Corrigé des exercices machines synchrones

Exercice 1 1. Les indications suivantes ont été relevées sur le montage schématisé ci dessous : Multimètres en position DC : 160 V et 1 A Multimètres en position AC : 410 V et, A a. Indiquer pour chaque multimètre sa position (AC ou DC) et préciser la valeur qu'il indique. A1 et V1 en position DC car le courant et la tension d'excitation sont continus. A1 A V1 V 1A, A 160 V 410 V. Combien vaut l'intensité efficace du courant statorique? C'est la valeur indiquée par A soit, A.. Calculer la vitesse de synchronisme d'une machine synchrone comportant 4 paires de pôles et dont la fréquence des courants statoriques est égale à 50 Hz. D'après le théorème de Ferrarris Hz et Ωs ω Ωs p avec p le nombre de paires de pôles, la vitesse de synchronisme en rad/s. Comme exprimée en tr/min) alors ns Ωs 60. f 60 50 1500 tr/min p π ns 60 ( ns ω π f et f 50 vitesse de synchronisme 4. Quelle est la fréquence des fém statoriques d'une machine synchrone comportant paires de pôles et dont l'arbre tourne à 000 tr/min? La relation ns 60. f p établie précédemment permet d'écrire f p. ns 000 66,7 Hz 60 60 5. Calculer le nombre de pôles d'un alternateur dont l'arbre tourne à 1000 tr/min et dont les tensions de sortie ont une fréquence égale à 400 Hz. La relation ns 60. f p établie précédemment permet d'écrire quatre pôles. 1 p 60. f 60 400 ns 1000 ce qui donne TSET 014 015

6. Les courbes ci dessous ont été relevées entre deux bornes du stator couplé en étoile d'un alternateur à vide (Échelle verticale : une division pour 100 V, échelle horizontale : trois divisions pour 5 ms). a. Pour chaque courbe indiquer la vitesse de rotation de l'arbre de l'alternateur s'il comporte quatre pôles. Période T 0 ms donc f 50 Hz Période T 10 ms donc f 100 Hz 60. f 60 50 ns 1500 tr/min p ns Période T 10 ms donc f 100 Hz ns 60. f 60 100 000 tr/min p Période T 0 ms donc f 50 Hz 60. f 60 100 000 tr/min p ns 60. f 60 50 1500 tr/min p b. Quelle courbes ont été relevées à la même vitesse, comment justifier la différence de valeurs maximales pour des vitesses identiques? Les courbes en haut à gauche et en bas à droite ont été relevées à la même vitesse. Les courbes en haut à droite et en bas à gauche ont été relevées à la même vitesse (voir ci dessus). c. Pour les courbes relevées à la même vitesse, indiquer celle qui correspond au courant d'excitation le plus élevé. Le courant d'excitation le plus élevé correspond à la valeur maximale la plus élevée à vitesse de rotation constante : Le courant d'excitation en haut à gauche est plus élevé que celui en bas à droite. Le courant d'excitation en haut à droite est plus élevé que celui en bas à gauche. TSET 014 015

Exercice Le tableau ci dessous correspond à la caractéristique à vide d'un alternateur relevée à 1500 tr/min : E (V) 14 4 90 17 0 4 50 Ie (A) 0,5 0,50 0,75 1,00 1,5 1,50 1,75 1. Tracer cette caractéristique (Échelles : 1 cm pour 0,5 A et 1 cm pour 50 V). Tracer la caractéristique pour une vitesse de rotation égale à 750 tr/min. Les fém du tableau précédent doivent être divisées par deux (la valeur efficace de la fém est proportionnelle à la vitesse de rotation), ce qui donne : E (V) 71 117 145 158 165 171 175 Ie (A) 0,5 0,50 0,75 1,00 1,5 1,50 1,75. Déterminer la valeur efficace de la fém dans les conditions suivantes : a. Intensité d'excitation égale à 0,87 A et vitesse de rotation égale à 1500 tr/min Lecture sur la courbe tracée à la question 1. b. Intensité d'excitation égale à 1,5 A et vitesse de rotation égale à 1000 tr/min Sur la courbe tracée à la question 1, on lit 0 V pour 1,5 A à 1500 tr/min. Comme la valeur efficace de la fém est proportionnelle à la vitesse de rotation alors on obtient E 1000 00 V 1500 Exercice On considère un alternateur isolé entraîné à vitesse constante. L'intensité rotorique Ie permettant d'obtenir 400 V entre deux bornes du stator est égale à 1, A. 1. Lorsqu'une charge triphasée équilibrée résistive est placée aux bornes du stator alors que Ie 1,A, on observe : Une diminution de la valeur efficace des tensions statoriques Une augmentation de la valeur efficace des tensions statoriques Une valeur efficace des tensions statoriques inchangée On ne peut pas savoir ce qui va se passer pour la valeur efficace des tensions statoriques.. Lorsqu'une charge triphasée équilibrée résistive est placée aux bornes du stator et que l'on souhaite maintenir constante la valeur efficace des tensions statoriques, il faut : Augmenter le courant d'excitation Diminuer le courant d'excitation Ne pas toucher au courant d'excitation L'action sur le courant d'excitation ne peut être prévue.. Après avoir placé la charge résistive triphasée et fait le nécessaire pour que la valeur efficace des tensions statoriques soit égale à 400 V, une charge inductive triphasée équilibrée est ajoutée aux bornes du stator. On observe : Une diminution de la valeur efficace des tensions statoriques Une augmentation de la valeur efficace des tensions statoriques Une valeur efficace des tensions statoriques inchangée On ne peut pas savoir ce qui va se passer pour la valeur efficace des tensions statoriques. TSET 014 015

4. Après avoir placé la charge résistive triphasée et fait le nécessaire pour que la valeur efficace des tensions statoriques soit égale à 400 V, une charge capacitive triphasée équilibrée est placée aux bornes du stator. Pour compenser son influence, il faut : Augmenter le courant d'excitation Diminuer le courant d'excitation Ne pas toucher au courant d'excitation L'action sur le courant d'excitation ne peut être prévue. Exercice 4 On considère un alternateur isolé entraîné à vitesse constante. 1. Sur quelle grandeur faut il agir pour faire varier la valeur efficace des tensions statoriques à vide? Pour la suite, on note Ie0 l'intensité du courant d'excitation qui permet d'avoir la valeur efficace nominale des tensions statoriques à vide. Il faut agir sur l'intensité du courant d'excitation.. Une charge triphasée équilibrée résistive est placée aux bornes du stator de la machine a. Comment évolue la valeur efficace des tensions statoriques si le courant d'excitation est maintenu à Ie0? La valeur efficace des tensions statoriques diminue (effet démagnétisant). b. Comment doit évoluer le courant d'excitation pour obtenir une valeur efficace des tensions statoriques égale à celle à vide? Cette valeur est notée Ie1 par la suite. Il faut augmenter l'intensité du courant d'excitation.. Une charge triphasée équilibrée capacitive est placée en parallèle de la charge résistive précédente. a. Comment évolue la valeur efficace des tensions statoriques si le courant d'excitation est maintenu à Ie1? La valeur efficace des tensions statoriques augmente (effet magnétisant de la charge capacitive). b. Comment doit évoluer le courant d'excitation pour retrouver la valeur efficace initiale des tensions statoriques? Il faut diminuer l'intensité du courant d'excitation. 4. La charge triphasée équilibrée capacitive est remplacée par une charge triphasée inductive. a. Comment évolue la valeur efficace des tensions statoriques si le courant d'excitation est maintenu à Ie1? La valeur efficace des tensions statoriques diminue (effet démagnétisant de la charge inductive). b. Comment doit évoluer le courant d'excitation pour retrouver la valeur efficace initiale des tensions statoriques? Il faut augmenter l'intensité du courant d'excitation. Exercice 5 Le schéma ci dessous représente une machine synchrone entraînée par un dispositif mécanique extérieur dont la vitesse est réglable. On souhaite coupler cette machine au réseau dont les caractéristiques sont indiquées à droite et les valeurs instantanées des tensions simples sont représentées sur le graphe de la page suivante. 4 TSET 014 015

Pour la suite, les nombres complexes associés aux tensions simples côté réseau sont notés VR1, VR et VR et les nombres complexes associés aux tensions simples côté alternateur sont notés VM1, VM et VM Les graduations verticales et horizontales des graphes sont toutes identiques. Valeurs instantanées des tensions simples du réseau : 1. Les tensions simples au stator de la machine synchrone sont représentées ci dessous pour cinq situations, indiquer pour chacune d'elles si le couplage est possible et sinon expliquer pourquoi. a. Situation n 1 Couplage impossible car la fréquence des tensions statoriques n'est pas égale à celle des tensions du réseau. 5 TSET 014 015

b. Situation n : Couplage impossible car les amplitudes des tensions statoriques ne sont pas égales à celles du réseau. c. Situation n : Couplage impossible car les phases instantanées des tensions statoriques et du réseau ne sont pas égales. d. Situation n 4 Couplage impossible car l'ordre des phases des tensions statoriques est différent de celui des tensions du réseau. 6 TSET 014 015

e. Situation n 5 : Les conditions de couplage sont remplies.. La vitesse de rotation de l'arbre de la machine est égale à la vitesse de synchronisme et les vecteurs associés aux tensions simples au stator de la machine synchrone sont représentés ci dessous pour quatre situations, indiquer pour chacune si le couplage est possible et sinon expliquer pourquoi. Situation n 1 Situation n Couplage impossible car les ordres des phases sont différents. Couplage impossible car les ordres des phases sont différents. Situation n Situation n 4 Couplage impossible car les valeurs efficaces des tensions statoriques et réseau sont différentes. Les conditions de couplage sont remplies. 7 TSET 014 015

Exercice 6 Les indications suivantes ont été relevées dans la documentation constructeur d'un alternateur synchrone : valeur efficace des tensions statoriques et puissances à 50 Hz et 1500 tr/min : 400 V, kva et 18,4 kw, courant et tension d'excitation en charge A et 4 V, pertes à vide 70 W et dissipation de chaleur 510 W. Le courant rotorique est obtenu à partir d'une excitatrice en bout d'arbre. Sur le schéma ci dessous, cette excitatrice est représentée à gauche et le stator principal est à droite. Les indications du constructeur concernant l'excitation font référence au circuit reliant les bornes 5 et 6. Le graphe ci dessous représente l'évolution du rendement en fonction de la puissance apparente pour des facteurs de puissance égaux à 0,8 (trait plein) et 1 (traits pointillés). Les graphiques sont extraits de la brochure 4455b_fr.pdf de Leroy Somer 1. Fonctionnement nominal a. Déterminer l'intensité efficace des courants statoriques et le facteur de puissance. L'expression de la puissance apparente Facteur de puissance S U I permet d'écrire S.10 I, A U 400 P 18,4 k 0,8 S b. Évaluer la valeur de la résistance des enroulements statoriques. La documentation constructeur indique une dissipation de chaleur égale à 510 W ce qui correspond aux pertes par effet Joule. On peut supposer qu'il s'agit uniquement des pertes joule statoriques 8 P js ce qui donne P js R s I TSET 014 015

avec Rs la résistance d'un enroulement du stator : R s P js I 510 0,759 Ω, Si l'on veut tenir compte des pertes joule rotoriques le constructeur indique A et 4 V dans l'inducteur de l'excitatrice, il faudrait donc retrancher 48 W des 510 W de «dissipation de chaleur» ce qui donnerait R s P js I 510 48 0,744 Ω, Remarque : il y a aussi des pertes par effet Joule dans l'induit de l'excitatrice, les valeurs de résistances statoriques trouvées ci dessus sont probablement plus élevée que dans la réalité. c. Indiquer l'origine des pertes à vide. Elles recouvrent les pertes mécaniques et les pertes dans le fer (hystérésis et courants de Foucault).. Fonctionnement avec un facteur de puissance égal à un et une puissance active de 14 kw. a. Déterminer l'intensité efficace des courants statoriques. Les puissances active et apparente sont égales : I S 14.10 0, A U 400 b. Évaluer les pertes par effet Joule au stator. Dans ce cas, on a P js R s I 0,744 0, 911 W c. À partir de la valeur du rendement, évaluer les autres pertes pour ce point de fonctionnement. Sur le graphique, on lit un rendement de 91,7 %. On calcule la puissance absorbée par la relation P 14.10 Pa η 15,7 kw. Les pertes totales sont donc 0,917 PpertesP a P15,7 14170 W soit 170 911 59 W de pertes autre que celles par effet Joule. Exercice 7 On considère un alternateur triphasé dont la plaque signalétique donne les indications suivantes : 50 kva ; 0 V / 80 V ; 50 Hz ; 6 pôles Caractéristique à vide à la vitesse de synchronisme (tensions simples) : 0 17 7 8 48 Ie (A) E (V) 0 19 60 65 10 1. Calculer la vitesse de synchronisme et la valeur efficace du courant nominal. Vitesse de synchronisme Intensité efficace nominale n s 60. f 60 50 1000 tr/min p S 50.10 I I 76 A. U. 80. On obtient le courant nominal sous tension nominale dans une charge résistive lorsque le courant d excitation Ie est de 7 A. On néglige les résistances statoriques. Calculer la réactance synchrone de chaque phase et le courant inducteur pour obtenir en court circuit le courant nominal. Il est conseillé de tracer un diagramme de Fresnel sans se soucier des échelles. La charge étant résistive, l'intensité statorique est en phase avec la tension statorique et la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone est en avance de 90 sur l'intensité, on obtient donc un triangle rectangle dont la fém est l hypoténuse. Le courant d'excitation de 7 A donne une fém de 60 V à la vitesse de synchronisme (voir tableau). 9 TSET 014 015

D'après le théorème de Pythagore E V +(L ω I ) L ω E V I avec L ω la réactance synchrone, ce qui donne : 80 1,8 Ω 76 60 Remarque : sur le diagramme, Ls correspond à L. L alternateur alimente sous 400 V (tension composée) 5 moteurs asynchrones triphasés de puissance 5 kw, de rendement 0,85 et de facteur de puissance 0,8. 180 lampes de 100 W 0 V réparties régulièrement sur les trois phases. Calculer le courant Ie correspondant. Calcul de la puissance active totale des moteurs : Pmoteurs 5 5 9,4 kw 0,85 (la puissance indiquée est la puissance utile disponible sur l'arbre). Puisque le facteur de puissance est égal à 0,8 alors on a ϕarccos0,86,9 et tan ϕ0,75 soit une puissance réactive pour les moteurs QP tan ϕ9,4 0,75 kvar Les lampes ont un facteur de puissance égal à un donc Plampes 180 10018 kw La charge triphasée branchée aux bornes du stator de l'alternateur présente les caractéristiques suivantes (on utilise le théorème de Boucherot) : PP moteurs+ P lampes9,4 +1847,4 kw QQ moteurs kvar D'où la puissance apparente S (P +Q ) 47,4 +5, kva, l'intensité des courants S 5,.10 75,5 A U. 400 Q ϕarctan( )arctan ( )4,9 P 47,4 statoriques I et le déphasage entre tension et intensité statoriques Il reste à tracer le diagramme de Fresnel avec : V 400 0 V ; L ω I 1,8 75,517 V et le courant en retard de 4,9 sur la tension statorique. Voir le diagramme sur la page suivante. On obtient une fém de 15 V ce qui donne un courant d'excitation d'environ 48 A. Remarque : sur le diagramme, Ls correspond à L 10 TSET 014 015

Exercice 8 L étude porte sur l alternateur d un système de production d énergie électrique à partir de l énergie éolienne. 1. La plaque signalétique de la machine synchrone triphasée utilisée comme alternateur dans le dispositif étudié, comporte les indications suivantes : 16 kva ; 0 V / 400 V ; 50 Hz, a. Cette machine devant pouvoir être couplée à un réseau triphasé (400 V 50Hz), préciser en justifiant votre réponse, le seul couplage possible pour les enroulements du stator. La plaque indique que la valeur efficace de la tension simple aux bornes d'un enroulement est égale à 0 V, le seul couplage possible ici est donc le couplage étoile. b. L'alternateur est relié aux pales de l hélice par l'intermédiaire d'un réducteur de rapport de transformation k ns,5 (où ns est la vitesse de rotation de l'alternateur et nh la vitesse de nh rotation de l hélice). Sachant que l hélice tourne à une vitesse constante de 400 tr.min 1, calculer la vitesse nominale ns, de l'alternateur, ainsi que son nombre de paires de pôles p. Vitesse de synchronisme : n s k. n H,5 4001000 tr/min Nombre de paires de pôles : n s 60. f p soit p 60. f 60 50 ns 1000 c. Calculer l'intensité efficace nominale IN du courant dans un enroulement du stator. La puissance apparente étant donnée I N SN 16.10,1 A. U. 400. La machine est utilisée en alternateur autonome. Le stator est couplé en étoile. La résistance mesurée à chaud entre deux bornes du stator est : R 0,60 W. Le rotor est entraîné à la vitesse de rotation nominale de l'alternateur n 1000 tr.min 1. a. Proposer une méthode pratique pour effectuer la mesure à chaud des résistances précédentes. On place une source de tension continue entre les deux bornes du stator. On insère un ampèremètre dans ce circuit et on branche un voltmètre entre les deux bornes du stator. La résistance mesurée est égale au rapport des indications du voltmètre et de l'ampèremètre. b. Calculer la résistance Rs d'un enroulement du stator, en justifiant votre réponse. La mesure précédente donne la valeur de la résistance de deux enroulements statoriques connectés en série, la résistance d'un enroulement du stator est donc R Rs 0, Ω 11 TSET 014 015

Résultats de l essai à vide : U0 (en V) est la tension mesurée entre deux bornes du stator et IE (en A) l intensité du courant d excitation. U0 (V) 0 10 40 60 480 600 750 780 800 IE (A) 0 1 4 5 7 9 10 Résultats de l essai en court circuit : Icc est l intensité des courants statoriques. c. Indiquer les types d'appareils (AC ou DC) utilisés pour les deux essais (tableau ci contre) : Icc (A) 0 10 0 0 IE (A) 0 1 Essai : Mesure de IE Mesure de U0 à vide DC AC en court circuit DC Mesure de ICC AC d. Indiquer le montage permettant de faire l'essai à vide. Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/altervidecv/machinesynchrone e. Indiquer le montage permettant de faire l'essai en court circuit. Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaicc/machinesynchrone f. Tracer les courbes correspondant aux essais à vide et en court circuit. Préciser le coefficient de proportionnalité entre U0 et IE pour la partie linéaire de la caractéristique à vide. Donner ensuite la relation entre ICC et IE. Après avoir tracé la courbe correspondant à l'essai à vide( caractéristique à vide), on détermine la pente pour la partie linéaire soit Δ U 0 600 0 1 V/A Δ IE 5 0 En observant le tableau donnant les résultats de l'essai en court circuit, on trouve I cc10 I E Calculer l'impédance synchrone Zs du modèle équivalent d'une phase du stator, puis la réactance synchrone Xs correspondante. On utilise l'essai en court circuit pour lequel Ecc Z s I cc avec Ecc la fém. Pour I E1 A, on lit E cc 10 1 Ω I cc 10 L'impédance Z s est constituée de la réactance X s en série avec la résistance Rs. On peut donc écrire Z s R s + X s soit X s Z s Rs 1 0, 1 Ω une fém de 10 V et un courant de court circuit égal à 10 A ce qui donne Z s g. Donner le modèle équivalent d'une phase du stator. Ce modèle équivalent est constitué d'une fém ( U 0 ) en série avec la résistance synchrone X s. Rs et la réactance. L'alternateur alimente maintenant un réseau (400 V / 690 V ; 50 Hz) interne à une petite entreprise. L'installation électrique de cette usine est équivalente à une charge triphasée équilibrée pour l alternateur. La puissance active consommée par cette entreprise P est égale à 1,0 kw, le facteur de puissance, cosj, est égal à 0,75 (inductif). a. Donner la puissance réactive Q consommée par cette usine. Puisque cos ϕ0,75 alors ϕarccos0,7541,4. Les puissances active et réactive sont reliées par tan ϕ Q P soit QP tan ϕ1.10. tan 41,410,6 kvar b. En déduire la puissance apparente de cette usine. La puissance apparente est donnée par S P +Q soit S 1 +10,616 kva 1 TSET 014 015

c. Donner l'intensité du courant en ligne. On peut utiliser I S V I qui donne I S 16.10 1, A U 690 S 16.10 1, A V 400 ou S U I qui donne Exercice 9 On dispose d un moteur synchrone à 8 pôles alimenté par un réseau de caractéristiques constantes : 800 V et 50 Hz. La puissance nominale du moteur est Pn 165 kw, et il peut supporter une intensité maximale Imax 50 A. Sauf dans la question 5, la résistance de l induit et les pertes magnétiques et mécaniques sont supposées négligeables. La caractéristique à vide, relevée entre bornes, passe par les points suivants : 0 Ie (A) 0,5 0,9 1,15 1,5 Ev (V) 0 000 00 4000 4800 6000 8000 L induit, monté en étoile, a une réactance synchrone par phase Xph 65,8 W, supposée constante. 4 10000 1. Le moteur travaille dans ses conditions d excitation optimale (cos j 1). Il est traversé par un courant qui est égal à la moitié du courant maximal. Déterminer la force électromotrice entre bornes Ev, l excitation Ie, la puissance P, le couple C et le décalage polaire q correspondant à ce fonctionnement. Il est conseillé de tracer le diagramme de Fresnel à l'échelle (voir ci dessous) Remarque : sur le diagramme, Lsw correspond à Xph. La tension et l'intensité statoriques sont en phase, la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone est en avance de 90 sur le courant statorique. Il est possible d'utiliser le théorème de Pythagore pour écrire EsvV +(X ph I ) qui donne 800 Esv ( ) +(65,8 5)740 V (le «s» indique qu'il s'agit d'une fém «simple»). Une tension simple de valeur efficace 740 V correspond à une tension composée de.7404750 V. D'après la caractéristique à vide, le courant d'excitation est très proche de 1,5 A. La puissance P U I 800 50165 kw Le couple C est donné par C P Ωs et Ωs π f p soit 1 C p. P 4 165.10 100 N.m πf π 50 TSET 014 015

Décalage polaire : lien Evs ; on lit θ 7 sur le diagramme de X.I 65,8 5 θarctan( ph )arctan ( )6,9 Fresnel ou par calcul (le signe traduit l'avance de V 800 Le décalage polaire correspond à l'angle entre V et pôles fictifs sur les pôles réels).. Compléter le tableau suivant et tracer I f(ie) et cos j f(ie) pour une puissance constante égale à la puissance nominale. cos j 0,6 AR 0,8 AR 1 0,8 AV 0,6 AV 0,5 AV I (A) 41,8 1, 5,1 1, 41,8 50 Ev (V) 860 10 4760 6600 8140 910 Ie (A) 0,8 0,9 1,47,0,05,60 Les puissances utile et absorbée sont égales (toutes les pertes sont négligées) et égales à la puissance nominale soit 165 kw. Pour les fonctionnements à puissance absorbée constante, l'extrémité du vecteur associé à la fém à vide Evs se déplace sur une droite parallèle au vecteur associé à la tension statorique lorsque le facteur de puissance varie : lien. Tracé du diagramme : O'B X ph I 1 cos ϕ1 et P V I 1 cos ϕ1 soit cos ϕ1 P V I1 ce qui donne O'B X ph I 1 Application numérique : O'B X ph P V X P ph P V I1 V 65,8 165 1650 V 800 ( ) Points particuliers : Point A1 : il correspond à Evs V en retard de 90 sur 14 (limite de stabilité) TSET 014 015

Remarque : sur le diagramme, Lsw correspond à Xph. D'après Pythagore : et cos ϕ1 X ph I (O'B) +V soit I 800 ) 41,8 A 65,8 1650 +( O'B 1650 0,6 (courant en retard). O'A1 750 Point A6 : il correspond à la valeur maximale du courant en fonctionnement capacitif O'A 6X ph I max65,8 5090 V et cos ϕ6 O'B 1650 0,5 (courant en avance). X ph. I max 90. Pour l intensité maximale, quelles sont les capacités des condensateurs montés en triangle sur le réseau permettant de remplacer le moteur fonctionnant en compensateur synchrone? Dans ce fonctionnement, le courant statorique est en avance de 90 sur la tension statorique donc ϕ 90. La puissance réactive pour le moteur : Q U I sin( 90).800 50 ( 1) 9 kvar. Puissance réactive pour les condensateurs montés en triangle Q c.u.j sin( 90). U.J avec J l'intensité du courant à travers un condensateur. Comme J C ωu (d'après la loi d'ohm en sinusoïdal) alors Qc. C.ω. U et C Qc. ω.u 9.10 4 µf. π.800 4. On associe le moteur synchrone à une installation absorbant une puissance P1 600 kw avec un facteur de puissance cos j1 0,6 AR, que l on désire améliorer. Quel sera le nouveau facteur de puissance cos j de l ensemble de l installation plus moteur synchrone, ce dernier travaillant à sa puissance nominale et avec son intensité maximale? Quelle doit être alors l excitation du moteur synchrone? Le courant de l'installation initiale est en retard de ϕ1arccos( 0,6)5,1 Le moteur synchrone travaille à puissance maximale 165 kw et avec son intensité statorique efficace maximale soit 50A. 165.10 0,5 ce qui donne sin ϕ 0,866.800 50 puissance réactive Q.U. I. sin ϕ.800 50 ( 0,866) 85 kvar Facteur de puissance du moteur cos ϕ et une Puissance active totale de l'installation : PP1 + P600+ 165765 kw 15 TSET 014 015

Puissance réactive totale de l'installation : D'où le nouveau facteur de puissance : QQ1 +QP1 tan ϕ1 +Q600 tan 5,1 85514 kvar cos ϕ Le tracé du diagramme vectoriel donne une fém un courant d'excitation I e,5 A P P +Q 765 0,8 765 +514 Evs 4750 V (80 pour une tension composée) soit 5. On ne néglige plus les pertes et la résistance d induit. On donne Pméc 1 kw ; Pfer kw et Ra 0,8 W entre bornes. L excitation est fournie par une excitatrice en bout d arbre de rendement h 80 % sous une tension Ue 600 V. Calculer le rendement du moteur synchrone dans les conditions de la question 4. La puissance absorbée est égale à la puissance utile additionnée des pertes. Bilan des pertes : mécaniques : 1 kw d'après l'énoncé dans le fer : kw d'après l'énoncé par effet Joule au stator : P js Ra 0,8 I 50 kw pertes d'excitation : l'excitation est fournie par l'excitatrice en bout d'arbre qui délivre un courant de,5 A sous une tension de 600 V avec un rendement de 80 % soit D'où le rendement η Pexc 600,5,6 kw 0,8 Pu 165 95 % P u + Pméc + P fer+ P js + Pexc 165+1+++,6 Exercice 10 I. Étude des pertes en ligne Dans une entreprise, les bureaux sont situés dans un bâtiment qui se trouve à 850 m du local technique contenant le transformateur d alimentation générale. La liaison s effectue en 0 V / 400 V triphasé par l intermédiaire de câbles de 5 mm² de section pour les phases et de 10 mm² pour le neutre. L éclairage est réalisé par des lampes fluorescentes qui correspondent en régime permanent à une charge triphasée équilibrée de 50 kw avec un facteur de puissance k 0,76 inductif. Les courants seront considérés comme sinusoïdaux. 1. Intensités On suppose que la chute de tension dans les câbles a été prise en compte et que la tension composée pour le bâtiment de bureaux est bien de 400 V. 16 TSET 014 015

Déterminer l intensité efficace I dans chaque conducteur de phase. I P 50.10 95 A U k.400.0,76 Quelle est l intensité efficace du courant IN dans le conducteur de neutre? La charge étant triphasée équilibrée, le courant dans le neutre est nul.. Résistance des câbles Les câbles sont des conducteurs cylindriques en aluminium, de résistivité en conditions normales de fonctionnement : r,7 x 10 8 W.m. Calculer la résistance totale de chacun des câbles. Par la suite on prendra les valeurs suivantes, qui prennent en compte les résistances des connexions : Phase : 1,0 W, neutre :,5 W. ρl,7.10 8 850 Rp 0,65 Ω S 5.10 6 Résistance des câbles de phase : Résistance du câble de neutre: Rn ρl,7.10 8 850, Ω 6 S 10.10. Pertes par effet Joule Déterminer les pertes totales pour l ensemble des câbles qui alimentent le bâtiment pour cette valeur du facteur de puissance. On ne tient pas compte de la résistance du neutre car le courant y est nul, P j R p I 1 95 7 kw II. Correction des perturbations Pour améliorer le facteur de puissance du bâtiment on décide d utiliser un moteur synchrone placé dans le bâtiment. Ce moteur fonctionnera en compensateur synchrone automatique, de manière à ce qu à chaque instant, le facteur de puissance du bâtiment soit égal à 1. Les caractéristiques électriques du moteur sont les suivantes : Quatre pôles, couplage étoile pour un fonctionnement sur le réseau triphasé 0 V / 400 V, Pnominale 50 kw. Pour l étude il sera modélisé suivant la méthode de la réactance synchrone (modèle linéaire dit de «Behn Eschenburg»), conformément à la figure ci contre correspondant à une phase de la machine dont les enroulements sont supposés couplés en étoile ; dans cette hypothèse on peut écrire Ev l.ie avec l 0,8 x 10 V.A 1. 1. Paramètres du modèle Pour déterminer les paramètres du modèle de la machine synchrone, on a réalisé les essais suivants en fonctionnement alternateur. a. Caractéristique à vide Relevé de la valeur efficace de la tension à vide Ev entre phase et neutre en fonction du courant d excitation Ie. Ie (A) 0 0,05 0,10 0,15 0,0 0,5 0 41,5 8 14 166 Ev (V) À partir de ce tableau de mesures justifier la valeur du coefficient l 0,8 x 10 V.A 1. 07 Pour les faibles valeurs de l'intensité d'excitation, la courbe est une portion de droite passant par l'origine (la fém est deux fois plus importante pour 0,1 A que pour 0,05 A). On a I e0,10 A pour E v8 V 17 TSET 014 015

soit λ Ev 8 0,8.10 V/A I e 0,1 qui correspond à la valeur donnée dans l'énoncé. b. On effectue un court circuit symétrique sur les trois phases, on obtient les deux essais suivants : Ie 0 A, Icc 0 A Ie 0,8 A, Icc 70 A. Par ailleurs, une mesure de la résistance entre phase et neutre a donné R 0,1 W. À partir de ces résultats, justifier la valeur de Xs 4,5 W. Pour l'essai en court circuit, le schéma équivalent se simplifie en une fém branchée à l'association série de la résistance et de la réactance synchrone ce qui donne E v R + X s. I ccλ I ecc. D'après cette équation X s ( λ I ecc 0,8.10 0,8 ) R ( ) 0,14,5 Ω I cc 70 Pour la suite, on négligera la résistance R devant la réactance synchrone Xs, ainsi que les pertes mécaniques et les pertes dans le fer.. Compensateur synchrone La machine fonctionne en compensateur synchrone : elle ne fournit aucune puissance mécanique mais elle fonctionne à vide en absorbant un courant en avance de 90 sur la tension simple correspondante. Elle fournit donc une puissance réactive qui compense celle consommée par les lampes. a. Déterminer à l aide des hypothèses du 1 la puissance réactive totale consommée par les lampes. En déduire la valeur efficace de l intensité du courant qui doit circuler dans la machine pour fournir cette même puissance réactive. Le facteur de puissance est égal à 0,76 ce qui donne un déphasage ϕarccos(0,76)40,5 ; les puissances active et réactive sont reliées par tan ϕ Q P ce qui donne QP tan ϕ50 tan 40,54,7 kvar. La puissance réactive pour la machine s'écrit Q U I sin( 90) soit I Q 4,7 61,6 A U.400 b. Donner la relation entre V, Ev et I puis représenter ces grandeurs sur un diagramme de Fresnel. En appliquant la loi des mailles au schéma équivalent, on obtient V E v + j X s I Le vecteur associé à l'intensité est en avance de 90 sur celui associé à la tension, on place le vecteur associé à la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone en suivant l'équation précédente. 18 TSET 014 015

c. Déterminer la valeur du courant d excitation correspondant à ce fonctionnement. Sur le diagramme vectoriel précédent, on mesure E v ou on calcule E v à partir de la relation E vv + X s I 400 + 4,5 61,6508 V d'où le courant d'excitation E 508 I e λv 0,61 A 0,8.10. Amélioration du facteur de puissance à l'aide de la machine synchrone a. La tension composée d alimentation à 400 V est maintenue constante. La machine fonctionnant en compensateur synchrone, en parallèle avec la charge (l ensemble du bâtiment) elle fournit, comme précédemment, une puissance réactive égale à celle qui est consommée par les lampes. Déterminer la nouvelle valeur du courant dans les câbles de phase. I Le facteur de puissance est maintenant égal à un soit P 50.10 7, A U.400 b. Déterminer la nouvelle valeur des pertes en ligne. P j R p I 1 7,15,6 kw On a toujours c. Proposer une ou plusieurs solutions pour diminuer encore ces pertes en ligne. Il faudrait augmenter la section des câbles de phase. Exercice 11 Un moteur synchrone, à quatre pôles, dont les enroulements du stator sont couplés en étoile, est alimenté directement par un réseau triphasé, de tension simple efficace V et de fréquence f. Les résistances du stator sont négligées ainsi que les pertes ferromagnétiques et mécaniques. L inductance cyclique d un enroulement du stator est L 0 mh. La machine n est pas saturée, de sorte que la valeur efficace de la fém d un enroulement du stator est proportionnelle à l intensité du courant d excitation i. 1. La tension et la fréquence sont constantes : V 0 V et f 50 Hz a. Calculer en tr/min la fréquence de rotation du moteur. En moteur, à vide, pour un courant absorbé E d intensité I négligeable, avec i 5 A, calculer la valeur du rapport k. i. f n Vitesse de rotation du moteur En moteur k à vide et E 0 0,88 SI i.f 5 50 avec 60. f 60 50 1500 tr/min p les hypothèses de l'énoncé, on a EV 0 V donc b. En moteur la machine absorbe une puissance P 8 kw et un courant d intensité I 15 A. Calculer les déphasages possibles j1 et j entre courant et tension relatifs à un enroulement La puissance est donnée par correspond aux angles ϕ16 P V I cos ϕ et soit cos ϕ P 8000 0,808 V I 0 15 ce qui ϕ 6 Calculer LwIcosj. D'après ce qui précède L ω I cos ϕ0.10. π.50 15 0,80876,1 V Exprimer la relation permettant de réaliser le diagramme des tensions (dit «diagramme bipolaire»). Tracer les deux diagrammes possibles et déduire les intensités des courants d excitation correspondants. On applique la loi des mailles au schéma équivalent du stator orienté avec la convention récepteur : V E+ j L ω I 19 TSET 014 015

Pour ϕ16 Pour ϕ 6 Quelles sont les puissances réactives absorbées? Préciser la signification des signes dans chacun des cas. Dans les deux cas Q V I sin ϕ ϕ16 : Q 0 15 sin 6580 var ϕ 6 Q 0 15 sin( 6) 580 var Pour Pour Calculer le moment du couple du moteur. Il est donné par P 8000 0 C 50,9 N.m Ω π.1500 c. Pour i 6 A, on augmente progressivement, à partir d une valeur nulle, la puissance que le moteur fournit à sa charge. Représenter sur un diagramme des tensions l évolution du point représentatif du fonctionnement. L'extrémité du vecteur associé à la fém décrit un cercle dont le centre est le point d'origine des vecteurs associés à la tension statorique et à la fém et le rayon correspond à la valeur de la fém soit Ek.i.f 0,88.6.5064 V Déterminer la puissance maximale du moteur. La puissance maximale correspond à un angle de 90 entre le vecteur associé à la tension statorique et celui associé à la fém. I 5,7 A ; j 7 donne P 0 5,7 cos 77,8 kw Commenter le comportement de la machine au voisinage de cette limite. Au delà de cette limite, le fonctionnement est instable. Si le couple imposé sur l'arbre est constant alors la machine va caler, sinon la vitesse va osciller autour de la vitesse de synchronisme. 0 TSET 014 015

. Tension et fréquence varient suivant la loi V 0 f 50 constante Pour la partie I., on maintient constantes les intensités I 15 A et i 4 A. a. En déduire que la fém s écrit alors E,5.f. Dans la partie précédente, on a établi Ek.i.f avec k 0,88 SI donc ici E0,88 4. f,5. f b. Exprimer numériquement V et LwI en fonction de f dans le cas où I 15 A. V 0 Puisque alors V 4,4. f. f 50 L'expression LωI devient L ω I L. π. f. 150.10. π. f.151,88. f c. Représenter sur le même diagramme les tensions et force électromotrice (échelle 1 cm pour 0 V) lorsque la fréquence passe de 50 Hz à 5 Hz. Faire figurer les angles j (I, V), y (I, E) et q (E, V). Que dire de ces angles quand la fréquence f varie? Pour 50 Hz : V 0 V et L ω I 1,88 5094 V Pour 5 Hz : V 110 V et L ω I 1,88 547 V Pour 50 Hz Pour 5 Hz Les angles sont inchangés lorsque la fréquence varie. d. Après avoir exprimé le moment du couple C du moteur, montrer qu il est indépendant de la vitesse. Calculer sa valeur. P avec P V I cos ϕ 4,4. f 15 cos ϕ et Ω π. f p Ω p. 4,4. f 15 cos ϕ 4,4 15 0,6 C 7,8 N.m π π.f Le courant I étant fixé et ϕ ne dépendant pas de la fréquence, le couple est constant. Il est toujours donné par C d'où Étude simplifiée d un moteur synchrone dit «autopiloté» Un moteur synchrone est alimenté par un réseau triphasé (0 V / 80 V, 50 Hz) par l intermédiaire de deux ponts triphasés complets à thyristors, comme l indique la figure ci dessous. Le pont 1 délivre une tension que l on assimile à sa valeur moyenne U0, constante. Le pont fonctionne en commutateur de courant ; grâce à une inductance suffisante L0, le courant de circulation entre les deux ponts est parfaitement lissé. Son intensité est I0. Afin d assurer en permanence le synchronisme entre le rotor et le champ glissant créé par le stator, ce qui évite tout risque de décrochage, les signaux d amorçage des thyristors du pont sont élaborés à partir d impulsions issues d un capteur qui détecte la position du rotor. Ainsi, il est possible de fixer le déphasage 1 TSET 014 015

y entre le fondamental du courant et la fém pour chaque enroulement du stator, conformément aux orientations choisies sur le schéma ci dessous. Ceci équivaut à fixer le retard angulaire à l amorçage des thyristors du pont. Le moteur ainsi alimenté et contrôlé est dit «autopiloté».. Graphes des tensions et des courants Les commutations sont instantanées et l intensité du courant I0 est supposée constante. Les enroulements R, S, T du stator du moteur sont alors le siège de fém sinusoïdales formant un système triphasé er, es, et dont la représentation est donnée sur le document réponse (page 1). La valeur efficace commune de ces fém est E k1.i.w. Les données dont les suivantes : k1 0,8 unités S.I. i 6,5 A (intensité du courant d excitation) W vitesse angulaire du rotor en rad/s e R E sin t Les thyristors du pont s amorcent selon la séquence 1,,, 1,,, 1, Dans les conditions de 5 fonctionnement du montage, le thyristor 1 s amorce à t et chacun des suivants avec un retard 6 angulaire sur le précédent. Pour chacun des groupes (1,, ) et (1,, ), l amorçage d un thyristor bloque le précédent. a. Sur le document réponse, représenter sur les axes «conduction des thyristors» les intervalles de conduction de ces thyristors. Voir le document réponse et le lien la tension u en fonction de wt. Voir le document réponse et le lien l intensité ir du courant circulant dans l enroulement R du stator en fonction de ωt. Déduire de cette dernière représentation, en tenant compte des symétries de ir, l allure du fondamental irf de ir. Voir le document réponse et le lien. Le fondamental du courant ir, noté irf, est en bleu. b. On note y le retard angulaire de irf par rapport à er. Déterminer y. Vérifier sur cet exemple l exactitude de la relation générale entre y et l'angle a de retard à l'amorçage des thyristors : y a p Sur le document réponse, on lit ψ π rad et α π rad. On vérifie bien la relation proposée TSET 014 015

dans l'énoncé ψ π π 4. Propriétés du moteur synchrone autopiloté En raisonnant sur le fondamental du courant statorique, de valeur 6 efficace I f I 0, le modèle du stator du moteur est le suivant On note IRf le nombre complexe représentant l intensité sinusoïdale irf du fondamental. La régulation impose, i 6,5 A. a. Réaliser dans un cas général, mais pour un déphasage j (IRf, VR) négatif, le diagramme des tensions (diagramme bipolaire). Faire figurer l angle y. Le vecteur associé à la tension statorique est placé horizontalement, celui associé au courant est en avance de ϕ, celui associé à la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone est en avance de 90 sur le courant. j y b. Déduire une relation entre VR, cosj, E et cosy Il y a deux triangles rectangle, on peut écrire V cos ϕe cos ψ c. En exprimant l égalité entre la puissance fournie par le pont et la puissance absorbée par le moteur, en négligeant toutes les pertes, montrer que l on peut écrire : U 0 I 0 I Rf E cos La puissance fournie par le pont est Pf U 0. I 0 et celle reçue par le moteur est Pm V I Rf cos ϕ. Puisque les deux puissances sont égales (pas de pertes) et que alors V cos ϕe cos ψ U 0 I 0 E I Rf cos ψ d. Montrer que le moment C du couple moteur est proportionnel à I0 pour i et y donnés. Peut on faire une comparaison avec un moteur à courant continu? Quel élément impose la valeur de I0? Exprimer numériquement C(I0). 6 I et Ek i Ω donne 6 If 1 PU 0 I 0 k 1.i.Ω. π I 0 cos ψ 0 On a toujours C P Ω soit 6 6 C k 1. i. π I 0 cos ψ ou C k 1. i. π cos ψ. I 0 TSET 014 015

Le terme 6 K k 1. i. π cos ψ tel que CK. I 0 est constant si i et ψ sont constants. Comparaison avec la machine à courant continu : I 0 : courant dans l'induit i : courant dans l'inducteur (excitation) ψ : décalage des balais Le courant est imposé par le couple donc par la charge mécanique reliée à l'arbre du moteur. 6 K 0,8 6,5. π cos 60,1 N.m/A, on a donc C,1. I 0 e. On rappelle que la valeur moyenne Uc de la tension u (figure 1) s exprime en fonction de E et du retard angulaire a à l amorçage des thyristors par la relation U c,4. E.cos α. Exprimer U0 en fonction de E et y. Montrer que la vitesse angulaire W du moteur synchrone autopiloté est proportionnelle à U0. Y a t il une analogie entre ce moteur et un moteur à courant continu? Exprimer numériquement la relation entre W et U0. On a U c,4. E.cos α et ψα π soit αψ+ π donc cos α cos ψ U c U 0,4. E.cos ψ soit U 0,4. E. cos ψ Comme Ek 1 i Ω alors U 0,4. k 1 iω. cos ψ qui donne Ω U0,4. k 1 i. cos ψ Comparaison avec la machine à courant continu : la vitesse de rotation dépend de la tension aux bornes de l'induit et de l'intensité du courant d'excitation. Application numérique : Ω 1 U soit Ω0,470U 0,4 0,8 6,5 0,5 0 Document réponse 4 TSET 014 015

1 ' 1' ' I0 I0 Exercice 1 : Alternateurs d'un Airbus A0 La génération électrique est assurée par deux alternateurs principaux de 90 kva qui délivrent un système triphasé de tensions 115 V / 00 V, 400 Hz. La vitesse est maintenue constante grâce à une régulation hydraulique de la vitesse de rotation des alternateurs. Étude d'un alternateur non saturé Le réseau de bord est alimenté en 400 Hz, c'est la fréquence des tensions et intensité statoriques de l'alternateur. Pour l'airbus A0, le constructeur donne : Tension nominale VN/UN 115 V / 00 V Nombre de phases Puissance apparente nominale SN 90 kva Vitesse de rotation nominale nn 1,0.10 tr/min Facteur de puissance 0,75 < cos j < 1 Résistance d'induit (par phase) Rs L'induit est couplé en étoile. 10 mw 5 TSET 014 015

On a effectué deux essais à vitesse nominale constante : nn Essai en génératrice à vide : la caractéristique à vide EV f(ie) où EV est la valeur de la fém induite à vide dans un enroulement et Ie l'intensité du courant inducteur, est tracée à la page 16. Essai en court circuit : dans le domaine utile, la caractéristique de court circuit est la droite d'équation Icc,07 Ie, où Icc est la valeur efficace de l'intensité de court circuit dans un enroulement du stator. 1. On s'intéresse au fonctionnement nominal a. Calculer la pulsation des tensions de sortie de l'alternateur. La pulsation ω est donnée par ω π f π.40051 rad/s. b. Déterminer le nombre de paires de pôles de la machine. La vitesse n (en tr/min) est reliée à la fréquence f et au nombre de paires de pôles p par : n p 60. f p soit 60. f 60 400 n 1000 c. Calculer la valeur efficace du courant d'induit nominal IN. La puissance apparente I N S N U N I N soit SN U N 90.10 60 A.00. On suppose l'alternateur non saturé. Pour décrire son fonctionnement on utilise le modèle équivalent par phase représenté ci dessous a. Calculer l'impédance synchrone Zs de l'alternateur. On utilise l'essai en court circuit pour lequel Pour I e10 A Pour I e 10 A, on a On obtient Z s on lit E v45 V E vccz s. I cc soit Z s E vcc I cc sur la caractéristique à vide. I cc 0,7 A d'après la relation Icc,07 Ie 45 1,46 Ω 0,7 b. En déduire la réactance synchrone Xs Lsw. Z s R s + X s donc X s Z s Rs 1,46 (10.10 )1,46 Ω. Dans toute la suite du problème, on néglige l'influence des résistances statoriques Rs. a. Déterminer l'intensité Ie0 du courant inducteur pour un fonctionnement à vide sous tension nominale. La fém pour un fonctionnement à vide sous tension nominale est égale à la valeur efficace des tensions statoriques soit 115 V pour les tensions simples. On lit 6 A sur la caractéristique à vide. b. La charge est triphasée équilibrée, l'alternateur fonctionne dans les conditions nominales, il débite son courant nominal IN en retard sur la tension. Pour cos j 0,75, représenter le diagramme vectoriel des 6 TSET 014 015

tensions et en déduire la valeur de la fém induite EV. Le vecteur associé à une tension statorique est placé horizontalement. Comme cos ϕ0,75 alors ϕ41,4 : le vecteur associé au courant statorique est en retard de 41,4 sur la tension statorique. Le vecteur associé à la chute de tension aux bornes de la réactance synchrone ( X s I ) est en avance de 90 sur le courant. On respecte l'équation V E v j X s I (d'après la loi des mailles) 4. On s'intéresse au réglage de l'excitation de l'alternateur lorsqu'il débite son courant nominal IN. Déterminer la valeur du courant d'excitation qui permet de maintenir V 115 V pour un fonctionnement à cos j 0,75. Ce point de fonctionnement est le même que pour la question précédente, on lit donc sur la caractéristique à vide l'intensité correspondant à E 470 V soit I e 108 A Étude du circuit d'excitation Le schéma du circuit d'excitation de l'alternateur principal est représenté à la page suivante. Principe de fonctionnement La tension aux bornes de l'inducteur de l'alternateur principal est produite à l'aide d'un alternateur intermédiaire, appelé excitatrice, dont l'inducteur est fixe et l'induit, solidaire de l'arbre principal, est tournant. L'inducteur de l'alternateur intermédiaire est modélisé par sa résistance R1 et son inductance L1 ; il est parcouru par un courant i1(t) de valeur moyenne I1. L'excitatrice n'étant pas saturée on peut considérer que le courant Ie est proportionnel à I1. Le réglage du courant d'excitation principal Ie s'effectue donc par l'intermédiaire d'un hacheur qui contrôle I1. 7 TSET 014 015

PMG : alternateur à aimants permanents Les traits pointillés représentent la partie mobile, les traits pleins représentent la partie fixe. Les trois alternateurs sont sur le même arbre. L'alternateur à aimants permanents (PMG) et le redresseur à diodes qui alimentent le hacheur sont modélisés par un générateur, considéré comme une source de tension continue parfaite, fournissant une tension U0 140 V. Le schéma est représenté ci contre : On étudie le régime permanent où la conduction dans la charge (R1, L1) est ininterrompue. Les semi conducteurs qui composent le hacheur sont considérés comme parfaits. L'interrupteur H est commandé à la fréquence f,0 khz et on note a son rapport cyclique. Au cours d'une période T, l'interrupteur H est passant de 0 à at, il est bloqué de at à T. 5. Étude de l'inducteur de l'excitatrice R1 9,0 W L1 0,10 H a. Tracer l'allure de la tension v1(t) lorsque a vaut 0,60. De 0 à at : v1(t) U0 de at à T : v1(t) 0 b. Calculer V1, valeur moyenne de v1(t) en fonction de a et U0. Valeur moyenne V 1 1 α T U 0 α U 0 T c. En déduire l'expression de I1, valeur moyenne de i1(t), en fonction de a, U0 et R1. Faire l'application numérique pour a 0,60. D'après la loi des mailles, v 1 (t )R1 i 1 (t)+ L1 d i 1 (t) dt ce qui donne V 1R1. I 1 car la valeur moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est nulle (le courant i 1( t) est périodique). En α U 0 R1. I 1 remplaçant V1 par son expression en fonction de U0 : soit 8 TSET 014 015

I1 α U 0 0,6 140 9, A R1 9 6. Étude des variations du courant a. Écrire les équations différentielles auxquelles satisfait i1(t) entre les dates 0 et at, puis entre at et T. entre les dates 0 et at : entre at et T : U 0R 1 i 1 (t)+ L1 0R 1 i 1 (t)+ L1 d i1 (t ) dt d i 1( t) dt L1 T, représenter sans calcul l'allure du courant i1(t). R1 Dans cette situation, le courant est constitué de portions de droites : croissante entre 0 et at et décroissante entre at et T. b. En remarquant que 7. On définit l'ondulation du courant par l'expression i1 I M I m. 1 U 0 L1 f Pour quelle valeur de a l'ondulation Di1 est elle maximale? Justifier la réponse. Quelle est son expression dans ce cas? Calculer sa valeur numérique sachant que L1 0,10 H. d (Δ i 1 ) U0 (1 α) L'ondulation est maximale pour s'annule pour α0,5 (la dérivée dα L1 f α0,5 ) 0,5 (1 0,5)U 0 U0 140 0,875 A On remplace α par 0,5 : Δ i 1max L1 f 4 L 1 f 4 0,1 000 Dans le cas où i1 I 1, on admet que l'ondulation peut s'exprimer sous la forme 9 i1 TSET 014 015

Caractéristique à vide 0 TSET 014 015