Formation des images S. Benlhajlahsen Résumé Lors de la formation d une image par un système, l image sera considérée de bonne qualité si : l image d un point est un point, on parlera alors de stigmatisme ; les points situés dans un plan de front (plan perpendiculaire à l axe de symétrie du système ) donnent une image nette dans un plan de front : l appareil sera dit alors aplanétique. En général, l appareil considéré ne sera stigmatique ou aplanétique que sous certaines conditions (cf conditions de Gauss). Cela peut être une source primaire (laser, étoile...) ou secondaire (objet qui réfléchit ou diffuse la lumière). L objet peut être ponctuel (ou quasi-ponctuel comme une étoile lointaine ou un pixel d un écran de télévision) ou étendu (phare de voiture...). Cette distinction dépend de la distance d observation (un objet peut être considéré ponctuel si taille de l objet distance d observation 1). On considère un objet ponctuel, celui-ci sera : réel si il est placé devant la face d entrée du système et si tous les rayons lumineux sont issus de lui et forment un faisceau divergent ; virtuel si il est situé après la face d entrée du système et si tous les rayons lumineux se dirigent vers lui en formant un faisceau convergent. Remarque : Un objet virtuel ne peut pas être visualisé sur un écran car les rayons se dirigeant vers cet objet rencontrent d abord le système (voir figure 2). est un objet réel est un objet virtuel I. Notion d objet et d image On définit le système comme un ensemble de dioptres et de surfaces réfléchissantes fournissant une image d un objet lumineux (voir figure 1). Face d'entrée du système Face de sortie du système Figure 2 xe Remarque : Une étoile est un objet ponctuel qu on dira souvent "à l infini". Les rayons provenant de cette étoile seront considérés parallèles (voir figure 3). Sens de la lumière incidente Figure 1. Objet lumineux Il définit un ensemble de rayon lumineux entrant dans le système. Une étoile, c'est loin... Figure 3 SO 1
B. Image La notion d image est toujours relative à un instrument d (avec comme dernier chaînon l oeil). L image correspond à l intersection des rayons lumineux émergents du système. L image est ponctuelle si ses dimensions sont inférieures au pouvoir de résolution du récepteur utilisé (par exemple, pour l oeil, il faut considérer les cellules rétiniennes dont la taille est de l ordre de quelques microns. Si on considère les "archaïques" pellicules photographiques, les sels d argent ont une taille qui varie de 1 à 100 µm). Une image ponctuelle peut être (voir figure 4) : réelle si elle est située après la face de sortie du système et si tous les rayons lumineux convergent vers elle. virtuelle si elle est située avant la face de sortie du système et si tous les rayons lumineux semblent provenir d elle. SO Figure 5 xe Remarque : Souvent, le système présente un axe de symétrie de révolution qu on appellera axe et qu on oriente dans le sens de la lumière. Les plans perpendiculaires à l axe sont appelés plans transverses ou plans de fronts. II. Cas du miroir plan est une image réelle est une image virtuelle. Relation de conjugaison Comment se construit l image d un objet par un miroir plan? Objet réel Ecran H miroir Figure 4 Remarque : Un image réelle peut être directement visualisée sur un écran a contrario d une image virtuelle. C. Conjugaison objet-image : stigmatisme Il y a stigmatisme rigoureux, quand tout rayon lumineux passant par un point objet passe, après avoir traversé le système, par un point image. est alors l image conjuguée de à travers le système considéré ce que l on représentera symboliquement par Syst.Opt.. On pourra alors définir une relation de conjugaison qui liera les positions de et de. Le système est alors stigmatique pour le couple de points (, ). Figure 6 Soit un point de cet objet dont sont issus des rayons lumineux (voir figure 6). On place sur le dessin le projeté orthogonal H et le symétrique de. Il suffit ensuite de dire que les rayons réfléchis par le miroir sont issus du point. Ces rayons semblent donc provenir de qui est une image virtuelle. La relation de conjugaison qui lie la position de et la position de s écrit alors : miroir plan et H + H = 0 2
Remarque : Le miroir plan réalise le stigmatisme rigoureux pour tout couple objetimage (, ) tel que est le symétrique de par rapport au miroir. n 1 n 2 B. Objet et image étendus position 2 de l'oeil Un objet étendu peut être décomposé en un ensemble d objet ponctuel donc l image de B (objet étendu) est B telle que B est le symétrique de B par rapport au miroir (voir figure 7). B i 1 i 2 H position 1 de l'oeil B' Figure 8 Figure 7 On montre facilement que H = H tan(i 1) tan(i 2 ) avec n 1 sin(i 1 ) = n 2 sin(i 2 ). On définit alors le grandissement transversal par le rapport γ = B. Ce rapport B vaut 1 pour le miroir plan. Remarque : Un objet n est pas forcément superposable à son image dans un miroir plan. On parle alors de chiralité (main en grec). Par exemple, en chimie, les molécules présentant un carbone asymétrique de configuration R ou S ne sont pas superposable à leur image par un miroir plan. 10 5 0 dioptre III. Cas du dioptre plan 5. Étude en lumière monochromatique 1. bsence de stigmatisme rigoureux : aberrations géométriques 10 10 5 0 5 10 Considérons un dioptre plan et deux milieux d indice n 1 et n 2. On place en une source ponctuelle qui émet de la lumière dans toutes les directions. Suivant la position de l oeil, les rayons lumineux ne semblent pas venir de la même direction (voir 8). Figure 9 Le dioptre plan donne d un objet lumineux une image qui n est pas un point mais 3
une tâche, il présente donc des abérrations géométriques. Il n y a pas stigmatisme rigoureux (voir figure 9). 2. Stigmatisme approché, relation de conjugaison On suppose maintenant que les rayons lumineux issus de sont peu inclinés par la normale au dioptre. On a donc i 1 et i 2 petit donc tan(i 1 ) sin(i 1 ) i 1 et tan(i 2 ) sin(i 2 ) i 2 donc la relation précédente devient H H = n 2 = cte. ux petits n 1 angles, l ensemble des rayons réfractés se coupent en un même point. On parle alors de stigmatisme approché du dioptre plan au petits angles (voir figure 10). IV. : Conditions de Gauss. Définition Un système possède un axe de symétrie de révolution qu on appelle axe du système. La symétrie impose alors que les dioptres ou miroirs présente sur cet axe un plan tangent perpendiculaire à l axe. Un rayon lumineux arrivant suivant l axe n est pas dévié. Par exemple, les miroirs (plans, sphériques, parabolique...), les dioptres, les lentilles sont des systèmes s. 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 dipotre aux petits angles B. stigmatisme rigoureux Un système est rigoureusement stigmatique pour le couple (, ) si tout rayon incident passant par émerge du S.O. en passant par. Remarque : Si appartient à l axe alors son image conjuguée appartient aussi à l axe (voir figure 11). 1.0 1.5 2.0 10 5 0 5 10 Figure 10 Figure 11 B. Etude en lumière polychromatique Comme l indice n dépend de la longueur d onde, les différentes longueurs d onde ne seront pas traités de la même manière. Dans le cas des petits angles, il n y a pas d aberrations géométriques mais il y a, par contre, des aberrations chromatiques, l image d un point est alors une tâche colorée. Remarque : La condition de stigmatisme rigoureux se traduit par l invariance du chemin pour tout rayon issu de soit ( )=cte. C. aplanétime rigoureux En général, l objet d un instrument d est toujours étendu donc si on souhaite avoir une image nette, il faut qu il y ait stigmatisme pour tous les points conjugués. 4
Un système est dit aplanétique si le stigmatisme pour tout couple (, ) de l axe se conserve pour tout couple (B,B ) appartenant aux plans transverses à l axe. Remarque : En gros, cela implique que l image d un objet perpendiculaire à l axe est perpendiculaire à l axe. Remarque : Le stigmatisme est une condition nécessaire de l aplanétisme (voir figure 12). Figure 14 F' Plan image B B' Figure 12 Le miroir plan est aplanétique F Foyer principal objet Figure 15 Foyer principal image F' F Plan objet Figure 13 Figure 16 5
D. condition de l approximation de Gauss 1. stigmatisme et aplanétisme approchés Seul le miroir plan présente un stigmatisme et un aplanetique rigoureux mais on n a pas nécessairement besoin d un stigmatisme rigoureux car les récepteurs ont une structure granulaire (cellule rétinienne pour l oeil, pixel pour une caméra). En effet, supposons que le système n est pas stigmatique mais que la tâche image a une taille inférieure à celle de cellule rétinienne par exemple alors elle est assimilée à un point lumineux par le détecteur. On parle alors de stigmatisme approché. 2. approximation de Gauss Le dioptre plan présente un stigmatisme approché pour les "petits angles". On peut généraliser cette condition aux systèmes s s quelconques : ce sont les conditions de l approximation de Gauss. On se trouve dans les conditions de l approximation de Gauss lorsque les rayons issus de l objet sont faiblement inclinés par rapport à l axe et peu écartés de l axe. On parle de "rayons paraxiaux". Les rayons émergents sont alors tous au voisinage d un point image. V. s s focaux On se place dans l approximation de Gauss (stigmatisme et aplanétique approchés).. foyer image et plan image Soit un point objet à l infini sur l axe. On considère deux rayons issus de ce point, l un suivant l axe et l autre voisins de l axe (et arrivant aussi parallèlement à l axe car le point est à l infini). Si ces deux points se coupent en un point F, le système est alors dit et F est le foyer principal image (voir figure 13). Remarque : Si le foyer F est à l infini, alors le système est dit a. La lunette astronomique est un système a qui donne d une étoile (objet à l infini) une image à l infini. Soit un point B à l infini en dehors de l axe alors son image est dans le plan perpendiculaire à l axe passant par F (car il y a aplanétisme). C est le plan image (voir figure 14). B. foyer objet et plan objet Par principe de retour inverse de la lumière, on définit : Le foyer principal objet est le point de l axe dont l image est à l infini sur l axe. Tout rayon passant par le foyer principal objet ressort du système parallèlement à l axe (voir figure 15). Le plan objet est le plan perpendiculaire à l axe contenant F. Tout point appartenant au plan objet a son image à l infini (voir figure 16). 6