partie B - Question 3 Total x 0 0,5 1,1 1, 1,3 1,4 1,5 f(x) 0 0,19 0,06 0,0-0,0-0,06-0,11-0,39